1.4有理数的加减 讲义2025-2026学年沪科版数学七年级上册

1.4 有理数的加减法 学习目标 1. 掌握有理数加法法则，能准确处理加法中的符号问题； 2. 理解并运用有理数加法运算律（交换律、结合律）进行简便计算； 3. 掌握有理数减法法则，能将减法转化为加法运算； 4. 能进行有理数加减混合运算，并解决简单的实际问题； 5. 学会运用运算律简化加减混合运算过程。 知识点讲解 一、有理数加法运算 法则： 1. 同号两数相加：取相同的符号，再把绝对值相加。 例：(+5)+(+3)=+(5+3)=+8；(-4)+(-7)=-(4+7)=-11。 2. 异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；若绝对值相等，和为0。 例：(+6)+(-2)=+(6-2)=+4；(-5)+(+5)=0；(-9)+(+3)=-(9-3)=-6。 3. 一个数与0相加：仍得这个数。 例：；(+10)+0=+10。 二、有理数加法中的符号问题 关键步骤：先确定和的符号，再计算绝对值的和或差。 · 同号：符号不变，绝对值相加； · 异号：“大减小，符号跟大的”（若绝对值相等，和为0）。 易错点：忽略符号直接加减绝对值（如错算(-3)+(+2)=-5，正确应为）。 三、有理数加法运算律 1. 交换律：（两数相加，交换加数位置，和不变）。 2. 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（三个数相加，先加前两个或后两个，和不变）。 作用：通过交换、结合，将“易算的数”（如互为相反数、同号数、凑整数的数）先相加，简化计算。 四、生活中的应用 有理数加法可表示“数量的增减变化”，如： · 温度变化：初始温度，上升后，最终温度为； · 行程问题：向东走8km（记为），再向西走10km（记为），最终位置为(+8)+(-10)=-2km（即向西2km）； · 库存变化：原有货物120件（记为），卖出150件（记为），剩余120+(-150)=-30件（即亏空30件）。 五、有理数减法运算 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 核心思想：将减法转化为加法，再按加法法则计算。 例：；(-7)-(-4)=(-7)+(+4)=-3；。 六、有理数加减混合运算 步骤： 1. 统一为加法：将所有减法转化为“加上相反数”，原式化为“代数和”形式（如）； 2. 省略加号和括号：代数和中，“”可省略，如（表示，，，的和）； 3. 按加法法则计算：结合运算律简化过程。 七、简便运算技巧 1. 同号结合：将正数、负数分别相加，如(-3)+(+5)+(-7)+(+9)=[(+5)+(+9)]+[(-3)+(-7)]=14-10=4； 2. 凑整结合：将和为整数的数结合，如++=[+]+3.5=0+3.5=3.5； 3. 相反数结合：互为相反数的两数和为0，如(-8)+(+8)+(-5)=0+(-5)=-5； 4. 同分母分数结合：如。 例题解析 例1：有理数加法（符号问题） 计算： （1）(-6)+(-9)；（2）(+7)+(-12)；（3）。 例2：加法运算律应用 计算：(+25)+(-18)+(-5)+(+18)。 例3：生活中的应用 某超市一周内库存变化如下（进货为正，卖出为负，单位：件）：，，，，。若初始库存为500件，求周末库存。 例4：有理数减法 计算：（1）(-10)-(-7)；（2）；（3）(+4)-9。 例5：加减混合运算 计算：。 例6：简便运算 计算：。 巩固练习 基础题（每小题8分，共80分） 1. 计算：(-3)+(-5) 2. 计算：(-7)+(+7) 3. 计算：(-12)-(-5) 4. 计算：(-3)+(+8)+(-5) 5. 某潜水员先下潜15,m（记为），再上升8,m，位置为______m。 6. 计算：______。 7. 计算：++=______。 8. 计算：______。 9. 计算：______。 10. 若，，则，。 提高题（每小题10分，共50分） 11. 计算：。 12. 某车从A地出发，向东行驶记为正，行程记录（单位：km）：，，，，。求终点与A地距离。 13. 计算：。 14. 若，，且x<y，求的值。 15. 计算：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 有理数的加减法 学习目标 1. 掌握有理数加法法则，能准确处理加法中的符号问题； 2. 理解并运用有理数加法运算律（交换律、结合律）进行简便计算； 3. 掌握有理数减法法则，能将减法转化为加法运算； 4. 能进行有理数加减混合运算，并解决简单的实际问题； 5. 学会运用运算律简化加减混合运算过程。 知识点讲解 一、有理数加法运算 法则： 1. 同号两数相加：取相同的符号，再把绝对值相加。 例：(+5)+(+3)=+(5+3)=+8；(-4)+(-7)=-(4+7)=-11。 2. 异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；若绝对值相等，和为0。 例：(+6)+(-2)=+(6-2)=+4；(-5)+(+5)=0；(-9)+(+3)=-(9-3)=-6。 3. 一个数与0相加：仍得这个数。 例：；(+10)+0=+10。 二、有理数加法中的符号问题 关键步骤：先确定和的符号，再计算绝对值的和或差。 · 同号：符号不变，绝对值相加； · 异号：“大减小，符号跟大的”（若绝对值相等，和为0）。 易错点：忽略符号直接加减绝对值（如错算(-3)+(+2)=-5，正确应为）。 三、有理数加法运算律 1. 交换律：（两数相加，交换加数位置，和不变）。 2. 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（三个数相加，先加前两个或后两个，和不变）。 作用：通过交换、结合，将“易算的数”（如互为相反数、同号数、凑整数的数）先相加，简化计算。 四、生活中的应用 有理数加法可表示“数量的增减变化”，如： · 温度变化：初始温度，上升后，最终温度为； · 行程问题：向东走8km（记为），再向西走10km（记为），最终位置为(+8)+(-10)=-2km（即向西2km）； · 库存变化：原有货物120件（记为），卖出150件（记为），剩余120+(-150)=-30件（即亏空30件）。 五、有理数减法运算 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 核心思想：将减法转化为加法，再按加法法则计算。 例：；(-7)-(-4)=(-7)+(+4)=-3；。 六、有理数加减混合运算 步骤： 1. 统一为加法：将所有减法转化为“加上相反数”，原式化为“代数和”形式（如）； 2. 省略加号和括号：代数和中，“”可省略，如（表示，，，的和）； 3. 按加法法则计算：结合运算律简化过程。 七、简便运算技巧 1. 同号结合：将正数、负数分别相加，如(-3)+(+5)+(-7)+(+9)=[(+5)+(+9)]+[(-3)+(-7)]=14-10=4； 2. 凑整结合：将和为整数的数结合，如++=[+]+3.5=0+3.5=3.5； 3. 相反数结合：互为相反数的两数和为0，如(-8)+(+8)+(-5)=0+(-5)=-5； 4. 同分母分数结合：如。 例题解析 例1：有理数加法（符号问题） 计算： （1）(-6)+(-9)；（2）(+7)+(-12)；（3）。 解析： （1）同号相加，取“”，绝对值相加：，结果为。 （2）异号相加，绝对值12>7，取“”，绝对值相减：，结果为。 （3）异号且绝对值相等，和为0。 例2：加法运算律应用 计算：(+25)+(-18)+(-5)+(+18)。 解析： 用交换律和结合律：[(+25)+(-5)]+[(-18)+(+18)]=20+0=20。 例3：生活中的应用 某超市一周内库存变化如下（进货为正，卖出为负，单位：件）：，，，，。若初始库存为500件，求周末库存。 解析： 总变化量：， 统一加法：， 结合运算律：(300+180)+[(-250)+(-220)+(-100)]=480-570=-90， 周末库存：件。 例4：有理数减法 计算：（1）(-10)-(-7)；（2）；（3）(+4)-9。 解析： （1）转化为加法：(-10)+(+7)=-(10-7)=-3。 （2）转化为加法：。 （3）转化为加法：(+4)+(-9)=-(9-4)=-5。 例5：加减混合运算 计算：。 解析： 统一加法：， 代数和形式：， 计算：。 例6：简便运算 计算：。 解析： 同分母分数结合：， 计算：(1)+(-1)=0。 巩固练习 基础题（每小题8分，共80分） 1. 计算：(-3)+(-5) 答案：。 解析：同号相加取“”， 2. 计算：(-7)+(+7) 答案：0；。 解析：互为相反数和为0；与0相加仍得原数。 3. 计算：(-12)-(-5) 答案：；14。 解析：转化为加法：；。 4. 计算：(-3)+(+8)+(-5) 答案：0。 解析：结合：[(-3)+(-5)]+8=-8+8=0。 5. 某潜水员先下潜15,m（记为），再上升8,m，位置为______m。 答案：。 解析：。 6. 计算：______。 答案：。 解析：。 7. 计算：++=______。 答案：。 解析：[+]+3.6=-4+3.6=-0.4。 8. 计算：______。 答案：。 解析：。 9. 计算：______。 答案：。 解析：。 10. 若，，则，。 答案：2；8。 解析：；。 提高题（每小题10分，共50分） 11. 计算：。 答案：50。 解析：两两结合：（共50个1），结果为50。 12. 某车从A地出发，向东行驶记为正，行程记录（单位：km）：，，，，。求终点与A地距离。 答案：5km（向西）。 解析：总行程：，即向西5km。 13. 计算：。 答案：。 解析：同分母结合：（注：原计算有误，修正后应为）。 14. 若，，且x<y，求的值。 答案：2或8。 解析：，，x<y，则，或2。 15. 计算：。 答案：2024。 解析：每4个数一组：（共506组），。 学科网（北京）股份有限公司 $