专题01 三角形中的线段和角重难点题型专训（4个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 三角形中的线段和角重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 构成三角形的条件 题型四 重心的概念 题型五 确定第三边的取值范围 题型六 三角形角平分线的定义 题型七 画三角形的高 题型八 根据三角形中线求长度 题型九 根据三角形中线求面积 题型十 与三角形的高有关的计算问题 题型十一 利用网格求三角形面积 拓展训练一 与三角形的概念相关问题 拓展训练二 与三角形高、角平分线相关做图问题 拓展训练三 三角形三边关系综合应用 拓展训练四 利用三角形的高计算面积问题 拓展训练五 与三角形有关的线段综合应用 知识点一： 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）图中有 个三角形，用符号表示这些三角形 ． 【答案】 5 ，，，， 【分析】三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．由三角形的概念，结合图形可知，图中以 为一个顶点的三角形有、、，不以为顶点的三角形有、，所以共有5个三角形． 【详解】图中有5个三角形，用符号表示这些三角形，，，，． 知识点二： 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 【答案】高线 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解． 【详解】解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部， 而锐角三角形的三条高在三角形内部， 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部， 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部． 故答案为：高线． 【点睛】考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点三： 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．4，5，10 C．5，6，11 D．8，7，14 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，3+4=7＜8，不能组成三角形； B中，4+5=9<10，不能组成三角形； C中，5+6=11，不能够组成三角形； D中，8+7=15>14，能组成三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·开学考试）用3根长度为整数的小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度最长是 厘米，最短是 厘米． 【答案】 14 6 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由此解答即可． 【详解】解：设第三根小棒的长度为厘米， 根据题意，可得，即， ∵第三根小棒的长度为整厘米， ∴第三根小棒的长度最长是14厘米，最短是6厘米． 故答案为：14，6． 知识点四： 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图， D，E，F分别是边，，上的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，结合阴影部分的面积为得出，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，上的中点， ∴，，，， ∴，， ∵阴影部分的面积为3， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【经典例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的分类；根据三角形的分类即可得到正确的结论 【详解】解：由图可知：三角尺露出的角是钝角， 故该三角形是钝角三角形， 故选D 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据平角的定义求出与这个外角相邻的内角是钝角，然后作出判断即可． 【详解】∵三角形的外角中有一个角是锐角， ∴与这个外角相邻的内角是钝角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角，根据平角定义求出与外角相邻的内角是钝角是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ． 【答案】2 【分析】利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 【详解】解：如图，的面积为 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合网格特点，将所求的三角形的面积正确转化为长方形与直角三角形的面积关系是解题关键． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为 ． 【答案】4 【分析】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由，解得，，由解得，据此解答． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长． 【答案】． 【分析】根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查三角形面积的计算，利用等积法是解题关键． 【经典例题二 三角形的个数问题】 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·开学考试）图中三角形的个数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】给图中各点标上字母，找出各三角形，此题得解． 【详解】解：给各点标上字母，如图所示．    图中是三角形的有：、、、、． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的概念是解题的关键． 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有 个各种大小的三角形． 【答案】27 【分析】把图中等腰直角三角形分成四类进行计数，从而可以不重复，不遗漏的得到答案． 【详解】解：最小的等腰直角三角形有16个， 由4个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有7个， 由9个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有3个， 由16个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有1个， ∴一共有（个）． 故答案为：27． 【点睛】本题考查的是三角形的计数问题，关键是计数要注意不重复，不遗漏． 3．（24-25七年级·江苏南京·单元测试）图①中有 个三角形；图②中有 个三角形，图③中有 个正方形. 【答案】 5 12 18 【分析】根据图形直接数出三角形的个数即可. 【详解】如图所示， 图①有5个三角形， 图②有12个三角形， 图③有18给正方形. 【点睛】本题考查看图求量，根据图形仔细数清楚图例中图形的数量是解题关键. 4．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 【答案】（1）3；（2）6；（3）66． 【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可； （2）根据三角形的定义结合图形进行分析即可得； （3）根据直线AB上有几条线段就有几个三角形，由线段的计数方法进行计算即可得答案. 【详解】（1）图中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3个； （2）图中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6个； （3）∵直线AB上有12个点， ∴直线AB上的线段共有：=66（条），即图中共有66个三角形． 【点睛】本题考查了三角形，规律题，关键在数三角形个数时要做到不重不漏. 【经典例题三 构成三角形的条件】 【例3】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接围成一个三角形，这属于下列事件中的（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不确定事件 【答案】A 【分析】首先根据三角形三边的关系，即可判定这三根木条首尾顺次相接能否围成一个三角形，再根据事件发生的可能性的大小，即可得到答案． 【详解】解：， 用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接不能围成一个三角形， 这属于不可能事件， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系与事件发生的可能性的大小，熟练掌握和运用三角形三边的关系与事件发生的可能性的大小是解决本题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知AB=4，AC=2，D是BC的中点， AD是整数，则AD= ． 【答案】2 【分析】延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，可证明△ADB≌△EDC，从而有EC=AB=4，即有：4-2<AE<4+2，然后确定AD的取值范围，从而确定AD的值． 【详解】延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，如图 ∵D是BC的中点 ∴BD=CD 在△ADB与△EDC中 ∴△ADB≌△EDC ∴EC=AB=4 ∵AC=2 ∴ 4-2<AE<4+2 即 2<AE<6 ∵AE=2AD ∴1<AD<3 ∵AD为整数 ∴AD=2 【点睛】本题考查了三角形的三边不等关系，全等三角形的判定与性质，关键是构造全等三角形，即常说的倍长中线方法． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成8个扇形），每个扇形区域内分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： (1)转出的数字3是 ，转出的数字9是 （从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） (2)转出奇数的概率为 ． (3)现有两张分别写有3和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．求这三条线段能构成三角形的概率． 【答案】(1)随机事件，不可能事件 (2) (3) 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且． （1）根据确定性事件和不确定性事件的概念判断可得； （2）转盘共有8种可能结果，奇数的结果有4种，由概率公式解答即可； （3）先求出第三条线段取值范围，再判断即可． 【详解】（1）解：转出的数字是3是随机事件，转出的数字是9是不可能事件； 故答案为：随机事件；不可能事件； （2）解：∵转盘转到每个数字的可能性相等，共有8种可能结果，奇数的结果有4种， ∴转出的数字是奇数的概率是， 故答案为：； （3）解：，， ∴第三条线段可以是3，4，5，6，7， 转动转盘停止后，指针指向的数字有8种情况，其中能构成三角形的，5种， 所以这三条线段能构成三角形的概率是， 故答案为：． 【经典例题四 重心的概念】 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）三角形三条中线的交点叫做三角形的（    ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【详解】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 【点睛】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题干条件D、E、F为△ABC三边的中点，故得BD＝CD，又知△ABD与△ADC的高相等，于是得到△ABD与△ACD的面积相等并且为△ABC面积的一半，同理可得△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，即可求出与△ABD面积相等的三角形个数. 【详解】∵O是△ABC的重心， ∴BD＝CD， 又∵△ABD与△ADC的高相等， ∴△ABD与△ACD的面积相等＝S△ABC， 同理可知：△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半， ∴图中与△ABD面积相等的三角形个数为5个， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形面积、重心的性质及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积＝底×高，此题难度一般． 2．（2025·广东广州·模拟预测）在三角形ABC中，，，，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，G是重心，则 ． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD，然后利用重心的性质求出CD． 【详解】解：在三角形ABC中，，，， ， 是AB的中点， ． ，E，F分别是AB，BC，CA的中点，G是重心， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理与直角三角形斜边上的中线的性质． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=3，G是△ABC重心，则S△AGC= ． 【答案】3 【分析】延长AG交BC于E．易知S△AGC=×S△AEC，由此计算即可解决问题． 【详解】解：延长AG交BC于E． ∵∠BAC=90°，AB=6，AC=3， ∴S△ABC=•AB•AC=9， ∵G是△ABC的重心， ∴AG=2GE，BE=EC， ∴S△AEC=×9=4.5， ∴S△AGC=×S△AEC=3； 故答案为：3. 【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 【经典例题五 确定第三边的取值范围】 【例5】（2025·江苏宿迁·模拟预测）在下列长度的四条线段中，能与长和的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出第三边的取值范围是本题的关键． 根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是，即． ∴能与长和的两条线段围成一个三角形的是． 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形三边之间的关系．构造全等三角形是解题的关键．延长，过B点作的平行线交的延长线于E点，则，则可得，因此．在中，根据三角形三边之间的关系求出的范围，则可得的范围． 【详解】解：如图，延长，过B点作的平行线交的延长线于E点． ∵是的中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形三边关系，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·随堂练习）已知一个三角形的三条边长分别为． （）当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系．（填“符合”或“不符合”） （）根据三角形的三边关系，写出的取值范围： ． 【答案】 不符合 符合 不符合 【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解； （）根据三角形的三边关系即可求解； 本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：（）当时，不符合三角形的三边关系；当时，符合三角形的三边关系；当时，不符合三角形的三边关系， 故答案为：不符合；符合；不符合； （）由三角形的三边关系得，， 即， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）延长到点F，使，连接，则，而，，即可根据“”证明，则，而，由，然后可求解； （2）延长到点H，使，连接，则，而，所以，，可证明，得，，再证明，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，延长到点F，使，连接，则， ∵是的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． （2）证明：如图2，延长到点H，使，连接，则， ∵是的中线，是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【经典例题六 三角形角平分线的定义】 【例6】（24-25八年级上·江苏泰州期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 先根据角平分线的定义求出，进而根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴． 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查等角对等边，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，得到，同理得到，进而得到的周长等于，即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴的周长； 故选D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点I是的内心，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解直角三角形，熟练作出辅助线是解题的关键，过点B作交延长线于点D，根据三角形的内心性质可得，进而求得，再利用解直角三角形求出，进而可求解． 【详解】解：过点B作交延长线于点D， 点I是的内心， 在直角三角形中， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点，则与的数量关系是 ．    【答案】 【分析】利用角平分线的定义，证明，利用四边形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：如图：   点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理等知识，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点在上，且，交延长线于点． (1)求证：平分； (2)若于点，写出图中与相等的线段，并证明． 【答案】(1)见详解 (2)，证明见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用等角的余角相等即可证明； （2）根据题意过点作于点，即可得到，再利用证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 平分； （2），证明：过点作于点， ， 由（1）知平分，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【经典例题七 画三角形的高】 【例7】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是的边上的高线，故该选项符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； 故选：B． 1．（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）如图，已知于点，于点，于点，则中边上的高是(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可． 【详解】A、CF⊥AB，∴线段CF是△ABC中AB边上的高，此选项不符合题意； B、BE⊥AC，∴线段BE是△ABC中AC边上的高，此选项不符合题意； C、CD不是△ABC的高，此选项不符合题意； D、AD⊥BC，∴线段AD是△ABC中BC边上的高，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高．准确识图并熟记三角形高的定义是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，以为高的三角形共有 个. 【答案】6 【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数． 【详解】解：∵AD⊥BC于D， 而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个， ∴以AD为高的三角形有6个． 故答案为6 【点睛】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 3．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可． 【详解】解：∵， ∴线段是中边上的高， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形网络中，已知为格点三角形，请使用无刻度直尺借助于网格按下列要求作图． (1)在图1中，作，使两个三角形全等，且无重叠，（将所作图的结论写在横线上）； (2)在图2中，作的边上的高h（将所作图的结论写在横线上）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，平移的性质，三角形的高； （1）利用平移的性质作即可； （2）取格点D，然后连接，交的延长线于点H，则AH即为所作． 【详解】（1）解：即为所作； （2）解：如图，即为所作； 【经典例题八 根据三角形中线求长度】 【例8】 （24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的中线，已知，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段．利用三角形的中线的定义可知，所以两个三角形的周长差即为． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵是中线， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知中，是边上的中线，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的性质进行解答即可. 【详解】解：∵中，是边上的中线 ∴ ∴A、B、D不符合题意，C符合题意. 故选:C 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键. 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图， 是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为 ． 【答案】8 【分析】根据中线的定义可得，再根据 的周长比 的周长多2，可得，由此即可求出的长． 本题主要考查了三角形的中线的定义和性质．三角形的中线将三角形分成的两个三角形的周长差就等于相邻两边之差，熟练掌握三角形的中线的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴， ∵ 的周长比 的周长多 2， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，分别是的中线和高，若，，则的面积是 ．    【答案】 【分析】先根据中线的定义，可求出的长，再由三角形的面积计算公式可求出入的面积． 【详解】解：∵是的中线，且， ∴， 又∵是的高，且， ∴， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，以及三角形的面积计算公式．熟练掌握这些知识点是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义求出的长度即可； （2）根据题意得出，确定， （3）利用三角形的周长公式计算周长即可． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 【经典例题九 根据三角形中线求面积】 【例9】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，点为边上任意一点（点不与点、点重合），点、分别是线段、的中点．若的面积为8，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中线的性质．掌握三角形中线将三角形分成面积相等的两份是解题关键． 根据中线与面积的可得、，进而求得，最后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵点、分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵F是线段的中点， ∴． 故选：B． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线和高，掌握三角形面积计算公式、“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，利用三角形面积公式求出的面积，再根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积计算， 三角形中线的性质，解题关键是同高三角形面积比等于底的比，三角形中线分得的两个三角形面积相等． 根据高相等的三角形，面积比等于底的比得到，再根据三角形中线分得的三角形面积相等得到，，从而得到，两式相减，得到，由，、上的高相等，所以，从而即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的 （几分之几）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的面积，解题的关键是熟练运用三角形的高、底边与面积的关系．大三角形面积减去3个小三角形面积等于阴影面积，再求解即可． 【详解】解：，， 面积：面积， 设的面积为， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 同理，面积：面积， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 阴影面积， 阴影部分面积是三角形面积的． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，所以可直接得出的值． （2）的周长为，的周长为，因为，所以周长差为，再根据三角形面积公式求出的长度，进而求出周长差． 本题主要考查了三角形中线和高的性质，熟练掌握中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： （2）解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 【经典例题十 与三角形的高有关的计算问题】 【例10】（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）一个三角形的高是6分米，面积是30平方分米，底是（　）分米． A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积公式． 根据三角形面积公式，已知面积和高，求底边长即可． 【详解】解：∵一个三角形的高是6分米，面积是30平方分米， ∴底是分米， 故选：C 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，高、交于点，且． (1)求的度数． (2)若，，则的长为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．证明≌是解题的关键． （1）由的高、交于点，得，推导出，而，即可根据“”证明，得，所以； （2）由，，，求得，即可由，求得． 【详解】（1）解：的高、交于点， 于点，于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的度数是． （2）解：，，， ， ， ， ， 的长为． 【经典例题十一 利用网格求三角形面积】 【例11】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积，根据网格的特点，结合三角形面积计算公式找到底为1，高为2或底为2，高为1的即可得到答案． 【详解】解：C点所有的情况如图所示， 故选：D． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】解：由题可得： ， ， ， 解得：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·开学考试）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，等边，D为延长线上一点，E在边上，且，连接交于点F，连接，若，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】过点作，与的延长线交于点，过点作于点，证明是等边三角形，再证明，得，进而证明，得，再根据三角形的面积公式求得． 【详解】 解：过点作，与的延长线交于点，过点作于点，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，作平行线构造全等三角形是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B．C、D在小正方形的顶点上． (1)在图中作出边上的高； (2)在图中画一条线段，该线段将分为面积相等的两个三角形，并且线段的两个端点都在小正方形的顶点上； (3)直接写出的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画三角形的高，三角形面积公式． （1）根据高的定义作图即可； （2）根据“等底同高的三角形面积相等”作答即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： 证明：，， 即； （3）解：， 故答案为：． 【拓展训练一 与三角形的概念相关问题】 1．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图所示，三角形ABC的底边BC＝x，顶点A沿BC边上高AD向D点移动，当移动到E点，且DE＝AD时，三角形ABC的面积将变为原来的(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式求出变化前与变化后的三角形的面积，然后解答即可． 【详解】DE＝ AD， △ABC原来的面积＝ ⋅AD， 变化后的面积＝ ⋅DE＝ ⋅AD， ∴△ABC的面积将变为原来的. 故选B. 【点睛】本题考查的是三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键. 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 3．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图所示，是某楼房的高度，小明站在距楼房底部点30米的点处，测得．用1厘米代表10米，画出这个三角形，量出的高度，并换算出的实际高度．（结果为整数）    【答案】详见解析，的图上距离为5.2厘米，实际高度为52米． 【分析】先画出图形，再进行测量，最后进行转换即可． 【详解】解：如图，    经测量，的图上距离为5.2厘米， 因为1厘米代表10米， 所以，实际高度为5.2×10=52米． 【点睛】此题考查了学生动手操作能力，要求学生能熟练进行单位换算． 【拓展训练二 与三角形高、角平分线相关做图问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形． (1)请在图中画出的边上的高 (2)请在图中画出的中线 (3)请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）结合网格信息，连接的网格对角线交于点H即可； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得D点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知在中，，交于点D． (1)尺规作图：作的平分线交于点E，交于点F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余和角平分线的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【拓展训练三 三角形三边关系综合应用】 1．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房D，在的中点C处有一棵树，小红想测量间的距离．于是她从点A出发，沿走到点E（点A，C，E在同一条直线上），使，量出点E到水房D的距离就是两点之间的距离． (1)请说明小红这样做的理由并写出过程； (2)若，请确定线段的长度可能是____________（填序号）． ①       ②        ③       ④ 【答案】(1)见解析 (2)③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）与性质，以及三角形三边关系的应用，解题的关键是通过构造全等三角形将不可直接测量的距离转化为可测量的距离． （1）利用中点得到边相等，结合对顶角和已知边相等，用 证明三角形全等，进而说明线段相等． （2）根据中点得出相关线段长度，利用三角形三边关系确定对应边的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】（1）已知C是的中点，所以． 在和中：（小红操作使） （对顶角相等） （C 是 中点） ∴ ∴，即量出E到D的距离就是A到B的距离． （2）∵， ∴在中，三边之间满足关系式：， 即， ∴的长度在到之间，符合条件的是③． 故答案为：③． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 价格/（元/根） 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根． (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为4的倍数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 【答案】(1)4 (2)108元 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定出第三边的取值范围即可得到答案； （2）做成的三角形支架的周长为4的倍数，根据（1）中可选的结果，即可求解． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系可得，解得， ∵是整数， ∴或5或6或7，共4种， ∴有4种规格木棒可供选择． （2）解：设第三根木棒的长度为， ∴这个三角形支架的周长为， ∵做成的三角形支架的周长为4的倍数， ∴是4的倍数， ∴由（1）所求可知，， ∴买木棒一共花了元． 【拓展训练四 利用三角形的高计算面积问题】 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)54 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 所以的面积为． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的性质． （1）先根据等腰三角形的“三线合一”得到平分，再根据角平分线的性质得到； （2）根据三角形的面积公式，利用进行计算即可． 【详解】（1）解：，是的中点， 平分， 于点，于点， ． （2）解：∵，，于点，于点， ． 3．（2025八年级上·江苏无锡·模拟预测）【阅读理解】对一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如，由图 1可以得到完全平方公式： 这样的方法称为“面积法”． 【解决问题】 （1） 如图2，利用上述“面积法”，可以得到数学等式： ； （2） 利用（1） 中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知 ，求 的值． ②若m、n满足如下条件： ，，求m的值． 【应用迁移】如图3，中，，点O为底边上一点，（，垂足分别为M，N，H），连接．若，利用上述“面积法”，求的长． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了整式运算在几何图形中的应用，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）利用“面积法”求解即可； （2）①将，代入（1）中等式，求解即可； ②设，得到，根据，列出方程进行求解即可； （3）根据，易得，即可获得答案． 【详解】解：（1）利用“面积法”，可以得到数学等式：． 故答案为：； （2）①由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴； ②设， ∴， ∵ ， 又∵ ∴ ∵， ∴当时，，不符合；当时，，符合， ∴； （3）∵，，， 又∵， ∴， ∴． 【拓展训练五 与三角形有关的线段综合应用】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图， 已知， 根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)边上有一点E， 连接AE，如果那么线段是的 ； (填“高”、 “中线”或“角平分线”) (3)在（1）（2）的条件下， 如果，那么 【答案】(1)见解析； (2)中线； (3)． 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）由题意可得则线段是的中线； （3）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：以点为圆心，长为半径作圆，交于点，再以为圆心，大于长为半径作圆交于点，连接交于点，即为所求边上的高，如图： （2）解：如图： ∴线段是的中线， 故答案为：中线． （3）解：， ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），见解析； （3），见解析． 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2）之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）综合与实践 【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点是边上的中点，连接，求证：． 证明：过点作于 点是边上的中点 【拓展】（1）如图2，在中，点是边上的中点，若_____________； （2）如图3，在中，点是边上的点且和存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程； 【问题解决】（3）现在有一块四边形土地（如图4），熊大和熊二都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．） 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查根据三角形的中线求三角形面积． （1）根据题干结论求解即可； （2）如图，作高，两三角形同高，底共线，根据面积公式求证即可；   （3）如图，连接，取的中点E，连接，，则四边形就是四边形的一半． 【详解】解：（1）； 故答案为：4； （2）；理由如下：    过点A作于E ∵ ∴     ∴   （3）如图，连接，取的中点E，连接，，则四边形就是四边形的一半． ∵ ∴， ∴ 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且满足，，则c的值可以为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系求出第三边的范围，再逐项判断即可． 【详解】解：∵a，b，c为的三边长，且满足，， ∴，即， 故选项A中数值5满足题意，选项B、C、D中的数值不符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高）画图即可得答案． 【详解】解：三角板的摆放位置正确的是一条直角边与边齐平，另一条直角边经过点， 观察四个选项可知，只有选项B符合. 故选：B． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离不可能是（    ） A．8米 B．10米 C．15米 D．25米 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系定理得到，根据的范围判断即可． 【详解】解：连接， 根据三角形的三边关系定理得：， 即：， ∴的值在9和33之间． 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 【详解】解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 6．（2025八年级上·安徽合肥·模拟预测）如图，是凸四边形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，从三边关系出发，三角形中的任一边大于两边的差而小于两边之和．连接，在中得到关系式，再在中得到关系式从而解得． 【详解】解：如图，连接 在中，， ∴， 即； 中，， ∴，即． ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质 ．由它还可推出：三角形两边的差 ． 【答案】 三角形两边的和大于第三边 小于第三边 【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质三角形两边的和大于第三边．由它还可推出：三角形两边的差小于第三边． 故答案为：角形两边的和大于第三边；小于第三边． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟记三角形三边的关系． 8．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据“倍长三角形”的定义求出第三边的长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：当第三条边的长是2的2倍时，第三条边的长为4， 2，3，4能组成三角形； 当第三条边的长是3的2倍时，第三条边的长为6， ∵， ∴长为2，3，6的三条线段不能组成三角形， ∴第三条边的长为4， 故答案为：4． 9．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    【答案】 【分析】本题考查中线求三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【详解】解：如图，连接．    设， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，是的中线，是的角平分线，于点，，则的长是 ． 【答案】8 【分析】如图延长CF到AB交AB于G，根据AE为△ABC的角平分线，得到∠GAF=∠CAF，从而得到△AFG≌△AFC，得到GF=CF，AG=AC，即F为CG中点，再根据D为BC中点，即可得到DF为△BCG的中位线，即BG=2DF，则AG=AB-BG=AC. 【详解】解：如图所示，延长CF到AB交AB于G ∵AE是△ABC的角平分线 ∴∠GAF=∠CAF 又∵CF⊥AE ∴∠GFA=∠AFC=90° ∴△AFG≌△AFC ∴GF=CF，AG=AC ∴F为CG中点 又∵AD为中线 ∴D为BC的中点 ∴DF为△BCG的中位线，即BG=2DF ∴AG=AB-BG= AB-2DF=20-12=8 =AC 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，中位线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解. 11．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为的5条线段，其中能够与线段a、b一起组成三角形的有哪几条？ 【答案】能够与线段a、b一起组成三角形的有两条线段． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：设第三边为c， ∵两条线段a、b，其长度分别为与． ∴第三边的取值范围为：，即 ∵在范围内， ∴能够与线段a、b一起组成三角形的有两条线段． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，由三角形中线的定义可得，，进而根据周长即可求解，掌握三角形中线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分别是边上的中线，，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）华华想制作一个三角形框架，他找到了这样的两根木条： (1)华华应该锯断哪根木条？写出你的理由． (2)华华将这根木条锯成长度各是多少厘米的两段（取整厘米数），才能和另一根组成一个三角形呢？（写出一种即可） 【答案】(1)华华应该锯断B木条，因为三角形两边之和要大于第三边 (2)华华把这根木条锯成6厘米和7厘米的两段，能和另一根木条围成一个三角形（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握“任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边”是解题的关键． （1）根据三角形三边关系分析求解； （2）只要符合三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：华华应该锯断B木条，理由如下： 由于，那么锯断长的木条，则锯断后的两根木条之和始终为，不能满足三角形三边关系， 而锯断长的木条，则锯断后的两根木条之和始终为，，能满足三角形三边关系， 所以华华应该锯断B木条，因为三角形两边之和要大于第三边． （2）解：华华把这根木条锯成6厘米和7厘米的两段，能和另一根木条围成一个三角形（答案不唯一）． 14．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；4 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，三角形的面积，三角形的高，解决本题的关键是准确利用网格作图． （1）取格点M，N，使点M，N为边的三等分点，即可解答； （2）在线段的延长线上取格点H，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，即为所求． 根据题意得：， ∴． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论； （）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论； 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∴即为所求； （2）如图，延长交于点，延长交于点， ∵点，关于对称， ∴， ∴是三角形的高， ∴即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形中的线段和角重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 构成三角形的条件 题型四 重心的概念 题型五 确定第三边的取值范围 题型六 三角形角平分线的定义 题型七 画三角形的高 题型八 根据三角形中线求长度 题型九 根据三角形中线求面积 题型十 与三角形的高有关的计算问题 题型十一 利用网格求三角形面积 拓展训练一 与三角形的概念相关问题 拓展训练二 与三角形高、角平分线相关做图问题 拓展训练三 三角形三边关系综合应用 拓展训练四 利用三角形的高计算面积问题 拓展训练五 与三角形有关的线段综合应用 知识点一： 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）图中有 个三角形，用符号表示这些三角形 ． 知识点二： 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 知识点三： 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．4，5，10 C．5，6，11 D．8，7，14 2．（25-26八年级上·江苏扬州·开学考试）用3根长度为整数的小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度最长是 厘米，最短是 厘米． 知识点四： 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图， D，E，F分别是边，，上的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【经典例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长． 【经典例题二 三角形的个数问题】 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·开学考试）图中三角形的个数是（    ）    A． B． C． D． 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有 个各种大小的三角形． 3．（24-25七年级·江苏南京·单元测试）图①中有 个三角形；图②中有 个三角形，图③中有 个正方形. 4．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 【经典例题三 构成三角形的条件】 【例3】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接围成一个三角形，这属于下列事件中的（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不确定事件 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知AB=4，AC=2，D是BC的中点， AD是整数，则AD= ． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成8个扇形），每个扇形区域内分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： (1)转出的数字3是 ，转出的数字9是 （从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） (2)转出奇数的概率为 ． (3)现有两张分别写有3和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．求这三条线段能构成三角形的概率． 【经典例题四 重心的概念】 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）三角形三条中线的交点叫做三角形的（    ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·广东广州·模拟预测）在三角形ABC中，，，，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，G是重心，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=3，G是△ABC重心，则S△AGC= ． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【经典例题五 确定第三边的取值范围】 【例5】（2025·江苏宿迁·模拟预测）在下列长度的四条线段中，能与长和的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·随堂练习）已知一个三角形的三条边长分别为． （）当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系．（填“符合”或“不符合”） （）根据三角形的三边关系，写出的取值范围： ． 4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 【经典例题六 三角形角平分线的定义】 【例6】（24-25八年级上·江苏泰州期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点I是的内心，，，，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点，则与的数量关系是 ．    4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点在上，且，交延长线于点． (1)求证：平分； (2)若于点，写出图中与相等的线段，并证明． 【经典例题七 画三角形的高】 【例7】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）如图，已知于点，于点，于点，则中边上的高是(        ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，以为高的三角形共有 个. 3．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形网络中，已知为格点三角形，请使用无刻度直尺借助于网格按下列要求作图． (1)在图1中，作，使两个三角形全等，且无重叠，（将所作图的结论写在横线上）； (2)在图2中，作的边上的高h（将所作图的结论写在横线上）． 【经典例题八 根据三角形中线求长度】 【例8】 （24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的中线，已知，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．4 C．6 D．10 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知中，是边上的中线，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图， 是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，分别是的中线和高，若，，则的面积是 ．    4．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【经典例题九 根据三角形中线求面积】 【例9】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，点为边上任意一点（点不与点、点重合），点、分别是线段、的中点．若的面积为8，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．3 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的 （几分之几）． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 【经典例题十 与三角形的高有关的计算问题】 【例10】（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）一个三角形的高是6分米，面积是30平方分米，底是（　）分米． A．5 B．6 C．10 D．12 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，高、交于点，且． (1)求的度数． (2)若，，则的长为多少？ 【经典例题十一 利用网格求三角形面积】 【例11】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·开学考试）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，等边，D为延长线上一点，E在边上，且，连接交于点F，连接，若，的面积为，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B．C、D在小正方形的顶点上． (1)在图中作出边上的高； (2)在图中画一条线段，该线段将分为面积相等的两个三角形，并且线段的两个端点都在小正方形的顶点上； (3)直接写出的面积为 ． 【拓展训练一 与三角形的概念相关问题】 1．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图所示，三角形ABC的底边BC＝x，顶点A沿BC边上高AD向D点移动，当移动到E点，且DE＝AD时，三角形ABC的面积将变为原来的(   )    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 3．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图所示，是某楼房的高度，小明站在距楼房底部点30米的点处，测得．用1厘米代表10米，画出这个三角形，量出的高度，并换算出的实际高度．（结果为整数）    【拓展训练二 与三角形高、角平分线相关做图问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形． (1)请在图中画出的边上的高 (2)请在图中画出的中线 (3)请直接写出的面积． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知在中，，交于点D． (1)尺规作图：作的平分线交于点E，交于点F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【拓展训练三 三角形三边关系综合应用】 1．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房D，在的中点C处有一棵树，小红想测量间的距离．于是她从点A出发，沿走到点E（点A，C，E在同一条直线上），使，量出点E到水房D的距离就是两点之间的距离． (1)请说明小红这样做的理由并写出过程； (2)若，请确定线段的长度可能是____________（填序号）． ①       ②        ③       ④ 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 价格/（元/根） 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根． (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为4的倍数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 【拓展训练四 利用三角形的高计算面积问题】 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证； (2)若，，求的面积． 3．（2025八年级上·江苏无锡·模拟预测）【阅读理解】对一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如，由图 1可以得到完全平方公式： 这样的方法称为“面积法”． 【解决问题】 （1） 如图2，利用上述“面积法”，可以得到数学等式： ； （2） 利用（1） 中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知 ，求 的值． ②若m、n满足如下条件： ，，求m的值． 【应用迁移】如图3，中，，点O为底边上一点，（，垂足分别为M，N，H），连接．若，利用上述“面积法”，求的长． 【拓展训练五 与三角形有关的线段综合应用】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图， 已知， 根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)边上有一点E， 连接AE，如果那么线段是的 ； (填“高”、 “中线”或“角平分线”) (3)在（1）（2）的条件下， 如果，那么 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）综合与实践 【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点是边上的中点，连接，求证：． 证明：过点作于 点是边上的中点 【拓展】（1）如图2，在中，点是边上的中点，若_____________； （2）如图3，在中，点是边上的点且和存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程； 【问题解决】（3）现在有一块四边形土地（如图4），熊大和熊二都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．） 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且满足，，则c的值可以为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离不可能是（    ） A．8米 B．10米 C．15米 D．25米 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025八年级上·安徽合肥·模拟预测）如图，是凸四边形，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质 ．由它还可推出：三角形两边的差 ． 8．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ． 9．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    10．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，是的中线，是的角平分线，于点，，则的长是 ． 11．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为的5条线段，其中能够与线段a、b一起组成三角形的有哪几条？ 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）华华想制作一个三角形框架，他找到了这样的两根木条： (1)华华应该锯断哪根木条？写出你的理由． (2)华华将这根木条锯成长度各是多少厘米的两段（取整厘米数），才能和另一根组成一个三角形呢？（写出一种即可） 14．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 学科网（北京）股份有限公司 $