精品解析：山东师范大学第二附属中学2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

2024年 9 月九年级数学学科适应性练习 （满分 150 分，时间 120 分钟） 一．选择题（共 12 小题，每题 4 分，共 48 分） 1. 已知x=2是一元二次方程x2＋x＋m=0的一个解，则m的值是 （ ） A. ―6 B. 6 C. 0 D. 0或6 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得4+2+m=0， 解得m=-6， 故选A. 2. 如图，已知、、分别是各边的中点，则以下说法错误的是（　　） A. 与的面积之和等于四边形的面积 B. 四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理，以及平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵E是的中点， ∴， 同理， ∴，即，故A说法正确，不符合题意； ∵、、分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故B说法正确，不符合题意； 若， ∴， ∴平行四边形是菱形，故C说法正确，不符合题意； 若，则平行四边形是矩形，根据现有条件无法证明平行四边形是正方形，故D说法错误，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定方法．熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 3. 已知关于x的方程（m+4）x2+2x﹣3m＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A. m＜﹣4 B. m≠0 C. m≠﹣4 D. m＞﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：m+4≠0， ∴m≠﹣4， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 4. 如图，正方形ABCD的边长为a，点O为对角线AC中点，点M，N分别为对角线AC的三等分点，则图中的两个小正方形面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到∠FAM＝∠EAO＝45°，得到△AFM与△AEO是等腰直角三角形，求得AC＝a，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FAM＝∠EAO＝45°， ∴△AFM与△AEO是等腰直角三角形， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC＝a， ∵点M，N分别为对角线AC的三等分点， ∴AM＝MN＝CN＝×a＝a， ∴AM＝FM＝a，AE＝EO＝AD＝a， ∴图中的两个小正方形面积之和＝FM2＋OE2＝（a）2＋（a）2＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 5. 已知是方程的根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若是一元二次方程 ，则 是解题的关键． 6. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得和，进而代入数值求解即可． 【详解】解：∵∥， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∵∥， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出AE的长是解题关键． 7. 若是关于的方程的一个根，则的值为(　　) A. -2 B. 1 C. 12 D. -12 【答案】D 【解析】 【分析】把 代入已知方程，可得：，则，将其整体代入所求的代数式进行解答即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，把根代入方程得到的代数式巧妙变形来解题是一种不错的解题方法． 8. 如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( ) A. ∠B＝∠DAC B. ∠BAC＝∠ADC C. AC2＝DC·BC D. AD2＝BD·BC 【答案】D 【解析】 【分析】已知有公共角∠C，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似． 【详解】已知△ABC和△DCA中,∠ACD=∠BCA;如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有： ①或； ②即 故选D. 【点睛】考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键. 9. 如图，D 、E 分别是的边上的点，且，相交于点 O ，若，则与的比是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据平行得，则有，根据相似三角形得到，进一步得到由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故选：B． 10. 如图，在菱形 中，，点 E 、F 分别在边上，点 P 是对角线上的动点，的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质、菱形的性质、矩形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是关键．作点关于的对称点，作于点，交于点，则此时的值最小，最小值等于的长，作于点，则四边形是矩形，求出，则，即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，作于点，交于点， 此时, 则此时的值最小，最小值等于的长， 作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 则， 即的最小值为， 故选：D 11. 如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 12. 如图，，，与交于点，，是的中点，连结，，若是射线上的动点，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，首先证明，推出，再证明，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ②正确； ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ③正确； 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ④正确； ∵， ∴， ∴无法证明， ①错误． 综上所述，正确的是②③④． 故选：D． 二．填空题（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分） 13. 若方程的一个根是m，则代数式________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解答本题的关键． 由方程的一个根是m可得，进而可求出的值． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴代数式． 故答案为：7． 14. 如图，已知直线，如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解本题的关键是． 15. 如图，中，，为的中点，，垂足为．若，，则的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识点是解答本题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长度，由勾股定理可求的长，最后由勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，为中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在，由勾股定理得：， 故答案为：． 16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____． 【答案】1或2 【解析】 【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案． 【详解】设BP=x，则PC=3-x， ∵AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠B=180°-∠C=90°， ∴∠B=∠C， ∵AP⊥DP， ∴∠APB+∠DPC=90°， ∵∠CDP+∠DPC=90°， ∴∠CDP=∠APB， ∴△CDP∽△BPA， ∴， ∵AB＝1，CD＝2，BC＝3， ∴， 解得：x1=1，x2=2， ∴BP的长为1或2， 故答案为：1或2 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，8），直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作PM′⊥直线AB于点M′，连接AP，根据“点与直线上所有的点的连线中，垂线段最短”可知：PM′的长是PM长的最小值．首先求出点A、B的坐标，在Rt△APM′与Rt△BPM′中，由勾股定理得列关于PM′与AM′的二元二次方程组求解即可． 【详解】解：如图：作PM′⊥直线AB于点M′，连接AP，根据“点与直线上所有的点的连线中，垂线段最短”可知：PM′的长是PM长的最小值 设PM′＝a，AM′＝b， ∵直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A（8，0），B（0，﹣6） ∴AB= 又∵OP＝OA＝8， ∴AP＝8 ∴在Rt△APM′与Rt△BPM′中，由勾股定理得： 解之得：或（不符合实际，舍去） 即：PM长的最小值为 故答案为：． 【点睛】此题考查的是垂线段最短、勾股定理和解二元二次方程组，掌握垂线段最短、勾股定理和方程组的解法是解决此题的关键． 18. 在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 __________________s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，分别列出比例式求解即可 【详解】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t， ∴AD＝6﹣t， ∵∠A＝∠A， ∴分两种情况： ①当时，＝ 即＝，解得：t＝； ②当时，＝ 即＝，解得：t＝； 综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似． 故答案为：或 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证△ADE∽△ACB，再根据GA、FA分别是△ADE、△ABC的角平分线可得＝，然后再由AG：FG＝3：2可得AG：AF＝3：5即可解答． 【详解】解：∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∵GA、FA分别是△ADE、△ABC的角平分线， ∴＝（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比）， ∵AG：FG＝3：2， ∴AG：AF＝3：5， ∴DE：BC＝3：5． 故答案为3：5． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比等于相似比是解答本题的关键． 20. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝4． ∴DE＝AC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键． 三．解答题（共7小题，共70分） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 ∴，； 【小问2详解】 解： ∴，； 22. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝MF； （2）若AE＝2，求FC的长． 【答案】（1）见解析；（2）FC=3． 【解析】 【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF； （2）由（1）的全等得到AE＝CM＝2，正方形的边长为6，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长，由此即可求出CF的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠FCD=∠ADC=90°， ∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠A=∠DCM=90°，AE=CM，∠ADE=∠CDM，DE=DM ∴∠FCD+∠DCM＝180°，∠ADE+∠EDC=∠CDM+∠EDC=90°， ∴F、C、M三点共线，∠EDM=90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ∵， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF； （2）设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，且BC＝6， ∴BM＝BC+CM＝6+2＝8， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x， ∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4， 在Rt△EBF中，由勾股定理得， 即， 解得：x＝5， ∴EF＝5， ∴CF=FM-CM=EF-CM=3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理，关键是根据半角旋转得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得线段的长． 23. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）12.5% （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为a，(1﹣a)2为两次降价的百分率，64降至49就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得： 64(1﹣a)2＝49， 解得，a＝1.875(舍)或a＝0.125=12.5%， 故每次下降的百分率为12.5%； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元， 由题意得， (10+x)(500﹣40x)＝4500， 整理，得2x2﹣5x﹣25＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣2.5（舍）， 故该商场要保证每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价5元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系列出方程是解答本题的关键． 24. 我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下法求得： 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下面的问题： （1）代数式的最小值为______． （2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）3 （2）当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 【解析】 【分析】（1）先把代数式配方成（m+1）2+3，再根据（m+1）2≥0，求出代数式的最小值； （2）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：m2+2m+4=m2+2m+1+3=（m+1）2+3， ∵（m+1）2≥0， ∴（m+1）2+3≥3， ∴m2+2m+4的最小值是3； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：由题意得：S=x（20-2x）=-2x2+20x=-2（x-5）2+50， ∵（x-5）2≥0， ∴-（x-5）2≤0， ∴-（x-5）2+50≤50， ∴当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 【点睛】本题考查了非负数的性质，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 25. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）2s或4s；（2）当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【解析】 【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值． （2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2． 由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm， 则（6﹣x）•2x＝8， 整理得x2﹣6x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2． （2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝6﹣t，QC＝2t． 当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝， 解得：t＝． 当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝， 解得：t＝． 综上所述，当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．关键在于读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程求解． 26. 如图，在正方形中，E为延长线上一点，且 ，F 为的中点，的延长线交于点 G ，连接． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）2 （2） 证明：如图，过点G作于点H． 则． ∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得，得，即得． （2）如图，过点G作于点H，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明，即得． 【小问1详解】 解：∵F为的中点， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 略 27. 如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG. (1)填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝______°. (2)证明：△AFC∽△AGD； (3)若＝，请求出的值. 【答案】(1)27； (2)∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴＝，＝， ∴＝， ∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠DAG＝∠CAF， ∴△AFC∽△AGD； (3)＝. 【解析】 【分析】(1)由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到结论； (2)由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得＝，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果； (3)设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论. 【详解】解：(1)∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠BAC＝∠GAF＝45°， ∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠HAG＝∠BAF＝18°， ∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°， ∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°， 故答案为：27. (2)略 (3)∵＝， 设BF＝k， ∴CF＝2k，则AB＝BC＝3k， ∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k， ∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF， ∴△AFH∽△ACF， ∴， ∴＝＝. 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年 9 月九年级数学学科适应性练习 （满分 150 分，时间 120 分钟） 一．选择题（共 12 小题，每题 4 分，共 48 分） 1. 已知x=2是一元二次方程x2＋x＋m=0的一个解，则m的值是 （ ） A. ―6 B. 6 C. 0 D. 0或6 2. 如图，已知、、分别是各边的中点，则以下说法错误的是（　　） A. 与的面积之和等于四边形的面积 B. 四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是正方形 3. 已知关于x的方程（m+4）x2+2x﹣3m＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A. m＜﹣4 B. m≠0 C. m≠﹣4 D. m＞﹣4 4. 如图，正方形ABCD的边长为a，点O为对角线AC中点，点M，N分别为对角线AC的三等分点，则图中的两个小正方形面积之和为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 0 6. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若是关于的方程的一个根，则的值为(　　) A. -2 B. 1 C. 12 D. -12 8. 如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( ) A. ∠B＝∠DAC B. ∠BAC＝∠ADC C. AC2＝DC·BC D. AD2＝BD·BC 9. 如图，D 、E 分别是的边上的点，且，相交于点 O ，若，则与的比是 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形 中，，点 E 、F 分别在边上，点 P 是对角线上的动点，的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 11. 如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③ 12. 如图，，，与交于点，，是的中点，连结，，若是射线上的动点，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②③④ 二．填空题（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分） 13. 若方程的一个根是m，则代数式________． 14. 如图，已知直线，如果，，那么______． 15. 如图，中，，为的中点，，垂足为．若，，则的长度是_____． 16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，8），直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为_____． 18. 在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 __________________s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似． 19. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝_____． 20. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 三．解答题（共7小题，共70分） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝MF； （2）若AE＝2，求FC的长． 23. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 24. 我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下法求得： 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下面的问题： （1）代数式的最小值为______． （2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 25. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 26. 如图，在正方形中，E为延长线上一点，且 ，F 为的中点，的延长线交于点 G ，连接． （1）求的值； （2）求证：． 27. 如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG. (1)填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝______°. (2)证明：△AFC∽△AGD； (3)若＝，请求出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $