精品解析：上海市行知中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷

行知高三数学月考试卷 2025.09.16 一、填空题(本大题共 12 题，满分 54 分，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分) 1. 已知为虚数单位，复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模长的运算，即可求解. 【详解】根据题意，复数，根据复数模长的计算，可得. 故答案为：. 2. 已知集合，其中为实常数. 若，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用子集的含义可求答案. 【详解】因为，，所以， 故答案为： 3. 已知，则集合M所有可能的个数是______个． 【答案】4 【解析】 【分析】由条件知集合必含有元素，而对元素是否在集合中分四种情况考虑. 【详解】因为，所以集合必含有元素， 对元素在集合中的种情况分四种情况， 所以集合或或或，共4个. 故填：4. 4. 双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】由双曲线的方程知，所以双曲线的渐近线方程为． 考点：双曲线的几何性质． 5. 展开式的常数项为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项即可求解. 【详解】的二项展开式的通项为， 令，则， 所以展开式的常数项为. 故答案为：. 6. 若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据直线斜率为倾斜角的正切值，结合三角恒等变换公式即可求解. 【详解】由题可知，， 则. 故答案为：. 7. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 8. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题， 注意到，整理得， 原题意等价于“任意，使得”是真命题， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 故答案为：. 9. 从1，2，3，…，19，20中选三个不同的数a，b，c，且满足的数组（a，b，c）的个数为________． 【答案】180 【解析】 【分析】由，知，必须同奇或同偶，结合排列问题和分类加法计数原理计算即可求解. 【详解】由，知，必须同奇或同偶， 若，都为奇数，则有种选法； 若，都为偶数，则有种选法； 由分类加法计数原理知，满足题意的数组共有种. 故答案为：. 10. 已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ，都有 成立， 则 的最小值等于_____. 【答案】2 【解析】 【分析】先由数量积的定义推得，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解. 【详解】依题意，设的夹角为，， 因为，所以，所以； 又因为对任意的 ，都有 成立，所以即即， 整理可得：，对任意的 恒成立，故， 整理可得：，又因为，解得，即，故 的最小值等于2. 故答案为：2 11. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为__ ． 【答案】2 【解析】 【分析】先求得圆锥内切球半径，进而求得该正方体木块的最大体对角线长，即可求得实数的最大值. 【详解】圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的高， 设圆锥的内切球半径， 由，可得， 即，解之得， 棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为， 令，解之得. 则实数的最大值为2. 故答案为：2 12. 已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的几何表示和共线条件以及几何关系即可求解. 【详解】令， 所以 如图， 所以点A的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取OB中点E， 则， 又因为，所以点C在直线上，故时，的值最小， 当情况下，直线与相切时最大，取最大， 此时，， 故答案为：. 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，13、14 题每题 4 分，15、16 题每题 5 分) 13. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判断. 【详解】A. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误； B. 则为奇函数，故错误； C. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误； D. 定义域为R，且，则既不是奇函数，也不是偶函数，故正确； 故选：D 14. “”是“事件A与事件互相独立”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可. 【详解】因为对于任意两个事件，如果，则事件与事件相互独立，若事件与事件相互独立，则事件A与事件也互相独立，所以充分性成立； 若事件A与事件互相独立，则事件与事件也相互独立，则成立，所以必要性成立； 故选：C 15. 已知集合，若对于任意，总存在与之相应的 (其中)，使得 成立，则称集合是“集合”．下列为“集合”的有（ ）个 ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，函数和为奇函数，根据“集合”的定义易知若，存在时，使得成立，即可判断①④；对于②③可举例判断． 【详解】设， 因为， 平方整理得，即，所以， 即，即三点共线， 所以集合要为“集合”， 则集合上任取一点，直线与曲线有另一个交点， 对于①，函数，为奇函数， 所以若，存在时，使得， 即，所以①是“集合”； 对于②，当点，此时直线的方程为与曲线只有一个交点，故②不是“集合”； 对于③，易知，此时直线的方程为与曲线只有一个交点，故③不是“集合”； 对于④，函数是上的奇函数， 所以若，存在时，使得， 即，所以④是“集合”； 故选：B． 16. 已知等差数列，公差为常数，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数 可能是奇函数 B. 无论取何值，函数 的最小值一定在时取到 C. 若，则函数 一定是偶函数 D. 存在常数，使得函数的图象不是轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶函数的判定可判断A，C，利用分段函数的最值可判断B，由对称图形的特征可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以不成立，故不可能是奇函数，A不正确. 对于B，当时，，此时，易知时，取最小值， 当时，，且， 若，； 若，； 若，； 若，； 综上可知，有最小值，此时； 当时，同理可得有最小值，且时，取到最小值，B正确. 对于C，时，，，当时，不是偶函数，C不正确. 对于D，因为 所以的图象是轴对称图形，对称轴为，D不正确. 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分) 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形， 则， 所以两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，平面，所以平面 所以平面PAD的法向量为， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直接坐标系，求出平面的法向量为，由即可证明； （2）由线面角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，因为平面， 所以是平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 18. 已知向量，，其中，若函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）在△ABC中，若，，，求的值. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1），利用三角函数的周期性可求ω的值． （2）根据f（B）的值，求得B，由正弦定理求得A，最后求得C，利用向量的数量积公式求得答案． 【详解】（1） ∵的最小正周期为，∴，∴. （2）设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c． ∵，∴，即，解得． ∵，∴，∵，∴，∴，， ∵，∴，，∴，∴. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质，向量的数量积运算，三角函数恒等变换的应用．综合考查了学生分析问题和运算能力． 19. 某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，Ca，Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地的8000个猕猴桃中随机抽取100个猕猴桃进行测量，其质量全部分布在区间内（单位：克），将所得数据分成6组：，，，，，，得到频率分布直方图如图所示． （1）求抽取的100个猕猴桃中质量不小于90克的猕猴桃个数； （2）若该收购商准备收购这批猕猴桃，并提出了以下两种收购方案： 方案一：所有猕猴桃均以10元/千克收购； 方案二：小于90克的猕猴桃以5元/千克收购，不小于90克的猕猴桃以15元/千克收购． 请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 【答案】（1）60 （2）方案二为最佳的出售方案 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图计算质量不小于90克的频率，即可求出抽取的100个猕猴桃中质量不小于90克的猕猴桃个数； （2）对于方案一：先求出平均重量，然后计算收入，对于方案二：先计算重量小于90克的平均重量，和不小于90克的平均重量，然后计算收入比较即可得到最佳方案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，质量不小于90克的频率为， 故抽取的100个猕猴桃中质量不小于90克的猕猴桃个数为60． 【小问2详解】 由频率分布直方图可估计每个猕猴桃的平均质量（克）， 方案一：所有猕猴桃均以10元/千克收购，则收入约为（元）． 方案二：由频率分布直方图，知质量小于90克的每个猕猴桃的平均质量约为（克）， 质量不小于90克的每个猕猴桃的平均质量约为（克）． 方案二的收入约为（元）． 因为，故方案二为最佳的出售方案． 20. 已知椭圆：的右焦点为，上两点满足（），且.若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为. （1）求圆的标准方程； （2）求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点； （3）已知为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，试求三角形面积小值. 【答案】（1） （2）证明如下： 设，， 则, 又，所以. 结合（）可得，， 设以为直径的圆上的点， 则， ， 化简得， 令，则，解得或， 所以该圆过. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题知四边形为菱形，为其中心点，则圆的半径为到直线的距离，求解出相关量即可； （2）设，，由可得，写出以为直径的圆的福年广场并化简得，令即可得到定点； （3）设直线方程为，根据相切得到，直线代入椭圆可得，即，，同理可得，证得、、三点共线，再根据进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，， 所以四边形为菱形，为其中心点， 又，坐标分别为，，可得直线方程为， 则原点到直线的距离为， 即圆的半径，故圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线方程为，由直线与圆相切，可知原点到直线的距离，整理可得. 将直线方程代入椭圆可得，. 整理即有，. 则. 即，故. 同理，，故、、三点共线，则. 设：代入椭圆方程可得，则， 故. 同理，. 从而，. 所以，，得， 因此，，当且仅当时等号成立. 故三角形面积的最小值为. 21. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可； （2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可； （3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，记m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可； 法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1） 等价于 h（t）＝（t）lntt，t＞1，记m（x）＝（x）lnxx，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可． 【详解】（1）当时， ，． 设直线与曲线相切于点， 则，即， 解得，即切点为， 因为切点在上，所以，解得． （2）不等式可化为． 记， 则对任意恒成立． 考察函数， ，． 当时， ，在上单调递减，又， 所以，不合题意； 当时， ，；， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递增， 所以时， ，符合题意； 若，即时，在上单调递减， 所以当时， ，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． （3）方法一：，，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以， ， 从而 ． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增，又， 不等式可化为，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 方法二：， ，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以，． 设，则， ，所以， ， ， 从而等价于，． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增． 又， ，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 行知高三数学月考试卷 2025.09.16 一、填空题(本大题共 12 题，满分 54 分，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分) 1. 已知为虚数单位，复数，则______. 2. 已知集合，其中为实常数. 若，则实数的取值范围是_____ 3. 已知，则集合M所有可能的个数是______个． 4. 双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______． 5. 展开式的常数项为_____. 6. 若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________. 7. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 8. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________. 9. 从1，2，3，…，19，20中选三个不同的数a，b，c，且满足的数组（a，b，c）的个数为________． 10. 已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ，都有 成立， 则 的最小值等于_____. 11. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为__ ． 12. 已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为__________. 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，13、14 题每题 4 分，15、16 题每题 5 分) 13. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 14. “”是“事件A与事件互相独立”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知集合，若对于任意，总存在与之相应的 (其中)，使得 成立，则称集合是“集合”．下列为“集合”的有（ ）个 ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知等差数列，公差为常数，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数 可能是奇函数 B. 无论取何值，函数 的最小值一定在时取到 C. 若，则函数 一定是偶函数 D. 存在常数，使得函数的图象不是轴对称图形 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分) 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 18. 已知向量，，其中，若函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）在△ABC中，若，，，求的值. 19. 某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，Ca，Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地的8000个猕猴桃中随机抽取100个猕猴桃进行测量，其质量全部分布在区间内（单位：克），将所得数据分成6组：，，，，，，得到频率分布直方图如图所示． （1）求抽取的100个猕猴桃中质量不小于90克的猕猴桃个数； （2）若该收购商准备收购这批猕猴桃，并提出了以下两种收购方案： 方案一：所有猕猴桃均以10元/千克收购； 方案二：小于90克的猕猴桃以5元/千克收购，不小于90克的猕猴桃以15元/千克收购． 请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 20. 已知椭圆：的右焦点为，上两点满足（），且.若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为. （1）求圆的标准方程； （2）求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点； （3）已知为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，试求三角形面积小值. 21. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $