练习9 面积问题&练习10 利润问题与增长率问题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

程为3x2+2x-1=0,解得1=-1，x2=3 1 3.(1)-4ac为完全平方数(2)由题意，得(-5)2-4×2× k=25-8跳>0，∴k<空：k是正整数，∴k=1或2或3当 k=1时，25-8k=17,17不是完全平方数，不符合题意；当k= 2时，25一8k=9,9为完全平方数，符合题意；当k=3时，25 8k=1,1为完全平方数，符合题意.综上所述，满足条件的正整 数k的值为2或3. 练习6根的判别式与几何综合 1.(1)①5解析：在菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD 的两条对角线的长和边长，AO⊥D0.当m=2,n=4时，则AO= 2,DO=1.在Rt△AOD中，由勾股定理得AD=√AO+DO V2+-5,即1=5.②4m+4解析：由题意知， A0-合AC=合m,D0-号BD-合，则AD=VA0+D0 √(n)+(合J-√m+,d=AD=+ 子0.(2)证明：p=}m+子r,(29-4m…号n 4t-2mm=m2+n2-2mn=(m-n)2≥0，∴.关于x的“菱系一 元二次方程"mr+2x+2n=0必有实数根。 2.a2号 (2)设所求矩形的两边长分别是x、y,由题意， 3 得x+y=之'消去，化简得2x-3z十2=0.：(-3)2- (xy=1, 4×2×2=9一16=一7<0，.不存在满足要求的矩形B. 2十y=mtn 2 (3)设所求矩形的两边长分别是x、y,由题意，得 zy 消去y,化简得2x2一(m十n)x十mm=0.由题意，得原方程有 解，∴.[-(m+n)]2-8mm=(m+n)2-8mm≥0，即当(m+ n)2-8mn≥0时，矩形B存在. 练习7构造一元二次方程 1.令√21=x,则21=x2,原等式可变形为关于x的一元二次 方程(a-b)x2+(b-c)x十(c-a)=0(a≠b).当x=1时，(a- b)×12+(b-c)×1十(c-a)=0,∴.x=1是一元二次方程 (a-b)x2十(b-c)x十(c-a)=0(a≠b)的一个根，∴.一元二次 方程(a一b)x2十(b一c)x十(c一a)=0(a≠b)的两个根分别为 1和√2I,由一元二次方程根与系数的关系，得1十√2I= 8言1xv瓜-。88音后名-1+)×m- 21+V2I,.6cc20=-21-√/2I (a-b)2 2.(1),m、n满足3m2-3m-1=0,3m2-3n-1=0,m≠n, m、n可以看作3x2一3x一1=0的两个不相等的实数根， ∴m十n=l,m=-号，m十mr=m(m十)=-号× 1 1=-子.(2)由题意知，p与24为方程x2-7x十2=0的两 个不相等的实数根，∴.力+2g=7,2g=2,∴.p2+4g=(p十 2q)2-4pq=72-2×2=45.(3)由3m2-7m-2=0,2n2+ 7n-3=0且m≠1，可知m≠0，n≠0，.2m2+7n-3=0可变 形为3()-7（元）-2=0.又m≠1，m≠元，根据 3m-7m-2=0和3（分）-7（分）-2=0的特征，可以将 42》 m,元看作方程3-7x一2=0的两个不相等的实数根，根据 -元二次方程根与系数的关系，得加十日=子，只=一号， -子1中+是=号+（号） 3· n 3 3,m十m十1=5 (④a+6=6-5ab写可以 将a,6看作是方程x-(c-5)z十吕。=0的两个实数根， [-(-5-4X1×≥0.又c<5,(5-c)≥64， .5-c≥4，解得c≤1，∴.c的最大值为1. 练习8求代数式的值 1.4048解析：将x2=2x十2024整理，得x2一2x-2024=0. :、2是方程x2一2x一2024=0的两个实数根，0十 x2=2,x7-2x1=2024,∴.x-2x1+2024x2=x1(x1 2x1)+2024x2=2024x1+2024x2=2024(x1+x2)= 2024×2=4048. 2.(1)证明：将(x-1)(x一2)-p2=0整理，得x2-3x十2- p2=0..(-3)2-4×1×(2-2)=9-8+4p2=1+4p2>0, 无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根.(2)当 p=1时，原方程可化为x2一3x十1=0，由题意，得x1十x2=3, x7-3x1+1=0,.x1-2x1+x2=(x7-301+1)+(x1+x2) 1=0+3-1=2. ,(2):一元二次方程2x2+3x-1=0的两 根分别为m,m十n=一受，m=一号，m十f=(m十 mw-2m=(-2)-2x(-2）=号+1= .(3)实 数s、t满足22十3s-1=0,2e十3t-1=0,且s≠t,.5、t是 元二次方程22+3x-1=0的两个实数根，∴s十t=一号，2 -2.-s)2=+02-4w=(-2）/-4×(-2)=7, ts=厘，1-1=5- 土①7 2· s t st 2=±√17. 1 2 练习9面积问题 1.(1)设与墙垂直的边长为xm,则与墙平行的边长为(26十 2-2x)m根据题意，得x(26+2-2x)=80,整理，得x2 14x十40=0，解得=4，x2=10,当x=4时，26+2-2x= 26十2-2×4=20>12，不符合题意，舍去；当x=10时，26+ 2一2x=26十2-一2×10=8<12，符合题意.答：这个矩形车棚 相邻两边的长度分别为10m、8m.(2)设小路的宽度为 ym,则剩余部分可合成长为(10-y)m、宽为(8-2y)m的矩 形.根据题意，得(10-y)(8-2y)=54,整理，得y2一14y+ 13=0,解得yM=1,y2=13(不符合题意，舍去).答：小路的宽 度为1m. 2.(1)设小道进出口的宽度为xm根据题意，得(30一2x)(20一 x)=532.整理，得x2-35x+34=0,解得=1，x2=34(不符 合题意，舍去).答：小道进出口的宽度为1m(2)①剩余的 种植花草区域的面积为(30-2×2)×(20-2)-4×7× 2(30-a)×号(20-a)=（-2a2+25a+168)(m2).②根 据题意，得(-2a2+25a+168）×100=4200,解得a=14或 a=36(不符合题意，舍去)，即a的值为14. 练习10利润问题与增长率问题 1.(I)设每本学生纪念品的进价为x元，每本教师纪念品的进 价为(x十8)元.根据题意，得50x+10(x十8)=440，解得x=6, .x十8=14.答：学生纪念品的进价为每本6元，教师纪念品 的进价为每本14元.(2)设第二周售价降低y元，则这周的 销量为(400+100y)本.由题意，得400×(10一6)+(10-y 6)(400+100y)+(4-6)[1200-400-(400+100y)]= 2500,整理，得y2-2y十1=0，解得=2=1，则10-1= 9(元).答：第二周每本学生纪念品的售价为9元 2.(1)设3月份再生纸的产量为xt,则4月份再生纸的产量 为(2x-100)t.由题意，得x十2x-100=800,解得x=300, ,∴.2.x一100=500.答：4月份再生纸的产量为500t(2)由题 意，得1000(1+%%)×500(1十m%)=660000,整理，得 m+300m一6400=0，解得m1=20,2=一320（不符合题意， 舍去)，即m的值为20.(3)设4至6月份每吨再生纸利润 的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为at由题意，得 1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1200(1+y)·a,整 理，得1200(1+y)2=1500.答：6月份每吨再生纸的利润是 1500元. 练习11动点问题 1.6解析：在Rt△ABC中，./BAC=90°，AB=AC= 16cm,AD为边BC上的高，.AD=BD=CD=8√2cm由题 意，得AP=:m,∴S=号AP·BD=专X2iX8E- 8t(cm),PD=AD一AP=(8√2一√2t)cm.由矩形的性质，得 PE∥BC,.∠AEP=∠C=45,∴.PE=AP=√2tcm,.S2= PD·PE-(8√2-√2t)·√2t(cm).S1=2S2,∴.8t=2X (8√2-√2t)·√2t,解得t=0或t=6.又：0<t8,t=6. 2.(1):四边形ABCD是矩形，.AB∥CD,AB=CD.点 P、Q均以3cm/s的速度运动，'.AP=CQ,∴.AB-AP=CD CQ,即BP=DQ,∴.四边形BPDQ是平行四边形，.当BP= DP时，四边形BPDQ是菱形.设经过xs,四边形BPDQ是菱 形，则有AP=3xcm,DP=BP=(16-3x)cm在Rt△DAP中， 由勾股定理得DP=AP2+AD,∴.(16-3x)2=(3x)2+62,解 得z=器即经过贸s时，四边形BPDQ是菱形， (2)点P不与点A重合，∠PDQ≠90°，∴△DPQ为直角三 角形分两种情况.①当∠DPQ=90°时，如图，过点Q作QM1 AB于点M,易得四边形BCQM为矩形.，'AP=3xcm,BM= CQ=2xcm,,∴.PM=(16-5x)cm,DQ=(16-2.x)cm,.∴.在 Rt△DPQ中，由勾股定理，得(16-5x)2+62+(3x)2+62 (16-2x),解得=号，=2：②当∠D0P=90时，AP+ 0Q=16,∴3十2x=16,解得x=9综上所述，经过号s2s 或9s时，△DPQ为直角三角形. A D D M B D 0 (第2题) (第3题) 3.(1)如图，过点Q作QE⊥AB于点E,过点A作AF⊥CD于 点F.易得四边形AFCB为矩形，.CF=AB=6cm.又，CD= 10cm,∴.DF=CD-CF=10-6=4(cm).在Rt△DFA中，由 勾股定理得AF=√AD-DF=√5-4区=3(cm).又易证 四边形AFQE为矩形，∴.QE=AF=3cm.由题意可知，AP= 2tcm,EB=CQ=tcm,∴.PE=(6-3t)cm.在Rt△PEQ中，由 勾股定理得PE+QE=PQ,即(6一3t)2+32=52,解得t= 号或t-19.:6÷2=3(8,10÷1=10(s),0<≤3，t月 号，即经过号s,动点P.Q之间的距离为5cm(2②)不存在 理由如下：假设存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ,则 ∠APD=∠DPQ:AB∥CD,.∠APD=∠PDQ, ∴∠PDQ=∠DPQ,∴.DQ=PQ.,PQ=32+(6-3t)2, DQ=(10-t)2,.32+(6-3t)2=(10-t)2,解得4=1+ 3厘，=1-3.：0<≤3，两解均不符合题意，不 4 4 存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ. 练习12根据点和圆上点之间的距离的关系求最值 1.如图，在x轴上取一点E(6,0),连接PE,连接EA并延长 交⊙A于点P'.B(3,0),A(3,4),OB=BE=3,EA= √32+4=5.又，M为OP的中点，即OM=PM,∴.BM= 2PE.“P为⊙A上的一个动点，∴当点P在EA的延长线 上时，PE可以取得最大值，最大值为EP=EA十AP=5十 2=7,∴BM的最大值为2 7 0 B E 2.如图，连接OP,OM,延长OM与⊙M交于点P'.设点P的 坐标为(x,y),则PA2=(x十1)2十yY,PB=(x-1)2十y, ∴.PA2+PB2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)+2.OP2=x2+ y2,∴.PA2+PB2=2OP2+2.当点P位于线段OM的延长线 与⊙M的交点P'处时，OP取得最大值，∴OP的最大值为 OP'=OM什MP=√32+4平+2=7，.PA2+PB的最大值 为2×72+2=100. (第2题) (第3题) 3.如图，连接OE、OC,取OC的中点M,连接MF、DM,设⊙O 的半径为m“F为CE的中点，∴MF=2OE=号：E是 ⊙O上的一个动点（不与点C重合），C为定点，.点F的运动 轨迹是以点M为圆心、MF的长为半径的圆，则由三角形三边 关系，可知在△DMF中，DF<DM什MF,.当D,MF三点共 线时，DF有最大值4，此时DF=DM什M,DM=4-r ,CD⊥AB,.∠CDO=90°.M为OC的中点，∴.DM= 《43九年级上册 练习9面积问题 【方法提示】根据面积关系列方程，对于不规则问题，还需要将分散的图形化零为整，整体考虑， 同时还要注意解的取舍 1.某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为80的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可 用长度为12m),已知现有可用于新建板墙的木板材料总长为26m (1)根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个2m宽的门（如图1），求这个矩形车棚相邻 两边的长度 (2)在(1)的条件下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图 2),使得停放自行车的面积为54m2,求小路的宽度， 墙 墙 以门 4门 图1 图2 2.某科研单位准备将院内一块长30m、宽20m的矩形ABCD空地建成一个矩形花园，要求 在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均 为平行四边形)，剩余的地方种植花草. (1)如图1，要使种植花草的面积为532m,求小道进出口的宽度. (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，△AEQ、△BGF、△CMH、 △DPN均为全等的直角三角形，其中AE=BF=CM=DN,设EF=HG=MN= PQ=am,竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m,且竖向道路出口位于 MN和EF之间，横向弯折道路出口位于PQ和HG之间. ①求剩余的种植花草区域的面积；（用含有a的代数式表示） ②如果种植花草区域的建造成本是100元/m,建造花草区域的总成本为42000元，求 a的值 0 图1 图2 《9 提分练习 练习10利润问题与增长率问题 【方法提示】解答这类问题的关键是在正确理解题意的基础上，找出等量关系列方程！ 1.毕业季在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生 纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的进价比学生纪念品的进价每本多8元 (1)学生纪念品和教师纪念品的进价分别是每本多少元？ (2)如果商店购进1200本学生纪念品，第一周以每本10元的价格售出400本，第二周若按 每本10元的价格仍可售出400本，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场 调查，单价每降低1元，可多售出100本，但售价不得低于进价)，单价降低销售一周后， 商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每本4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利 2500元，那么第二周每本学生纪念品的售价为多少元？ 2.为节约木材，实现企业绿色低碳发展，某造纸厂积极开展技术改造升级，使再生纸项目的生 产规模不断扩大.该厂3、4月份共生产再生纸800t,其中4月份再生纸产量比3月份的 2倍少100t. (1)求4月份再生纸的产量 (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%,5月份每吨 再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求m的值. (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与 6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 25%.求6月份每吨再生纸的利润. 10》