核心突破01 空间直角坐标建系设点问题（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 核心突破01 空间直角坐标系建系设点问题（精讲+精练） 一、建系设点有关的基础储备 与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。 ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。 ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。 （2）线线垂直（相交垂直） ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若，则 二、建立直角坐标系的原则 1.轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2.轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3.常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。 4.同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5.解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。 三、坐标的书写 1.能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2.空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3.需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 四、空间直角坐标系建立的模型 (1)墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型． 建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系． 　　　 (2)垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 　　　　　　　　　　　图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　　　　　　　　　　图3－2　　　　　　　　　　　　图3－3 1.墙角 一、解答题 1．（23-24高二上·上海青浦·期末）如图，在棱长为的正方体中，、分别为与的中点． (1)求直线与所成的角的余弦值； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 2．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 3．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 2.底面是菱形 一、解答题 1．（23-24高二下·广东·阶段练习）如图，直四棱柱的底面为菱形，，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，四棱锥的底平面是边长为2的菱形，，，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面平面.    (1)证明：； (2)若点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值. 3.垂面 一、解答题 1．（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在三棱锥中，平面平． (1)证明：． (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 2．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 3．（23-24高二下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，平面与半圆弧所在的平面垂直，是上异于，的点. (1)证明：是直角三角形. (2)若是上更靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 4.其他 一、解答题 1．（23-24高二下·广西·阶段练习）四棱锥中，平面平面，，，，，，，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点． (1)证明：A、B、M、N四点共面； (2)求二面角的余弦值； (3)求平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比． 2．（2024·全国·模拟预测）如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）． (1)求证：． (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的余弦值；若不存在，说明理由． 3．（23-24高二下·江苏·期中）如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形. (1)求证：平面PAC； (2)若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围. 4．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为6的正三角形，是的重心，.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 5．（23-24高二下·重庆·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线PC上，且． (1)求证:平面BDE; (2)求二面角平面角的正弦值; (3)若点M为线段PO上的动点，当直线平面ABE时，求AM与平面ABE所成的角的正弦值． 6．（23-24高二下·浙江·期中）矩形ABCD中，，将沿BD向上对折至位置.    (1)若点在平面BCD上的射影落在BC上，求证:； (2)在对折过程中，求平面与平面BCD所成角的正切的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 核心突破01 空间直角坐标系建系设点问题（精讲+精练） 一、建系设点有关的基础储备 与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。 ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。 ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。 （2）线线垂直（相交垂直） ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若，则 二、建立直角坐标系的原则 1.轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2.轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3.常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。 4.同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5.解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。 三、坐标的书写 1.能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2.空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3.需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 四、空间直角坐标系建立的模型 (1)墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型． 建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系． 　　　 (2)垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 　　　　　　　　　　　图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　　　　　　　　　　图3－2　　　　　　　　　　　　图3－3 1.墙角 一、解答题 1．（23-24高二上·上海青浦·期末）如图，在棱长为的正方体中，、分别为与的中点． (1)求直线与所成的角的余弦值； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量法直接求解线线角的余弦值； （2）利用向量法求解线面角的正弦值即可. 【详解】（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 则， 即直线与所成的角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量， 则，解得， 令，则，，， 令直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 2．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【分析】（1）由线面垂直得到，结合正方形性质得到线面垂直，得到，再由三线合一得到线线垂直，证明出线面垂直，得到； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到两个平面的夹角. 【详解】（1）∵平面ABCD，平面， ∴， 又四边形ABCD为正方形， 故，AB，PA为平面PAB上的相交直线， ∴平面PAB， ∵平面， ∴， ∵等腰三角形PAB中F是PB的中点， ∴， ∵，平面， ∴平面ADEF， ∵平面ADEF， ∴． （2）平面ABCD，平面， 故， 易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系， 如图所示，则，，，，，， 由（1）得平面ADEF， 可得平面ADEF的一个法向量， 设平面PCD的一个法向量， 则， 解得，令得，故， ∴， 设平面ADEF与平面PCD的夹角为，则， 故， ∴平面ADEF与平面PCD的夹角为60°． 3．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)点到平面的距离为. 【分析】（1）先证四边形为正方形，得到，再证平面，从而得到，即可证明平面； （2）建系，设边长，写出相应点和向量的坐标，求出两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列式子，求出的长度，再利用点到平面的距离公式，求出点到平面的距离. 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质可知，，四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为正方形，所以， 因为，，， 所以平面， 所以， 因为， 所以， 又因为平面 所以平面. （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 所以，平面的一个法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 2.底面是菱形 一、解答题 1．（23-24高二下·广东·阶段练习）如图，直四棱柱的底面为菱形，，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形和线面垂直的性质得出线线垂直，进而可证线面垂直，得出面面垂直； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式可求答案. 【详解】（1）证明：四边形是菱形，， 又平面，平面，． ，，平面， 平面． 平面，平面平面． （2）解：设下底面、上底面菱形对角线交点分别为，，连接， 依题意可知，平面，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．   ，，， ，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则 取， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，四棱锥的底平面是边长为2的菱形，，，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先通过证明平面得到，在通过证明即可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面平面角. 【详解】（1）如图，连接与交于点， 则为中点，也为中点，连接，． 因为，所以， 又，，是平面内两条相交线， 所以平面，平面，所以， 因为，分别为，中点，所以， 因为，所以．又，是平面内两条相交线， 所平面；   . （2）因为平面，所以平面平面， 作，交点为，则平面， 又平面，所以， 由，又，平面 所以平面，又平面，所以， 由于四棱锥的底平面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，又，， 所以点即为的垂心，也为重心， 则，，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，    则，，， 则，， 设平面的一个法向量， 由，即，取， 又平面的一个法向量 所以， 即平面与平面夹角的余弦值. 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面平面.    (1)证明：； (2)若点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，证明平面即可; （2）建立空间坐标系，由面面角公式结合二次函数求最值得解. 【详解】（1）   取中点，连接， 由题可知正和，， ， 又∵，平面，∴平面，又平面， ∴； （2）因为侧面平面，侧面平面侧面，故平面, 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 设， ∴ ， ∴， 又，设面的法向量是， 则， 令，则， 又，设面的法向量是， 则，令，则， 设平面与平面夹角为， 故， 因为，开口向上，且对称轴为， 故的最小值为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值的最小值为. 3.垂面 一、解答题 1．（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在三棱锥中，平面平． (1)证明：． (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，通过说明可得结论； （2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以， 又，面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又， 所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令得． 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，即可得到且，再证明且，利用勾股定理逆定理证明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接， ∵为正三角形，，∴且. ∵，为的中点，∴， 又∵底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形， 而，所以四边形为矩形，∴且. ，，， 又，平面，∴平面. （2）由（1）平面，， 如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， ，，， 设平面的法向量为， 由，得，令，则，则， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面与平面所成的角为， 则， ∴平面与平面所成角的余弦值为. 3．（23-24高二下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，平面与半圆弧所在的平面垂直，是上异于，的点. (1)证明：是直角三角形. (2)若是上更靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由已知，证出平面，再证出平面，得到，则得是直角三角形； （2）以的中点为原点，为2个单位长度，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用数量积公式即可算出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）如图，连接AE， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 是半圆弧上异于的点，， 平面， 平面，即是直角三角形. （2）如图，取的中点，连接OE， 以为原点，为2个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 是上更靠近的三等分点， ，即， 则， 设平面的法向量为，则， 取，则，得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为. 4.其他 一、解答题 1．（23-24高二下·广西·阶段练习）四棱锥中，平面平面，，，，，，，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点． (1)证明：A、B、M、N四点共面； (2)求二面角的余弦值； (3)求平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，证明点为的重心，即可证明A、B、M、N四点共面； （2）建系，写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）利用割补法，先求和，相减得，再用减去得,即得结果. 【详解】（1） 如图，延长交于点， 因且，故， 连接，中，分别是的中点， 故的交点为的重心，设为点，则, 又N为PD靠近D的三等分点，故点重合， 因点都在平面内，故A、B、M、N四点共面； （2） 如图，取中点，连接，因，则, 又平面平面,平面平面，平面，故平面, 过点在平面内作，分别取为轴的正方向建立空间直角坐标系. 因，故, 则, 设平面的法向量为，则，故可取； 又, 设平面的法向量为，则，故可取. 于是，， 因二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为； （3） 如图，设平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积分别为, 依题，, 而, 则， 又, 故， 于是，. 2．（2024·全国·模拟预测）如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）． (1)求证：． (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的余弦值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先利用线线垂直推导线面垂直，得平面，即得；同法再证平面，得；则得平面，故； （2）根据题设条件和（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，由求得，再分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得. 【详解】（1）依题意可知点为的中点，，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以． 依题意可知，，，，平面， 所以平面． 又平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 又平面，所以． （2） 由题意，得，， 由（1），所以． 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，则，，，，． 所以，，． 设，即， 则，． 若存在点，使得，则， 解得，则． 设平面的法向量为， 则令，得，， 所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则令，得，， 所以平面的一个法向量为． 所以． 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的余弦值为． 3．（23-24高二下·江苏·期中）如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形. (1)求证：平面PAC； (2)若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，得到，再根据平面平面ABC，利用面面垂直的性质定理证明； （2）易得，即，设平面平面，从而，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面AEF的一个法向量为，由求解. 【详解】（1）证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点， 所以， 又平面平面ABC，且平面平面，平面ABC， 所以平面PAC； （2）由E，F分别是PC，PB的中点，连结AE，EF，所以， 由（1）知平面PAC. 又平面PAC，所以，所以， 所以在中，∠AFE就是异面直线AF与BC所成的角. 因为异面直线AF与BC所成角的正切值为， 所以，即， 又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF， 又平面ABC，平面平面，所以， 所以在平面ABC中，过点A作BC的平行线即为直线l. 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，从而， 由已知E，F分别是PC，PB的中点，所以， 则，，， 所以，， 所以，， 因为，所以可设，平面AEF的一个法向量为， 则， 取，得， 又，则. 设直线PQ与平面AEF所成角为，则. 所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为. 4．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为6的正三角形，是的重心，.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用全等思想来证明等腰，然后可得中线就是垂线，从而可证明线面垂直到线线垂直，再证明线面垂直即可； （2）利用空间向量法来求解二面角的余弦值，再求出正弦值即可. 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，    连接， 是的重心，是的中点， 又底面是正三角形，. 在与中，为公共边， ，，， 又平面平面， 平面，又平面，. 正的边长为6，，， 又， 在中，由余弦定理可得，， ，. 又平面平面， 平面. （2）如图，过作面，建立空间直角坐标系，    则，故， 设平面的法向量，则，令，解得，则. 设平面的法向量，则，令，解得，则. 设二面角的大小为，则， ,，即二面角的正弦值为. 5．（23-24高二下·重庆·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线PC上，且． (1)求证:平面BDE; (2)求二面角平面角的正弦值; (3)若点M为线段PO上的动点，当直线平面ABE时，求AM与平面ABE所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质，由勾股定理证得，进而可得是PC中点，是OC中点，即，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角，结合同角的平方关系计算即可求解； （3）根据线面垂直的判定定理与性质可证明MF，即为PO中点，利用空间位置关系的向量证明可得，结合线面垂直的判定定理可得平面ABE，求得，结合（2）和空间向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】（1）如图，设AC交BD于点，连接EF，由圆锥的性质可知底面ABD， 因为平面ABD，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得，， 解得，又，所以， 即．且，所以为正三角形，， 所以是PC中点．而是OC中点． 所以，且平面平面BDE， 所以直线平面BDE． （2）易知， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面ABE的法向量为， 则，令，则， 设平面ABD的法向量为，二面角平面角为． ； （3）由平面ABE，平面ABE，得， 又，平面DMF， 故平面DMF，由平面DMF，得MF， 又F为OC中点，故为PO中点， 此时点，， 即．且平面ABE． 故平面ABE，满足条件．所以， 由（2）知，平面ABE的法向量为，设AM与平面ABE所成的角为， 所以， 即AM与平面ABE所成角的正弦值为. 6．（23-24高二下·浙江·期中）矩形ABCD中，，将沿BD向上对折至位置.    (1)若点在平面BCD上的射影落在BC上，求证:； (2)在对折过程中，求平面与平面BCD所成角的正切的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，可证，可证平面，可证结论； （2）法一：过A作于，延长AE交BC于，过作于，过作于，连结，可得即为平面角，求解即可；以E为坐标原点，以EF为轴，ED为轴，过E垂直于平面BCD的直线为轴.法二：以E为坐标原点，以EF为轴，ED为轴，过E垂直于平面BCD的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求得平面BCD的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得，进而可得结论. 【详解】（1）∵平面平面BCD，平面平面且，平面, 平面，平面， ，又且，平面， 平面平面， ； （2）过A作于，延长AE交BC于， 过作于，过作于，连结， 由题意可得，，平面,所以平面， 又平面，所以平面平面， 又，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 由定义知即为平面角，    设，则， ， ， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 又因为为减函数，当时，的值越大， 又当时，，， 所以平面A′CD与平面BCD所成角的正切的最大值为. 解法二：以E为坐标原点，以EF为轴，ED为轴，过E垂直于平面BCD的直线为轴建立空间直角坐标系，    设，则. ， 设平面的一个法向量为， 则，令,可得， 所以平面的一个法向量为， 又平面BCD的一个法向量， 设平面与平面BCD所成的角为，则， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 又因为为减函数，当时，的值越大， 又当时，，， 所以平面A′CD与平面BCD所成角的正切的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x $$