23.1图形的旋转—综合解答题 培优提升专题训练2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《23.1图形的旋转—综合解答题》 培优提升专题训练（附答案） 1．如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，，则______，四边形的面积＝______． 2．如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)按下列要求作图： ①将向左平移6个单位得到； ②将绕点逆时针旋转后得到； (2)与重叠部分的面积为________（直接写出答案）． 3．如图，P是等边内的一点，且，将绕点B逆时针旋转，得到． (1)旋转角为_____度； (2)求点P与点Q之间的距离； (3)求的度数； (4)求的面积． 4．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 5．如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． (1)S△ABD = ．（直接写出结果） (2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形． 6．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 7．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值． 8．（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°） 解决问题： （2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系； 拓展应用： （3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积． 9．已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 10．在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为． (1)如图（1），当时，求的坐标； (2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点． ①此时与是否相等，说明理由； ②求点的坐标； (3)求面积的最大值．（直接写出答案即可） 11．如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ．    (1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； (2)当旋转角为时，连接，求的值． (3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 12．综合与实践：如图1，已知在中，，，将正方形ADEF按如图1所示放置，点D，F分别在边AB和AC上，连接BF，CD，M是BF的中点，连接AM交CD于点N． 观察猜想： (1)判断线段CD与AM之间的关系，并说明理由； 探究证明： (2)将图1中的正方形ADEF绕点A顺时针旋转，点E恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段CD与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由． 结果运用： (3)在（2）中，连接MC，MD．若，，请直接写出四边形ADMC的面积． 13．已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为____． 14．【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    15．已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 16．问题提出 (1)如图1，在中，，，则面积的最大值是______； (2)问题探究 如图2，在中，，，．点P是边BC上一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作交BC于点H，求PH的长． (3)问题解决 如图3，在中，，，P为边AC上一动点（C点除外）．将线段BP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接CE，则的面积是否存在最大值？若存在请求出面积的最大值，若不存在请说明理由． 17．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”． (1)如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由； (2)如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由； (3)如图4，在等边△ABC中，D是△ABC内部一点，且，，，直接写出△ABC的面积． 18．（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 19．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，P是等边内一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)则点P与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)在（1）的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作，交延长线于H，请你根据他的思路，计算 （直接写出答案）． (3)【类比探究】如图3，点P是正方形内一点，，求的度数？请写出完整过程； （直接写出答案）． (4)【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接，，记与交于点D，可知，由，可知为等边三角形，有．故，因此，当共线时，如图5，有最小值为．请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形内一点，Q为边上一点，连接、、，则的最小值为 （直接写出答案）． 20．某研究性学习分组在学习简单的图案设计时，发现了一种特殊的四边形，如图，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．    如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： 如图，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图）若，，则“等补四边形”的面积为______． 探究二： 如图，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图）若，，则“等补四边形”的面积为______． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： 如图，已知“等补四边形”，连接，将以点为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点的对应点为点． （1）由旋转得：______，因为，所以，即点，，在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即． （2）如图，在中，作于点，若，，请求出“等补四边形”的面积． 参考答案 1．（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：如图，过点作于， ∵将绕点顺时针旋转得，，， ∴， 由（1）得，， 在中，， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积： ． 故答案为：；． 2．（1）解：（1）①如图所示：即为所求； ②如图所示：即为所求． （2）∵，，， 又∵将向左平移6个单位得到 ∴，点到的距离是， ∵将绕点逆时针旋转后得到， ∴， ∴点到的距离是， ∴ ． ∴与重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换,平移变换,正确得出对应点位置是解题关键． 3．(1)60 (2)4 (3)150° (4)9． 【分析】（1）根据△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答案， （2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4； （3）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可． （4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的， ∴旋转角为60° 故答案为：60； （2）连接PQ，如图1， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，BA＝BC， ∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的， ∴△QCB≌△PAB， ∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5， ∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴PQ＝PB＝4； （3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4， 而32+42＝52， ∴PC2+PQ2＝CQ2， ∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°， ∵△PBQ是等边三角形， ∴∠BPQ＝60°， ∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°； （4）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H， ∵∠BPC＝150°， ∴∠CPH＝30°， ∴CHPC，PHHC， ∴BH＝4， ∴BC2＝BH2+CH2 ， ∵S△ABCBC2， ∴S△ABC）9． 4．(1)见解析 (2)6 (3)，证明见解析 【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证； （2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积； （3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图，将绕点逆时针旋转 得到， 则：， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接， 则：，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 5．(1)4 (2)四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当时，四边形APDQ是正方形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由得，则； （2）①在中，根据等腰直角三角形的性质得，易得，，再利用等角的余角相等得到，于是可判断，所以，即可判断四边形的面积不会随旋转而变化； ②由于，则当时，四边形为矩形，加上，于是可判断四边形是正方形，此时，即． 【详解】（1）解：，，， ， ； 故答案为4； （2）解：①四边形的面积不会随旋转而变化．理由如下： 在中，，， ， ， ， ，， 又，， ， 在和中， ， （ASA）， ； ②时，四边形是正方形．理由如下： ， 当时， 而， 四边形为矩形， ， ， 四边形是正方形，此时，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定． 6．(1)∠ADF=45°，AD=DF； (2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4. 【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； （2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； ②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可． 【详解】（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 延长DF交AB于H，连接AF， ∵∠EDC=∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴∠ABF=∠FED， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， 又∠BFH=∠DFE， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD，AB=AC， ∴BH=CD，AH=AD， ∴△ADH为等腰直角三角形， ∴∠ADF=45°， 又HF=FD， ∴AF⊥DH， ∴∠FAD=∠ADF=45°， 即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF; （2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示， 则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD， ∴BH=CD， 延长ED交BC于M， ∵BH∥EM，∠EDC=90°， ∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°， 又∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠HBA+∠DCB=45°， ∵∠ACD+∠DCB=45°， ∴∠HBA=∠ACD， ∴△ACD≌△ABH， ∴AD=AH，∠BAH=∠CAD， ∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°， 即∠HAD=90°， ∴∠ADH=45°， ∵HF=DF， ∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF． ②由①知，S△ADF=DF2=AD2， 由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2， 当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4， ∴1≤S△ADF≤4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线． 7．(1)PM=PN，PM⊥PN．理由见解析 (2)△PMN是等腰直角三角形．理由见解析 (3)S△PMN最大= 【分析】（1）利用三角形的中位线得出由可得出再根据三角形的中位线知得到 由从而得出即可得到结论． （2）先判断出得出同（1）类似方法即可得出结论． （3）先判断出BD最大时，的面积最大，而BD最大是即可得出结论． 【详解】（1）理由： ∵点P，N是BC，CD的中点， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∴∠DPN=∠ADC， ∴∠DPM=∠DCA， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， 故答案为： （2）△PMN是等腰直角三角形． 理由如下： 由旋转知，∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， 利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC=∠DBC， ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴△PMN是等腰直角三角形； （3）把绕点A旋转到如图所示的位置时， 由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD， ∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD=AB+AD=10， ∴PM=5， ∴S△PMN最大=PM2=×52= 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和质，属于几何变换综合题，熟练掌握这些性质和判定是解此题的关键． 8．（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）以点为旋转中心，将顺时针旋转得，可得，，，然后证明，可得，进而可得结论； （2）以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，可得，，，然后证明，可得 进而证得，再根据勾股定理可得结论； （3）连接，过点作于，根据菱形性质可得，是等边三角形，然后证明，可得，然后根据等边三角形的面积即可解决问题． 【详解】（1），理由如下： 如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得， 将顺时针旋转得， ，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， （2）如图，以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，连接． 绕点逆时针旋转得到， ，，． 由题知，，， ． ． ． ， ． ． 是等腰直角三角形， ． ． ， ． （3）． 如图，连接，过点作于， 四边形是菱形，， ，是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形，， ， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，利用旋转通过添加适当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 9．(1)等边三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，则，，即可判断的形状； （2）由（1）知等边三角形的边长为，过点作于点，结合等腰三角形三线合一性质及勾股定理求出，再求出即可； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，再求出和的面积和即可． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 即的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）如图，过点作于点， ∵，，， ∴，，， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，腰直角三角形的判定和性质，等积代换思想，类比思想等知识点，构造直角三角形，求出三角形的高是解题的关键． 10．(1) (2)①；② (3)14 【分析】（1）如图①中，过点作于点．解直角三角形求出，，可得结论； （2）①此时与相等，证明即可； ②设，再利用勾股定理构建方程求出即可； （3）如图③中，当点值的延长线上时，的面积最大． 【详解】（1）如图①中，过点作于点． 四边形是矩形，， ，， 在 中，，， ，， ， ∴； （2）①结论：． 理由：，， ， ， ， ， ； ②，， ， 设， 在中，， ， ， ， ． （3）如图③中，当点值的延长线上时，此时点到的距离最大，即的面积最大． 的面积的最大值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 11．(1) (2) (3)的面积为6 【分析】（1）过点作于，解直角三角形求出，，可得结论． （2）过点作于，由勾股定理可求出答案； （3）当时，的值最大，由勾股定理求出，再证明，得出，可得结论． 【详解】（1）过点作于，   由题意， ， ， ； （2）过点作于，如图②， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ； （3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．   过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ∴， ， ，，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 12．(1) (2)成立，理由见解析 (3)四边形ADMC的面积为 【分析】观察猜想：（1）根据正方形的性质证明，再结合直角三角形中斜边上的中线的性质和三角形内角和定理证明即可； 探究证明：（2）延长AM至点G使得，连接BG，FG，根据平行四边形的性质、正方形的性质和平行线的性质证明，得到，再结合三角形内角和定理证明即可； 结果运用：（3）过点D作于点H，将四边形ADMC的面积分为两个小三角形的面积进行计算，再根据勾股定理和一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∵四边形ADEF是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，M是BF的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， 又∵， ∴， ∴， 综上所述：； （2）成立，理由如下， 延长AM至点G使得，连接BG，FG， ∵M是BF的中点， ∴， 又∵， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴， ∵四边形ADEF是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：，； （3）过点D作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形内角和定理、平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理的运用和一元二次方程的应用，解决本题的关键是正确的作出辅助线并结合以上性质求解即可． 13．(1)7 (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 14．（1）选择①或②，见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选择①，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明；选择②，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明． （2）过点作于，先证明，，三点共线，都在的垂直平分线上，从而得出，，继而得出，则，即可得出结论． （3）延长交于E，由旋转得：，，，从而可得出，，由勾股定理，得，所以，所以当时，此时，再过点A作于D，作线段，交于O，使，从而求出， ，，由勾股定理，得，即可求解． 【详解】（1）选择① 证明：，， ， 又， 选择② 证明：，， ， 又， ．    （2）过点作于，   ，， ，，三点共线，都在的垂直平分线上，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． （3）延长交于E，如图，    由旋转得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵在中，，， ∴当时，此时， 过点A作于D， ∴，， 作线段，交于O，使， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积．本题属三角形探究题目，综合性较，属中考压轴题．灵活运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键． 15．(1)见解析 (2)，见解析 (3)存在，7 【分析】（1）证明 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得 ，则 ，同 （1） 得 ，则 ， 然后由等腰直角三角形的性质得 ，即可解决问题； （3）根据旋转的过程中 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中， 的边 始终保持不变，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵， 即 ， 在 和 中， （2），理由如下： ∵ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同 （1）得： (SAS)， ∴， ∴， ∵ 是等腰直角三角形， 为 中 边上的高， ∴， ∵， ∴； （3） 与 的面积和存在最大值为7，理由如下： 如图（4）    由旋转可知，在旋转的过程中 的面积始终保持不变 ， ∵ 与 面积的和达到最大， ∴ 面积最大， ∵在旋转的过程中， 始终保持不变， ， ∴ 面积最大时， 点 到 的距离最大， ∴， ∴ 与 面积的和达到的最大值为： 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性 质以及三角形面积等知识，本题综合性强， 熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型 16．(1) (2) (3)存在，最大值为8 【分析】（1）设AC=x，则AB=6-x，表示出△ABC的面积，然后利用二次函数的性质求最大值； （2）作AG⊥BC于G，利用AAS证明△APG≌△PEH，得PH=AG，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AG的长即可； （3）结合（1）（2）的方法，过点E作EG⊥CA，交CA延长线于G，BH⊥CA，交CA延长线于H，作AD⊥BC于D，首先利用等积法求出BH的长，设CP=x，则AP=6-x，表示出面积，利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：设，则， ， 当时，最大为， 故答案为：； （2）作于， 将线段绕点顺时针旋转90度，得线段， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）的面积存在最大值，理由如下： 过点作，交延长线于，，交延长线于，作于， 由（2）同理知，， ， ，， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 在中，， 设，则， ， 的面积为， 当时，的面积最大值为8． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 17．(1)全等；理由见解析 (2)； (3) 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可证结论； （2）由（1）同理可证△ABE≌△ACD（SAS），得DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，从而得BE⊥CD； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，可证DE2＋CE2＝CD2，则∠CED＝90°，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F，得CF＝CE＝2，EF＝，在Rt△ACF中，运用勾股定理求出AC的长，从而求出等边△ABC的面积． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠BAC−∠DAC，∠CAE＝∠EAD−∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：DC⊥BE，DC＝BE，理由如下： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠BAE＝∠BAC＋∠EAC，∠CAD＝∠EAD+∠EAC， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE＋∠EBC＋∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠EBC＋∠ACB＝90°， ∴∠EAC＋∠DCB＝90°， ∴DC⊥BE； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，如图所示： ∴AD＝AE，∠DAE＝60°，CE＝BD＝4， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3，∠AED＝60°， ∵，， ∴， ∴∠CED＝90°， ∴∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝60°+90°=150°， 过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F， ∴CF＝CE＝2，EF＝， ∴， 在Rt△ACF中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是运用旋转将分散条件集中到一个三角形中进行求解． 18．（1）①；；②依然成立，证明见解答； （2）或． 【分析】（1）①根据题意判定和为等腰直角三角形，然后通过证明即可得出结论； ②通过辅助线推出，然后根据证明结论； （2）根据（1）的结论得出点P为的中点，然后判定为菱形，当其为正方形时面积最大，然后判定当旋转角或时均符合题意，然后构造即可求解． 【详解】解：（1）①根据旋转的性质可知： ， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 故答案为：；； ②如图，过点F作交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理①可证：（）， ∴， 故依然成立； （2）根据（1）可知，点P为中点， ， ∴、为的中位线， ， ∵， ∴四边形是边长为的菱形， 设四边形底边上的高为h． 由于，故当时，四边形面积取最大值， 此时，四边形为正方形，分为旋转角或两种情况，如图： ①当时，作，H为垂足， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ②当时，四边形为正方形，作，为垂足， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴， 故的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19．(1)3； (2) (3)见解析， (4) 【分析】本题考查了垂线段最短及其应用、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形、勾股定理和勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）由题意可得，，，根据角之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，则，再根据角之间的关系即可求出答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据含角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案； （3）将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于点H，由旋转可得：，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得，，，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据角之间的关系可得，再根据正方形面积即可求出答案； （4）将绕点A逆时针旋转得到，则，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，是等边三角形，则，作于点H交于点G，则，根据含角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直时，有最小值为，则，即可求出答案； 【详解】（1）解：由题意可得： ，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：3；； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于点H，如图： ， 由旋转可得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，在中，由勾股定理可得， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即，解得：， ∴， 在中，， 即， ∴， 故答案为：； （4）解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图： ∴，，， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴， 作于点H交于点G， ∴， ∴，， ∵， ∴当点E，F，G，H四点共线且垂直时，有最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； 20．探究一：；探究二：；探究三：（1）；（2） 【分析】探究一：通过旋转变换把求四边形面积转化为求直角梯形面积； 探究二：通过旋转变换把求四边形面积转化为求等边三角形的面积； 探究三：（1）通过旋转性质即可得结论； （2）通过旋转变换把四边形转化为等腰三角形，利用勾股定理，三角形面积公式求解即可． 【详解】解：探究一：    由题意， ∴ “等补四边形”的面积 故答案为：； 探究二：过点作，交于点    由题意可得， ∴， ∴ “等补四边形”的面积 故答案为：； 探究三：（1）由旋转的性质可知，， 故答案为：； （2），，， ， ，， ， ， “等补四边形”的面积的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $