大单元教学分层优化练专题三 角平分线、垂线与平行线构等腰三角形的题型与解题策略2025－2026学年人教版数学八年级上册

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题三角平分线、垂线与平行线构等腰三角形的题型与解题策略（解析版） 核心原理 “角平分线加平行线，必出等腰三角形”是解决这类问题的核心原理。其背后的逻辑是：通过平行线得到内错角、同位角相等，再结合角平分线提供的角相等关系，通过等量代换发现等腰三角形 “知二求一”是这个模型的一个重要特点，即当题目中出现“角平分线”、“平行线”、“等腰三角形”这三个条件中的任意两个时，通常可以推导出第三个。 常见题型及解题策略 1.基本模型：角平分线 + 平行线 → 等腰三角形 解题策略：直接应用“角平分线+平行线→等腰”的结论，快速发现图形中的等腰三角形，为后续证明或计算提供边等或角等的条件。 2.双角平分线与平行线：模型中涉及两个角平分线和平行线。 解题策略：此类题目中通常会出现多个等腰三角形。解题关键在于利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行多次等量代换，最终证明线段的和差关系或进行周长计算。 3.角平分线 + 高线模型 → 等腰三角形 这个模型的特点是存在角平分线和高线（即射影）。 解题策略：识别模型中的角平分线和高线，证明等腰三角形后，常与直角三角形的性质（如勾股定理）或相似三角形结合求边长。(后续学习后总结) 4.利用倍角关系构造新等腰三角形 当题目中出现一个角是另一个角的两倍（或特定倍数关系）时，通过构造角平分线和平行线可以产生新的等腰三角形，从而解决问题。 解题策略：遇到倍角关系，可以考虑通过作角平分线将倍角分解，再结合平行线构造等腰三角形。这需要一定的观察和尝试。 解题技巧与辅助线作法 解决这类问题时，一些常见的技巧和辅助线作法能提供很大帮助： 常见辅助线： 在角平分线模型中，常过角平分线上的点作一边的平行线，构造等腰三角形。 有时也需要向角的两边作垂线​（利用角平分线上的点到角两边距离相等）。 1.证明边相等：等腰三角形的出现提供了边相等的条件，这是证明线段相等或进行周长计算的关键。 2.进行角转换：通过等腰三角形的等边对等角和平行线的同位角、内错角相等进行角度的转换和计算，是解题的核心步骤之一。 3.等量代换：这是贯穿始终的数学思想，需要细心寻找相等的角，并进行替换。 核心原理 解决“角平分线与垂线构成等腰三角形”这类问题的核心原理是：​当题目中同时出现角平分线和垂线（通常是垂直于角平分线的线段）时，通过延长垂线往往可以构造出等腰三角形。这利用了等腰三角形“三线合一”的性质（即底边上的中线、高线和顶角平分线重合） 常见题型及解题策略 解题技巧与辅助线作法 常见辅助线： 看到“角平分线”和“垂线”的条件，优先考虑延长这条垂线，使其与角的另一边相交，从而构造出等腰三角形 有时也需要过角平分线上的点向两边作垂线（利用角平分线上的点到角两边距离相等） 1.证明边相等：等腰三角形的出现提供了边相等的条件，这是证明线段相等或进行周长计算的关键。 2.进行角转换：通过等腰三角形的等边对等角和全等三角形的对应角相等进行角度的转换和计算，是解题的核心步骤之一。 3.等量代换：这是贯穿始终的数学思想，需要细心寻找相等的角或边，并进行替换。 题型1基本模型：角平分线 + 平行线 例1．如图，在中，是的平分线，过点作的平行线，交的延长线于点．于点． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三线合一、根据等角对等边证明边相等 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，再根据得，，然后根据得，进而可得的度数； （2）先根据角平分线定义得，再根据得，，则，由此得，则，再证明得，继而得，据此即可求出的长． 【详解】（1）解： 是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， 故；； （2）解：是的平分线， ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ， ． 【变式1-1】．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【知识点】根据平行线判定与性质证明、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】．．（1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点作的平行线，交的长线于点，发现的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度． 【答案】（1）见解析   （2）；理由见解析   （3）4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故的长度为4． 【变式1-3】．．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 题型2 双角平分线型 例2．如图，已知是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，过作的平行线，交于，交于．求证：． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质．首先根据角平分线的定义和平行线的性质进行角之间的等量代换，得到，，根据等角对等边得到是等腰三角形，然后进行边之间的等量代换即可证明结论． 【详解】证明：、是与的角平分线， ，． ， ，， ，， ， ． 【变式2-1】．．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边对等角、三线合一、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，即可得到答案． （2）根据得到，，则，得到，即可根据证明； （3）先证明，得到，再根据以及等腰三角形三线合一的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）证明：由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式2-2】．．如图，在中，，，两条角平分线、相交于点，则图中全等等腰三角形有 ． 【答案】3对 【知识点】三角形内角和定理的应用、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 由在中，，角平分线与相交于点，利用等边对等角与角平分线的性质，求得图中各角的度数，然后利用等角对等边的知识，即可判定都是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∵的角平分线与相交于点， ， ， ， ， ， ∴等腰三角形有：共 8 个，其中，． 故答案为：3对． 【变式2-3】．．如图，在中，平分平分，过点作的平行线分别与，相交于点M，N．若，的周长为7，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，得到，，求得，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 的周长为， ， 的周长， 故答案为：12． 题型3 角平分线型+高 例3．如图，在中，为边上高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．   (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过设未知数表示角的度数，利用角平分线和全等三角形建立角之间的等量关系，逐步推导结论． （1）利用直角三角形两锐角互余表示结合角平分线定义设，再通过三角形外角性质推出，进而证明即平分． （2）由得结合（1）的结论求出的度数；通过证明得到最后计算和均为，利用三角形内角和证得． 【详解】（1）证明：∵为边上的高， ∴，则． 设平分 ∴， ∴． ∵点F在上，，且是的外角， ∴ （三角形外角等于不相邻两内角和）， 即 ∴． 又∵， ∴即 平分． （2）证明：∵ ∴ 中． 由（1）知（即， 根据三角形内角和定理：， ∴，解得． ∵， ∴． 由（1）知平分即． 在和中 ∴ ∴． ∵， ∴． 又∵， 在中，． 【变式3-1】．．（1）观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线三线合一”．猜想：如图1，在中，如果，，那么是等腰三角形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （2）拓展应用：如图2，已知在中，，平分，．求证：． 【答案】（1）是等腰三角形，见解析；（2）见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由于点D，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，则是等腰三角形； （2）延长交于点E，则，得，，， ，即可推导出，得，所以． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵于点D， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式3-2】．已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质求线段和的最值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，根据三角形的外角的性质得出，即可求解； ②先表示出的三个内角，然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，当重合时，的最小值为，进而根据三角形的面积公式求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：①设 ∵ ∴ ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴ ∴； ②∵是的高， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰三角形时 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ s解得：（不合题意，舍去） 综上所述，或 （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接， ∵，是的高， ∴是的对称轴， ∴，当重合时取得最小值，即的最小值为 ∵的面积是， ∴ ∴的最小值是 【变式3-3】．如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算、对顶角相等、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得，进而由对顶角相等得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型4利用倍角关系构造等腰三角形 例4．如图1，在中，是它的角平分线． (1)求证：； (2)如图2，在中，是它的角平分线，且，请同学们探究线段、、三者的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，添加辅助线是解答的关键． （1）作，，垂足为E、F，根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，得到，，，再利用三角形的外角性质和等角对等边得到，进而可求解． 【详解】（1）证明：作，，垂足为E、F， 平分， ， ； （2）解：在上截取，连接，如图， 平分， ， 又， ， ，，， 又，且， ， ， ， ， 即． 【变式4-1】．（1）如图①，在中，已知，角平分线平分，，垂足为D，与相交于点F，若，易证，所以．则线段和的数量关系是________； （2）如图②，在中，已知，，，垂足E在的延长线上，若分别延长，交于点P，且．试探究线段和的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，在中，已知，，点D在线段上，，，垂足为E，与交于点F．试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3），证明见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，，然后利用证明，得出，即可得出结论； （2）证明，得出，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （3）过点D作交于H，交的延长线于点G，先证明是等腰直角三角形，得出，进而得出，利用等腰三角形的判定可得出，然后类似（2）判定即可． 【详解】解：（1），平分， ，， 又， ， 在和中 ， ， ． 故答案为：； （2）．理由如下： 如图②， ， ， 又， ， ， ． 在和中 ， ， ． ，， 是的中点， ， ． （3）．理由如下： 过点D作交于H，交的延长线于点G， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ． 又， ∴由（2）可知， ， ， ， 即平分， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 是的中点， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、余角的性质等知识，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形与全等三角形的性质，添加合适的辅助线是解答的关键． 【变式4-2】．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； （3）线段，，之间的数量关系为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式4-3】．定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题： (1)如图1，△ABC中，AD是角平分线，且，求证：△ABC是倍角三角形； (2)如图2，已知△ABC是倍角三角形，且，，，求AC的长； (3)如图3，已知△ABC中，，，，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）根据相似三角形的判定可证△ABD∽△CBA，进而由相似三角形的性质可得∠BAD=∠C，角平分线的性质可得∠BAC=2∠BAD，等量代换即可求证结论； （2）作△ABC的角平分线AD，根据角平分线的性质易得∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，进而可证△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质可得，进而可得BD、CD，由等角对等边可得AD=CD=3.6，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求解； （3）过点A作∠BAC的三等分角，AD，AE，分别交BC于点D，E，根据三等分线的性质可知：，进而可证，由相似三角形的性质可得：，进而可得BD、CD，根据外角的性质和等量代换可得,进而由等角对等边可得，进而可得，由相似三角形的性质可得：，代入数据求得：，由相似三角形的性质可得，代入数据即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴∠BAD=∠C， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAC=2∠BAD， ∴∠BAC=2∠C， ∴△ABC是倍角三角形： （2）如图2，作△ABC的角平分线AD，则∠BAC=2∠BAD=2∠CAD， ∵∠BAC=2∠C， ∴∠BAD=∠C， ∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴， ∴， ∵∠CAD=∠C， ∴AD=CD=3.6， ∵， ∴， ∴ （3）如图3，过点A作∠BAC的三等分角，AD，AE分别交BC于点D，E， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、角平分线的性质、等角对等边等知识，正确做辅助线构造相似三角形，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质． 题型5 基本型：角平分线+垂线 例5．【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边 ．边角边 ．角边角 ．斜边直角边 【方法总结】当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知 ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【答案】知识背景：；方法应用：证明见解析；拓展： 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】知识背景：根据角平分线、垂直的条件，结合全等三角形判定定理判断的依据； 方法应用：利用角平分线及垂线段构造全等三角形，结合角度关系推导； 拓展：通过作辅助线，构造全等三角形，结合等腰直角三角形性质、三角形面积公式求解． 【详解】解：知识背景： ∵ 平分， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ （角边角）， 答案选C． 方法应用： 延长交于点， ∵ 平分，， ∴， ∴ ， ∴． ∴ ． 拓展：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 过点作于，过作于交的延长线于， ∵ ，，， ∴ ，是等腰直角三角形， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ （角角边）， ∴， ∵ ，，， ∴ ， 又∵ ， ∴ （角边角）， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定方法和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【变式5-1】．如图，在中，．过点C作于点D，点E为边上的中点，连接，过点E作交的角平分线于点F． (1)证明：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识解决问题是解题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得，最后根据等量代换即可解答； （2）由角平分线的性质、平行线的性质、角的和差以及等量代换可证，然后根据等角对等边即可解答． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， ∵ ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴线段的长为． 【变式5-2】．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题： （1）求证：∠ABF＝∠BCD； （2）判断△BCF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见详解；（2）等腰三角形，理由见详解 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解； （2）由∠A＝45°，CG⊥AB得出∠ACG＝45°，即得∠ACB＝45°+∠BCG，根据三角形外角定理得出∠BFC＝45°+∠ABF，由（1）知∠BCG＝∠ABF，可得∠BCF＝∠BFC，由“等角对等边”即可得解． 【详解】（1）证明：如图所示：∠DCB的角平分线交AB于G ∵BC＝DC， ∴CG⊥AB， ∴∠DCG+∠CDG＝90°， ∵BF⊥CD于点E， ∴∠ABF+∠CDG＝90°， ∴∠ABF＝∠DCG∠BCD； （2）解：如上图，△BCF是等腰三角形， 理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB， ∴∠ACG＝45°， ∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF， ∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF， ∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BC＝BF， ∴△BCF是等腰三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记“等角对等边”及“等边对等角”是解题的关键． 【变式5-3】．在中，，是的角平分线，P是射线上任意一点 (不与A、D、C三点重合)，过点P作，垂足为Q，交线段于E． (1)如图①，当点P在线段上时，说明． (2)画出的角平分线交线段于点F，则与有怎样的位置关系？画出图形并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)平行或垂直，画图及理由见详解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了平行线的判定，以及直角三角形的性质，三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）根据，，为角平分线可得，根据对顶角的性质可得结论； （2）分两种情况，当在线段上时，如图1所示，可得出与平行，由第一问的结论利用等角对等边得到，利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；当在延长线上时，垂直于，由，利用三线合一即可得证． 【详解】（1）解：，    ，   ，    ， 平分，   ，    ， ，    ，   即； （2）解：①当在线段上时，如图1所示，， 理由：， ， 为的平分线，为的外角， ， ； ②当在延长线上时， ，    理由：， ， 为的平分线， ． 综上所述，与平行或垂直． 题型6 等线段代换型（截长补短） 例6．在中，，，于D，过C点引射线交延长线于F点．过B点作于E点、分别交、于点G，H． (1)求证：； (2)若； ①判断是否是的角平分线，并说明理由； ②说明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①BE是CBF是角平分线，理由见解析；②理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明 【分析】（1）由题意知∠ABH=∠ACF，，，角角边可以证明两三角形全等； （2）①等边对等角知∠AGH=∠AHG，∠GBD+∠BGD=90°，∠ABH+∠AHB=90°，进而得∠GBD=∠ABH，即证BE是△CBF是角平分线；②由△ABH≌△ACF，可知BH=CF，由BE是△BCF是角平分线得，证明△BCE≌△BFE，故有EF=CE=，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵BE⊥CF于E点， ∴∠BEC=90°， ∴∠BAC=90°=∠BEC ∵∠ABH+∠BHA=90°，∠ACF+∠CHE=90°，∠BHA=∠CHE， ∴∠ABH=∠ACF 在△ABH和△ACF中 ∵ ∴△ABH≌△ACF（AAS）． （2）解：①BE是CBF是角平分线． 理由如下：∵AG=AH， ∴∠AGH=∠AHG， ∵∠AGH=∠BGD， ∴∠AHG=∠BGD ∵AD⊥BC于D点， ∴∠GBD+∠BGD=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABH+∠AHB=90°， ∴∠GBD=∠ABH， ∴BE是△CBF是角平分线． ②证明：∵△ABH≌△ACF， ∴BH=CF， ∵BE是△CBF是角平分线， ∴， 在△BCE和△BFE中 ∵ ∴△BCE≌△BFE， ∴EF=CE=， ∴BH=2CE． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用． 【变式6-1】．如图，在中，，D是上一点（D与A不重合）． (1)尺规作图： 过点D作的垂线垂足为E．作的平分线交于点F，交于点H（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，垂线，平行线的判定和性质，等角对等边： （1）根据尺规作角平分线，作垂线的方法，作图即可； （2）先证明，得到，角平分线，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵为的平分线 ∴． ∴， ∴． 【变式6-2】．下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务： (1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． (2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． (3)如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，平行线的性质，推出，进而得到，均为等腰三角形； （2）过点作于点，三线合一，结合平行线的性质，推出，即可得证； （3）过点作交的延长线于点，推出为等边三角形，进而得到，推出，三线合一，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （2）解：过点作于点，如图 ， ． ， ． ． ， ∴是等腰三角形 ； （3） 理由如下：过点作交的延长线于点． 答图2为等边三角形， ． ， ． 为等边三角形． ． ，即． ， ． 又， ． 【变式6-3】．如图，从等腰的直角顶点C向中线作垂线，交于F，交于E，连结．求证： 【答案】详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．作的平分线交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，作的平分线交于点， ∵在等腰直角中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型7倍长中线型 例7．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，求得，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 【变式7-1】．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（2），证明见解析（3），证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（2）， 证明：延长至点，使，连接，，如图所示． 同（1）得：， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ． （3）． 证明：如图，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【变式7-2】．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】模型证明：见解析；模型应用：见解析；模型构造： 【知识点】三角形的外角的定义及性质、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】模型证明：利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； 模型应用：连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； 模型构造：作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】模型证明： 解：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， 模型应用： 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； 模型构造： 解：如图所示，过作于，连接． ，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴为等边三角形． ，， ∵ ∴． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 【变式7-3】．在学习等腰三角形的性质时，同学们展开多维度探索： (1)基础应用：在中，的周长为的周长比的周长少12，则的长为______． (2)逆向探究：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成证明． 已知：在中，平分，且点是的中点． 求证：． 方法一：如图2，延长到点，使，连接． 方法二：如图3，过点分别作的垂线，垂足分别为E，F． (3)拓展综合：如图4，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，连接，设的面积分别为，试求的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，平分，得出设，，，由的周长为40，得出，由的周长比的周长少12，得出，即可求解； （2）方法一，延长到点E，使， 连接，可证明，得出，，再由角平分线的性质得到，进而得到，得出，即可求证；方法二，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，通过分别证明，，从而得到，，即可求证； （3）延长交的延长线为点，可证明，进而得到，根据题意得到，由于点H到的距离小于等于的长，则当时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：∵， ∴； 设，，， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵的周长比的周长少12， ∴， ∴． （2）证明：方法一： 如图2， 延长到点E，使， 连接，    ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二： 如图3，过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交的延长线为点，如图：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ∵的面积分别为， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H到的距离小于等于的长， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 二、角平分线与垂线构等腰三角形：题型与解题策略 角平分线+平行线分类解析 一、角平分线与平行线构等腰三角形：题型与解题策略 角平分线+垂线分类解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题三角平分线、垂线与平行线构等腰三角形的题型与解题策略 核心原理 “角平分线加平行线，必出等腰三角形”是解决这类问题的核心原理。其背后的逻辑是：通过平行线得到内错角、同位角相等，再结合角平分线提供的角相等关系，通过等量代换发现等腰三角形 “知二求一”是这个模型的一个重要特点，即当题目中出现“角平分线”、“平行线”、“等腰三角形”这三个条件中的任意两个时，通常可以推导出第三个。 常见题型及解题策略 1.基本模型：角平分线 + 平行线 → 等腰三角形 解题策略：直接应用“角平分线+平行线→等腰”的结论，快速发现图形中的等腰三角形，为后续证明或计算提供边等或角等的条件。 2.双角平分线与平行线：模型中涉及两个角平分线和平行线。 解题策略：此类题目中通常会出现多个等腰三角形。解题关键在于利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行多次等量代换，最终证明线段的和差关系或进行周长计算。 3.角平分线 + 高线模型 → 等腰三角形 这个模型的特点是存在角平分线和高线（即射影）。 解题策略：识别模型中的角平分线和高线，证明等腰三角形后，常与直角三角形的性质（如勾股定理）或相似三角形结合求边长。(后续学习后总结) 4.利用倍角关系构造新等腰三角形 当题目中出现一个角是另一个角的两倍（或特定倍数关系）时，通过构造角平分线和平行线可以产生新的等腰三角形，从而解决问题。 解题策略：遇到倍角关系，可以考虑通过作角平分线将倍角分解，再结合平行线构造等腰三角形。这需要一定的观察和尝试。 解题技巧与辅助线作法 解决这类问题时，一些常见的技巧和辅助线作法能提供很大帮助： 常见辅助线： 在角平分线模型中，常过角平分线上的点作一边的平行线，构造等腰三角形。 有时也需要向角的两边作垂线​（利用角平分线上的点到角两边距离相等）。 1.证明边相等：等腰三角形的出现提供了边相等的条件，这是证明线段相等或进行周长计算的关键。 2.进行角转换：通过等腰三角形的等边对等角和平行线的同位角、内错角相等进行角度的转换和计算，是解题的核心步骤之一。 3.等量代换：这是贯穿始终的数学思想，需要细心寻找相等的角，并进行替换。 核心原理 解决“角平分线与垂线构成等腰三角形”这类问题的核心原理是：​当题目中同时出现角平分线和垂线（通常是垂直于角平分线的线段）时，通过延长垂线往往可以构造出等腰三角形。这利用了等腰三角形“三线合一”的性质（即底边上的中线、高线和顶角平分线重合） 常见题型及解题策略 解题技巧与辅助线作法 常见辅助线： 看到“角平分线”和“垂线”的条件，优先考虑延长这条垂线，使其与角的另一边相交，从而构造出等腰三角形 有时也需要过角平分线上的点向两边作垂线（利用角平分线上的点到角两边距离相等） 1.证明边相等：等腰三角形的出现提供了边相等的条件，这是证明线段相等或进行周长计算的关键。 2.进行角转换：通过等腰三角形的等边对等角和全等三角形的对应角相等进行角度的转换和计算，是解题的核心步骤之一。 3.等量代换：这是贯穿始终的数学思想，需要细心寻找相等的角或边，并进行替换。 题型1基本模型：角平分线 + 平行线 例1．如图，在中，是的平分线，过点作的平行线，交的延长线于点．于点． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 【变式1-1】．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【变式1-2】．．（1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点作的平行线，交的长线于点，发现的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度． 【变式1-3】．．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 题型2 双角平分线型 例2．如图，已知是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，过作的平行线，交于，交于．求证：． 【变式2-1】．．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 【变式2-2】．．如图，在中，，，两条角平分线、相交于点，则图中全等等腰三角形有 ． 【变式2-3】．．如图，在中，平分平分，过点作的平行线分别与，相交于点M，N．若，的周长为7，则的周长为 ． 题型3 角平分线型+高 例3．如图，在中，为边上高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．   (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：． 【变式3-1】．．（1）观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线三线合一”．猜想：如图1，在中，如果，，那么是等腰三角形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （2）拓展应用：如图2，已知在中，，平分，．求证：． 【变式3-2】．已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【变式3-3】．如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 题型4利用倍角关系构造等腰三角形 例4．如图1，在中，是它的角平分线． (1)求证：； (2)如图2，在中，是它的角平分线，且，请同学们探究线段、、三者的数量关系，并证明． 【变式4-1】．（1）如图①，在中，已知，角平分线平分，，垂足为D，与相交于点F，若，易证，所以．则线段和的数量关系是________； （2）如图②，在中，已知，，，垂足E在的延长线上，若分别延长，交于点P，且．试探究线段和的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，在中，已知，，点D在线段上，，，垂足为E，与交于点F．试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 【变式4-2】．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【变式4-3】．定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题： (1)如图1，△ABC中，AD是角平分线，且，求证：△ABC是倍角三角形； (2)如图2，已知△ABC是倍角三角形，且，，，求AC的长； (3)如图3，已知△ABC中，，，，求AC的长． 题型5 基本型：角平分线+垂线 例5．【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边 ．边角边 ．角边角 ．斜边直角边 【方法总结】当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知 ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【变式5-1】．如图，在中，．过点C作于点D，点E为边上的中点，连接，过点E作交的角平分线于点F． (1)证明：； (2)求线段的长． 【变式5-2】．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题： （1）求证：∠ABF＝∠BCD； （2）判断△BCF的形状，并说明理由． 【变式5-3】．在中，，是的角平分线，P是射线上任意一点 (不与A、D、C三点重合)，过点P作，垂足为Q，交线段于E． (1)如图①，当点P在线段上时，说明． (2)画出的角平分线交线段于点F，则与有怎样的位置关系？画出图形并说明理由． 题型6 等线段代换型（截长补短） 例6．在中，，，于D，过C点引射线交延长线于F点．过B点作于E点、分别交、于点G，H． (1)求证：； (2)若； ①判断是否是的角平分线，并说明理由； ②说明． 【变式6-1】．如图，在中，，D是上一点（D与A不重合）． (1)尺规作图： 过点D作的垂线垂足为E．作的平分线交于点F，交于点H（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【变式6-2】．下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务： (1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． (2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． (3)如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式6-3】．如图，从等腰的直角顶点C向中线作垂线，交于F，交于E，连结．求证： 题型7倍长中线型 例7．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离． 【变式7-1】．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【变式7-2】．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【变式7-3】．在学习等腰三角形的性质时，同学们展开多维度探索： (1)基础应用：在中，的周长为的周长比的周长少12，则的长为______． (2)逆向探究：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成证明． 已知：在中，平分，且点是的中点． 求证：． 方法一：如图2，延长到点，使，连接． 方法二：如图3，过点分别作的垂线，垂足分别为E，F． (3)拓展综合：如图4，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，连接，设的面积分别为，试求的最大值． 二、角平分线与垂线构等腰三角形：题型与解题策略 角平分线+垂线分类解析 角平分线+平行线分类解析 一、角平分线与平行线构等腰三角形：题型与解题策略 学科网（北京）股份有限公司 $