精品解析：广东深圳实验学校高中园2026-2027学年高三上学期第二次综合质量检测数学试题

深圳实验学校高中园2026-2027学年高三上学期第二次综合质量检测 高三数学 时间：150分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题得，因为，所以. 2. 设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据抽象函数定义域的求解规则，即f括号内整体的取值范围与原函数自变量的取值范围一致，列不等式求解即可. 【详解】已知函数的定义域为，即作用的所有对象的取值范围为. 对于函数，其括号内的整体是的作用对象，因此需满足： , 对不等式三边同时加1，可得： 故函数的定义域为. 3. 若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解. 【详解】令， 因为函数在定义域上单调递增， 则在区间上单调递增， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以， 则实数a的取值范围是. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正切条件转化为正、余弦乘积的关系，联立两角和的余弦公式求出与的值，最后代入两角差的余弦公式即可得出结果. 【详解】由题意得，即， ， 即， 代入得， 解得，进而， 则. 6. 在中，角，，的对边分别是，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通分原式，再利用正弦定理化简为，再利用余弦定理结合已知条件，可得，从而求出的值，得出判断. 【详解】由题可知 ， 在中，，则，所以， 即，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，又，所以， 因此. 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数,例如: ,，已知函数,则函数的值域为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求的值域，再根据高斯函数的定义求的值域. 【详解】的定义域为， ， 因为，所以， 所以的值域为，所以的值域为，故选C. 【点睛】函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域. 8. 设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可利用韦达定理的结论将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可. 【详解】定义域为，， 有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ，，，， ； 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由余弦定理得：，所以（负值舍掉），A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由正弦定理得：，C错误； 对于D，由余弦定理得：，所以，D正确. 10. 已知a，b是关于x的方程的根，且，，则（ ） A. 或 B. C. 的最小值为16 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意并结合韦达定理得，对于A，由根的分布即可求得的取值范围；对于B，联立即可得到，对于C，设，解有关的二次不等式，即可得到的最小值，进而得到的最小值，对于D，由题得，对使用基本不等式即可求其最小值. 【详解】由题意并结合韦达定理得，且，， 对于A，由题意得两根之和为正，两根之积为正，判别式非负， 即，解得，故A错误； 对于B，联立，整理得，故B正确； 对于C，，即， 设，则有，解得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为4，进而的最小值为16，故C正确； 对于D，由得，易得， 故，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】等价于恰好属于,中的一个，据此先求出，再逐项判断. 【详解】因为只取或，所以当且仅当与一个为、另一个为. 即恰好属于,中的一个，所以是只属于或只属于的元素组成的集合. 由，，其中同时属于与，不满足条件. 只属于的元素为，只属于的元素为，所以. 对于A，因为，所以，A正确. 对于B，，因为，所以，B正确. 对于C，因为，，所以，即. 但，所以不成立，C错误. 对于D，，. 因为，所以只属于而不属于的元素为. 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线，可知为共线向量，故，利用平面向量基本定理列方程组，求解得到的值. 【详解】由于三点共线，所以，即， 所以，解得. 13. 对某种药剂进行稀释，初始时药剂有，浓度为100%，加入水后，药剂浓度被稀释为60%，若每次稀释都向上一次所得稀释液中加入水，则要使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%，则要加水______次． 【答案】14（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意利用函数模型列出不等式即可求得结果. 【详解】设要加水次，，根据题意可得， 解得， 所以要至少加水14次可以使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%． 故答案为：14（答案不唯一） 14. 已知不等式对任意正整数恒成立，则实数取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合不等式的性质分类讨论，且，或，且，两种情况求解实数m的取值范围即可. 【详解】由题意，，且，或，且， ∴，且，或，且， ∴，或， ∵n为正整数， ∴n=4或5， ∴4⩽m⩽5， 故答案为[4,5]. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，分类讨论的数学思想，对数不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象分别求出即可； （2）根据图象变换得到，再根据三角函数的图象求指定区间上的值域. 【小问1详解】 由图象可得，， 所以，所以， 又，所以，， 又，所以，所以. 【小问2详解】 ， 由可得，. . 16. 给出以下三个条件：①；②成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分． 已知公差不为0的等差数列的前项和为，_______． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质及求和公式计算即可； （2）先求，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 若选①， ， ， ． 若选②成等比数列，， 又， ， 解得或1， 又， ． 若选③，， 又， ，解得， ． 【小问2详解】 ，， ， ， 两式相减得 ， 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． （3）在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为，，则， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 取的中点，连接、， 平面，， 在正三角形中，， 又，、平面，平面，   是中点，是的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，，平面. （2） （3）在线段上不存在点满足条件，理由如下： 假设在线段上存在点满足条件，设， 由（2），，， 则，， 由得 ，无解， 即在线段上不存在满足条件的点． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，先证明平面，再证得，即可证得平面； （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用二面角的向量求法可求得结果； （3）假设在线段上存在点满足条件，设，由，列方程组，无解，即在线段上不存在满足条件的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 在正三角形中，， 面面，面面，平面， 面， 以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面和平面的一个法向量分别为， 由，得，取，得， 由，得，取，得， 则， 则二面角的正弦值为． 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时（为大于0的常数），求的最大值； （3）若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）当时，；当时， ． （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间； （2）分和两种情况，结合（1）中的单调性求函数最值； （3）构建，分析可知在上单调递减，可得在上恒成立，结合函数单调性分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）可知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，，所以； 当时，在上单调递减，所以． 【小问3详解】 当时，不等式， 即恒成立， 令，则，可知在上单调递减， 可得，即恒成立， 易知在内单调递减，所以， 可得， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：在区间上存在唯一的极大值点，在区间上存在唯一的零点； （3）对于（2）中的和，试比较与的大小，并说明理由．（参考数据：）． 【答案】（1） （2）证明：由得， 设，，则 ， 取，，因为时递增， 当时递减且，考虑在上递减，其零点为， 则由复合函数的单调性可知：在上递减，在上递增. 又∵，，，∴必存在使得，此时. 考虑，则与同号. 列表： x t + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因为，，，，， 所以必存在唯一的使得，且当时，， 当时，， 列表 x + 0 - 递增 极大值 递减 所以在上存在唯一的极大值点， 因为，，，，所以必存在唯一的使得， 综上所述在上存在唯一的极大值点，在上存在唯一的零点； （3）判断 证明：由（2）可知在上递减，且，，其中， 因为，， 所以，，，所以要证明，等价于证明， 因为，所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出斜率，再利用点斜式方程求解即可；（2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理即可证明；（3）要证明，等价于证明即可，利用函数单调性结合放缩即可得出证明. 【小问1详解】 由得，， 取得，即切线的斜率， 取得，即切点坐标为， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中园2026-2027学年高三上学期第二次综合质量检测 高三数学 时间：150分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 2. 设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 在中，角，，的对边分别是，，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数,例如: ,，已知函数,则函数的值域为 A. B. C. D. 8. 设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 10. 已知a，b是关于x的方程的根，且，，则（ ） A. 或 B. C. 的最小值为16 D. 的最小值为 11. 对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为__________． 13. 对某种药剂进行稀释，初始时药剂有，浓度为100%，加入水后，药剂浓度被稀释为60%，若每次稀释都向上一次所得稀释液中加入水，则要使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%，则要加水______次． 14. 已知不等式对任意正整数恒成立，则实数取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 16. 给出以下三个条件：①；②成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分． 已知公差不为0的等差数列的前项和为，_______． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． （3）在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时（为大于0的常数），求的最大值； （3）若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：在区间上存在唯一的极大值点，在区间上存在唯一的零点； （3）对于（2）中的和，试比较与的大小，并说明理由．（参考数据：）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $