精品解析：四川省广安加德学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

广安加德学校2024-2025学年度上期高2023级第一次月考 数学试题 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 下列说法正确的是 A. 袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B. 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 C. 某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖 D. 连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可. 【详解】A选项，袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，是红球的概率是，故本项错误； B选项, 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的概率会下雨，故本选项错误；C选项，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，可能会中奖，故本选项错误；D选项，连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确.故选D. 【点睛】本题主要考查了概率的意义，属于中档题. 2. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的概念进行运算即可求得． 【详解】由题意，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 3. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答. 【详解】因随机事件，互斥，则， 依题意及概率的性质得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 4. 在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】由题意， ，， ∵，，共面， ∴存在实数唯一实数对，使得， ， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．是不共面的向量，，则共面． 5. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 6. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是 （ ） A. 与互斥 B. ， C. D. ，为对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C. 【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误； 故选：D． 7. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用点到线的距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，， 得到，， 则点到直线的距离为， 故选：C. 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得、、为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到、、，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D； 【详解】解：由题意知、、为互斥事件，∴，故B正确、C错误； ∵从件中抽取产品符合古典概型的条件，∴、、， 则，∴A、D正确， 故选：ABD. 10. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由空间中基底的概念以及共面定理逐项分析即可. 【详解】设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确； 设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 因为， 所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误； 因为， 所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误． 故选：AB． 11. 已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. ，为对立事件 C. ，相互独立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解. 【详解】，是随机事件，，且， 对于A， ，即， ，即， 又，故，A正确； 对于BCD，因为， 所以，由于，， 则，所以，不是对立事件； 又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确. 故选：AD 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___ 【答案】 【解析】 【分析】先求出中点坐标，然后根据关于平面的对称点的特征即可得解. 【详解】由，得的中点坐标为， 所以的中点关于平面的对称点的坐标是. 故答案为：. 13. 已知，，三点共线，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】，，三点共线,即，根据空间向量平行列式即可得出答案. 【详解】,, 由题得，所以，解得1， 故答案为：1. 14. 某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为______；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由相互独立事件的概率乘法公式先求出第一轮4个人问题全答对的概率；然后第二轮去全对或恰好有一个问题答错，由互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得出答案. 【详解】该参赛者能进入第二轮答题的概率为 该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率： 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： （1）两人都译不出密码的概率； （2）至多一人译出密码的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的概率公式及独立事件的概率乘法公式求解； （2）先求两人都能译出密码的概率，再由对立事件的概率公式求至多一人译出密码的概率. 【小问1详解】 记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为， 则，，，， , ∴两人都译不出密码的概率为； 【小问2详解】 事件“密码至多一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”， “两人都译出密码”的概率为， 则“密码至多一人译出密码”的概率为， ∴两人中至多一人译出密码的概率为. 16. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 17. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若． （1）求； （2）求证：直线平面． 【答案】（1） （2）证明：，，， 因为， ， 所以，， 因为，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据线性运算得到，，然后根据数量积的公式计算即可； （2）利用空间向量的方法得到，，然后根据线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 由题意得，， 所以 ， ， ， 所以. 【小问2详解】 略. 18. 如图，在多面体中，，，，平面，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以， 所以，，两两垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则， 令，得， 所以，则， 又因为平面 所以直线平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据，即可得证 （2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解值； （3）设点到平面的距离为，利用点到平面的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由于，平面的法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 19. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛、竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”，可以重复参赛，当获得“优秀小组”达到四次时，可以获得荣誉证书一张，已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为． （1）若，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组"的概率； （2）当，且每轮比赛互不影响，甲乙同学想要获得荣誉证书，在两人发挥最好的情况下，请问至少要参加多少轮竞赛． 【答案】（1） （2）7轮 【解析】 【分析】（1）由题意知，获得“优秀小组"包含三种情况，分别求概率即可. （2）由（1）写出甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率，根据函数求最大值，即为发挥最好情况，再使得优秀次数大于等于4即可. 【小问1详解】 记他们获得“优秀小组”的事件为事件A，则事件A包含三种情况： ①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题． . 【小问2详解】 由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为： 又， 当且仅当时，等号成立， ， 令，则，开口向下，对称轴， 当时，， 设要进行n轮竞赛，则，解得， ， 至少要进行7轮竞赛． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2024-2025学年度上期高2023级第一次月考 数学试题 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 下列说法正确的是 A. 袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B. 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 C. 某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖 D. 连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 2. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（ ） A. B. C. D. 5. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是 （ ） A. 与互斥 B. ， C. D. ，为对立事件 7. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. ，为对立事件 C. ，相互独立 D. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___ 13. 已知，，三点共线，则______. 14. 某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为______；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： （1）两人都译不出密码的概率； （2）至多一人译出密码的概率. 16. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 17. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若． （1）求； （2）求证：直线平面． 18. 如图，在多面体中，，，，平面，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛、竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”，可以重复参赛，当获得“优秀小组”达到四次时，可以获得荣誉证书一张，已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为． （1）若，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组"的概率； （2）当，且每轮比赛互不影响，甲乙同学想要获得荣誉证书，在两人发挥最好的情况下，请问至少要参加多少轮竞赛． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $