第2章 特殊三角形单元测试卷-2025-2026学年浙教版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第2章 特殊三角形 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可． 【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称， 故选：B． 2．（本题3分）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 3．（本题3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，O为不同于A的一点，且OB＝OC，则直线AO与底边BC的关系为 A．平行 B．垂直且平分 C．斜交 D．垂直不平分 【答案】B 【知识点】根据三线合一证明 【详解】试题分析：先根据题意画出图形，再根据SSS证得△ABO≌△ACO，即可得到∠BAO=∠CAO，最后根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可. 连接AO并延长 在△ABO和△ACO中，AB＝AC，OB＝OC，AO=AO ∴△ABO≌△ACO（SSS）， ∴∠BAO=∠CAO， ∴AO垂直且平分BC 故选B． 考点：等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质 点评：解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合． 4．（本题3分）一个三角形最初的一个顶点为A，把它先向下平移4个单位长度时的位置记为B，再向左平移3个单位长度时的位置记为C，则由A，B，C三点所组成的三角形的周长为    (    ) A．7 B．14 C．12 D．15 【答案】C 【详解】试题分析：如图所示： AB＝4，BC＝3， 则AC＝5， 故由A，B，C三点所组成的三角形的周长为：3＋4＋5＝12． 故选C． 点睛：此题主要考查了平移的性质，根据题意画出符合题意的图形是解题关键． 5．（本题3分）如图，在中，，垂直平分为垂足，交于点E，若，则的长为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角定理，含角的直角三角形的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 先利用线段垂直平分线的性质和外角定理得出，再利用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．（本题3分）如图，，点在同一条直线上，则有下列4个结论：①；②；③与互补；④为等腰直角三角形．其中成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合同旁内角互补得出，根据对应边相等，故，再结合得对应角相等以及直角三角形的两个锐角互余，则与互余，，即可作答． 【详解】解：∵， 即， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即与互余； 故③不符合题意； ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 则 故④符合题意； 故选：C 7．（本题3分）等腰三角形的两边a、b满足，则这个三角形的周长为（　　） A．13 B．15 C．17 D．13或17 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】先将58改成9+49，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴a=3，b=7. 分两种情况讨论： 当腰为3时，3+3<7，不能构成三角形， 当腰为7时，3+7>7，能构成三角形，等腰三角形的周长为7+7+3=17． 综上所述：该等腰三角形的周长为17． 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将58改成9+49，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式． 8．（本题3分）直角三角形的两边长分别为6和8，那么它的第三边长度为（　　） A．8 B．10 C．8或 D．10或 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】分8为直角边、8为斜边两种情况，根据勾股定理计算． 【详解】解：当8为直角边时，斜边==10， 当8为斜边时，另一条直角边==， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 9．（本题3分）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，D，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】题目主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角及一元一次方程的应用，理解题意，根据题意得出相应的方程是解题关键； 设，根据线段垂直平分线的性质及等边对等角确定，再由角平分线及三角形内角和得出方程求解即可 【详解】解：设， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 10．（本题3分）如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，，下列结论中：①；②平分；③平分；④若四边形的周长是15，且的面积为3，则四边形的面积等于11．上述结论中一定正确的有（   ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，角平分线的定义，三角形的三边关系定理，垂直定义等知识点，延长到G，使，连接，，根据全等三角形的判定定理求出，根据全等三角形的性质得出，，，求出，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，，，再进行判断即可． 【详解】解：延长到G，使，连接，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∴平分，故②正确； 根据已知不能推出，平分，故①③不正确； 在和中， ， ∴， ∴， 设，， ∵四边形的周长是15， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积，故④正确； 综上，正确的有②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 【答案】2 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出． 【详解】解：如图所示，杯子内的筷子长，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， ∴圆柱形水杯内的筷子的最大线段的长度为， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为， 故答案为：2． 12．（本题3分）如图，在中，为的平分线，则 ． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴为底边上的高， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 13．（本题3分）如图，，点D是内一点，，，则 °． 【答案】40 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】根据三角形内角和定理可得，由等边对等角及角之间的关系得出，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵ ∴, ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 14．（本题3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4cm，则AB＝ cm． 【答案】8 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】利用“直角三角形的两个锐角互余”和“30度角所对的直角边等于斜边的一半”解答． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， ∵BC＝4cm， ∴AB＝2BC＝8cm． 故答案是：8． 【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 15．（本题3分）如图，AAꞌ、BBꞌ分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AAꞌ＝BBꞌ＝AB．则∠BAC= °． 【答案】12 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】从已知条件结合图形，根据等腰三角形的外角和内角的关系，以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：根据题意，设∠BAC=x， ∵BBꞌ＝AB， ∴∠B′BD=2∠BAC=2x， 又∵BB′是∠DBC的平分线， ∴∠DBC=2∠B′BD=4x， ∵AA′=AB， ∴∠AA’B=∠A′BA=∠DBC=4x， ∵AA′是∠EAB的平分线， ∴∠A′AB=（180°-x）， 在△AA′B中，根据内角和定理 4x+4x+（180°-x）=180°， 解得：x=12°． 故答案为12. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形内角和定理．做题时，要综合运用这些知识是十分必要的． 16．（本题3分）如图，的两直角边AC、BC的长分别为6、8，按图示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】设CE=x，然后可得关于x的方程，解方程即可得到解答．　　　　　 【详解】解：设CE=x，则AE=BE=BC-CE=8-x， ∴在Rt△ACE中，由勾股定理可得：AC2+CE2=AE2， 即62+x2=（8-x）2， 解方程可得： 故答案为． 【点睛】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握勾股定理及方程思想方法在几何中的应用是解题关键．　 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）若点与点关于轴对称，与点关于轴对称，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标特征及代数式求值，解题的关键是根据对称点的坐标规律求出x、y的值，再代入代数式计算． 根据关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数，得M的横坐标；根据关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反数，得M的纵坐标；将x、y的值代入代数式中计算出结果． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴． ∵点与点关于轴对称， ∴． 当时， ． 18．（本题8分）如图，过点C，于点E，于点F，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接，根据等腰三角形的性质，可得，从而，则有，然后利用 即可求证． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 19．（本题8分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    【答案】水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答． 【详解】解∶ 设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴ 即水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺． 20．（本题8分）在中，，所对的边分别为a、b、c． (1)已知 ，求a； (2)已知 ，求a、b． 【答案】(1) (2)， 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由勾股定理计算即可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：； （2）解：∵在中，，， ∴， ∴． 21．（本题10分）已知一个等腰三角形的周长为． (1)若一条边的长为，求其余两条边的长； (2)若一条边的长为，求其余两条边的长． 【答案】(1)，或， (2)， 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】（1）分两种情况：当腰长为时，当底边长为时，即可求解； （2）分两种情况：当腰长为时，当底边长为时，即可求解． 【详解】（1）解：当腰长为时， 底边长为， 即其余两条边的长分别为，，能组成三角形； 当底边长为时， 腰长为， 即其余两条边的长分别为，，能组成三角形． 其余两条边的长分别为，或，； （2）解：当腰长为时， 底边长为， 此时三条边的长分别为，，． ， 不能组成三角形； 当底边长为时， 腰长为， 此时三条边的长分别为，，，能组成三角形． 其余两条边的长分别为，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角的两腰相等是解题的关键． 22．（本题10分）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明． (1)请根据以上命题和图形写出已知和求证： 已知：________________________________________________________， 求证：________________________________________________________． (2)请证明以上命题． 【答案】(1)如图，在中，平分，为中点； 为等腰三角形． (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、根据等角对等边证明等腰三角形、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】（1）根据命题和图形写出已知和求证即可； （2）过点分别作：，证明，得到，从而推出，即可得证． 【详解】（1）已知：如图，在中，平分，为中点，求证：为等腰三角形． 故答案为：如图，在中，平分，为中点；为等腰三角形． （2）证明：如图，过点分别作：，垂足分别为：， 则：， ∵平分， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，利用证明三角形全等，是解题的关键． 23．（本题10分）如图，平面直角坐标系中有两点，． (1)在y轴上画出一点M，使得的值最小； (2)在x轴上画出一点N，使得的值最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题主要考查轴对称-最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题． （1）作关于轴的对称点，则与轴的交点就是； （2）连接并延长，与轴的交点就是． 【详解】（1）解：如图，点就是所求的点； （2）解：如图，点就是所求的点． 24．（本题12分）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______；②线段之间的数量关系为______； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数； （4）拓展探究：如图④，以等腰的腰为直角边作，且， ，连接，求的最大值． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）；（4） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）①由可证，根据全等三角形的性质求出的度数； ②根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据得到，根据直角三角形的性质得到，得到线段、、之间的数量关系； （3）根据解答即可； （4）过C作，且，取的中点F，连接，，，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，勾股定理求出，当A、F、E三点共线时，最大，即最大，的最大值为． 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②由①得， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵和都是等腰三角形，， ∴，，，， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）如图，过C作，且，取的中点F，连接，，，则， ∵为等腰三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，点F为的中点，， ∴，， 又∵， ∴当A、F、E三点共线时，最大，即最大， ∴的最大值为． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 2．（本题3分）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（本题3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，O为不同于A的一点，且OB＝OC，则直线AO与底边BC的关系为 A．平行 B．垂直且平分 C．斜交 D．垂直不平分 4．（本题3分）一个三角形最初的一个顶点为A，把它先向下平移4个单位长度时的位置记为B，再向左平移3个单位长度时的位置记为C，则由A，B，C三点所组成的三角形的周长为    (    ) A．7 B．14 C．12 D．15 5．（本题3分）如图，在中，，垂直平分为垂足，交于点E，若，则的长为（    ） A．5 B． C．10 D． 6．（本题3分）如图，，点在同一条直线上，则有下列4个结论：①；②；③与互补；④为等腰直角三角形．其中成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（本题3分）等腰三角形的两边a、b满足，则这个三角形的周长为（　　） A．13 B．15 C．17 D．13或17 8．（本题3分）直角三角形的两边长分别为6和8，那么它的第三边长度为（　　） A．8 B．10 C．8或 D．10或 9．（本题3分）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，D，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，，下列结论中：①；②平分；③平分；④若四边形的周长是15，且的面积为3，则四边形的面积等于11．上述结论中一定正确的有（   ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 12．（本题3分）如图，在中，为的平分线，则 ． 13．（本题3分）如图，，点D是内一点，，，则 °． 14．（本题3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4cm，则AB＝ cm． 15．（本题3分）如图，AAꞌ、BBꞌ分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AAꞌ＝BBꞌ＝AB．则∠BAC= °． 16．（本题3分）如图，的两直角边AC、BC的长分别为6、8，按图示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 ． 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）若点与点关于轴对称，与点关于轴对称，求代数式的值． 18．（本题8分）如图，过点C，于点E，于点F，．求证：． 19．（本题8分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    20．（本题8分）在中，，所对的边分别为a、b、c． (1)已知 ，求a； (2)已知 ，求a、b． 21．（本题10分）已知一个等腰三角形的周长为． (1)若一条边的长为，求其余两条边的长； (2)若一条边的长为，求其余两条边的长． 22．（本题10分）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明． (1)请根据以上命题和图形写出已知和求证： 已知：________________________________________________________， 求证：________________________________________________________． (2)请证明以上命题． 23．（本题10分）如图，平面直角坐标系中有两点，． (1)在y轴上画出一点M，使得的值最小； (2)在x轴上画出一点N，使得的值最大． 24．（本题12分）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______；②线段之间的数量关系为______； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数； （4）拓展探究：如图④，以等腰的腰为直角边作，且， ，连接，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $