专题03 实数及近似值重难点题型专训（4个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题03 实数及近似值重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 无理数 题型二 求一个数的近似数 题型三 求近似数的精确度 题型四 无理数的大小估算 题型五 实数的分类 题型六 实数的性质 题型七 实数与数轴 题型八 实数的大小比较 题型九 程序设计与实数运算 题型十 无理数整数部分的有关计算 题型十一 计算器——平方根和立方根 拓展训练一 无理数估算的几何问题 拓展训练二 实数的规律探究问题 知识点一：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列各数中，为无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）写一个比2大，比5小的无理数： ． 知识点二：实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B．7 C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习） 和 统称为实数． 知识点三：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在后面四个数，1.414，， 中 是无理数． 知识点四：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，点可能是无理数 . 知识点五：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·模拟预测）以下四个数中最大的是（    ） A． B．2 C．0 D． 2．（2025·江苏·模拟预测）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【经典例题一 无理数】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）在…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），中，无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在实数2，中，有理数的和为 ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若有理数满足，则的平方根是 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的的值是_____________； (2)若输入有效的的值后，始终输不出的值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请写出两个满足要求的的值． 【经典例题二 求一个数的近似数】 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）将四舍五入精确到千分位是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·开学考试）一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（    ） A．4.004 B．3.995 C．3.994 D．3.95 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）一个三位小数用四舍五入法取近似值是，这个数原来最大是 ，最小是 ． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）95号汽油8.01元，小红家的汽车加95号汽油，平均每耗油大约，按照这个耗油量，请你算一算小红家的汽车行驶大约需要 元．（保留两位小数） 4．（2025·江苏常州·模拟预测）【问题提出】如何对物体的长度进行更精确的测量？青岛二十六中数学组为同学们提供了一种思路，使用专业工具“游标卡尺”对数据进行更精确的测量． 【工具介绍】①是主尺（最小刻度是毫米）；②是游标尺个等分刻度）．它是套在主尺上可移动的部件；③是测量爪．移动游标尺，把被测物体夹在两测量爪之间，两爪之间的距离等于被测物体的长度． 【问题解决】 (1)图甲中，当测量爪对齐时，游标尺上的0刻线与主尺上的0刻线对齐，游标尺的第10刻线与主尺上刻线对齐，其它刻线都与主尺上的刻线不对齐，则游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少 ___________毫米． (2)如果将1张厚度为0.1mm的纸夹在测量爪间，游标尺的第1刻线与主尺刻线对齐，读数为0.1mm；如果将2张这样的纸夹在测量爪间，游标尺的第2刻线与主尺刻线对齐，读数为0.2mm；依此类推，如果将10张这样的纸夹在测量爪间，游标尺与主尺刻线对齐的情况如图乙，读数为0.1mm．如图丙，如果将一个小钢球夹在测量爪间，则这个小钢球的直径为 ___________毫米． 【结论归纳】 (3)用毫米刻度尺测量长度时，只能准确地读到毫米，而用本题中的游标卡尺测量时，就能准确地读到 ___________毫米，这个数值叫做游标卡尺的精确度．如果用表示待测物体的长度，用表示主尺的整毫米数，表示与主尺刻线对齐的游标尺上的刻线序数，表示游标卡尺的精确度，则待测物体的长度表达式可归纳为：___________． 【经典例题三 求近似数的精确度】 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列用四舍五入法得到的近似数，描述错误的是（   ） A．100.17（精确到百分位） B．0.185（精确到千分位） C．960万（精确到个位） D．42.3万（精确到千位） 1．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．近似数1.2和1.20精确度相同 B．取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 C．0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.015 D．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）用四舍五入法得到近似数为，其精确到 位． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）圆周率，如果取近似数3.14，它精确到 位，有 个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到 位，有 个有效数字． 4．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 【经典例题四 无理数的大小估算】 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）绝对值小于的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 1．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）已知，且a是整数，则a的值是 ． 3．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）在中，介于2和3之间的数有 ，介于3和4之间的数有 ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到近似值．他的算法是：先将看出；由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；……依此算法，所得的近似值会越来越精确． (1)若要利用此公式得到的近似值，则可知______； (2)试两次运用此近似公式求的近似值（用分数表示）． 【经典例题五 实数的分类】 【例5】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在实数，，，中，有理数有 个． 3．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，． (1)无理数集合{              …}； (2)整数集合{              …}； (3)分数集合{              …}． 【经典例题六 实数的性质】 【例6】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如表为嘉琪同学答卷的填空题部分，他的填空题得分是 分． 填空（每小题分，共分） ①的相反数是； ②的绝对值是； ③； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）（1）计算：                 （2） 已知：，求x的值． 【经典例题七 实数与数轴】 【例7】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，若，则的值所对应的点可能落在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 2．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）如图，在数轴上表示实数的点可能是点 ．（选填“”“”“”或“”） 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 4．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）现有五个实数：，，，，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D (1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________； (2)①用圆规在数轴上精确地表示出（提示：注意观察正方形的面积）； ②将上述五个数按从小到大的顺序用“”连接 【经典例题八 实数的大小比较】 【例8】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）下列实数中，最大的数是（   ） A． B．0 C．3 D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）比较大小： 填“>，<或=” 3．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）（1）用“”“”或“”填空： ， ； （2）由（1）可知， ① ，② ； 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 【经典例题九 程序设计与实数运算】 【例9】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于（    ）    A．2 B．8 C． D． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）同学在信息技术课上设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数，例如输入时，就会得到实数（即）．若输入实数对时得到实数3，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·开学考试）有一个数值转换器，原理如图.当输入的时，输出的y等于 . 4．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图是一个数值转换器． (1)当输入x＝25时，求输出的y的值； (2)是否存在输入x的值后，始终输不出y的值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由； (3)输入一个两位数x，恰好经过三次取算术平方根才能输出无理数y，则x＝________(只填一个即可)． 【经典例题十 无理数整数部分的有关计算】 【例10】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）的整数部分是多少（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）若的整数部分为a，的整数部分为b，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）公元5世纪时，北魏数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题.即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则，按照上述取近似值的方法， （精确到0.01）. 4．（24-25八年级上·泰州·期中）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；．2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)直接写出结果：______，______，______； (2)已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）； (3)已知，，令，求． 【经典例题十一 计算器——平方根和立方根】 【例11】（24-25八年级上·江苏南京·假期作业）在用计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）用科学计算器计算 （比较大小） 3．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）利用计算器求值（结果精确到）： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)； (3)． 【拓展训练一 无理数估算的几何问题】 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，这是一个长方形信封，其长、宽之比为，面积为．现有一张面积为的正方形贺卡，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 画出示意图，如图所示 可得图中正方形的面积为 ∵，可忽略，于是得，解得， ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)的整数部分为_________________； (2)求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读下面的文字并解答问题：我们已经知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能被全部写出来．那么，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分．因为的整数部分是2，所以用来表示的小数部分．数学兴趣小组的同学掌握了一种用几何图形求的近似值的方法，过程如下： 面积为5的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图把面积为5的正方形进行分割．根据示意图，可得图中正方形的面积 又 ，即 由于的值很小，可以忽略不计． ，解得： ． (1)的整数部分是_____，小数部分是____； (2)仿照上述方法，探究的近似值（保留两位小数）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【拓展训练二 实数的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：　　　　； (2)用含的代数式表示第个等式：　　　　为正整数）； (3)求的值． 2．（24-25八年级上·安徽黄山·阶段练习）小明同学在探究如何计算连续正整数之和后，得到公式S（n）＝1＋2＋3＋…＋n＝，于是他猜想连续正整数的平方和S（n2）是否也有类似的公式，为此，他将相关数值列成如下表格，请观察表格规律，并完成问题： n 1 2 3 4 5 6 … S（n） 1 3 6 10 15 a … S（n2） 1 5 14 b 55 91 … 1 c d … （1）根据规律，表格中a＝ ；c＝ ； （2）用含n的代数式表示 ； （3）推导出计算公式S（n2）． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： ，，，… 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为a，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为 ① ，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是 ② ． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：① ；② ． (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出： ； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律： ． (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，…的计算结果，请用代数式表示你发现的规律： ． 1．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 2．（25-26八年级上·江苏徐州·开学考试）估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 3．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）在实数中，最大的实数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（　　） A． B． C．2 D．5 5．（2025八年级上·江苏宿迁·模拟预测）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的相反数是 ． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）比大的最小整数是 ． 8．（25-26八年级上·江苏·期中）实数，中，无理数有 个． 9．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，数轴上有一块儿被墨迹污染了，则被墨迹覆盖的无理数的值可以是 （只需写出一个符合条件的实数）． 10．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是 ． 11．（25-26八年级上·江苏南京·随堂练习）比较下列各组数的大小： (1)2，3与； (2)与2.3． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 13．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，将所得的4个等腰直角三角形拼成一个大正方形． ①求正方形的边长； ②如图2，在数轴上，以原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，交数轴的负半轴于点，直接写出点表示的实数． （2）请你参照（1）的方法，解决下面的问题： ①如图3，把5个边长为1的正方形排成一个长方形，将图3的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，并求出大正方形边长的值（图4中小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）； ②在①的条件下，数轴上点表示的数为，在图5的数轴上标出点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数及近似值重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 无理数 题型二 求一个数的近似数 题型三 求近似数的精确度 题型四 无理数的大小估算 题型五 实数的分类 题型六 实数的性质 题型七 实数与数轴 题型八 实数的大小比较 题型九 程序设计与实数运算 题型十 无理数整数部分的有关计算 题型十一 计算器——平方根和立方根 拓展训练一 无理数估算的几何问题 拓展训练二 实数的规律探究问题 知识点一：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列各数中，为无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是无理数，故符合题意； B．是分数，属于有理数，故不符合题意； C．0是整数，属于有理数，故不符合题意； D．是整数，属于有理数，故不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）写一个比2大，比5小的无理数： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的大小比较，解题关键是熟练掌握无理数的定义． 先任意写出一个比2大，比5小的无理数即可． 【详解】解：，， ， ， 比2大，比5小的无理数为：， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点二：实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可． 【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意； B、7不是无理数，故本选项不符合题意； C、0.080080008不是无理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习） 和 统称为实数． 【答案】 有理数 无理数 【分析】根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，进行作答即可． 【详解】解：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数， 故答案为：有理数，无理数． 【点睛】本题考查实数的定义．熟练掌握有理数和无理数，统称为实数是解题的关键． 知识点三：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，实数包括有理数和无理数；整数和分数都属于有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．找到有理数，即可确定正有理数的个数． 【详解】解：，，，，0，，为有理数； 为无理数； ∴，，，为正有理数， 故选：B 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在后面四个数，1.414，， 中 是无理数． 【答案】 【分析】根据无理数的定义直接判断即可． 【详解】解：是分数，1.414是有限小数，=2是有理数，是无理数， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数，有三种形式：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③含π的数，解题的关键是掌握无理数的定义． 知识点四：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键．由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， 故选项A不符合题意；选项B不符合题意；选项C不符合题意；选项D符合题意； 故选：D 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，点可能是无理数 . 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了实数与数轴．熟练掌握实数与数轴是解题的关键．根据点A表示的无理数数大于且小于，且靠近，作答即可． 【详解】解：由题意可知，点A表示的数大于小于，且靠近， ∴点可能表示的无理数是， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点五：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·模拟预测）以下四个数中最大的是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数比较大小，先根据无理数的估算方法得到，再由正数大于0，0大于负数比较出四个数的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴四个数中，最大的数为， 故选：B． 2．（2025·江苏·模拟预测）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握无理数的大小比较方法是解题的关键. 因为，，，得到，即可得到答案. 【详解】解：，，， ， 故答案为：. 【经典例题一 无理数】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）在…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），中，无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数． 根据无理数的定义作答即可． 【详解】在…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），中，无理数有…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）共4个， 故选：B 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法． 【详解】解：从数据，，1.9．，，中任选一个数，抽到的无理数的有，这2种可能， 从数据，，1.9．，，中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在实数2，中，有理数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数和有理数识别、算术平方根、实数运算等知识，理解有理数和无理数的定义是解题关键．首先判断四个实数中的无理数和有理数，然后根据算术平方根的定义性质以及实数加法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故这组实数中，为无理数，2，为有理数， 则有理数的和为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若有理数满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算以及平方根的概念，解题的关键是利用有理数和无理数的性质求出a，b的值． 因为有理数和无理数的性质不同，等式中含有无理数，要使等式成立，则含的项的系数应为0，由此可求出的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】已知，因为a，b是有理数，是无理数． 一个有理数与一个无理数的和为0，则这个无理数的系数必须为0， 即，解得， 把代入，得到， 即，解得． 所以， ab的平方根是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的的值是_____________； (2)若输入有效的的值后，始终输不出的值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)当和1时，始终输不出的值，理由见解析 (3)25，5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）按照数值转换器的规则，逐步对输入的16取算术平方根，直到得到无理数为止． （2）思考哪些数的算术平方根是其本身且为有理数，使得始终输不出无理数的值． （3）根据输出的，反向推导，找出经过一次或多次取算术平方根能得到的值． 【详解】（1）解：， ，（是无理数）， 所以输出的的值是． （2）解：或，理由如下： 因为，，0和1的算术平方根是它们本身，且是有理数， 所以当或时，始终输不出的值． （3）解：因为，， 所以或（答案不唯一）． 【经典例题二 求一个数的近似数】 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）将四舍五入精确到千分位是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了近似数，用到的知识点是近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度． 【详解】解：将用四舍五入法精确到千分位的近似数是； 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏常州·开学考试）一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（    ） A．4.004 B．3.995 C．3.994 D．3.95 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入的知识即可求解． 【详解】解：一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是．则这个三位小数最小是 故选：B 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）一个三位小数用四舍五入法取近似值是，这个数原来最大是 ，最小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了取一个数的近似数，熟练掌握四舍五入的方法是解题的关键； 根据题目要求灵活掌握解答方法，要考虑是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，由此解答问题即可求解． 【详解】解：一个三位小数，用“四舍五入”法取近似数的结果为，这个三位小数最大是，最小是； 故答案为：，． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）95号汽油8.01元，小红家的汽车加95号汽油，平均每耗油大约，按照这个耗油量，请你算一算小红家的汽车行驶大约需要 元．（保留两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，先求出小红家的汽车行驶的耗油量，再乘95号汽油的单价，再保留两位小数即可求解． 【详解】 （元）． 故答案为：． 4．（2025·江苏常州·模拟预测）【问题提出】如何对物体的长度进行更精确的测量？青岛二十六中数学组为同学们提供了一种思路，使用专业工具“游标卡尺”对数据进行更精确的测量． 【工具介绍】①是主尺（最小刻度是毫米）；②是游标尺个等分刻度）．它是套在主尺上可移动的部件；③是测量爪．移动游标尺，把被测物体夹在两测量爪之间，两爪之间的距离等于被测物体的长度． 【问题解决】 (1)图甲中，当测量爪对齐时，游标尺上的0刻线与主尺上的0刻线对齐，游标尺的第10刻线与主尺上刻线对齐，其它刻线都与主尺上的刻线不对齐，则游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少 ___________毫米． (2)如果将1张厚度为0.1mm的纸夹在测量爪间，游标尺的第1刻线与主尺刻线对齐，读数为0.1mm；如果将2张这样的纸夹在测量爪间，游标尺的第2刻线与主尺刻线对齐，读数为0.2mm；依此类推，如果将10张这样的纸夹在测量爪间，游标尺与主尺刻线对齐的情况如图乙，读数为0.1mm．如图丙，如果将一个小钢球夹在测量爪间，则这个小钢球的直径为 ___________毫米． 【结论归纳】 (3)用毫米刻度尺测量长度时，只能准确地读到毫米，而用本题中的游标卡尺测量时，就能准确地读到 ___________毫米，这个数值叫做游标卡尺的精确度．如果用表示待测物体的长度，用表示主尺的整毫米数，表示与主尺刻线对齐的游标尺上的刻线序数，表示游标卡尺的精确度，则待测物体的长度表达式可归纳为：___________． 【答案】(1)0.1 (2)3.5 (3)0.1； 【分析】（1）根据游标尺与主尺的长度求出每一格的长度，然后即可求出差； （2）主尺读数时看游标的0刻度线超过主尺哪一个示数，该示数为主尺读数，看游标的第几根刻度与主尺刻度对齐，乘以游标的分度值，即为游标读数． 【结论归纳】得出游标卡尺读数的方法，是主尺读数加上游标读数，据此即可求出． 【详解】（1）解：（1）由图知：游标卡尺主尺的长度，与游标的10个格数的长度相等， 游标上每一格的长度为， 游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少； 故答案为：0.1； （2）（2）如图丙，游标的0刻度线超过主尺的，游标尺的第5刻线与主尺刻线对齐，读数为； 这个小钢球的直径为； 故答案为：3.5； （3）游标卡尺测量时能准确地读到0.1毫米，根据游标卡尺读数的方法可得：． 故答案为0.1；． 【点睛】本题主要考查数学，物理相关联的知识，解决本题的关键是掌握游标卡尺的读数方法，主尺读数加上游标读数，不需估读． 【经典例题三 求近似数的精确度】 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列用四舍五入法得到的近似数，描述错误的是（   ） A．100.17（精确到百分位） B．0.185（精确到千分位） C．960万（精确到个位） D．42.3万（精确到千位） 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的精确度：经过四舍五入得到的数称为近似数，末位数字在哪个数位上，就是精确到什么位．根据近似数的精确度的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、100.17（精确到百分位），故原说法正确，该选项不符合题意； B、0.185（精确到千分位），故原说法正确，该选项不符合题意； C、960万（精确到万位），故原说法错误，该选项符合题意； D、42.3万（精确到千位），故原说法正确，该选项不符合题意; 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．近似数1.2和1.20精确度相同 B．取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 C．0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.015 D．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和精确度，根据近似数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：A、近似数1.2和1.20精确度不一样，1.2精确到十分位，1.20精确到百分位，故本选项错误； B、取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数，故本选项正确； C、0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.016，故本选项错误； D、由四舍五入得到的近似数，精确到百位，故本选项错误； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）用四舍五入法得到近似数为，其精确到 位． 【答案】个 【分析】近似数精确到哪一位，应看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：近似数精确到个位， 故答案为：个． 【点睛】本题考查近似数，近似数精确到哪一位，应看末位数字实际在哪一位，熟练掌握此知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）圆周率，如果取近似数3.14，它精确到 位，有 个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到 位，有 个有效数字． 【答案】 百分 三 千万分 八 【分析】根据数的精确度和近似数确定有效数字的方法即可解答．注意：有效数字从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止． 【详解】解：圆周率取近似数3.14，精确到百分位，有三个有效数字；如果取近似数3.1415926，精确到千万分位，有八个有效数字． 故答案为：百分，三；千万分，八． 【点睛】本题主要考查了近似数与有效数字的确定，解题关键是熟练掌握数的精确度和有效数字的知识． 4．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看后一位的数字与5的大小比较，利用四舍五入法解答．熟练掌握四舍五入法是解题关键． （1）根据万分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （2）根据十分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （3）根据千分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （4）根据百位的数字，利用四舍五入法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到千分位）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到）； （4）解：（精确到千位）． 【经典例题四 无理数的大小估算】 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）绝对值小于的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，绝对值．熟练掌握无理数的估算，绝对值是解题的关键． 由题意可得，则绝对值小于的整数有，，，，0，1，2，3，4共9个，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴绝对值小于的整数有，，，，0，1，2，3，4共9个， 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，再结合数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴点表示在和之间，如图： ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）已知，且a是整数，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数比大小是解题的关键，根据， ，可得，再由a是整数，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴，且a是整数， ∴， 故答案为：3． 3．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）在中，介于2和3之间的数有 ，介于3和4之间的数有 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个实数的范围． 求出每个实数的范围，再判断即可． 【详解】解：，，，， 则， ， 故介于2和3之间的数有，介于3和4之间的数有． 故答案为：；． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到近似值．他的算法是：先将看出；由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；……依此算法，所得的近似值会越来越精确． (1)若要利用此公式得到的近似值，则可知______； (2)试两次运用此近似公式求的近似值（用分数表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了近似公式，有理数的计算，理解题意是解题的关键． （1）根据近似公式，直接计算即可； （2）用两次近似公式计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， 的近似值是． 【经典例题五 实数的分类】 【例5】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】A．是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．，非完全平方数的平方根，无法化简为整数或分数，是无限不循环小数，仍然是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和实数的定义来判断正误即可． 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在实数，，，中，有理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，根据有理数的定义即可解答，解题的关键是正确理解有理数的定义． 【详解】解：在实数，，，中，有理数为，，共个， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，． (1)无理数集合{              …}； (2)整数集合{              …}； (3)分数集合{              …}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，实数的分类，熟练掌握立方根的定义以及实数的分类是解题的关键； （1）根据无理数的定义，可得是无理数； （2）根据立方根可得，是整数； （3）根据，是分数，即可求解． 【详解】（1）解：无理数集合{ …}； 故答案为：． （2） 整数集合{ …}； 故答案为：． （3）分数集合{…}． 故答案为：． 【经典例题六 实数的性质】 【例6】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解， 本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：． 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断和实数的性质，把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例，熟知实数的性质，能正确举出反例是解本题的关键． 【详解】、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如表为嘉琪同学答卷的填空题部分，他的填空题得分是 分． 填空（每小题分，共分） ①的相反数是； ②的绝对值是； ③； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、绝对值、算术平方根、平方根和立方根，根据以上定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的相反数是，该题正确； ②的绝对值是，该题正确； ③，该题正确； ④平方根与立方根相等的数是，该题错误； ⑤，该题正确； 综上，嘉琪答对题， ∴填空题得分是分， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）（1）计算：                 （2） 已知：，求x的值． 【答案】（1） （2）或 【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的平方根，根据平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）先根据绝对值化简，然后根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据平方根的定义解方程即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， 解得：或． 【经典例题七 实数与数轴】 【例7】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数大小比较，实数与数轴，掌握实数的大小比较方法是解题的关键， 根据数轴上实数、、、的位置，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，， ∴最小的实数是m． 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，若，则的值所对应的点可能落在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】先将a的值代入代数式计算出得数，然后再在数轴上找到对应的点即可． 【详解】解：将代入得： ， ∵，且接近1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查求代数式的值、数轴上的点与实数的对应等知识点，熟练掌握数轴与实数一一对应的关系是关键． 2．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）如图，在数轴上表示实数的点可能是点 ．（选填“”“”“”或“”） 【答案】 【分析】先确定的取值范围，再根据数轴上点的位置判断表示的点．本题主要考查了实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，熟练掌握利用平方数估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解： ，即． 观察数轴，在附近，在附近，在到之间，在到之间， 所以表示的点可能是． 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点M在点A的右侧，即可求出M点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点M在点A的右侧， ∴M点所表示的数为． 故答案为：． 4．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）现有五个实数：，，，，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D (1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________； (2)①用圆规在数轴上精确地表示出（提示：注意观察正方形的面积）； ②将上述五个数按从小到大的顺序用“”连接 【答案】(1)；； (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较大小，解题的关键是熟练掌握实数与数轴． （1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可； （2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以的长为半径画弧，则此弧与数轴正方向的交点所表示的数为； ②利用数轴上点的特点进行解答即可． 【详解】（1）解：点A表示数为；点B表示数为；点D表示数为． 故答案为：；；． （2）解：①如图， ∵正方形的面积为：， ∴正方形的边长； ②根据数轴可得，． 【经典例题八 实数的大小比较】 【例8】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）下列实数中，最大的数是（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于，大于负数，估算，进而比较大小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的数为， 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是4， 即大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）比较大小： 填“>，<或=” 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法． 先把两个数通分，然后把根号外的系数变成它的平方，移到根号内，通过比较被开方数的大小比较分子的大小，进而比较这两个数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故答案为： 3．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）（1）用“”“”或“”填空： ， ； （2）由（1）可知， ① ，② ； 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，绝对值的求解，先比较出实数的大小，再利用绝对值的意义化简绝对值即可． 【详解】解：（1），， ，， 故答案为：，； （2）①， ； ②， ， 故答案为：，． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)当或1时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当或1时，；当时，；当时，． 【经典例题九 程序设计与实数运算】 【例9】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于（    ）    A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据流程图，结合算术平方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当时，，是有理数，进行下一步运算； 当时，，是无理数，输出； 故选：D． 【点睛】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、有理数与无理数的定义，读懂题意，按照流程图顺序计算是解决问题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是无理数， ∴输出的值是， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）同学在信息技术课上设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数，例如输入时，就会得到实数（即）．若输入实数对时得到实数3，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查程序与实数运算，涉及开平方运算，按照当输入实数对时，会得到一个新的实数，由输入实数对时得到实数3，可得，化简后直接开平方即可得到答案．看懂程序，掌握直接开平方运算是解决问题的关键． 【详解】解：当输入实数对时，会得到一个新的实数， 由输入实数对时得到实数3，可得， 即， 解得或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·开学考试）有一个数值转换器，原理如图.当输入的时，输出的y等于 . 【答案】 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当时，，是有理数，进行下一步运算； 当时，，是有理数，进行下一步运算； 当时，是无理数，输出； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图是一个数值转换器． (1)当输入x＝25时，求输出的y的值； (2)是否存在输入x的值后，始终输不出y的值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由； (3)输入一个两位数x，恰好经过三次取算术平方根才能输出无理数y，则x＝________(只填一个即可)． 【答案】（1） （2）x＝0或1时，始终输不出y的值  （3）81 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解； （2）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有0和1； （3）写出一个无理数，平方是有理数，然后两次平方即可． 【详解】解：(1)由输入x＝25得＝5.因为5是有理数，不能输出，再取5的算术平方根得.因为是无理数，所以输出y，所以输入x＝25时，输出的y的值是. (2)x＝0或1时，始终输不出y的值． (3)81(答案不唯一) 【点睛】本题考查无理数，正确理解题目中规定的运算是关键． 【经典例题十 无理数整数部分的有关计算】 【例10】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）的整数部分是多少（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为7， 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a和b，再代入计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴的整数部分为8，的整数部分为1， ∵的小数部分为，的小数部分为， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）若的整数部分为a，的整数部分为b，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、的范围是解此题的关键．先求出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：，， ，． 的整数部分为3，的整数部分为2． ，． ． 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）公元5世纪时，北魏数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题.即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则，按照上述取近似值的方法， （精确到0.01）. 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式的求值．先估算出的大小，得到的值，再代入进行求解即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为，即， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·泰州·期中）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；．2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)直接写出结果：______，______，______； (2)已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）； (3)已知，，令，求． 【答案】(1)45，3，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义的实数运算，无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，进而求解即可； （3）根据（2）的结论可得，然后求出，由此求出m，代入求值即可． 【详解】（1），，； （2）∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴； （3）∵， ， ， ∴， ∴． 【经典例题十一 计算器——平方根和立方根】 【例11】（24-25八年级上·江苏南京·假期作业）在用计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用计算器求算术平方根，解题的关键是掌握用计算器求算术平方根的按键顺序和方法．根据用计算器求算术平方根的方法，即可进行解答． 【详解】解：计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是， 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】 解：依次按键，对应的计算是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）用科学计算器计算 （比较大小） 【答案】 【分析】首先根据黄金分割及角的正弦值，即可求得与的值，再比较大小即可求解 【详解】解：，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割及求角的正弦值，无理数大小的比较， 3．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）利用计算器求值（结果精确到）： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 【分析】此题考查了用计算器求立方根和算术平方根，熟练掌握计算器的用法是关键． （1）利用计算器求算术平方根即可； （2）利用计算器求立方根即可； （3）利用计算器求立方根即可； （4）利用计算器求立方根和算术平方根，再求差即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： （4） 故答案为： 4．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了计算器与算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照题干要求，运用计算器进行计算，结果保留小数点后两位，即可作答． （2）按照题干要求，运用计算器进行计算，结果保留小数点后两位，即可作答． （3）按照题干要求，运用计算器进行计算，结果保留小数点后两位，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：依题意，； （3）解：依题意，． 【拓展训练一 无理数估算的几何问题】 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，这是一个长方形信封，其长、宽之比为，面积为．现有一张面积为的正方形贺卡，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能将这张贺卡不折叠地放入此信封，理由见解析 【分析】本题考查开平方运算、比较无理数大小等知识．根据题意，得到正方形贺卡的边长为，长方形信封长为，宽为，比较即可得到答案． 【详解】解：能将这张贺卡不折叠的放入此信封． 说明如下： 正方形贺卡的面积为， 正方形贺卡的边长为， 长方形信封，长宽之比为，面积为， 设长方形信封长为，则宽为，则，解得，即长方形信封长为，宽为， ， 能将这张贺卡不折叠的放入此信封． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 画出示意图，如图所示 可得图中正方形的面积为 ∵，可忽略，于是得，解得， ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)的整数部分为_________________； (2)求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)，图见解析 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）利用算术平方根估计的大小，即可得到的整数部分； （2）类比于题干的求解过程，画出图形求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 的整数部分为12； 故答案为：12； （2）解：∵面积为150的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 所画示意图如下： 如图，可得图中正方形的面积为：， ∵，可忽略， 于是得， 解得， ∴． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读下面的文字并解答问题：我们已经知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能被全部写出来．那么，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分．因为的整数部分是2，所以用来表示的小数部分．数学兴趣小组的同学掌握了一种用几何图形求的近似值的方法，过程如下： 面积为5的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图把面积为5的正方形进行分割．根据示意图，可得图中正方形的面积 又 ，即 由于的值很小，可以忽略不计． ，解得： ． (1)的整数部分是_____，小数部分是____； (2)仿照上述方法，探究的近似值（保留两位小数）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了无理数的估算. （1）求出的范围，得到的整数部分，用减整数部分即可求出的小数部分； （2）仿照题干所给示例作答即可. 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：面积为的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图把面积为的正方形进行分割．根据示意图，可得图中正方形的面积， 又 ，即 由于的值很小，可以忽略不计． ，解得： ． 【拓展训练二 实数的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：　　　　； (2)用含的代数式表示第个等式：　　　　为正整数）； (3)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据规律直接列出等式即可； （2）根据规律直接列出等式即可； （3）对式子中的每个式子进行裂项，再求和． 【详解】（1）根据题意有， ． 故答案为：，； （2）根据其规律可得， ． 故答案为：，； （3）根据题意有， ， 的值为． 【点睛】本题考查数的变化规律、有理数的混合运算等，对式子中的每个式子进行裂项再求和是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·安徽黄山·阶段练习）小明同学在探究如何计算连续正整数之和后，得到公式S（n）＝1＋2＋3＋…＋n＝，于是他猜想连续正整数的平方和S（n2）是否也有类似的公式，为此，他将相关数值列成如下表格，请观察表格规律，并完成问题： n 1 2 3 4 5 6 … S（n） 1 3 6 10 15 a … S（n2） 1 5 14 b 55 91 … 1 c d … （1）根据规律，表格中a＝ ；c＝ ； （2）用含n的代数式表示 ； （3）推导出计算公式S（n2）． 【答案】（1）21，3；（2）；（3） 【分析】（1）分别计算 从而可得答案； （2）分别求解当时，的值，再总结出规律即可； （3）把代入，即可得到答案. 【详解】解：（1）当时， 所以 当时， 故答案为：21，3 （2）当时， 当时， 当时， 当时， 归纳总结可得：， 故答案为： （3）由及（2）知： ， 【点睛】本题考查的是运算规律的探究，掌握“从具体到一般的探究方法及运用总结出的规律解决问题”是解题的关本键. 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： ，，，… 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为a，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为 ① ，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是 ② ． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：① ；② ． (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出： ； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律： ． (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，…的计算结果，请用代数式表示你发现的规律： ． 【答案】(1)①，②25 (2)①5625；② (3) 【分析】（1）根据题目中的解题方法进行计算，即可求出答案； （2）根据题目中的解题方法进行计算，即可求出答案； （3）根据题目中的解题方法进行计算，即可求出答案； 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①，②； （2）解：①； ②设两位数的十位数字为a，则这个两位数为：10a+5， 所以； 故答案为：①5625；② （3）解：设相乘的两数的十位数字为a-1（其中a为正整数），则算式为：， 根据题意，可知 ； 故答案为： 【点睛】本题考查了数字变化规律，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题 1．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·开学考试）估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算． 求出，即可估算的值． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D 3．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）在实数中，最大的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，熟练掌握负数的大小比较是解题的关键． 根据负实数绝对值大的反而小即可得到答案． 【详解】因为， 所以最大的实数是， 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是用夹逼法确定无理数的取值范围，进而确定无理数的整数部分即可解决问题． 先算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求整数部分a和小数部分b，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴的整数部分 ∴小数部分 ∴． 故选：B． 5．（2025八年级上·江苏宿迁·模拟预测）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了流程图与实数运算，算术平方根，以及无理数，掌握无理数的概念是解题关键．根据流程图计算算术平方根，再根据无理数判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的为256时， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 是无理数， 即输出的是， 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的相反数，掌握相反数的概念是解决问题的关键．根据实数的相反数，只有符号不同的两个数，可得结果． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）比大的最小整数是 ． 【答案】3 【分析】利用二次根式平方法比较大小，再判断即可． 【详解】， ， ， 比大的最小整数为3． 故答案为3． 【点睛】本题考查二次根式的估值，通常利用平方法进行整数范围的估算． 8．（25-26八年级上·江苏·期中）实数，中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，依次判断各数是否为无理数再统计个数即可． 【详解】解：；；；． 所以无理数有：；；；共个． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，数轴上有一块儿被墨迹污染了，则被墨迹覆盖的无理数的值可以是 （只需写出一个符合条件的实数）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查数轴表示无理数，根据题意．数形结合，得到表示的数范围是，进而可得两点之间的无理数． 【详解】解：设点表示的数为，如图所示，可知，即， 点表示的无理数的值可以是、……等 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得，然后代入求解即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏南京·随堂练习）比较下列各组数的大小： (1)2，3与； (2)与2.3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力，题目比较好，难度适中． （1）根据立方根的计算，然后利用实数大小的比较方法求解即可； （2）根据立方根的计算，然后利用实数大小的比较方法求解即可． 【详解】（1）， ∵， ． （2）， ∵． ． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出，，的值； （2）将，，的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：因为的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，， 所以，， 因为， 所以. 因为是的整数部分， 所以； （2）将，，代入，得， 因为64的平方根是， 所以的平方根是． 13．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题关键．求出，则可得两种情况：①这三个连续整数为，②这三个连续整数为，分别计算每个整数的平方，由此即可得． 【详解】解：∵是三个连续整数的平方，且，，，， ∴， 又∵是三个连续整数的平方， ∴①当这三个连续整数为时，，舍去； ②当这三个连续整数为时，，，符合题意； 则． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了新定义的应用，涉及到二次根式的应用，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． （1）根据题意可得到为的“相邻区间”； （2）由的相邻区间，得到的相邻区间，得到的值，从而得到的结果； （3）先求出的相邻区间，得到的相邻区间，从而得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴为的“相邻区间”； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴的“相邻区间”是， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，将所得的4个等腰直角三角形拼成一个大正方形． ①求正方形的边长； ②如图2，在数轴上，以原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，交数轴的负半轴于点，直接写出点表示的实数． （2）请你参照（1）的方法，解决下面的问题： ①如图3，把5个边长为1的正方形排成一个长方形，将图3的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，并求出大正方形边长的值（图4中小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）； ②在①的条件下，数轴上点表示的数为，在图5的数轴上标出点． 【答案】（1）①；②；（2）①，图见解析；②见解析 【分析】此题考查了实数和数轴，算术平方根的应用， （1）①设正方形的边长为，根据题意得到，然后求解即可； ②根据点M的位置和的长度求解即可； （2）①根据题意得到，求出； ②根据在图5的数轴上标出即可． 【详解】解：（1）①设正方形的边长为，根据题意得，， ∵， ∴， ∴正方形的边长为； ②． （2）①在图3中画出裁剪线，在图4中画出大正方形如图所示； 根据题意，得， ∵， ∴； ②在数轴上标出点如图5所示． 学科网（北京）股份有限公司 $