1.2数轴、相反数和绝对值 讲义2025-2026学年沪科版数学七年级上册

1.2 数轴、相反数和绝对值 学习目标 1. 理解数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能正确画出数轴。 2. 掌握用数轴上的点表示有理数的方法，理解有理数与数轴上点的对应关系。 3. 理解相反数的概念，能求出一个数的相反数，掌握相反数的几何意义。 4. 理解绝对值的几何意义，即数轴上表示数的点到原点的距离。 5. 掌握求一个数的绝对值的方法，并能利用绝对值的性质解决简单问题。 6. 学会根据数轴上点的位置关系确定原点的位置。 7. 理解并运用绝对值的非负性。 8. 能够正确化简含有多重符号的数。 9. 初步掌握相反数在实际问题中的简单应用。 知识点讲解 1. 数轴的三要素 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 · 原点：数轴上的基准点，通常用0表示，它是正负数的分界点。 · 正方向：通常规定数轴向右（或向上）为正方向，用箭头表示。 · 单位长度：数轴上量取距离的标准，根据需要选取适当的长度作为一个单位长度。 这三个要素缺一不可，共同确定了一条数轴。 2. 用数轴上的点表示有理数 每一个有理数都可以用数轴上的一个唯一的点来表示。 · 表示正数的点在原点的右边。 · 表示负数的点在原点的左边。 · 原点表示数0。 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 3. 相反数的定义 代数定义：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。也就是说，如果两个数相加得0，那么这两个数互为相反数。 例如，5和-5互为相反数，和互为相反数。 · 数a的相反数记作 -a。 · 0的相反数是0本身。 · 互为相反数的两个数之和为0，即若a与b互为相反数，则a + b = 0。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点（0除外）分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 4. 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。 数a的绝对值记作 |a|。 例如，数轴上表示-3的点与原点的距离是3，所以-3的绝对值是3，记作 |-3| = 3；表示5的点与原点的距离是5，所以5的绝对值是5，记作 |5| = 5；表示0的点与原点的距离是0，所以0的绝对值是0，记作 |0| = 0。 5. 求一个数的绝对值 根据绝对值的几何意义，可以得到求一个数的绝对值的法则： 1. 一个正数的绝对值是它本身； 2. 一个负数的绝对值是它的相反数； 3. 0的绝对值是0。 用数学式子表示为： 当 a > 0 时，|a| = a； 当 a = 0 时，|a| = 0； 当 a < 0 时，|a| = -a。 6. 数轴上找原点 在已知一些点所表示的数或它们之间的距离关系的数轴片段中，可以通过分析这些已知条件来确定原点的位置。关键在于利用数轴上点的位置关系（左右）和距离（单位长度的个数）来建立等式或方程。 7. 绝对值非负性 由绝对值的定义可知，任何一个数的绝对值都是非负数，即对于任意有理数a，都有 |a| ≥ 0。 绝对值的非负性是绝对值的一个重要性质，在解决许多数学问题时都会用到。例如，若几个非负数的和为0，则每个非负数都必须为0。 8. 化简多重符号 一个数前面有多重符号时，可以根据相反数的意义化简。 · “+”号可以省略不写。 · 一个数前面有偶数个“-”号时，结果为正。 · 一个数前面有奇数个“-”号时，结果为负。 可简记为“奇负偶正”（只考虑“-”号的个数）。 例如：-(-5) 表示 -5 的相反数，所以 -(-5) = 5；-(+3) 表示 +3 的相反数，所以 -(+3) = -3；-[-(-2)] 中“-”号有3个（奇数），所以结果为负，即 -[-(-2)] = -2。 9. 相反数的应用 相反数的应用主要体现在以下几个方面： · 利用相反数的定义求一个数的相反数。 · 利用互为相反数的两个数的和为0的性质进行计算或解方程。 · 在数轴上表示互为相反数的点。 · 在实际问题中，表示具有相反意义的量。 例题解析 例题1：判断下列关于数轴的说法是否正确，并说明理由。 (1) 数轴是一条直线。 (2) 数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的数是正数，原点表示0。 (3) 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 (4) 数轴上离原点越远的点表示的数越大。 例题2：写出下列各数的相反数： .8 例题3：求下列各数的绝对值： (1) |+6| (2) |-3. 例题4：已知数轴上有A、B两点，A点表示的数是3，B点与A点的距离是5个单位长度，且B点在A点的左侧，试确定数轴的原点位置。 例题5：若 |x| + |y| = 0，求x和y的值。 例题6：化简下列各数的符号： (1) -(-8) (2) +(-6) (3) -[-(+2)] (4) -(-(-3)) 巩固练习 一、选择题 1. 下列关于数轴的说法中，正确的是（ ） A. 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线 B. 数轴上原点左边的数表示负数，右边的数表示正数 C. 数轴上的点只能表示整数 D. 数轴上离原点越远的点表示的数越大 2. -(-4)的相反数是（ ） A. 4 B. -4 C.. 3. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 2 4. 若 |a| = a，则 a 是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 5. 数轴上点 A 表示的数是 -2，点 B 与点 A 关于原点对称，则点 B 表示的数是（ ） A. 2 B. -2 C.. 二、填空题 6. 数轴的三要素是：原点、( ) 和（ ）。 7. 3 的相反数是_________，的相反数是_________，0的相反数是_________。 8. |-7| = _________，|0| = _________，|3.14| = _________。 9. 若 |x - 1| = 0，则 x = _________。 三、解答题 10写出下列各数的绝对值，并比较它们的大小：-5，3，-2.5，0，4.1。 11已知 a 是 -(-5) 的相反数，b 是 -1 的绝对值，求 a + b 的值。 12若 |a| = 4，|b| = 3，且 a > 0，b < 0，求 a、b 的值。 13化简下列各式： (1) -[-(+8)] (2) +[-(-(-9))] 14已知数轴上点 M 表示的数是 -2，点 N 与点 M 的距离是 3 个单位长度，求点 N 表示的数，并指出点 N 与原点的距离。 15若 |a| + |b - 2| = 0，求 a 和 b 的值。 16一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位长度后得到它的相反数的对应点，求这个数。 17已知 |x| = 3，|y| = 5，且 x < y，求 x + y 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 数轴、相反数和绝对值 学习目标 1. 理解数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能正确画出数轴。 2. 掌握用数轴上的点表示有理数的方法，理解有理数与数轴上点的对应关系。 3. 理解相反数的概念，能求出一个数的相反数，掌握相反数的几何意义。 4. 理解绝对值的几何意义，即数轴上表示数的点到原点的距离。 5. 掌握求一个数的绝对值的方法，并能利用绝对值的性质解决简单问题。 6. 学会根据数轴上点的位置关系确定原点的位置。 7. 理解并运用绝对值的非负性。 8. 能够正确化简含有多重符号的数。 9. 初步掌握相反数在实际问题中的简单应用。 知识点讲解 1. 数轴的三要素 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 · 原点：数轴上的基准点，通常用0表示，它是正负数的分界点。 · 正方向：通常规定数轴向右（或向上）为正方向，用箭头表示。 · 单位长度：数轴上量取距离的标准，根据需要选取适当的长度作为一个单位长度。 这三个要素缺一不可，共同确定了一条数轴。 2. 用数轴上的点表示有理数 每一个有理数都可以用数轴上的一个唯一的点来表示。 · 表示正数的点在原点的右边。 · 表示负数的点在原点的左边。 · 原点表示数0。 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 3. 相反数的定义 代数定义：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。也就是说，如果两个数相加得0，那么这两个数互为相反数。 例如，5和-5互为相反数，和互为相反数。 · 数a的相反数记作 -a。 · 0的相反数是0本身。 · 互为相反数的两个数之和为0，即若a与b互为相反数，则a + b = 0。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点（0除外）分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 4. 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。 数a的绝对值记作 |a|。 例如，数轴上表示-3的点与原点的距离是3，所以-3的绝对值是3，记作 |-3| = 3；表示5的点与原点的距离是5，所以5的绝对值是5，记作 |5| = 5；表示0的点与原点的距离是0，所以0的绝对值是0，记作 |0| = 0。 5. 求一个数的绝对值 根据绝对值的几何意义，可以得到求一个数的绝对值的法则： 1. 一个正数的绝对值是它本身； 2. 一个负数的绝对值是它的相反数； 3. 0的绝对值是0。 用数学式子表示为： 当 a > 0 时，|a| = a； 当 a = 0 时，|a| = 0； 当 a < 0 时，|a| = -a。 6. 数轴上找原点 在已知一些点所表示的数或它们之间的距离关系的数轴片段中，可以通过分析这些已知条件来确定原点的位置。关键在于利用数轴上点的位置关系（左右）和距离（单位长度的个数）来建立等式或方程。 7. 绝对值非负性 由绝对值的定义可知，任何一个数的绝对值都是非负数，即对于任意有理数a，都有 |a| ≥ 0。 绝对值的非负性是绝对值的一个重要性质，在解决许多数学问题时都会用到。例如，若几个非负数的和为0，则每个非负数都必须为0。 8. 化简多重符号 一个数前面有多重符号时，可以根据相反数的意义化简。 · “+”号可以省略不写。 · 一个数前面有偶数个“-”号时，结果为正。 · 一个数前面有奇数个“-”号时，结果为负。 可简记为“奇负偶正”（只考虑“-”号的个数）。 例如：-(-5) 表示 -5 的相反数，所以 -(-5) = 5；-(+3) 表示 +3 的相反数，所以 -(+3) = -3；-[-(-2)] 中“-”号有3个（奇数），所以结果为负，即 -[-(-2)] = -2。 9. 相反数的应用 相反数的应用主要体现在以下几个方面： · 利用相反数的定义求一个数的相反数。 · 利用互为相反数的两个数的和为0的性质进行计算或解方程。 · 在数轴上表示互为相反数的点。 · 在实际问题中，表示具有相反意义的量。 例题解析 例题1：判断下列关于数轴的说法是否正确，并说明理由。 (1) 数轴是一条直线。 (2) 数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的数是正数，原点表示0。 (3) 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 (4) 数轴上离原点越远的点表示的数越大。 解析： (1) 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，所以仅说数轴是一条直线不完整。故(1)错误。 (2) 数轴的三要素包括正方向，通常规定向右为正方向，因此原点左边是负数，右边是正数，原点是0。故(2)正确。 (3) 数轴上的点与实数一一对应，有理数是实数的一部分，所以任何有理数都能用数轴上的点表示。故(3)正确。 (4) 数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。离原点远的点，如果在原点左边（负数），则数值反而小。故(4)错误。 答案：(1)错误；(2)正确；(3)正确；(4)错误。 例题2：写出下列各数的相反数： .8 解析： 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数。 (1) 5 的相反数是 -5。 (2) -7 的相反数是 7。 (3) 0 的相反数是 0。 的相反数是。 (5) -3.8 的相反数是 3.8。 答案：(1) -5；(2) 7；(3) 0；；(5) 3.8。 例题3：求下列各数的绝对值： (1) |+6| (2) |-3. 解析： 根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 (1) +6 是正数，所以 |+6| = 6。 (2) -3.5 是负数，所以 |-3.5| = 3.5。 (3) |0| = 0。 是负数，所以。 (5) 先化简 -(+2) = -2，-2 是负数，所以 |-(+2)| = |-2| = 2。 答案：(1) 6；(2) 3.5；(3) 0；；(5) 2。 例题4：已知数轴上有A、B两点，A点表示的数是3，B点与A点的距离是5个单位长度，且B点在A点的左侧，试确定数轴的原点位置。 解析： 因为B点在A点的左侧，A点表示的数是3，B点与A点的距离是5个单位长度，所以B点表示的数是 3 - 5 = -2。此时我们知道了A点3和B点-2在数轴上的位置。要确定原点，只需要找到表示0的点。从B点-2向右移动2个单位长度，或者从A点3向左移动3个单位长度，即为原点。 答案：原点在B点右侧2个单位长度处（或在A点左侧3个单位长度处）。 例题5：若 |x| + |y| = 0，求x和y的值。 解析： 因为绝对值具有非负性，即 |x| ≥ 0，|y| ≥ 0。 两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须都为0。 所以 |x| = 0 且 |y| = 0。 因此 x = 0，y = 0。 答案：x = 0，y = 0。 例题6：化简下列各数的符号： (1) -(-8) (2) +(-6) (3) -[-(+2)] (4) -(-(-3)) 解析： 根据多重符号化简法则“奇负偶正”（只看“-”号的个数）。 (1) -(-8)：“-”号个数为2（偶数），结果为正，所以 -(-8) = 8。 (2) +(-6)：“+”号可省略，“-”号个数为1（奇数），结果为负，所以 +(-6) = -6。 (3) -[-(+2)]：先看内层 -(+2) = -2，再看外层 -(-2)，“-”号个数为2（偶数），结果为正，所以 -[-(+2)] = 2。也可直接数总“-”号个数：2个（偶数），结果为正，2的本身是2。 (4) -(-(-3))：“-”号个数为3（奇数），结果为负，所以 -(-(-3)) = -3。 答案：(1) 8；(2) -6；(3) 2；(4) -3。 巩固练习 一、选择题 1. 下列关于数轴的说法中，正确的是（ ） A. 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线 B. 数轴上原点左边的数表示负数，右边的数表示正数 C. 数轴上的点只能表示整数 D. 数轴上离原点越远的点表示的数越大 答案与解析：B 解析：数轴是直线，不是射线，A错误；数轴上的点可以表示任何有理数，不仅仅是整数，C错误；数轴上原点右边离原点越远的数越大，原点左边离原点越远的数越小，D错误。B选项正确。 2. -(-4)的相反数是（ ） A. 4 B. -4 C.. 答案与解析：B 解析：先化简 -(-4) = 4，4 的相反数是 -4。所以 -(-4) 的相反数是 -4。 3. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 2 答案与解析：A 解析：|-3| = 3，|0| = 0，|1| = 1，|2| = 2。3 最大，所以绝对值最大的是 -3。 4. 若 |a| = a，则 a 是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 答案与解析：D 解析：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0（也是它本身），所以当 |a| = a 时，a 是非负数（正数或0）。 5. 数轴上点 A 表示的数是 -2，点 B 与点 A 关于原点对称，则点 B 表示的数是（ ） A. 2 B. -2 C.. 答案与解析：A 解析：关于原点对称的两个点所表示的数互为相反数。点 A 表示 -2，所以它的相反数是 2，即点 B 表示 2。 二、填空题 6. 数轴的三要素是：原点、( ) 和（ ）。 答案与解析：正方向，单位长度 解析：数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 7. 3 的相反数是_________，的相反数是_________，0的相反数是_________。 答案与解析：-3，，0 解析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 8. |-7| = _________，|0| = _________，|3.14| = _________。 答案与解析：7，0，3.14 解析：负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，正数的绝对值是它本身。 9. 若 |x - 1| = 0，则 x = _________。 答案与解析：1 解析：绝对值为0的数只有0，所以 x - 1 = 0，解得 x = 1。 三、解答题 11. 写出下列各数的绝对值，并比较它们的大小：-5，3，-2.5，0，4.1。 答案与解析： |-5| = 5 |3| = 3 |-2.5| = 2.5 |0| = 0 |4.1| = 4.1 比较大小：5 > 4.1 > 3 > 2.5 > 0，即 |-5| > |4.1| > |3| > |-2.5| > |0|。 12. 已知 a 是 -(-5) 的相反数，b 是 -1 的绝对值，求 a + b 的值。 答案与解析： 首先，-(-5) = 5，a 是 -(-5) 的相反数，所以 a 是 5 的相反数，即 a = -5。 其次，b 是 -1 的绝对值，所以 b = |-1| = 1。 则 a + b = (-5) + 1 = -4。 13. 若 |a| = 4，|b| = 3，且 a > 0，b < 0，求 a、b 的值。 答案与解析： 因为 |a| = 4，所以 a = 4 或 a = -4。 又因为 a > 0，所以 a = 4。 因为 |b| = 3，所以 b = 3 或 b = -3。 又因为 b < 0，所以 b = -3。 综上，a = 4，b = -3。 14. 化简下列各式： (1) -[-(+8)] (2) +[-(-(-9))] 答案与解析： (1) -[-(+8)] 先看内层括号：+(+8) = 8 则原式变为 -(-8) -(-8) = 8 所以 -[-(+8)] = 8 (2) +[-(-(-9))] “+”号可以省略，先看内层 -(-(-9)) -(-(-9)) 中“-”号个数为3（奇数），结果为 -9 所以原式 = -9 即 +[-(-(-9))] = -9 15. 已知数轴上点 M 表示的数是 -2，点 N 与点 M 的距离是 3 个单位长度，求点 N 表示的数，并指出点 N 与原点的距离。 答案与解析： 点 M 表示的数是 -2。 点 N 与点 M 的距离是 3 个单位长度，有两种情况： 情况一：点 N 在点 M 的右侧，则点 N 表示的数是 -2 + 3 = 1。此时点 N 与原点的距离是 |1| = 1。 情况二：点 N 在点 M 的左侧，则点 N 表示的数是 -2 - 3 = -5。此时点 N 与原点的距离是 |-5| = 5。 所以，点 N 表示的数是 1 或 -5；当点 N 是 1 时，与原点距离是 1；当点 N 是 -5 时，与原点距离是 5。 16. 若 |a| + |b - 2| = 0，求 a 和 b 的值。 答案与解析： 因为 |a| ≥ 0，|b - 2| ≥ 0，且 |a| + |b - 2| = 0。 所以根据非负数的性质，|a| = 0 且 |b - 2| = 0。 由 |a| = 0 得 a = 0。 由 |b - 2| = 0 得 b - 2 = 0，解得 b = 2。 所以 a = 0，b = 2。 17. 一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位长度后得到它的相反数的对应点，求这个数。 答案与解析： 设这个数为 x。 它的相反数是 -x。 根据题意，这个数对应的点向右移动5个单位长度后得到它的相反数对应的点，可列方程： x + 5 = -x 移项，得 x + x = -5 合并同类项，得 2x = -5 系数化为1，得 所以这个数是。 18. 已知 |x| = 3，|y| = 5，且 x < y，求 x + y 的值。 答案与解析： 因为 |x| = 3，所以 x = 3 或 x = -3。 因为 |y| = 5，所以 y = 5 或 y = -5。 又因为 x < y，所以需要分情况讨论： 当 x = 3 时，y 必须满足 y > 3，所以 y = 5。此时 x + y = 3 + 5 = 8。 当 x = -3 时，y 必须满足 y > -3，所以 y = 5（y = -5 不满足 -5 > -3）。此时 x + y = -3 + 5 = 2。 综上，x + y 的值为 8 或 2。 学科网（北京）股份有限公司 $