专题3.1 不等式的基本性质重难点题型讲义（3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题3.1 不等式的基本性质重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 不等式的性质 题型二 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型三 由不等式的性质比较数（式）大小 题型四 作差法比较代数式的大小 题型五 作商法比较代数式的大小 题型六 由不等式的性质证明不等式 题型七 利用不等式求值或取值范围 拓展训练一 不等式的性质、判断证明及应用 拓展训练二 代数式大小的比较问题 拓展训练三 不等式的综合应用 知识点一：不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【即时训练】 1.（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 2.（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为 ． 知识点二：比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【即时训练】 1.（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则 ． 知识点三：等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【即时训练】 1.（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是 ． 【经典例题一 不等式的性质】 【例1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 1.（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的 ． 4.（2025高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 【经典例题二 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【例2】（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽宿州·三模）若均为实数，使不等式和都成立的一组值是 （只要举出适合条件的一组值即可）． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明. 【经典例题三 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例1】（河北省部分高中2025-2026学年高一上学期9月阶段性联合测评数学试题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 1．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·河南周口·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则a，b，c从小到大的顺序是 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果，，那么； (2)如果，那么； (3)如果且，那么； (4)如果，，那么； (5)如果，那么． 【经典例题四 作差法比较代数式的大小】 【例1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如果，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如果，比较与的大小并证明． 1．（2025高三·全国·专题练习）设，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2023高一·上海·专题练习），，则，的大小关系为 ． 4．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【经典例题五 作商法比较代数式的大小】 【例1】（2024·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 1．（2023高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 4．（24-25高一·全国·课后作业）设，且，比较：与的大小 【经典例题六 由不等式的性质证明不等式】 【例1】（24-25高一上·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 1．（23-24高一下·广东梅州·期末）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 4．（24-25高一·全国·课后作业）若，，求证：. 【经典例题七 利用不等式求值或取值范围】 【例1】（2025·浙江杭州·二模）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·北京·专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为 .    4．（24-25高一上·全国·课后作业）如果.分别求及的取值范围． 【拓展训练一 不等式的性质、判断证明及应用】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）设表示中较大的数，表示中较小的数．例如．现在，关于四个不同的实数有下面关系：．试比较的大小． 1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 2．（多选题）（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·全国·中职高考）已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是 ． ①若，则；         ②若，则； ③若，则；     ④若，则； ⑤若，则；         ⑥若，则； 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，（，），判定，，的大小关系. 【拓展训练二 代数式大小的比较问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（多选题）（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 3．（2025高三·全国·专题练习）若正实数满足不等式组，则的大小关系为 （按由小到大排列） 4．（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【拓展训练三 不等式的综合应用】 【例1】（24-25高三·北京·强基计划）设函数，其中x，y，z均为正实数，则（    ） A．既有最大值也有最小值 B．有最大值但没有最小值 C．没有最大值但有最小值 D．前三个答案都不对 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知且，求的取值范围． 1．（24-25高一上·山西晋城·期末）现有70人需要分成4组，要求每一组的人数不超过其他任一组人数的2倍.若某组有x人，则x的最大值与最小值之和为（    ） A．24 B．32 C．38 D．40 2．（多选题）（23-24高一上·福建·期中）已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．c的最大值为1 D．a的最小值为-1 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 1．（25-26高三上·安徽合肥·阶段练习）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知，，，是实数，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）如果，则下列选项不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选题）（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选题）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 9．（多选题）（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 10．（多选题）（24-25高三上·山东·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．， B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 11．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 . 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 13．（24-25高一·浙江·期末） （用不等号“”或“”填空） 14．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）设为实数，且，则下列不等式不正确的有 . ①      ②      ③       ④ 15．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 16．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，分别求，的取值范围． 17．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 18．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）（1）当，都为正数且时，试比较代数式与的大小． （2）若，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 20．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 不等式的基本性质重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 不等式的性质 题型二 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型三 由不等式的性质比较数（式）大小 题型四 作差法比较代数式的大小 题型五 作商法比较代数式的大小 题型六 由不等式的性质证明不等式 题型七 利用不等式求值或取值范围 拓展训练一 不等式的性质、判断证明及应用 拓展训练二 代数式大小比较问题 拓展训练三 不等式的综合应用 知识点一：不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【即时训练】 1.（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】直接根据速度与车距的限制列不等式即可. 【详解】由速度v的最大值为120km/h，故， 由车间距d不得小于10m，故， 即有且. 故选：A. 2.（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【详解】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故答案为： 知识点二：比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【即时训练】 1.（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定的正负情况，再根据不等式的性质，即可判断. 【详解】因为，且，所以，，的取值不确定，可以为正数，负数和零， A.因为，时，，时，，时，，故A错误； B.，，所以，故B错误； C.，，所以，故C正确； D.，，，故D错误. 故选：C. 2.（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【详解】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故答案为： 知识点三：等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【即时训练】 1.（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A. 2.（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故答案为： 【经典例题一 不等式的性质】 【例1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断. 【详解】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【答案】 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 1.（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 2.（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 3.（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的 ． 【答案】充分不必要条件 【分析】根据不等式的性质及充分不必要条件定义判断求解. 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分条件； 当，满足，但是不符合，所以“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件； 故答案为：充分不必要条件 4.（2025高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 【分析】利用不等式的性质证明． 【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 【经典例题二 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据不等式的性质，可得答案. 【详解】（1）∵，且、，∴，∴ （2）∵，∴，又，∴， ∴，∴， ∵、，∴，由（1）知， ∴，∴. 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举出反例可判断ABC；根据不等式性质可判断D. 【详解】取，，则，故A错误； 取，则，故B错误； 取，，，则，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 3．（2023·安徽宿州·三模）若均为实数，使不等式和都成立的一组值是 （只要举出适合条件的一组值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件写出满足不等式的一组值即可. 【详解】由知，同号，同号，且． 因为，所以． 所以在取时只需满足以下条件即可：①同号，同号，异号；②． 令，不妨取， 则，取，则满足要求． 故答案为：（答案不唯一）. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明. 【答案】可组成3个正确命题，证明见解析. 【分析】根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可. 【详解】（1）对②变形：，由得②成立，∴①③②. （2）若，则，∴①②③. （3）若，则，∴②③①. 综上所述，可组成3个正确命题. 【经典例题三 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例1】（河北省部分高中2025-2026学年高一上学期9月阶段性联合测评数学试题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整理得，，，进而比较大小即可. 【详解】由， ， ， 而， 则，即. 故选：D. 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】，理由见解析. 【分析】利用不等式的基本性质，直接判断两式的大小关系. 【详解】，理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 1．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：若，则，错； B：若时，，错； C：由，，同向相加，不等式符号方向不变知，对； D：若，则，错. 故选：C 2．（多选题）（24-25高一上·河南周口·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】B选项，由条件得到，故，并得到，故B正确；举出反例得到AD错误；再由得到，由，得到，从而，C正确. 【详解】B选项，， 又，故， 由可得，即， 由可得， 所以，故， 由可得，即， 所以，B正确； 不妨设，满足和， 此时，，AD错误； 两边同除以得， ，，故，即， 不等式两边同除以得， 所以，C正确； 故选：BC 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则a，b，c从小到大的顺序是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质将原不等式化成，结合条件，进一步化成，即可比较大小. 【详解】由可得， 即， 因，，则有， 故得：， 由可得，由可得， 于是有． 故答案为：. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果，，那么； (2)如果，那么； (3)如果且，那么； (4)如果，，那么； (5)如果，那么． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 (5)假命题 【分析】（1）（4）取特殊值可判断原命题的真假； （2）（3）（5）利用不等式的基本性质可判断原命题的真假. 【详解】（1）取，，满足，，但是，故原命题为假命题； （2）当时，由得，故原命题为假命题； （3）因为且，所以，故原命题为真命题； （4）取，，满足，，但是， 故原命题为假命题； （5）当时，由，可得，故原命题为假命题. 【经典例题四 作差法比较代数式的大小】 【例1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如果，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【详解】若，，则， 则，即，必要性成立； 若，，则， 所以，充分性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如果，比较与的大小并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 1．（2025高三·全国·专题练习）设，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法判断与0的关系可得到不等关系，即可求得结果. 【详解】对于A，，无法判断，该选项错误； 对于B，，不成立，该选项错误； 对于C，，成立，该选项正确； 对于D，，不成立，该选项错误. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质判断A，利用作差法判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 3．（2023高一·上海·专题练习），，则，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】利用作差法比大小. 【详解】由已知，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即， 故答案为：. 4．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 【经典例题五 作商法比较代数式的大小】 【例1】（2024·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【详解】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 【例2】（2023高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 【答案】 【分析】利用作商法比大小. 【详解】, 同理，, 从而， 即>. 1．（2023高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 2．（多选题）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设两地的距离为，计算出全程的平均速度，然后利用基本不等式得出与和的大小关系，再利用作差法比较与的大小关系，从而得出正确选项. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为， ， ，由基本不等式可得， ， 又， 所以， ， 所以. 故选：AD. 3．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 4．（24-25高一·全国·课后作业）设，且，比较：与的大小 【答案】. 【解析】用作商法，结合已知条件，利用不等式性质即可判断大小. 【详解】 ，， ，， ， 故 【点睛】本题考查利用作商法比较代数式的大小，属基础题. 【经典例题六 由不等式的性质证明不等式】 【例1】（24-25高一上·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】通过举特例及不等式性质可判断选项正误. 【详解】当时，，，但， 则由不能得到；当，时，，，则由可得到, 故是的充分不必要条件. 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 1．（23-24高一下·广东梅州·期末）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，对四个选项逐一判断，可得正确答案. 【详解】对于选项：若，则，故选项不正确； 对于选项：若， ，则，故选项不正确； 对于选项：若，则，即，故选项正确； 对于选项：若，，则，故选项不正确 故选： 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题. 2．（多选题）（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用不等式的性质和特殊值验证的方法验证即可. 【详解】因为，不妨令，，，.则，，，A错误；，，，C错误； 因为，所以，又因为，利用同向不等式可加性得，B正确； 因为，所以，利用同向同正不等式可乘性，所以，D正确； 故选：BD 3．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 4．（24-25高一·全国·课后作业）若，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系. 【详解】因为，则， 又因为，则， 可得，则， 且，所以． 【经典例题七 利用不等式求值或取值范围】 【例1】（2025·浙江杭州·二模）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由恒成立得到，再由绝对值特性得到即可求解. 【详解】因为对任意的正数，恒成立， 所以，又，所以，所以. 故选：A 【例2】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两不等式相加可求x的取值范围； （2）利用待定系数法可得，再根据不等式的性质可求的取值范围. 【详解】（1）， 两个不等式相加可得 解得. （2）设， 则，. 即， 又， ， ， 即 的取值范围为. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式性质得到，. 【详解】，故， 又，所以 故选：D 2．（多选题）（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB选项，利用不等式的性质直接进行求解；CD选项，先利用表达出和，结合求出答案. 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 3．（2025高三·北京·专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为 .    【答案】8 【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系，求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解. 【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（）， 则由题意，所以，即， 因为，所以， 又，所以，即刘老师总共跑的圈数为8. 故答案为：8 4．（24-25高一上·全国·课后作业）如果.分别求及的取值范围． 【答案】 【分析】先利用不等式的性质分别求，的范围，再结合所求运用不等式的同向可加性，同向皆正可乘性即得. 【详解】因，故； 因，故； 又因，则，即. 【拓展训练一 不等式的性质、判断证明及应用】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明. 【详解】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确； 故选：D. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）设表示中较大的数，表示中较小的数．例如．现在，关于四个不同的实数有下面关系：．试比较的大小． 【答案】 【分析】根据新定义即可得解. 【详解】依题意， 设，， 则． 另外，因为，所以， 因而， 从而． 1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D 2．（多选题）（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【详解】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 3．（22-23高三·全国·中职高考）已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是 ． ①若，则；         ②若，则； ③若，则；     ④若，则； ⑤若，则；         ⑥若，则； 【答案】②④ 【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质一一判断即可. 【详解】对①，当时，，故①不成立； 对②，若，则，即，则，故②成立； 对③，若，则，则，故③不成立. 对④，若，则且，故，故④成立； 对⑤，若，则，故，即，故⑤不成立， 对⑥，，故⑥不成立， 故②④为真命题. 故答案为：②④. 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，（，），判定，，的大小关系. 【答案】. 【分析】先将化为，再根据不等关系判断其与的大小关系；接下来将化为，再根据不等关系判断其与的大小关系，最后得出，，的大小关系. 【详解】∵， ， ∴. 【点睛】本题重点考查不等式与不等关系的应用，熟练掌握相关不等关系是解答此类题目的关键，考查逻辑思维能力和推理能力，属于常考题. 【拓展训练二 代数式大小的比较问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法即可求解. 【详解】由题意有， 因为，所以，， 所以，即． 故选：A． 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】（1），理由见解析； （2），理由见解析. 【分析】（1）利用作差法，即可求解； （2）通过不等式的性质，即可求解. 【详解】（1），理由如下： 因为 故：当且时，； 当或时，. （2），理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断. 【详解】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：B. 2．（多选题）（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 3．（2025高三·全国·专题练习）若正实数满足不等式组，则的大小关系为 （按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据给定条件，变形并进行大小比较，再利用不等式性质求解即得. 【详解】由不等式组及均为正实数，得， 则，即， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）解：由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）解：由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 【拓展训练三 不等式的综合应用】 【例1】（24-25高三·北京·强基计划）设函数，其中x，y，z均为正实数，则（    ） A．既有最大值也有最小值 B．有最大值但没有最小值 C．没有最大值但有最小值 D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】先由糖水不等式可得，再根据极限可判断既无最大值也无最小值． 【详解】解：注意到，一方面由糖水不等式可得 ， 且， 另一方面，把x当作主元，令， 当时，，明显当时，满足， 当时，，明显当 时，满足， 故既无最大值也无最小值． 故选：D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知且，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据且得，，同时除以，解出的取值范围. 【详解】由，得，则， 得. 1．（24-25高一上·山西晋城·期末）现有70人需要分成4组，要求每一组的人数不超过其他任一组人数的2倍.若某组有x人，则x的最大值与最小值之和为（    ） A．24 B．32 C．38 D．40 【答案】C 【分析】通过设未知数，根据每一组人数的关系列出不等式，从而求出x的取值范围，进而得到x的最大值和最小值. 【详解】设这4组人数分别为，因为总人数为70人，所以， 又因为每一组的人数不超过其他任一组人数的2倍，所以， 为了求x的最大值，我们假设，则，且， 将代入中，得到，解得， 当时，，所以x的最大值为28； 为了求x的最小值，我们要让其他组的人数尽可能大，因为x不超过其他任一组人数的2倍， 所以当x最小的时，其他组人数最多为2x，设x最小为a，则，所以， 故x的最小值为10，所以x的最大值与最小值之和为. 故选：C 2．（多选题）（23-24高一上·福建·期中）已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．c的最大值为1 D．a的最小值为-1 【答案】ABC 【解析】由题可得，设，则可得，即可解出，，判断AB正确；将条件转化为，利用判别式可求出的范围，同理求出的范围. 【详解】由，得， ， 设，则. ， ，解得，即，，故AB正确； ，即. ，即. 由a，知，. ∴，解得，同理可得，故C正确，D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题考查根据已知等量关系求范围，解题的关键是根据条件令，转化出，即可求出，进一步利用判别式可求出范围. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 【答案】 【分析】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 1．（25-26高三上·安徽合肥·阶段练习）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例判断选项A，B，C，作差法判断选项D. 【详解】因为为非零实数，且， 所以取， 则，， 故A，B选项不正确； 取，则， 故选项C不正确， 选项D，由， 因为，所以， 即，故选项D正确. 故选：D. 2．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知，，，是实数，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先说明充分性：即由且，可得，进而成立；再说明必要性：即由，得，进而可得或，所以必要性不成立. 【详解】因为且， 所以且， 所以，即，故充分性成立； 当成立时，即， 所以或，即“且”或“且”，故必要性不成立； 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先将用，表示出来，根据已知的与的取值范围，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可得出的大小关系． 【详解】因为，所以． 故选：C. 5．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过作差法先证明，再根据，可证明，进而证明，可得到，即可证明. 【详解】由题意，， 所以， 因为，所以，即. 所以,即， 所以. 再来比较的大小： 因为， 所以， 所以，即， 所以. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查比较大小.解题的关键是比较的大小，通过证明，可得到，即可证明. 6．（多选题）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）如果，则下列选项不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，如，则，所以A选项不正确. B选项，若，所以，则，所以B选项正确. C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确. D选项，若，如，此时，所以D选项不正确. 故选：AD 7．（多选题）（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 8．（多选题）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】BC 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式性质可判断BC选项. 【详解】对于A，若，且，则，即，不知道的符号， 则的符号无法确定，即不一定成立，A错； 对于B，若，则，且，所以，所以，B对； 对于C，若，且，则，所以，C对； 对于D，，若，且，则，， 所以，所以，D错. 故选：BC 9．（多选题）（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC 10．（多选题）（24-25高三上·山东·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．， B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【详解】当时，为负数，所以A不正确； 若，则，考虑函数在R上单调递增， 所以，即，所以B正确； 若，则，，所以C不正确； 若，，，根据基本不等式有 所以D正确. 故选：BD 【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项. 11．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 . 【答案】 【分析】利用作差法判断大小即可. 【详解】， 因为，， 所以，， 所以， 所以. 故答案为： 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】 【分析】利用一次函数的单调性与一元一次不等式的解法由条件可得到的关系式，再代入到中，解不等式即可. 【详解】将不等式 移项整理： ， 因为不等式的解集为， 所以， 所以， 代入中可得：， 又因为， 所以. 故答案为： 13．（24-25高一·浙江·期末） （用不等号“”或“”填空） 【答案】 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】， 所以. 故答案为： 14．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）设为实数，且，则下列不等式不正确的有 . ①      ②      ③       ④ 【答案】②③④ 【分析】利用不等式的基本性质可证得①正确，利用赋值法举反例可说明②③④错误. 【详解】对于①，，且，，即，故①正确； 对于②③，由，取， 则，此时，故②错误； 则，此时，故③错误； 对于④，由，取， 则，此时，故④错误. 故答案为：②③④. 15．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 若，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 综上可知的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在和前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”. 16．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，分别求，的取值范围． 【答案】的取值范围是，的取值范围是． 【分析】利用不等式的基本性质计算即可. 【详解】因为，， 所以，，可得， 所以的取值范围是． 易知，而，则， 所以的取值范围是． 17．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）可通过作差法将与作差，然后判断差的正负来证明不等式； （2）使用作差法，将与作差，对差进行因式分解，再根据已知条件判断差的正负，从而比较与的大小. 【详解】（1）法一： ． 由于， 所以当时，，，  即 法二：因为，所以 所以，则     即 法三：因为，要证 即证 即证 由于，   所以原不等式成立 （2）解：因为，， 所以 因为，且，所以，， 所以，即 18．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）（1）当，都为正数且时，试比较代数式与的大小． （2）若，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用作差法即可判断大小. （2）由，得，再两个不等式相加即可得到结果. （3）首先设，求出的值，再让两个不等式相加可得结果. 【详解】（1）． 因为，所以，， 所以． 因为p，q都为正数，所以， 因此，当且仅当时等号成立． （2）因为，即，， 所以，所以， 又，所以，即． （3）设， ，解得，． ，， ，， 则． 的取值范围是． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】糖水不等式，；证明见解析 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可得糖水不等式；根据糖水不等式，结合三角形三边关系可得，，，将以上不等式左、右两边分别相加即可证明. 【详解】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式，. 证明：因为为三角形的三边长，则有，，， 由糖水不等式可得，，， 将以上不等式左、右两边分别相加，得， 即. 20．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）；（2）充分非必要条件，理由见解析. 【分析】（1）根据已知列出不等式，计算求解即可； （2）由，分，，两种情况，根据不等式性质，依次推理可得，即可得出为充分条件，当“x比y更接近m”时，可知，观察可知，不一定成立,即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，即， 解得：，则实数的取值范围是. （2）①若. 1）若，则，显然必有 那么，若，则显然，满足; 若，则必有，满足. 2）同理若，则，显然必有, 那么，，则显然，满足； 若，则必有，满足. 所以“”是“比更接近”的充分条件. ②若比更接近，则即, 取,符合 但， “”不是“比更接近”的必要条件 综上是"x比y更接近m"的充分非必要条件. 【点睛】本题考查新定义"接近"的理解和运用，考查充分、必要条件的证明，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题. 学科网（北京）股份有限公司 $