专题01 空间向量与立体几何小题12考点（期中真题汇编，贵州专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题01空间向量与立体几何小题考点 12大高频考点概览 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 考点02 外接球问题 考点03 空间中点线面的位置关系 考点04 线面角、二面角问题 考点05 空间直角坐标系中的点的对称问题 考点06 空间中向量共线求参数 考点07 空间中向量垂直求参数 考点08 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 考点09 空间向量的线性表示 考点10 空间中的投影向量 考点11 点面距、点线距、线线距小题 考点12 动点最值问题 地 城 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 1．(24-25高二上·贵州六盘水水城区·期中)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，高为3，且该圆台的体积为，则该圆台的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为，根据圆台体积为，列出等式求出，再根据勾股定理求出母线长即可. 【详解】如图所示， 设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为， 则，解得， 过点作垂直于点， 则母线长， 故选：C. 2．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)若圆锥的表面积为，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥表面积公式可得母线长，即可得圆锥的高，然后可得圆锥体积. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，高为h. 由题，，则. 则圆锥体积为. 故选：C 3．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)正四棱台的上､下底面边长分别为，侧棱长为，则棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求棱台的斜高，然后利用侧面积公式进行求解. 【详解】由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上､下底面边长分别为，腰长为，所以斜高为. 所以侧面积为(). 故选：B. 4．(24-25高二上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)已知点关于轴的对称点为A，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于轴的对称点为， 所以 . 故选：C 5．(24-25高二上·贵州六盘水·期中)在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量加法法则得到 ，再应用向量数量积的运算律求模. 【详解】由题设，易知是边长为的正三角形，    所以 . 故选：A 6．(24-25高二上·贵州黔东南州榕江实验高级中学·期中)已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为 ． 【答案】18π 【分析】由圆柱的侧面积公式与圆面积公式求得底面半径和高，再由体积公式计算． 【详解】设圆柱底面半径为，高为， 由题意，解得， 所以体积为． 故答案为：． 7．(24-25高二上·贵州毕节金沙县第五中学·期中)已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，根据题意计算出的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可得出所求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，得， 圆锥的高为，因此圆锥的体积为， 故答案为. 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题. 8．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族顶效开发区顶兴学校·期中)在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】利用空间距离公式及二次函数知识求解. 【详解】已知， 当时，等号成立.所以的最小值是2. 故答案为：2. 地 城 考点02 外接球问题 1．(24-25高二上·贵州六盘水·期中)已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，即可求解. 【详解】因为正方体的内切球半径为，所以正方体的棱长为． 设外接球的半径为R，则，所以，故外接球的体积为． 故选：B. 2．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)三棱锥，平面，，且，则三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由线面垂直的性质判断线线垂直，得出为直角三角形，为直角三角形，判断出球心的位置；再根据勾股定理算出球半径；最后根据球的表面积公式计算即可. 【详解】 取中点，连接，. ， . 平面，平面，平面， ， . 又 ， 平面. 又 平面， . 为直角三角形，为直角三角形. 则. 所以三棱锥的外接球的球心为，半径为. ，且， ，. . 所以三棱锥的外接球表面积是. 故选：A 3．(24-25高二上·贵州黔东南州榕江实验高级中学·期中)一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果． 【详解】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线， ∴球的半径是r， ∴球的表面积是4 故选：A 4．(23-24高二上·贵州遵义仁怀仁怀六中·期中)在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心点在上，再利用勾股定理求解即可. 【详解】   取的中点为，连接，因为，， 所以，, 所以． 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，则球心在直线上， 连接，设球的半径为，则， 即有，得, 故选：B 5．(24-25高二上·贵州遵义凤冈县·期中)（多选）已知球的半径为，则（   ） A．球的内接正方体的内切球表面积为 B．球的内接正方体的内切球体积为 C．球的内接正四面体的内切球半径为 D．球的内接正四面体的内切球半径为 【答案】BC 【分析】对于AB选项，先直接分析出球的内接正方体的半径，然后根据球的表面积和体积公式计算并判断；对于CD选项，先根据几何关系计算出球的内接正四面体的棱长，然后通过等体积法求解出内接正四面体的内切球半径. 【详解】对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，球的内接正方体的内切球的半径为， 则球的内接正方体的内切球半径，球的半径， 所以 ，所以表面积，体积，故A不正确，B正确； 对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，球的内接正四面体的内切球半径为，如图， 可知，，， 由可得，解得， 因为球的内接正四面体的体积， 球的内接正四面体的表面积， 又因为， 所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确． 故选：BC. 6．(24-25高二上·贵州县中新学校计划项目·期中)已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ． 【答案】 【分析】求出三棱台上下底面正三角形外接圆的半径，确定球心位置，结合球的截面圆性质求出球半径，再由球的表面积公式可得结果. 【详解】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台，如图， 上底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 下底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 由正三棱台的性质知，其外接球的球心在直线上，令该球半径为， 于是，或，解得， 所以球的表面积是． 故答案为： 7．(23-24高二上·贵州思南民族中学·期中)三棱锥，平面，，，，（单位：cm）则三棱锥外接球的体积等于 ． 【答案】 【分析】补充图形为长方体，三棱锥的外接球，与棱长为1，1，的长方体外接球是同一个外接球，用长方体的对角线长求外接球的半径，可得球的体积． 【详解】三棱锥中，平面，，，， 画出几何图形如图所示；      补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，； ∵对角线长为， ∴三棱锥的外接球的半径为1， ∴该三棱锥外接球的体积为． 故答案为：． 8．(23-24高二上·贵州六盘水·期中)四面体ABCD中，，，，则该四面体的外接梂的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】利用补形法即可得解 【详解】 因为，，， 故此四面体ABCD的外接球等价于如图所示的长方体的外接球， 所以，，， 所以， 外接球的直径， 故外接球的半径为， 所以外接梂的表面积为. 故答案为：. 9．(23-24高二上·贵州贵阳·)已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】由题意，直三棱柱的底面为直角三角形， 可把直三棱柱的补成一个长方体， 则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球， 又由长方体的对角线长等于球的直径，且， 即，即， 所以球的表面积为． 故答案为 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 地 城 考点03 空间中点线面的位置关系 1．(24-25高二上·贵州黔东南州榕江实验高级中学·期中)在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案. 【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交， 则a与b可能平行，也可能是异面直线， 故选：D 2．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)（多选）下列命题中成立的是（    ） A．， B．，且 C．，，且， D．， 【答案】BCD 【分析】利用平面的公理直接判断求解． 【详解】对于A：若，，则或与异面、或与相交，故A错误； 对于B：由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线， 因为，且，则，故B正确； 对于C：由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内， 因为，，且，，则，故C正确； 对于D：由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行， 因为，，则，故D正确. 故选：BCD 3．(23-24高二上·贵州六盘水·期中)（多选）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】CD 【详解】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【分析】对A，根据面面垂直的性质定理可知，缺少这个条件，故A错误； 对B， 若，，，则或相交，故B错误； 对C，若，，则，又，则，故C正确； 对D，若，，则，又，则，故D正确. 故选：CD 4．(24-25高二上·贵州县中新学校计划项目·期中)（多选）下列命题中的真命题是（    ） A．若直线a不在平面内，则a∥ B．若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥ C．若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点 D．平行于同一平面的两直线可以相交 【答案】CD 【分析】根据线面平行的性质可判断AB错误，C正确，在长方体中，存在与相交，且都与平面平行，可得D正确. 【详解】对于A，直线a不在平面内，直线a也可能与平面相交，故A是假命题； 对于B，直线l与平面相交时，l上也有无数个点不在平面内，故B是假命题； 对于C，l∥时，l与没有公共点，所以l与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题； 对于D，在长方体中，与都与平面平行，且与相交，故D是真命题. 故选：CD 5．(24-25高二上·贵州毕节金沙县第五中学·期中)（多选）设m，n为两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【分析】选项A两线垂直同一平面，所以两条线平行；选项B根据线面垂直和面面平行的传递性可判断；选项C两线都平行于一个平面，两条线可以相交或者异面；选项D根据面面垂直定理易得. 【详解】解：对于A，若，则，可得A是真命题； 对于B，因为且，所以， 结合，可得，故B是真命题； 对于C，由且成立，m，n可能平行，异面或者相交，故C不正确； 对于D，由，设，，则， 又，所以，又，由面面垂直的判定定理得到，故D正确. 故选：ABD． 6．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)设表示两个平面，表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②不重合，若，则； ③若，则； ④若，且不共线，则与重合. 其中假命题的序号是 . 【答案】③ 【分析】根据平面的基本性质对给出的四个命题分别进行分析、判断后即可得． 【详解】对于①，根据公理1可知，所以①正确； 对于②，由题意得平面有公共点，根据公理3可知相交， 且，所以②正确； 对于③，由于，可得，所以③不正确； 对于④，由三点不共线可得确定一个平面，所以与重合，所以④正确． 综上可得①②④正确，故假命题的序号是③． 故答案为：③. 7．(24-25高二上·贵州贵阳乌当区某校·期中)下列命题中，不正确的命题是（   ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 【答案】B 【分析】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面， 所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确. B选项，若，可能是非零向量，是零向量， 此时不存在，使，所以B选项错误. C选项，对于，有，所以四点共面， 所以C选项正确. D选项，若是空间的一个基底，， 假设，， 则共面，与已知矛盾，所以不共面， 所以是基底，所以D选项正确. 故选：B 8．(23-24高二上·贵州·期中)已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量共面的基本定理化简可得出的值. 【详解】因为点为所在平面内一点，设，其中、， 即， 所以，， 所以，，所以，. 故选：B. 9．(23-24高二上·贵州思南民族中学·期中)已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只要给的点与点连接得到的向量与的一个法向量为垂直，则这个点就在平面内，否则不在平面内. 【详解】解：设①②③④中的点分别为. 对于A：令点，，则，所以，故A错误； 对于B：令点，则，所以，故B错误； 对于C：令点，则，所以，故C错误； 对于D：令点，则，所以，故D正确. 故选：D 10．(24-25高二上·贵州六盘水·期中)（多选）已知，，，，则（   ） A． B．直线AB的一个方向向量为 C．四点共面 D．点到直线的距离为 【答案】ACD 【分析】用空间点的距离公式求得向量的模长，直线上两点的得到向量即为直线的一个方向向量；向量共线即可判断点共面；直线上一点和直线外的点组成的向量的模长即该向量在直线上的投影与该点到直线的距离满足勾股定理，由此算出点到直线的距离. 【详解】，A正确； ，B错误； 由题意得，则，所以四点共面，C正确； ，， ，则点到直线的距离为，D正确. 故选：ACD. 11．(24-25高二上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)（多选）给出下列命题，其中为假命题的是（    ） A．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则 B．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 C．若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 D．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】AD 【分析】根据直线与平面的位置关系、线面角的定义、向量共面的定理，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：由题意，当时，或，故A错误； 对于B：由图象可得，，则，    所以，根据线面角的定义可得：与所成角为，故B正确； 对于C：因为，所以，故，故C正确； 对于D：只有当空间的三个向量，，不共面时， 对于空间的任意一个向量，才存在实数使得，故D错误. 故选：AD. 12．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合共面向量的充要条件即可求解． 【详解】由共面向量的充要条件可得： 对于A选项， ，所以三个向量共面； 对于B选项，，所以三个向量共面； 对于C选项，假设三个向量共面， 则存在，使得， 则，即三个向量共面， 这与已知构成空间的一个基底矛盾，故假设错误， 即三个向量不共面，故C不正确； 对于D选项，＝，所以三个向量共面； 故选：ABD． 13．(23-24高二上·贵州思南民族中学·期中)（多选）已知空间四点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．点到直线的距离为 D．四点共面 【答案】BD 【分析】根据空间向量的坐标表示公式、夹角公式，结合四点共面的性质、点到线距离公式逐一判断即可. 【详解】A：因为， 所以，因此本选项不正确； B：因为， 所以，因此本选项正确； C：， ， 所以 所以点到直线的距离为，因此本选项不正确； D：因为， 所以有，因此是共线向量， 所以四点共面，因此本选项正确， 故选：BD 14．(24-25高二上·贵州遵义凤冈县·期中)已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则 . 【答案】 【分析】根据共面向量基本定理可设 ，求解即可. 【详解】由题可知，，，因为A，B，C，D四点共面，所以 （m，），， 即，解得，，所以. 故答案为：. 地 城 考点04 线面角、二面角问题 1．(24-25高二上·贵州县中新学校计划项目·期中)在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，易证平面，可得为直线与平面所成角，设正方体的棱长为，进而结合勾股定理及直角三角形中正切函数的定义即可计算求解. 【详解】如图，连接交于点，连接， 在正方体中，，平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 设正方体的棱长为， 则，则， 在中，. 故选：B. 2．(24-25高二上·贵州贵阳华师一集团校·期中)图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】 因为，所以，所以， 如图所示，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以 , 所以异面直线与所成角的余弦值为, 则异面直线AE与所成角的正弦值为. 故选: A. 3．(24-25高二上·贵州黔东南州榕江实验高级中学·期中)如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，分析可知异面直线与所成的角为（或其补角），结合正方体的性质分析求解. 【详解】连接， 因为∥，，可知为平行四边形， 则∥，可知异面直线与所成的角为（或其补角）， 由正方体可知，即为正三角形，可知， 所以异面直线与所成的角等于. 故选：C. 4．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 5．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求得平面的法向量，进而可得二面角余弦值. 【详解】    分别以射线，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，， 所以，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 所以， 由图可知二面角为锐角， 则二面角的余弦值为， 故选：A. 6．(24-25高二上·贵州贵阳六校联盟·)如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得 ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 7．(23-24高二上·贵州威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)若两异面直线与的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设异面直线与所成的角为，根据，即可求解. 【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，， 可得，，， 设异面直线与所成的角为，则， 又因为，所以， 即直线与的夹角为. 故选：A. 8．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，写出，的坐标，由夹角公式可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 故选：A. 9．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．直线与是平行直线 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可判断A、B、C，作出平面截正方体所得的截面即可求出面积判断D. 【详解】对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，． ∵分别为棱的中点，∴、， 则，，∴和不共线，故A错误； 对于B，∵，，∴， ∴，∴直线与所成的角为，故B正确． 对于C，由于平面的一个法向量为， ， ∴，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，    ∵棱长为2，∴，，， ∴等腰梯形的高为， ∴，故D正确， 故选：BCD． 10．(23-24高二上·贵州遵义仁怀仁怀六中·期中)直三棱柱中，，分别是的中点，，则所成角的余弦值为 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【详解】依题意可知两两相互垂直， 由此建立如图所示空间直角坐标系，    设， 则， 设与所成角为，则. 故答案为： 11．(23-24高二上·贵州铜仁第八中学·期中)若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 ． 【答案】 【分析】由所求角与方向向量和法向量夹角互余即可求得结果. 【详解】直线与平面所成角与其方向向量与平面法向量的夹角互余， 直线与平面所成的角为. 故答案为：. 12．(23-24高二上·贵州威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 ． 【答案】 【分析】以为原点，为轴、轴、为轴建立空间直角坐标系，设，且，其中，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，求得的范围，即可求解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 易得不重合，设，其中，且， 所以，所以，， 因为平面，所以，可得，所以，， 因为平面，所以的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 当，可得，因为，所以 当，可得，因为，所以， 所以与平面所成的角的范围是为. 故答案为： 13．(23-24高二上·贵州凯里第一中学·期中)如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与MN所成角的正弦值的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标表示出，夹角的余弦值，再求出直线与直线所成角正弦值的最小值． 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，0，，，,则， 因为为线段上的动点， 所以不妨设，则得，，， 所以， 则因为，，所以，进而 所以，，故当最大值时， 最小，且最小值为 所以直线与直线所成角正弦值的最小值为． 故答案为:. 地 城 考点05 空间直角坐标系中点的对称问题 1．(24-25高二上·贵州贵阳修文县北大新世纪贵阳实验学校·期中)空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案. 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为， 故选：D. 2．(23-24高二上·贵州黔西南州金成实验学校·期中)已知点，，且满足，则点Q的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量数乘运算的坐标表示计算即可. 【详解】设，则，， 由，则有，. 故选：A 地 城 考点06 空间中向量共线求参数 1．(24-25高二上·贵州六盘水·期中)设，向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析求解. 【详解】因为向量，，且， 则，解得. 故选：D. 2．(23-24高二上·贵州六盘水盘州第一中学·期中)已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 3．(23-24高二上·贵州贵阳·)已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若 ，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由线面平行得直线的方向向量与平面的法向量数量积为. 【详解】由 得，， 则. 故选：A.    4．(23-24高二上·贵州威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解. 【详解】因为，则，所以，，，因此，. 故选：D. 5．(23-24高二上·贵州凯里第一中学·期中)已知向量，．若向量与向量平行，则实数m的值是（    ） A．2 B．-2 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】利用向量共线定理即可得到，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值. 【详解】向量，，，向量与向量，，平行， 存在实数使得，坐标化得到： ，解得． 故选：A． 6．(23-24高二上·贵州黔西南州金成实验学校·期中)(多选)已知向量，向量与平行，向量与垂直，则（    ） A． B． C．的模为5 D．向量与的夹角为 【答案】ABD 【分析】由题知，，进而得，再依次讨论求解即可得答案. 【详解】解：因为向量，向量与平行，向量与垂直， 所以，，即，解得，故A，B选项正确； 所以，，故C选项错误； 因为，所以向量与互为相反向量，夹角为，故正确. 故选：ABD 7．(23-24高二上·贵州黔西南州金成实验学校·期中)若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 ． 【答案】 【分析】由，得，利用向量坐标平行计算公式代入计算. 【详解】由，得，所以，解得，，∴． 故答案为： 地 城 考点07 空间中向量垂直求参数 1．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)已知空间向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直，数量积为0求参数的值. 【详解】因为，且， 所以 . 故选：C 2．(24-25高二上·贵州贵阳修文县北大新世纪贵阳实验学校·期中)已知空间向量，，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由空间向量垂直的坐标表示计算即可； 【详解】因为， 所以， 解得． 故选：C. 3．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（ ） A．1.5 B．1 C．0.5 D．2 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直得两向量的数量积为零，即可求出的值. 【详解】由空间向量，互相垂直， 则，解得， 故选：C. 4．(23-24高二上·贵州思南民族中学·期中)已知向量 若 则（    ） A． B．1 C． D．1 【答案】D 【分析】由空间向量垂直的坐标公式求解即可 【详解】因为， 所以，即， 解得． 故选：D． 5．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族顶效开发区顶兴学校·期中)若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】计算得到结合线面位置关系即得解. 【详解】由题得， 所以. 所以或. 故选：D 地 城 考点08 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 1．(24-25高二上·贵州贵阳乌当区某校·期中)若，则（ ） A．4 B．5 C．21 D．26 【答案】A 【分析】先求的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：A. 2．(23-24高二上·贵州镇宁民族中学·期中)设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量共线和垂直求出，再利用模的坐标表示计算得解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，解得，， 所以. 故选：C 3．(24-25高二上·贵州遵义凤冈县·期中)如图，在棱长为3的正四面体中，为的中心，为PA的中点，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】运用空间向量的线性运算，结合数量积运算公式即可. 【详解】连接AO，AE，PE． 因为， ， 所以 ． 故选：B. 4．(24-25高二上·贵州贵阳修文县北大新世纪贵阳实验学校·期中)已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算计算． 【详解】由已知， 故选：C． 5．(22-23高二上·贵州黔东南六校联盟·期中)已知向量，，则的值为（    ） A． B．9 C．－7 D．7 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算. 【详解】. 故选：D 6．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)（多选）已知空间向量，，下列结论正确的是（    ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的模的坐标表示判断A，由空间向量夹角公式判断B，结合空间向量平行根据线面关系判断C，根据投影向量的求法判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，因为，，所以，，， 设与的夹角为，则，故B错误； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 故选：ACD. 7．(23-24高二上·贵州铜仁第八中学·期中)（多选）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．1 C．-1 D．0 【答案】AD 【分析】由空间向量的模长公式求出，再由垂直向量的坐标表示解方程即可得出答案. 【详解】， 又， 当时，，则； 当，时，则． 故选：AD. 8．(23-24高二上·贵州思南县民族中学·期中)已知，，且与垂直，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的垂直关系，列式求得x的值，可得的坐标，根据模的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意，，且与垂直， 则， 故，则， 故答案为： 9．(23-24高二上·贵州六盘水·期中)已知，，则的值为 ． 【答案】0 【分析】运用向量数量积定义和坐标运算规则解决问题. 【详解】解：因为，， 所以. 故答案为：0. 10．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)0．已知空间向量，则 ；向量与的夹角为 . 【答案】 【解析】根据空间向量模的计算公式以及空间向量数量积求夹角即可求解. 【详解】由，则， 所以， ， 所以向量与的夹角为. 故答案为：； 11．(23-24高二上·贵州凯里第一中学·期中)1．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 . 【答案】且 【解析】由题意得且与不共线，即可得，即可得解. 【详解】由与的夹角为钝角可得且与不共线， 则即且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查了利用空间向量数量积解决向量夹角的问题，属于基础题. 12．(23-24高二上·贵州·期中)已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、、的值，利用同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】由已知可得，， 则，， ， 即， 所以以、为邻边的平行四边形的面积为． 故选：D. 地 城 考点09 空间向量的线性表示 1．(24-25高二上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案. 【详解】A选项，，所以，，是共面向量； B选项，，所以，，是共面向量； C选项，， 所以，，是共面向量； D选项，令 ，显然无解，故不是共面向量. 故选：D 2．(24-25高二上·贵州六盘水·期中)在四棱锥中，为的中点，若，则(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算得解. 【详解】由题意知为的中点，所以， 又因为，所以， 由此可知：. 故选：B. 3．(24-25高二上·贵州六盘水水城区·期中)在空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以，，为基底，根据空间向量的加减运算，表示出，即得答案. 【详解】由题意知在空间四边形中，，，，且，，    则 ， 故选：D 4．(24-25高二上·贵州六盘水·期中)已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四点共面的结论运算求解即可. 【详解】因为，且四点共面， 则，解得. 故选：C. 5．(23-24高二上·贵州都匀民族中学·期中)在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 6．(23-24高二上·贵州六盘水盘州第一中学·期中)已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，分析出当共面时，，从而分析四个选项，得到正确答案. 【详解】当共面时，不妨设， 变形得到， 则， 设，若点与点共面， 则， 只有选项中符合题意. 故选：. 7．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得． 【详解】-＝， . 故选：A． 8．(23-24高二上·贵州凯里第一中学·期中)如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，xyz，则（　  　） A．x＝1，y＝2，z＝3 B．x，y＝1，z＝1 C．x＝1，y＝2，z＝2 D．x，y＝1，z 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的加法先用表示，再转化为. 【详解】 故选：A 【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题. 9．(24-25高二上·贵州贵阳修文县北大新世纪贵阳实验学校·期中)（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，因为是空间的一个基底，所以方程无解，这表明三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 10．(24-25高二上·贵州县中新学校计划项目·期中)若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据空间向量的线性运算可得，进而求得坐标. 【详解】由题意，， 设， 则，解得， 则， 所以在基底下的坐标为. 故答案为：. 地 城 考点10 空间中的投影向量 1．(24-25高二上·贵州县中新学校计划项目·期中)已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】, 所以在上的投影向量为. 故选：D 2．(24-25高二上·贵州遵义凤冈县·期中)已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义及空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：A 3．(24-25高二上·贵州六盘水水城区·期中)如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取分别为的中点，连接，结合题意，由面面垂直的性质定理结合共线向量的定义即可求解. 【详解】取分别为的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以向量在平面上的投影向量为，且. 故选：. 4．(24-25高二上·贵州六盘水水城区·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 . 【答案】/1.25 【分析】根据空间向量的投影公式求解即可. 【详解】由题意，， 则在方向上的投影向量的模为. 故答案为：. 5．(23-24高二上·贵州思南民族中学·期中)已知，，则向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义直接计算求解． 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故答案为：． 6．(23-24高二上·贵州镇宁民族中学·期中)如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义理解向量数量积的几何意义，结合图形即可计算得到. 【详解】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是， 所以，， 即的值只有一个． 故选：A. 地 城 考点11 点面距、点线距、线线距小题 1．(24-25高二上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)已知正方体的棱长为1，若存在空间一点，满足，则点到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线BC的距离. 【详解】正方体的棱长为1，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，   ，，， 由，得，， 所以点到直线BC的距离. 故选：B 2．(23-24高二上·贵州铜仁第八中学·期中)在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点到平面的距离. 【详解】因为，所以，又向量平面， 所以是平面的一个法向量 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 3．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族顶效开发区顶兴学校·期中)（多选）已知正方体的边长为分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．点到平面的距离为2 D．二面角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ， 所以，所以， 所以，故A选项正确； ， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 所以， 由于平面，所以 平面，故B选项错误； ，所以到平面的距离为，故C选项正确； 由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由图可知，为锐角， ，故D选项正确. 故选：ACD. 4．(23-24高二上·贵州六盘水盘州第一中学·期中)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与所成角的余弦值为 C．平面AEF的一个法向量是 D．点D到平面AEF的距离为 【答案】BCD 【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解. 【详解】对于A，正方体中，，， ，所以，故A错误； 对于B，，， ，故B正确； 对于C，设，则，，而， 所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 5．(22-23高二上·贵州黔东南六校联盟·期中)（多选）已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．点到平面的距离为2 D．二面角的大小为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系,运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析,由此确定正确答案 【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，所以， 所以，故A选项错误； 设平面的法向量为， 则，令则，所以， 所以， 由于平面，所以平面，故B选项正确； ，所以到平面的距离为故C选项正确； 由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由图可知，为锐角， 所以 ，故D选项错误， 故选：BC 6．(23-24高二上·贵州凯里第一中学·期中)（多选）在正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的是（    ） A．//平面 B．平面 C． D．点与点到平面的距离相等 【答案】AC 【分析】采用逐一验证法，建立空间直角标系，根据线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理可知A,B正误，然后根据向量的坐标运算以及点面距相等的判定条件，可得结果. 【详解】对A，因为分别是和的中点 故，故//平面成立.     对B，建立如图空间直角坐标系， 设正方体边长为2 则，.故. 故不互相垂直.又属于平面.故平面不成立.   对C， ， . ，故成立. 对D，点与点到平面的距离相等则点与点中点在平面上. 连接易得平面即平面. 又点与点中点在上，故点不在平面上.故D不成立. 故选：AC 【点睛】本题考查线面关系、点面距以及空间向量的坐标运算，掌握线线、线面、面面的相关定理以及点面距、面面距、线面距的向量求法，属基础题. 7．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族顶效开发区顶兴学校·期中)已知三棱柱的侧棱垂直于底面，是棱的中点.则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，写成向量的坐标，根据向量夹角和平方关系求出，然后由可得. 【详解】由题知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 所以， 因为，所以， 所以点到直线的距离为. 故答案为： 8．(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 【答案】5 【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 9．(24-25高二上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【详解】解：，0，，点到平面的距离为． 故答案为：. 10．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)如图，在棱长为1的正方体中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面的距离为 ． 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量， 则有，令得：， 故， 其中， 则点A到平面的距离为 故答案为：1 11．(23-24高二上·贵州镇宁民族中学·期中)如图所示，在长方体中，，点是棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离． 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 点到面的距离：， 故答案为:． 【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间角与距离的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 12．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)已知平面的法向量为，且点，则点到平面的距离为 ； 【答案】 【分析】求向量在法向量上的投影向量的长度即可得结论. 【详解】设点到平面的距离为， 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为向量在法向量上的投影向量的长度， 所以 又，， 所以， 故答案为：. 地 城 考点12 动点最值问题 1．(24-25高二上·贵州贵阳华师一集团校·期中)（多选）已知菱形ABCD的边长为，将沿AC翻折，使点与点重合，如图所示.记点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列结论正确的是（    ） A．不存在点，使得 B．无论点在何位置，总有面PBD C．当三棱锥的体积最大时，直线AB与平面PBC所成角的余弦值为 D．当时，为PB上一点，则的最小值为2 【答案】BC 【分析】对于A，确定的轨迹，借助圆锥的特性即可判断A；对于B，取的中点，证明平面，再根据菱形对角线互相垂直即可证明；对于C，确定体积最大时，点的位置，再借助等体积法求解即可；对于D，将，展开在同一平面内，借助两点间线段长最短即可判断D. 【详解】对于A，的轨迹是以为轴的两个同底的圆锥底面半圆弧， 显然圆锥轴截面的顶角为，大于， 则存在两条母线互相垂直，即存在点，使得， 而翻折前，因此存在点，使得，故A错误； 对于B，依题意，都是等边三角形， 取的中点，则， 又 平面，于是平面， 又平面，因此， 因为四边形是菱形，所以，又，平面PBD， 因此平面PBD，故B正确； 对于C，由选项B知，平面是二面角的平面角， 三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，此时平面， 等腰的面积， 设点到平面PBC的距离为， 由，得，解得， 设直线与平面所成的角为， 则，，故C正确； 对于D，当时，三棱锥为正四面体， 将，展开在同一平面内，如图， 显然四边形为菱形，， 当三点共线时，取得最小值，故D错误； 故选：BC. 2．(23-24高二上·贵州贵阳·)（多选）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足.下列说法中错误的是（    ）    A．点可以是棱的中点 B．线段长度的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点的轨迹长度为 【答案】ABC 【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到MP的最大值，即可判断选项B，通过分析判断可得点P不可能是棱的中点，从而判断选项A，又，，可判断选项C和选项D． 【详解】在正方体中，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ∵该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点， ∴，，，，∴， 设，则， ∵，∴，即 当时，，当时，， 取，，，， 连结EF，FG，，HE， 则，， 所以， ∴四边形EFGH为矩形，则，， 即，， 又和为平面内的两条相交直线， ∴平面EFGH， 又，， ∴M为EG的中点，则平面EFGH， 为使，必有点平面EFGH， 又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH， 因此点P不可能是棱的中点，故选项A错误； 又，， ∴，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为， 故选项C错误，选项D正确； ∵，， 又，则，即， ∴，点在正方体表面运动， 则，解， ∴， 故当或，或1，MP取得最大值为，故B错误. 故选：ABC． 3．(24-25高二上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)（多选）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（    ） A．动点轨迹的长度为 B．三棱锥体积的最小值为 C．与可能垂直 D．当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】选项A，由面，利用正方体特征找到平面平面，进而得到动点轨迹为，从而可判断出选项A的正误；选项B，根据棱锥的体积公式，得到面积最小值时，体积最小，即可求出三棱锥体积的最小值，从而判断出选项B的正误；选项C，取为中点，利用几何关系，即可证明，从而判断出选项C的正误，选项D，建立空间直角坐标系，直接求出外接球径，即可求出结果. 【详解】对于选项A，取中点，中点，连接， 又为棱的中点，所以， 根据线面平行的判定可得平面，平面， 又，面，所以面平面， 又平面，面，所以面， 又为正方形内的一个动点（包括边界），所以面面， 又面面，所以，即动点轨迹为， 又，所以选项A错误， 对于选项B，易知面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小值时，体积最小， 如图，由选项A知，，易知在处时，面积最小， 此时，所以三棱锥体积的最小值为，故选项B正确， 对于选项C，当为中点时，由，得， 又分别为的中点，所以，得到， 又，得到，所以选项C正确， 对于选项D，如图，当三棱锥体积最大时，在处， 如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为， 易知， 所以①，②， ③，④， 联立①②③④解得，，所以，故外接球的表面积为，所以选项D正确， 故选：BCD. 4．(23-24高二上·贵州·期中)（多选）如图，正方体的棱长为，是的中点，点满足，其中，，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，异面直线与所成角的余弦值为 D．若，二面角的平面角为，则的面积为 【答案】ABD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，则， ，，，， 所以，当时，，故，故A正确； 易知是平面的一个法向量， 因为，，即， 又因为平面，则平面，故B正确； 当时，，则， 则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 当时，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 又因为平面的一个法向量为， 且二面角的平面角为， 则，因为，解得， 即点，，则， 所以，， 所以，，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 5．(23-24高二上·贵州凯里第一中学·期中)（多选）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．线段上存在点，使平面 C．线段上存在点，使平面平面 D．设直线与平面所成角为，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确． 对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，， ， 所以 ，，， 设（），则 所以， 平面 即 解之得 当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确 对于C，设平面的法向量 则，取 得 设平面 的法向量 , 则 取 , 得 , 平面 平面 设 , 即 , 解得 ，，不合题意 线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误． 对于D，平面的法向量为 则 因为 所以 所以的最大值为．故D正确． 故选：ABD 6．(23-24高二上·贵州威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)（多选）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，为中点，为线段上一点（    ）． A．若，则 B．若为中点，则 C．若，则四棱锥外接球表面积为 D．直线与平面所成的角的余弦值的取值范围是 【答案】ABD 【分析】AD利用向量法进行判断，B利用等腰三角形的性质进行判断，C求四棱锥外接球表面积来进行判断. 【详解】B选项，，由于平面平面且交线为，， 所以平面，所以，所以， 当是中点时，，B选项正确. C选项，即，由于平面平面且交线为， 所以平面，所以，而，即两两相互垂直， 所以四棱锥外接球的直径， 所以外接球的表面积为，C选项错误. 以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则， ， A选项，当时，三角形是等边三角形， 所以， ，所以，所以A选项正确. D选项，设，其中，则， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 由于线面角的范围是，所以， 将代入上式并化简得， 由于，， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 7．(23-24高二上·贵州遵义仁怀仁怀六中·期中)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为 C．的最小值为 D．当平面CEP时， 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，则点， 对于A，，，，而， 显然，即是平面的一个法向量， 而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误； 对于B，，则， 因此当时，取得最小值，B正确； 对于C，， 于是，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取的中点，连接，如图， 因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，平面，平面，则平面， 即有，而，所以，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 8．(24-25高二上·贵州毕节金沙县第五中学·期中)（多选）如图，在正方体中，点在线段运动，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的取值范围为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．过作直线，则 【答案】ACD 【分析】对三棱锥转化顶点可判定选项A，找到异面成角的最小值的情况即可判断选项B,转化直线与平面所成角的正弦值的最大值为直线与直线所成角的余弦值最大,进而判断选项C，利用线面垂直的性质判定可判定选项D. 【详解】如图， 对于选项A，,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故A正确； 对于选项B，当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为, 故B错误； 对于选项C，因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故C正确; 对于选项D，连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故，过作直线，则,所以；故D正确. 故选：ACD 9．(24-25高二上·贵州六盘水·期中)已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 【答案】144 【分析】分析可知，结合圆柱的结合性质分析求解即可. 【详解】因为， 又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点， 则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立， 且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立， 可得，所以的最大值144. 故答案为：144. 10．(24-25高二上·贵州六盘水·期中)阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意得到不同平面的法向量，两个平面的交线与两个平面的法向量均垂直，我们可以求得两个平面交线的方向向量，然后利用向量夹角与线面角的关系求解即可. 【详解】平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为，平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为，由， 令，则，，所以. 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故答案为：. 11．(24-25高二上·贵州贵阳修文县北大新世纪贵阳实验学校·期中)如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，根据数量积的坐标运算结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 由于，，设P点纵坐标为m， 则， 则 ， 由于，当时，取最小值， 当时，取最大值3， 即的取值范围为， 故答案为： 12．(24-25高二上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为    ①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， 【答案】②③ 【分析】应用空间向量研究4个命题，对于①，可研究与平面的法向量是否垂直即可；对于②，研究函数的最值即可；对于③，可研究函数的最值即可；对于④，可求解与平面的法向量垂直条件即可. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.    则，，，，，， ，，， 设点，因为， 所以，即， 解之可得，所以. 当时，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以. 因为， 所以，所以与平面不平行.故①错误； 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确； 因为 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确； 当平面时，点平面， 因为，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 因为， 点平面，所以，所以.故④错误. 故答案为：②③ 13．(22-23高二上·贵州黔东南六校联盟·期中)如图，已知正方体的棱长为4，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是 ；的最大值为 ． 【答案】 12 【分析】如图，分别取，，的中点，，，连接，可证明六边形为正六边形，从而可求其面积，利用向量数量积的几何意义可求的最大值. 【详解】∵，∴点在平面上， 如图，分别取，，的中点，，， 连接， 因为为中点，故， 又由正方体可得，， 故，故四边形为平行四边形，故， 故，故四点共面，同理可证四点共面， 故五点共面，同理可证四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形. 故点的轨迹是正六边形， 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为， 所以点的轨迹围成图形的面积是． 如图， ， ∴的最大值为12． 故答案为：，12． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何小题考点 ☆12大高频考点概览 考点01空间中的线段长度、表面积、体积问题 考点02外接球问题 考点03空间中点线面的位置关系 考点04线面角、二面角问题 考点05空间直角坐标系中的点的对称问题 考点06空间中向量共线求参数 考点07空间中向量垂直求参数 考点08空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 考点09空间向量的线性表示 考点10空间中的投影向量 考点11点面距、点线距、线线距小题 考点12动点最值问题 目目 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 1.(24-25高二上·贵州六盘水水城区期中)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，高为3， 且该圆台的体积为13π，则该圆台的母线长为() A.22 B.2V3 c.3 D.v15 2.(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学期中)若圆锥的表面积为4π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积 为() A.6 3π B.2W3π C.2 3π D.2W2π 3.(24-25高二上贵州遵义仁怀第四中学期中正四棱台的上、下底面边长分别为2cm,3cm,侧棱长为 √2cm,则棱台的侧面积为() A.4cm2 B.5v7cm2 C.4V3cm2 D.83cm2 4.(24-25高二上贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)已知点B(-2,1,1)关于z轴的对称点为A,则 A|等于() A.32 B.2V6 c.2W5 D.2 1/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25高二上贵州六盘水期中)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别为 A1B1B1C1A1D1BB1的中点，则G市+G丽+2EC=() A.6 B.2W6 c.5 D.25 6.(2425高二上·贵州黔东南州榕江实验高级中学期中)已知圆柱的底面积为9元，侧面积为12π，则该圆柱 的体积为 7.(2425高二上·贵州毕节金沙县第五中学期中)已知圆锥的母线长为10cm,侧面积为60πcm2,则此圆 锥的体积为_cm3 8.(24-25高二上贵州黔西南布依族苗族顶效开发区顶兴学校·期中)在空间直角坐标系中，己知 A(t,2,2),B(1,0,3t-1),则A正的最小值是 目目 考点02 外接球问题 1.(24-25高二上贵州六盘水期中)已知正方体的内切球半径为√5，则该正方体外接球的体积为() A.93元 B.36π C.9n D.27π 2.(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学·期中)三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC, |PA=|AB=BC=1,且∠ABC=90°，则三棱锥P-ABC的外接球表面积是() A.3π B.2T C.V5π D.T 3.(24-25高二上贵州黔东南州榕江实验高级中学期中)一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该 球体的表面积为() A.3π B.2π C.5π D.T 4.(23-24高二上贵州遵义仁怀仁怀六中期中)在三棱锥P-ABC中，PA=PC=2W6,AC=4V2, ∠ABC=90°，平面PAC⊥平面ABC,若三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为 () A.25 B.3 c.2w5 D.4 5.(24-25高二上贵州遵义凤冈县期中)（多选）已知球0的半径为R,则() A.球0的内接正方体的内切球表面积为2πR2 B.球0的内接正方体的内切球体积为不R C.球0的内接正四面体的内切球半径为R 2/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.球0的内接正四面体的内切球半径为R 6.(24-25高二上贵州县中新学校计划项目期中)已知某三棱台的高为2W5,上、下底面分别为边长为4V3 和63的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球0的表面积为 7.(23-24高二上贵州思南民族中学·期中)三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°， PA=AB=1,BC=V2,(单位：cm)则三棱锥P-ABC外接球的体积等于 _cm3. 8.(23-24高二上贵州六盘水期中)四面体ABCD中，AB=CD=V2,AC=BD=2,AD=BC=V5, 则该四面体的外接梂的表面积为」 9.(23-24高二上贵州贵阳)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3, AC=4,AB1AC,AA1=12,则球的表面积为 目目 考点03 空间中点线面的位置关系 1.(24-25高二上·贵州黔东南州榕江实验高级中学.期中)在空间中，若两条直线a与b没有公共点，则α与b () A.相交 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线 2.(24-25高二上贵州遵义仁怀第四中学期中（多选）下列命题中成立的是() A.a⊥c,b⊥c→a/b B.P∈，P∈F且anB=l→P∈1 C.AeI,BE,且Ae,B∈→Ica D.a//b,a/c→b/c 3.(23-24高二上·贵州六盘水期中)（多选）设m,n是两条不同的直线，《，B是两个不同的平面，则下列 说法中正确的有() A.若a1B,nB=m,n⊥m,则n⊥F B.若m//a,m/m,ncB,则a/B C.若m/m,n1F,mc,则x1B D.若m⊥，nCB,/F,则m⊥n 4.(24-25高二上贵州县中新学校计划项目·期中（多选）下列命题中的真命题是() A.若直线a不在平面x内，则alla B.若直线1上有无数个点不在平面ax内，则Ⅲ C.若，则直线1与平面α内任何一条直线都没有公共点 3/22 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D.平行于同一平面的两直线可以相交 5.(24-25高二上贵州毕节金沙县第五中学期中)（多选）设m,n为两条不同的直线，心，B,Y是三个不同 的平面，给出下列四个命题正确的是() A.若m⊥，n⊥&，则mlln B.cl邮，1ly,m⊥a,则m⊥Y C.mlac,nlla,则mlln D.m⊥%，mll邮，则a⊥B 6.(24-25高二上·贵州遵义仁怀第四中学期中设%，B表示两个平面，1表示直线，AB,C表示三个不同的 点，给出下列命题： ①若A∈l,A∈%B∈1，BE,则1c; ②，B不重合，若AEc,A∈B,B∈&B∈B,则C∩B=AB; ③若IC,AE1,则A庄&： ④若AB,C∈，AB,C∈B,且AB,C不共线，则a与B重合 其中假命题的序号是」 7.(24-25高二上·贵州贵阳乌当区某校·期中下列命题中，不正确的命题是() A.空间中任意两个向量一定共面 B.若ab,则存在唯一的实数，使得=b C.对空间中任一点O和不共线的三点A,B,C,若O=20A-4O+30元，则P,A,B,C四点共 面 D.若{京石，}是空间的一个基底，而=+，则{a,石，五}也是空间的一个基底 8.(23-24高二上·贵州期中已知点P为△ABC所在平面内一点，0为平面ABC外一点，若 O=mOA+n0范+20元，则m+n的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 9.(23-24高二上贵州思南民族中学期中)已知平面内有一个点A(2,-1,2),的一个法向量为 五=(-3,1,2)，则下列点在平面内的是() A.(1,-1,1)B.（1,3,) C.（-1,3,-2)D.（1,3,) 10.24-25高二上贵州六盘水期中（多选）已知A(1,8,11),B(2,6,9),C(3,4,10),D(1,8,14) ,则() A.A=3 B.直线AB的一个方向向量为(-，-1,1) 4/22 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.AB,C,D四点共面 D.点C到直线AB的距离为V⑤ 11.(24-25高二上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学，期中)（多选)给出下列命题，其中为假命题 的是() A.已知为平面a的一个法向量，五为直线的一个方向向量，若五1方，则/C B.已知方为平面a的一个法向量，品为直线的一个方向向量，若（五，方）=，则1与ax所成角为君 C.若两个不同的平面a,B的法向量分别为i,立，且i=(1,2-2),立=(-2，-4,4)，则c/B D.已知空间的三个向量a,,,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,yz使得 p=xa+yb+zc 12.(22-23高二上贵州毕节金沙中学期中)（多选)若{，6，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的 是() A.b+c,b,b- B.a+b,a-b c.a+ba-b,c D.a+b,atb+c,c 13.(23-24高二上·贵州思南民族中学期中)（多选）已知空间四点 0(0,0,0),A(4,3,0),B(-3,0,4),C(5,6,4),则下列说法正确的是() A.0A.OB=12 B.cos(可AO8）=0 C.点0到直线BC的距离为⑤ D.O,AB,C四点共面 14.(24-25高二上贵州遵义凤冈县期中已知点A(0,1,1),B(3,-1,2),，C(-1,4,-1),D(3,6,x), 若A,B,C,D四点共面，则x= 目目 考点04 线面角、二面角问题 1.(24-25高二上贵州县中新学校计划项月·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面 BDD1B:所成角的正切值为() A.马 B. C. D.5 2.(24-25高二上·贵州贵阳华师一集团校期中)图，己知圆柱O102的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E 为下底面圆周上一点，满足BE=2AB,则异面直线AE与BO1所成角的正弦值为() 5/22 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D E A要 B c. D.腰 3.(24-25高二上贵州黔东南州榕江实验高级中学期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线 BC1与B1D1所成的角等于() D B D 4 A.晋 B.于 c.胃 D.5 4.(2425高二上贵州遵义仁怀第四中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线 PB与AD1所成的角为() A.晋 B.晋 C. D.晋 5.(24-25高二上贵州遵义仁怀第四中学期中)在棱长为3的正方体ABCD-AB1C1D1中，满足AE=2EB ，CF=2FD,则二面角A1EF-C1的余弦值为() A.月 B.号 c. D.与 6.(24-25高二上贵州贵阳六校联盟)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB=AD=AA1=2,∠BAD=号，∠BAA1=∠DAA1=号，则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为() D C D B A.9 B.9 c. D. 6 6/22 6学科网 ww .zxxk.com 让教与学更高效 7.(23-24高二上贵州威宁彝族回族苗族自治县第八中学期中)若两异面直线 $$l _ { 1 } 与$$ $$l _ { 2 }$$ 的方向向量分别是 $$\overrightarrow { n } _ { 1 } = \left( 1 ， 0 ， - 1 \right) ， \overrightarrow { n } _ { 2 } = \left( 0 ， - 1 ， 1 \right) ，$$ ，则异面直线 $$\frac { 3 } { 4 } l$$ $$l _ { 1 }$$ $$与 l _ { 2 }$$ 2的夹角为() $$A . 6 0 ^ { \circ }$$ $$B . 9 0 ^ { \circ }$$ $$C . 1 2 0 ^ { \circ }$$ $$D . 1 5 0 ^ { \circ }$$ 8.(22-23高二上贵州毕节金沙中学期中)如图，在直三棱柱 $$A B C - A B _ { 1 } C _ { 1 }$$ $$A C = 3 ， B C = 4 ， C C _ { 1 } = 3 ， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 $$B C _ { 1 }$$ $$与 A _ { 1 } C$$ 所成的角的余弦值为() $$C _ { 1 }$$ $$A _ { 1 }$$ $$B _ { 1 }$$ A B $$A . \frac { 3 \sqrt 2 } { 1 0 }$$ $$B . \frac { \sqrt 3 } { 3 }$$ $$C . \frac { \sqrt 2 } { 4 }$$ $$D . \frac { \sqrt 5 } { 5 }$$ 9.(24-25高二上贵州遵义仁怀第四中学期中)(多选)如图所示，在棱长为2的正方体 $$A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$$ 中， M，N分别为棱 $$C _ { 1 } D _ { 1 } ， C _ { 1 } C$$ 的中点，则下列结论正确的是() $$D _ { 1 }$$ M $$C _ { 1 }$$ $$A _ { 1 }$$ $$B _ { 1 }$$ N D. C A B A.直线 AM 与 BN 是平行直线 B.直线 MN与A 所成的角为 $$6 0 ^ { \circ }$$ C.直线 MN与平面ABCD所成的角为 $$4 5 ^ { \circ }$$ D.平面BMN截正方体所得的截面面积为 10.(23-24高二上贵州遵义仁怀仁怀六中·期中)直三棱柱 $$A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 中， $$\angle B C A = 9 0 ^ { \circ } ， D _ { 1 } F _ { 1 }$$ 分别是 $$A _ { 1 } B _ { 1 } ， A _ { 1 } C _ { 1 }$$ 的中点， $$B C = A C = C C _ { 1 } ，$$ ，则 $$B D _ { 1 }$$ 与 $$A F _ { 1 }$$ 所成角的余弦值为 11.(23-24高二上贵州铜仁第八中学·期中)若直线]的一方向向量与平面 α 的一个法向量的夹角为号，则直 线]与平面 α 所成的角为. 12.(23-24高二上贵州威宁彝族回族苗族自治县第八中学期中)如图所示，在棱长为1的正方体 $$A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$$ 中，P，Q分别是线段 $$C C _ { 1 } ， B D$$ 上的点，满足PQ 211 平面 $$A C _ { 1 } D _ { 1 } ，$$ ，则 与平面 $$i B D D _ { 1 } B _ { 1 }$$ 7/22 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 所成角的范围是 D B -- A B 13.(23-24高二上贵州凯里第一中学期中如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为线段A1D的中点， N为线段CD上的动点，则直线C1D与MN所成角的正弦值的最小值为」 D 目目 考点05 空间直角坐标系中点的对称问题 1.(24-25高二上贵州贵阳修文县北大新世纪贵阳实验学校期中)空间直角坐标系中，已知A-1,1,3),则 点A关于xOz平面的对称点的坐标为() A.(1,1,-3B.(-1,-1-3) C.（-1,1,-3 D.（-1,-1,3 2.(23-24高二上·贵州黔西南州金成实验学校期中)已知点A2,4,0),B(1,3,3),且满足2AQ=QB,则点 Q的坐标为(）. A.(号1) B.(33,1) c.(3,1,0) D.（1,0,1) 目目 考点06 空间中向量共线求参数 1.24-25高二上贵州六盘水期中)设meR,向量6=(1，m,1),c=(2,-4,2),且6//元，则m=() A.-3 B.-1 C.1 D.-2 2.(23-24高二上贵州六盘水盘州第一中学期中)已知直线1的一个方向向量员=(3，-2,1)，且直线1经 过A(a,2,-1)和B(-2,3,b)两点，则a+b=() 8/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(23-24高二上贵州贵阳)已知i=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线1的方向向量，i=(1,2,3)是平 面x的法向量.若1‖x,则b-5a=() A.3 B.4 c.5 D.6 4.(23-24高二上贵州威宁彝族回族苗族自治县第八中学期中)已知a=(1,2,y),b=(x,1,2),且 a//b,则x·y=(） A.1 B.-1 C.-2 D.2 5.(23-24高二上贵州凯里第一中学期中)已知向量=(0,1,1)，石=（1，-2,1.若向量a+b与向量 c=（-2,m,-4)平行，则实数m的值是() A.2 B.-2 C.10 D.-10 6.(23-24高二上贵州黔西南州金成实验学校期中)（多选）已知向量a=(x,1,2,b=(1,y,-2,c=(3,1,z ,向量ā与b平行，向量c与b垂直，则() A.x=y=-1 B.z=1 C.a+c的模为5 D.向量ā与b的夹角为180° 7.(23-24高二上·贵州黔西南州金成实验学校：期中)若平面a的一个法向量为=(2，-6，s)，平面B的一 个法向量为i=(1,t,2),且邮，则s-t= 目目 考点07 空间中向量垂直求参数 1.(24-25高二上贵州遵义仁怀第四中学期中)已知空间向量a=(-12,4),=(1,-4,2), =(4,4,z),若(a+2b)1,则z=() A.-昌 B.- c. D. 2.(24-25高二上·贵州贵阳修文县北大新世纪贵阳实验学校期中)已知空间向量a=(2k-3,k,~4), 6=(2,1,1),且京16，则k=() A.-6 B.-8 C.2 D.-10 3.(24-25高二上贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学.期中)已知空间向量a=(2,x,1), 石=(-1,2,1)，若两个向量互相垂直，则x=（) A.1.5 B.1 C.0.5 D.2 423-24高二上贵州思南民族中学期中)已知向量a=(1,12,石=(x1,2x-3),若16，则x=（) 9/22 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-2 B.-1 C.0 D.1 5.(24-25高二上贵州黔西南布依族苗族顶效开发区顶兴学校期中)若直线/的一个方向向量为 a=(1,-2,-4),平面的一个法向量为i=(-2,1,-1)，则() A.1//a B.ICa C.l⊥e D.1//a或1cx 目目 考点08 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 1.(24-25高二上贵州贵阳乌当区某校期中)若=(-1,2,1)，6=(1,2,3)，则（有+）·（2-)= () A.4 B.5 C.21 D.26 2.(23-24高二上贵州镇宁民族中学期中设xyER,向量=（x1,1)6=（1y,1=(2,-4,2,且 a1五b//,则+等于() A.2V2 B.10 C.3 D.4 3.(24-25高二上贵州遵义凤冈县期中)如图，在棱长为3的正四面体P-ABC中，0为△ABC的中心，D 为PA的中点，B2=青BC,则P0.D2=() A.2 B.3 C.4 D.6 4.(24-25高二上·贵州贵阳修文县北大新世纪贵阳实验学校期中已知向量=(1，-4,5)，石=(0,1,2)，则 a-2b=() A.(1,-6,-1)B.（-1,-6,9 c.(1,-6.1 D.（-1,-6,1 5.(22-23高二上贵州黔东南六校联盟期中)已知向量=(1,2,4)，五=(-1,0,2)，则a.6的值为() A.(-1,0,8)B.9 C.-7 D.7 6.(24-25高二上贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学期中（多选）己知空间向量ā=(-2，~1,1)， 10/22