八年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷A）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

八年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷A） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：平面直角坐标系、函数与一次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·四川广元·模拟预测）已知直线 与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：根据这个规律，第2022个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2022八年级·广东深圳·竞赛）已知关于x的方程有且只有一个正根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． E． 7．（2023八年级上·安徽蚌埠·竞赛）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 8．（23-24八年级上·浙江·期中）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发1后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，则（　　） A．甲车的速度是120/ B．, 两地的距离是360 C．乙车出发4.5时甲车到达地 D．甲车出发4.5最终与乙车相遇 9．（2023·内蒙古包头·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 12．（22-23七年级下·甘肃临夏·期末）王老师要求同学们观察生活中的现象编写一个数学问题，小颖同学观察台球比赛台球撞击台球桌时受到启发，把它抽象成数学问题：如图，已知长方形，小球从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等 于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第次碰到长方形的边时，点的坐标是 ．          13．（2024·河北石家庄·三模）如图，点为正六边形的中心，、分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点的坐标为 ，则第2020次相遇地点的坐标为 ． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线上，则△ABP面积的最小值为 ．    三、解答题（9小题，共90分） 15．（2025八年级上·全国·专题练习）现给出如下各点：． (1)请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接，得到一个封闭图形； (2)观察（1）中得到的图形． ①是否存在经过上述点中的两点的直线与直线平行？请说明理由； ②计算该封闭图形的面积． 16．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 17．（24-25八年级下·广东广州·期末）已知一次函数 的图象经过点 和 ． (1)求这个函数的解析式； (2)如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位长度．画出该函数的图象； (3) 观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围． 18． （23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数的图象过点，一次函数的图象是由正比例函数的图象向下平移得到的，且过点，求这个一次函数的解析式． 19．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，，． (1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”___________； (2)若点在轴上，且三点的“矩面积”为10，直接写出点的坐标___________； (3)点， ①若三点的“矩面积”为8，求出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围． 20．（2025·四川广元·模拟预测）中华猕猴桃富含大量维生素，鲜果可生吃，还可加工成果酱、果干等食品，其叶、花、种子、藤蔓也具有重要的经济价值，被誉为“绿色金矿”．某地区为发展经济，种植了大量的猕猴桃，由历年市场行情得知，从月日起的天内，猕猴桃的市场售价（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系如图所示，猕猴桃的种植成本（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系式为． (1)求市场售价与上市时间之间的函数关系式； (2)上市第几天，每千克猕猴桃的纯收益最大？最大纯收益是多少？（市场售价减去种植成本为纯收益） (3)当纯收益最大时，猕猴桃的售价是多少？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 21．（25-26九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出的取值范围． 22．（24-25七年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点和线段，给出如下定义：记，，若点在线段上，则称点P是线段的“变换点”． 已知点，． (1)如图，当时， ①在点，，中，线段的“变换点”是 ； ②过点作x轴的垂线，若直线上总存在线段的“变换点”，求的取值范围； (2)已知点，，，，若正方形的边上总存在线段的“变换点”，且“变换点”有且只有一个，直接写出的取值范围． 23．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期中）阅读下列两则材料，回答问题，材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“共同体直线”，例如，直线y＝x+4与直线y＝4x+l互为“共同体直线”． 材料二：对于半面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2之两点间的直角距离d1（P1，p2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|：例如：Q1（﹣3，1）、Q2（2.4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8； P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做Po到直线y＝ax+b的直角距离． （1）计算S（﹣2，6），T（1，3）两点间的直角距离d（S，T）＝　 　，直线y＝4x+3上的一点H（a，b）又是它的“共同体直线”上的点，求点H的坐标． （2）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“共同体直线”上，试求点L（10，﹣）到直线y＝ax+b的直角距离． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷A） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：平面直角坐标系、函数与一次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解． 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点； 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动43秒到达点， ∴运动了2023秒．所求点应为． 故选：A． 2．（2025·河北·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据平移的规律可知直线的图象经过点，根据两条直线平行，从而可确定一次函数的图象不经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过点，将该函数图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象， 直线的图象经过点． ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 3．（2025·四川广元·模拟预测）已知直线 与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．根据一次函数的图象与系数的关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线 在第二象限交于点， 直线过二、三、四象限， ， 直线与轴的交点为， 把点为代入得，， 直线与直线在第二象限交于点，则． 故选：A． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 由点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，知点P坐标为，再根据点P正好落在x轴上知，得出m的值，据此可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P， 则点P坐标为， 由点P正好落在x轴上知， 解得， 则， 点P坐标为， 故选： 5．（21-22七年级下·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：根据这个规律，第2022个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右下角的点横坐标n的平方，且横坐标n为奇数时最后一个点在x轴上，n为偶数时，最后一个点坐标为（1，n-1),求出与2022最接近的平方数为2025，然后根据上述规律写出第2022个点的坐标即可． 【详解】解：由图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看做按照运动方向到达x轴，当正方形最右下角点的横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴， ∵452=2025， ∴第2025个点在x轴上坐标为（45，0）， 则第2022个点坐标为（45，3）， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键，解答时除了注意点坐标的变化外，还要注意点的运动方向． 6．（2022八年级·广东深圳·竞赛）已知关于x的方程有且只有一个正根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义，将方程转化为函数图象解题是关键．关于的方程有且只有一个正根可以看作函数与有且只有一个交点，再结合函数图象解题即可． 【详解】解：解：关于的方程的解可以看作函数与的交点， 观察图象可知， 若，则直线与函数图象的左分支平行， 若，直线与图象有且只在右分支有一个交点，则方程有且只有一个正根； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象在左分支必有交点，则方程有负根； 综上所述，当时，关于x的方程有且只有一个正根， 故选：A． 7．（2023八年级上·安徽蚌埠·竞赛）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从上中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 8．（23-24八年级上·浙江·期中）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发1后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，则（　　） A．甲车的速度是120/ B．, 两地的距离是360 C．乙车出发4.5时甲车到达地 D．甲车出发4.5最终与乙车相遇 【答案】C 【分析】分析两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】点中可知，乙1小时行驶了60,可求乙的速度60 点中可知，1.5后，甲追上乙，可求甲的速度100 点中可知，甲到地，且甲乙相差80,可以算 点中可知，休息30分钟，可求， 点中可知，甲乙再次相遇， A，甲车的速度是120，错 B，已知甲3.5后到达B地，且甲速度为100，所以A,B两地为350，错 C，甲车3.5到达B地，乙车比甲车早出发1，所以是4.5，对 D，从上中和可知，甲出发1.5和与乙车相遇，错 【点睛】本题考查两车相遇问题，最大的难点在于会识图，从图中找到关键信息点． 9．（2023·内蒙古包头·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据平行四边形性质得出点的坐标为，求出直线的解析式为，得出点D的坐标为，求出直线的解析式为：，的解析式为，求出点E的坐标为，得出，求出，，即可求出结果． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 把代入得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴的解析式为， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴时，的值最小，即此时的值最小，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． ∴当轴时，最短，即此时最小． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即在运动过程中，的最小值为3． 故选B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求得直线的解析式为；直线的解析式为；直线的解析式为；得到规律，依规律求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， 同上可得直线的解析式为； 同理，直线的解析式为； …… 以此类推，直线的解析式为， 故答案为：． 12．（22-23七年级下·甘肃临夏·期末）王老师要求同学们观察生活中的现象编写一个数学问题，小颖同学观察台球比赛台球撞击台球桌时受到启发，把它抽象成数学问题：如图，已知长方形，小球从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等 于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第次碰到长方形的边时，点的坐标是 ．          【答案】 【分析】本题考查了寻找规律问题，关键是画出小球的运动轨迹，然后由运动的轨迹规律可知次一个循环，利用碰触点的角标序号除以看余数，即可推出小球的位置． 【详解】解：如图可知小球的运动轨迹，第6次回到出发点． 由碰触长方形边的点位置可知， ：，余数为； ：，余数为； ：，余数为； ：，余数为； ：，余数为； ：，余数为； ，余数为， 的位置与的位置相同，即位置为． 故答案为：． 13．（2024·河北石家庄·三模）如图，点为正六边形的中心，、分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点的坐标为 ，则第2020次相遇地点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如下图，分析可知P、Q两点依次在点M、N、A三处循环相遇，然后利用余数定理便可求得第2020次相遇的位置． 【详解】∵图形是正六边形，A(1，0) ∴正六边形的边长为1，则该六边形的周长为1×6=6 ∵P为每秒1个单位，Q每秒2个单位 ∴相遇时间为：6÷(1+2)=2秒，即每经过2秒，P、Q就相遇一次 如下图，观察点P，经过2秒，则到达点M处，即相遇处在点M处；依次类推，相遇处依次为点M、N、A三处循环。 过点M作x轴的垂线，交x轴于点C ∵多边形是正六边形 ∴△OMB是正三角形，且边长为1 则OC=，CM= ∴M(，) 第一次相遇即在点M处 故答案为：M(，) 2020÷3=673 ∴第2020次相遇为点M 故答案为：(，)． 【点睛】本题考查正六边形的性质和寻找规律，解题关键是找出P、Q两点相遇的循环规律． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线上，则△ABP面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB解析式；平移直线AB到直线CD，直线CD当抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P坐标；再利用勾股定理逆定理，证明为直角三角形，从而计算得到△ABP面积的最小值． 【详解】设直线AB为 ∵直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4) ∴ ∴ ∴直线AB为 如图，平移直线AB到直线CD，直线CD为 当与抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 将代入，得 ∴ ∴ ∴ ∴为直角三角形， ∴ 即△ABP面积的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（2025八年级上·全国·专题练习）现给出如下各点：． (1)请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接，得到一个封闭图形； (2)观察（1）中得到的图形． ①是否存在经过上述点中的两点的直线与直线平行？请说明理由； ②计算该封闭图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①存在，理由见解析；② 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，能准确在平面直角坐标系中找出点的位置是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中找到各点的位置，再依次连接即可； （2）①根据点C、D的坐标可知直线是一条平行于 x轴的直线，由此可得结果； ②结合图形，该封闭图形可看作是由和梯形组成的，的面积加上梯形的面积即为该封闭图形的面积． 【详解】（1）解：（1）如图所示． （2）①存在经过两点的直线与直线平行． 理由如下：两点的纵坐标相等，两点的纵坐标相等， 直线都平行于轴， ． ②该封闭图形的面积为． 16．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3或9 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）找到x、y轴距离最大为4的点即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4， ∴点等距的点是； 故答案为： （2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解： 若，此时或， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或1（舍去）； 若，此时， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 17．（24-25八年级下·广东广州·期末）已知一次函数 的图象经过点 和 ． (1)求这个函数的解析式； (2)如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位长度．画出该函数的图象； (3)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见详解 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求得即可； （2）利用两点法画出图象即可； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：由题意知，一次函数的图象经过点，， ∴将点代入后可得，解得， ∴这个函数的解析式为． （2）解：由（1）知，函数的解析式为， ∴函数图象如图所示为所求： （3）解：由（2）的图象可知，当时，自变量x的取值范围为：． 18．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数的图象过点，一次函数的图象是由正比例函数的图象向下平移得到的，且过点，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】题目主要考查确定正比例函数和一次函数的解析式，一次函数的平移，根据题意得出，确定，再由待定系数法即可求解． 【详解】解： 的图象过点 ， ，即 ， 的图象是由正比例函数 的图象向下平移得到的， ， 一次函数过点 ， ， 这个一次函数的解析式为 ． 19．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，，． (1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”___________； (2)若点在轴上，且三点的“矩面积”为10，直接写出点的坐标___________； (3)点， ①若三点的“矩面积”为8，求出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围． 【答案】(1)18 (2)或 (3)①② 【分析】（1）利用公式直接求解即可； （2）首先由题意：，然后分别从①当时，，当时，，去分析求解即可求得答案； （3）①由三点的“矩面积”为8，当时，满足条件，求得的值即可 ②由，分析可得，，则可得， 由的范围即可求得S的取值范围． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）由题意：， 当时，，如图， 则， ； 当时，，如图， 则， ； 当时，，如图， 此时，不合题意； 故答案为：或； （3）①    当时，，如图， 此时三点的“矩面积”为8， 由， 得， 检验：当取其他值时，皆不满足三点的“矩面积”为8， 故； ②若，则x坐标最小值为0，最大值为m，如图， ； ∵m > 2，得2m > 4，y坐标最大值2m、最小值−1， ， ∴， 当m从2往大处变化时，从大于10开始增大， 故S的取值范围为． 20．（2025·四川广元·模拟预测）中华猕猴桃富含大量维生素，鲜果可生吃，还可加工成果酱、果干等食品，其叶、花、种子、藤蔓也具有重要的经济价值，被誉为“绿色金矿”．某地区为发展经济，种植了大量的猕猴桃，由历年市场行情得知，从月日起的天内，猕猴桃的市场售价（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系如图所示，猕猴桃的种植成本（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系式为． (1)求市场售价与上市时间之间的函数关系式； (2)上市第几天，每千克猕猴桃的纯收益最大？最大纯收益是多少？（市场售价减去种植成本为纯收益） (3)当纯收益最大时，猕猴桃的售价是多少？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 【答案】(1) (2)上市第天时，每千克猕猴桃的纯收益最大，最大纯收益为元 (3)元/千克 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数与分段函数，自变量取值范围，要根据题目给的范围，找准等量关系是解题关键． （1）分，，三种情况讨论，分别设出函数关系式，利用待定系数法求解即可； （2）设每千克猕猴桃的纯收益为元，根据纯收益市场售价种植成本，结合一次函数的增减性讨论求解即可； （3）将代入，计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，设线段所在直线的函数关系式为， 将，分别代入，得 ，解得， ， 当时，设线段所在直线的函数关系式为， 将，分别代入，得 ，解得， ， 综上，市场售价与上市时间之间的函数关系式为； （2）解：设每千克猕猴桃的纯收益为元， 当时，， 随的增大而减小， 当时，最大，最大值为． 当时，， 随的增大而减小， ， ． 当时，， 随的增大而增大， 当时，最大，最大值为． 综上可得，上市第天时，每千克猕猴桃的纯收益最大，最大纯收益为元． （3）解：当时，， 当纯收益最大时，猕猴桃的售价是元/千克． 21．（25-26九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得当时，，当时，，从而得到且，然后分两种情况解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：把点和代入得： ，解得：； （2）解：由（1）得：函数得解析式为，函数得解析式为， 当时，， 当时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，此时且， 当时，， ∴； 当时，，不成立； 综上所述，m得取值范围为． 22．（24-25七年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点和线段，给出如下定义：记，，若点在线段上，则称点P是线段的“变换点”． 已知点，． (1)如图，当时， ①在点，，中，线段的“变换点”是 ； ②过点作x轴的垂线，若直线上总存在线段的“变换点”，求的取值范围； (2)已知点，，，，若正方形的边上总存在线段的“变换点”，且“变换点”有且只有一个，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①先求得时，线段为到的线段，然后根据变换的定义分别求得，，变换后的坐标，最后判断其是否在线段上即可； ②根据题意可知，上所有点的横坐标均为，可得其变换后横坐标为，从而得到，解之即可得到答案； （2）根据题意可知满足题意的点经过变换后，即，推出，即符合题意的点坐标在变换前的纵坐标与横坐标之差为4；然后分别讨论符合题意的点在正方形的四条边时，得到对应的的取值范围，最后根据“变换点”的个数有且只有1个，分类列出不等式组，求得满足题意时的取值范围即可． 【详解】（1）解：①当时，，， 线段所在直线的解析式为， ，，， ，，， ，在线段上， 线段的“变换点”是，， 故答案为：，； ②过点作轴的垂线， 垂线为直线， 由①知，线段所在直线的解析式为， 直线上总存在线段的“变换点”， “变换点”的横坐标为， ， 解得：； （2）解：根据题意，四边形是边长为4的正方形，其各边均与坐标轴平行或垂直，如图所示： 正方形上总存在线段的“变换点”，其中，， 经过变换后， 即， ，即符合题意的点坐标在变换前的纵坐标与横坐标之差为4， 分别讨论符合题意的点在正方形的四条边的情况： ①当满足纵坐标与横坐标之差为4的点在上时，该点的横坐标为，则纵坐标为， 点纵坐标为0，点纵坐标为4， ，即， 又， ， 当时，上存在点经过变换后一定在线段上， ②当满足纵坐标与横坐标之差为4的点在上时，该点的横坐标为，则纵坐标为， ， ， 即上满足纵坐标与横坐标之差为4的点经过变换后的一定不在线段上， ③当满足纵坐标与横坐标之差为4的点在上时，该点的纵坐标为4，则横坐标为， 当点在上时，如图所示， 则，即， 同理当点在上时，则，， 当时，在上存在满足纵坐标与横坐标之差为4的点， ， 当，即时，上存在线段的“变换点”； ④当满足纵坐标与横坐标之差为4的点在上时，该点的纵坐标为0，则横坐标为， 当点在上时，如图所示， 则，即， 同理当点在上时，则，， 当时，在上存在满足纵坐标与横坐标之差为4的点， ， 当，即时，上存在线段的“变换点”； 分别讨论 “变换点”的个数有且只有1个时的取值： ①当该“变换点”在上时， 则，且和不成立，此时无解； 当点在上时，如图所示， 则上满足条件的点为点，此时， 又当时，上存在点经过变换后一定在线段上， 时，， 即此时上满足条件的点也为点， 当，此时有且只有点满足题意， 时，“变换点”的个数有且只有1个； ②当该“变换点”在上时， 则，且和不成立， ； ③当该“变换”在上时， 则，且和不成立， ； 综上所述，当或时，正方形上总存在线段的“变换点”，且“变换点”的个数有且只有1个． 【点睛】本题考查了“变换点”的定义，平面直角坐标系中点的坐标，解不等式和不等式组，读懂题意理解“变换点”的定义以及熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 23．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期中）阅读下列两则材料，回答问题，材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“共同体直线”，例如，直线y＝x+4与直线y＝4x+l互为“共同体直线”． 材料二：对于半面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2之两点间的直角距离d1（P1，p2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|：例如：Q1（﹣3，1）、Q2（2.4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8； P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做Po到直线y＝ax+b的直角距离． （1）计算S（﹣2，6），T（1，3）两点间的直角距离d（S，T）＝　 　，直线y＝4x+3上的一点H（a，b）又是它的“共同体直线”上的点，求点H的坐标． （2）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“共同体直线”上，试求点L（10，﹣）到直线y＝ax+b的直角距离． 【答案】（1）d（S，T）＝7，H（1，7）；（2）10． 【分析】（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；求两条直线的交点即可求H点的坐标； （2）先表示直线y＝ax+b的“共同体直线”，并将点M和N分别代入可得方程组，得：（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b，对于任意一点M（m，n）等式均成立，求出a，b的值，再根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论． 【详解】解：（1）∵S（﹣2，6）、T（1，3）则S、T两点的直角距离为d（S，T）＝|﹣2﹣1|+|6﹣3|＝7， ∴S（﹣2，6）、T（1，3）两点间的直角距离d（S，T）＝7． 直线y＝4x+3的“共同体直线”是y＝3x+4，由题意知H是它们的交点，则有：， 解得， ∴点H的坐标为：H（1，7）； （2）∵点M（m，n）是直线y＝ax+b上的任意一点， ∴am+b＝n①， ∵点N（3m，2m﹣3n）是直线y＝ax+b的“共同体直线”上的一点， 即N（3m，2m﹣3n）在直线y＝bx+a上 ∴3bm+a＝2m﹣3n②， 将①代入②得，3bm+a＝2m﹣3（am+b）， 整理得：3bm+3am﹣2m＝﹣a﹣3b， ∴（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b， ∵对于任意一点M（m，n）等式均成立， ∴， 解得， ． 是直线上的动点，定点 ， ，， 当时，代数式有最小值10， 点到直线的直角距离是10． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到点到直线的距离、两条直线的交点、绝对值的几何意义等相关知识，属新定义型题目． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $