第14章 全等三角形章节讲义（9知识点回顾+24题型巩固）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第14章 全等三角形 章节（9知识点回顾+24题型巩固） 目录 知识梳理 1.全等形 2.全等三角形 3.全等三角形的性质 4.基本事实“边角边”或“SAS” 5.基本事实“角边角”或“ASA” 6.基本事实“边边边”或“SSS” 7.“角角边”或“AAS” 8.用尺规作一个角等于已知角 9.“斜边、直角边”或“HL” 题型巩固 一、图形的全等 二、将已知图形分割成几个全等图形 三、全等三角形的概念 四、全等三角形的性质 五、尺规作图——作三角形 六、用SAS证明三角形全等 七、用SAS间接证明三角形全等 八、全等的性质和SAS综合 九、用ASA（AAS）证明三角形全等 十、全等的性质和ASA（AAS）综合 十一、用SSS证明三角形全等 十二、用SSS间接证明三角形全等 十三、全等的性质和SSS综合 十四、三角形的稳定性及应用 十五、四边形的不稳定性 十六、用HL证全等 十七、全等的性质和HL综合 十八、添加条件使三角形全等 十九、灵活选用判定方法证全等 二十、结合尺规作图的全等问题 二十一、倍长中线模型 二十二、旋转模型 二十三、垂线模型 二十四、全等三角形综合问题 知识梳理 知识点1.全等形 1. 定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形 . 全等形的特征：两相同与两无关 . (1)两相同：①形状相同；②大小相同 . (2)两无关：①与位置无关；②与方向无关 . 2. 全等变换的常见方式 平移、翻折、旋转 . 知识点2.全等三角形 1. 全等三角形的相关概念 (1)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等. (2)全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫作对应顶点. ②对应边：全等三角形中互相重合的边叫作对应边. ③对应角：全等三角形中互相重合的角叫作对应角. 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 3. 常见三角形的全等变换(如图14.1-3) 4. 对应元素的确定方法 (1)图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. ③相等的边(角)为对应边(角). (2)位置关系法： ①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 知识点3.全等三角形的性质 1. 性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF， 2. 拓展 全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 知识点4.基本事实“边角边”或“SAS” 1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 2. 书写格式：如图14.2-1， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， 把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来 ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS). 知识点5.基本事实“角边角”或“ASA” 1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 2. 书写格式：如图14.2-4， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA). 知识点6.基本事实“边边边”或“SSS” 1. 已知三边作三角形 要求 作法 图示 用直尺和圆规作△ABC， 使AB＝c，AC＝b，BC＝ ①作线段BC＝， ② 分别以点B，C为圆心，c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形 2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据. 知识点7.“角角边”或“AAS” 1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 2. 书写格式：如图14.2-6， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS). 3.“ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 知识点8.用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点9.“斜边、直角边”或“HL” 1. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 书写格式：如图14.2-14， 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL). 3. 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 题型巩固 题型一、图形的全等 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 题型二、将已知图形分割成几个全等图形 3．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 题型三、全等三角形的概念 5．下列关于全等三角形的说法中，正确的有（    ） ①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，线段的端点位于平面直角坐标系的网格点上，点C的坐标为． （1）请在平面直角坐标系中，画出，使得与全等；（画出所有可能，点C，不重合） （2）直接写出点的坐标． 题型四、全等三角形的性质 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 题型五、尺规作图——作三角形 9．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（   ） A．AB=3，BC=4，AC=8 B．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 C．∠C=90°，AB=6 D．AB=4，BC=3，∠A=30° 10．尺规作图，保留必要的作图痕迹． 已知，求作，使． 题型六、用SAS证明三角形全等 11．如图，已知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 12．如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 题型七、用SAS间接证明三角形全等 13．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 14．如图，，，．求证：． 题型八、全等的性质和SAS综合 15．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出以下结论：①；②；③与互补，其中，正确的是 （只需填写序号）． 16．（2024八年级上·安徽·专题练习）已知：如图，，，．请你判断与的大小关系，并证明你的结论． 题型九、用ASA（AAS）证明三角形全等 17．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 18．如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，若两根木杆的影子一样长，木杆的高度为，则木杆的高度为 ． 19．嘉嘉自编了一题如下： 如图．在中，，，，垂足分别为，．求证：． 淇淇认为只有一组对应边和一组对应角，还需补充一个条件才能证明． 如果你认为嘉嘉自编题无误，请直接完成证明；如果你赞成淇淇的观点，请补充一个条件，再完成证明．    题型十、全等的性质和ASA（AAS）综合 20．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在梯形中，，，，若，，，则的长度为 ． 21．如图，在中，于E，点F在边上，连接． (1)求证∶； (2)若，且的面积等于45，求的长； 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，求证：． 题型十一、用SSS证明三角形全等 23．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 24．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 题型十二、用SSS间接证明三角形全等 25．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 26．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 题型十三、全等的性质和SSS综合 27．根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（   ） A． B．平分 C．垂直平分线段 D．构造的依据是 28．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：． 题型十四、三角形的稳定性及应用 29．下列图形具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．长方形 C．五边形 D．六边形 30．如图1，是生活中常见的手机无线充电支架，它的侧面示意图如图2，无线充电支架之所以能稳定站立的原因是 ；请你写出无线充电的技术原理 ． 题型十五、四边形的不稳定性 31．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 32．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 题型十六、用HL证全等 33．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 34．如图，已知，，，与交于点O，求证： 题型十七、全等的性质和HL综合 35．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，，，于点M，于点N，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 36．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A在上，，，．求证：． 题型十八、添加条件使三角形全等 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点E、C在线段上，且，，添加一个条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 38．如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 题型十九、灵活选用判定方法证全等 39．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）根据下列条件，不能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 40．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 题型二十、结合尺规作图的全等问题 41．如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 42．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 题型二十一、倍长中线模型 43．已知△ABC中AD为中线，且AB=5、AC=7 ，则AD的取值范围为（ ） A．2＜AD＜12 B．5＜AD＜7 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜10 44．（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，，点D是的中点，连接，设的长度为x，则x的取值范围是 ． 题型二十二、旋转模型 45．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 46．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，E、F为BC、CD边上的点，若∠FAE＝45°，试探究线段BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由． 题型二十三、垂线模型 47．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 48．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 题型二十四、全等三角形综合问题 49．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．三条边对应相等的两个三角形全等 C．全等三角形对应边上的高相等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 50．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在和中，与交于点，与交于点，与交于点，已知，，．    证明： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 章节（9知识点回顾+24题型巩固） 目录 知识梳理 1.全等形 2.全等三角形 3.全等三角形的性质 4.基本事实“边角边”或“SAS” 5.基本事实“角边角”或“ASA” 6.基本事实“边边边”或“SSS” 7.“角角边”或“AAS” 8.用尺规作一个角等于已知角 9.“斜边、直角边”或“HL” 题型巩固 一、图形的全等 二、将已知图形分割成几个全等图形 三、全等三角形的概念 四、全等三角形的性质 五、尺规作图——作三角形 六、用SAS证明三角形全等 七、用SAS间接证明三角形全等 八、全等的性质和SAS综合 九、用ASA（AAS）证明三角形全等 十、全等的性质和ASA（AAS）综合 十一、用SSS证明三角形全等 十二、用SSS间接证明三角形全等 十三、全等的性质和SSS综合 十四、三角形的稳定性及应用 十五、四边形的不稳定性 十六、用HL证全等 十七、全等的性质和HL综合 十八、添加条件使三角形全等 十九、灵活选用判定方法证全等 二十、结合尺规作图的全等问题 二十一、倍长中线模型 二十二、旋转模型 二十三、垂线模型 二十四、全等三角形综合问题 知识梳理 知识点1.全等形 1. 定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形 . 全等形的特征：两相同与两无关 . (1)两相同：①形状相同；②大小相同 . (2)两无关：①与位置无关；②与方向无关 . 2. 全等变换的常见方式 平移、翻折、旋转 . 知识点2.全等三角形 1. 全等三角形的相关概念 (1)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等. (2)全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫作对应顶点. ②对应边：全等三角形中互相重合的边叫作对应边. ③对应角：全等三角形中互相重合的角叫作对应角. 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 3. 常见三角形的全等变换(如图14.1-3) 4. 对应元素的确定方法 (1)图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. ③相等的边(角)为对应边(角). (2)位置关系法： ①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 知识点3.全等三角形的性质 1. 性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF， 2. 拓展 全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 知识点4.基本事实“边角边”或“SAS” 1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 2. 书写格式：如图14.2-1， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， 把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来 ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS). 知识点5.基本事实“角边角”或“ASA” 1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 2. 书写格式：如图14.2-4， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA). 知识点6.基本事实“边边边”或“SSS” 1. 已知三边作三角形 要求 作法 图示 用直尺和圆规作△ABC， 使AB＝c，AC＝b，BC＝ ①作线段BC＝， ② 分别以点B，C为圆心，c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形 2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据. 知识点7.“角角边”或“AAS” 1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 2. 书写格式：如图14.2-6， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS). 3.“ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 知识点8.用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点9.“斜边、直角边”或“HL” 1. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 书写格式：如图14.2-14， 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL). 3. 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 题型巩固 题型一、图形的全等 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的定义，熟悉掌握全等图形的识别是解题的关键．根据全等图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．两图大小不一样，故不是全等图形，故A错误； B．两图大小形状一样，故是全等图形，故B正确； C．两图形状不一样，故不是全等图形，故C错误； D．两图大小不一样，故不是全等图形，故D错误． 故选：B． 2．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 【答案】1 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 题型二、将已知图形分割成几个全等图形 3．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 4．如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 【答案】详见解析 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】此题主要考查全等形，理解全等形的概念是解题关键． 直接利用全等图形的性质来构造图形． 【详解】解：如图所示： 题型三、全等三角形的概念 5．下列关于全等三角形的说法中，正确的有（    ） ①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等三角形的概念、性质定理和判定定理判断即可． 【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，故①正确； ②全等三角形的对应边相等、对应角相等，故②正确； ③面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故③错误； ④全等三角形的周长相等、面积相等，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的概念和判定定理是解题的关键． 6．如图，在中，线段的端点位于平面直角坐标系的网格点上，点C的坐标为． （1）请在平面直角坐标系中，画出，使得与全等；（画出所有可能，点C，不重合） （2）直接写出点的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2）（-2，5），（-2，-1），（7，-1）． 【知识点】全等三角形的概念、坐标与图形 【分析】（1）借助平面直角坐标系和全等三角形的性质即可得出所有的； （2）根据所画的点即可写出它的坐标． 【详解】解：（1）如下图所示； （2）点的坐标为：（-2，5），（-2，-1），（7，-1）． 【点睛】本题考查作全等图形，坐标与图形．注意有三种结果，不要漏掉． 题型四、全等三角形的性质 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 故选C． 8．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）解：∵， ∴，， ∴与的周长和为 ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 题型五、尺规作图——作三角形 9．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（   ） A．AB=3，BC=4，AC=8 B．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 C．∠C=90°，AB=6 D．AB=4，BC=3，∠A=30° 【答案】B 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】判断一个三角形是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形则并不是唯一存在，可能有多种情况存在. 【详解】A.因为AC，BC，AB的长不满足三角形三边关系，所以A选项不能确定一个三角形； B. ∠A，∠B的公共边是AB，根据三角形全等的判定ASA可以确定一个三角形，故B选项能唯一确定一个三角形； C. 只有一个角一条边，故C选项不能唯一确定一个三角形； D. ∠A不是AB和BC边的夹角，故D选项不能唯一确定一个三角形， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形的确定问题，熟练掌握三角形的三边关系等相关问题是解决本题的关键. 10．尺规作图，保留必要的作图痕迹． 已知，求作，使． 【答案】见解析． 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】分别作出三边等于已知三角形的三边即可． 【详解】步骤如下： （1）画线段； （2）分别以、为圆心，线段，为半径画弧，两弧交于点； （3）连结线段、，就是所求作的三角形． 【点睛】此题考查作图-复杂作图，解题关键在于掌握知识点：三边对应相等的两三角形全等． 题型六、用SAS证明三角形全等 11．如图，已知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握利用“”来判定三角形全等是解题的关键．已知，即知，也就是已知两个三角形两边对应相等，只要添加夹角相等的相关条件即可． 【详解】， ， ，， ， ②正确； ， ， 根据②，即可判断， ④正确； 添加或，均不能满足“”， ①和③均错误； 可以利用的是②④． 故选：B． 12．如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）证明，再由可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴, 又 ∴ ∴． 题型七、用SAS间接证明三角形全等 13．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 14．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，先证明，在用证明即可，掌握判定三角形全等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中 ∴． 题型八、全等的性质和SAS综合 15．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出以下结论：①；②；③与互补，其中，正确的是 （只需填写序号）． 【答案】①②③ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意判定，继而利用全等三角形性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将表格右下方格点命名为，交点命名为，见下图所示： ， ∵边长为1的小正方形组成的网格中， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， 故答案为：①②③． 16．（2024八年级上·安徽·专题练习）已知：如图，，，．请你判断与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】相等，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，证明三角形全等是解答本题的关键．由“SAS”可证，可得． 【详解】解：与的大小关系是相等； 证明如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ． 题型九、用ASA（AAS）证明三角形全等 17．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据公共角相等，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选：D． 18．如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，若两根木杆的影子一样长，木杆的高度为，则木杆的高度为 ． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查平行投影，全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法． 根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解：， ， 两根木杆的影子一样长， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 19．嘉嘉自编了一题如下： 如图．在中，，，，垂足分别为，．求证：． 淇淇认为只有一组对应边和一组对应角，还需补充一个条件才能证明． 如果你认为嘉嘉自编题无误，请直接完成证明；如果你赞成淇淇的观点，请补充一个条件，再完成证明．    【答案】嘉嘉编题无误，证明见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据判定条件证明即可． 【详解】解：嘉嘉编题无误，证明如下： 证明：∵，， ∴． 在和中， ∴． 题型十、全等的性质和ASA（AAS）综合 20．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在梯形中，，，，若，，，则的长度为 ． 【答案】5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用平行线的性质求得，再证明得出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 21．如图，在中，于E，点F在边上，连接． (1)求证∶； (2)若，且的面积等于45，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质． （1）证明，即可求证； （2）根据，可得，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ∴， ∴． （2）解∶由（1）得∶， ∴， 即 ， 又∵，且的面积等于45， ∴ ， ∴． 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明： ， ， 即 在 和 中 ， ， ． 题型十一、用SSS证明三角形全等 23．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 24．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形 故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形 题型十二、用SSS间接证明三角形全等 25．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 【答案】4 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 26．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 题型十三、全等的性质和SSS综合 27．根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（   ） A． B．平分 C．垂直平分线段 D．构造的依据是 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，根据作图得到，结合，推出，进而得到，得到平分，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 无法得到，垂直平分线段； 故只有选项B正确； 故选B． 28．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：先得到，通过证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴． 即． 在和中， ∵ ∴． ∴． 题型十四、三角形的稳定性及应用 29．下列图形具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．长方形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】具有稳定性的是三角形， 故选：A 30．如图1，是生活中常见的手机无线充电支架，它的侧面示意图如图2，无线充电支架之所以能稳定站立的原因是 ；请你写出无线充电的技术原理 ． 【答案】 三角形的稳定性 电磁感应原理 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，常见物理知识，根据三角形的稳定性和电磁感应原理解答即可． 【详解】解：无线充电支架之所以能稳定站立的原因是三角形的稳定性；请你写出无线充电的技术原理是电磁感应原理． 故答案为：三角形的稳定性，电磁感应原理． 题型十五、四边形的不稳定性 31．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 32．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 题型十六、用HL证全等 33．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据利用“”判定，必须添加斜边相等即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵于P，， ∴利用“”判定，必须添加斜边相等，即， 故选：D． 34．如图，已知，，，与交于点O，求证： 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定，和是两个直角三角形，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 题型十七、全等的性质和HL综合 35．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，，，于点M，于点N，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键． 先证明，得到，进而可求解． 【详解】解：∵于点M，于点N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 36．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出，然后得到，进而求解即可． 【详解】证明：在和中， ， ， ． ， ， ， ． 题型十八、添加条件使三角形全等 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点E、C在线段上，且，，添加一个条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．由“”不能判定全等可判断A选项；由“”能判定全等可判断B选项；由“”能判定全等可判断C选项；由“”能判定全等可判断D选项． 【详解】解：根据得， 当添加选项A中的条件时， 在和中， ，，， 此时不能判定，故选项A符合题意； 当添加选项B中的条件时， 在和中， ， ，故选项B不符合题意； 当添加选项C中的条件时， 在和中， ， ，故选项C不符合题意； 当添加选项D中的条件时， 在和中， ， ，故选项D不符合题意， 故选：A． 38．如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 【答案】或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得t，可得；情况二：当，时，列方程解得t，可得． 【详解】解：∵点M、N运动的速度之比为， ∴可设，则，， ∵， ∴使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 题型十九、灵活选用判定方法证全等 39．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）根据下列条件，不能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握三角形全等的判定方法是解此题的关键，根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，，满足的要求，可以画出唯一，故此选项不符合题意； B、，，，满足的要求，可以画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，满足的要求，可以画出唯一，故此选项不符合题意； D、，，，不是和的夹角，可以画出不同的，故此选项符合题意； 故选：D． 40．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 题型二十、结合尺规作图的全等问题 41．如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 42．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可； （2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型二十一、倍长中线模型 43．已知△ABC中AD为中线，且AB=5、AC=7 ，则AD的取值范围为（ ） A．2＜AD＜12 B．5＜AD＜7 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜10 【答案】C 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【详解】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC， 在△ADB和△EDC中 ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴CE=AB， ∵AB=5，AC=7， ∴CE=5， 设AD=x，则AE=2x， ∴7-5＜2x＜7+5， ∴1＜x＜6， 故选：C． 44．（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，，点D是的中点，连接，设的长度为x，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围 【分析】延长，使，连接，证明得到，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴，即， 故答案为：. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 题型二十二、旋转模型 45．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、三角形的三边关系判断④． 【详解】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，①正确； ∵EA与DA不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误； ∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠DAE＝45°， 在△AED和△AEF中， ∴△AED≌△AEF，③正确； ∵△ADC≌△AFB， ∴BF＝CD， ∵BE＋BF＞DE ∴BE＋DC＞DE，④错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键． 46．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，E、F为BC、CD边上的点，若∠FAE＝45°，试探究线段BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】EF＝BE+DF，见解析. 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，可得∠DAF＝∠BAH，AF＝AH，∠FAH＝90°，由“SAS”可证△FAE≌△HAE，可得EF＝HE＝BE＋DF． 【详解】解：EF＝BE+DF． 理由如下： 如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH， ∴△ADF≌△ABH， ∴∠DAF＝∠BAH，AF＝AH， ∴∠FAH＝90°， ∴∠EAF＝∠EAH＝45°， ∵AF＝AH，∠FAE＝∠HAE，AE＝AE ∴△FAE≌△HAE（SAS）， ∴EF＝HE ∴EF＝HE＝BE+HB， ∴EF＝BE+DF． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键． 题型二十三、垂线模型 47．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】由题意过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE，AD=CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC=2，AD=CE=3，OD=6， ∴CD=OD-OC=4，OE=CE-OC=3-2=1， ∴BE=4， ∴则B点的坐标是（1，4）． 故选：D. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 48．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解：， . 又，， . 题型二十四、全等三角形综合问题 49．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．三条边对应相等的两个三角形全等 C．全等三角形对应边上的高相等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】选项A中，两个角和一边相等，如果边为两个角的公共边，则为，如果边不是两个角公共边，则为，都能够判定两个三角形全等，正确； 选项B为，能够判定两个三角形全等，正确； 选项C中，全等三角形对应位置的边角都相等，故对应边上的高也相等，正确； 选项D中，三个角对应相等，没有边对应相等，可能为一大一小的三角形，错误； 故选：D． 50．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在和中，与交于点，与交于点，与交于点，已知，，．    证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）先得到，再由证明即可； （2）先证明，再证明，利用全等三角形的性质即可求证． 【详解】（1）证明：， ，即. 在和中 ， ； （2）证明：， ，. 在和中， ，，， ， ， ，即. 又， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $