2.2.1有理数的乘法讲义-2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

第二章 有理数的运算 第三节 有理数的乘法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1有理数的乘法运算法则 2 知识点2有理数乘法运算律 3 知识点3多个有理数相乘（难点） 6 题型精讲1两个有理数的乘法 8 题型精讲2运算多个有理数的乘法 10 题型精讲3运算有理数乘法的实际应用 13 题型精讲4倒数 16 题型精讲5有理数乘法运算律 18 03拓展培优 22 04课堂检测 26 知识思维导图 课程学习目标 1. 理解有理数乘法法则的合理性，能准确表述“同号得正，异号得负，绝对值相乘”及与0相乘的规则。 2. 熟练进行两数及多个有理数的乘法运算，能依据负因数个数判断积的符号。 3. 掌握乘法运算律（交换、结合、分配律），会用其简化计算，理解倒数的意义并求一个数的倒数。 4. 能运用乘法解决简单实际问题，初步形成运算能力与推理意识。 【新知学习】 【知识点1】有理数的乘法运算法则 1. 乘法运算法则： （1） 两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，再把 绝对值 相乘。若两个因数的符号时一样的，则积的符号为正，若两个因数的符号不一样，则积的符号为负。再把他们的绝对值相乘。 （2） 任何数与0相乘都等于 0 。 （3） 任何数与1相乘的积是 原数 ，与﹣1相乘得到它的 它的相反数 。 （4） 在有理数的乘法计算时，小数化成 分数 ，带分数化成 假分数 。 例题1：（25-26七年级上·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键；根据有理数的乘法求解即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 例题2：（25-26七年级上·全国·期中）若a与b互为相反数，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了相反数，熟知互为相反数的两个数的和为0是解题的关键；根据相反数的概念判断即可． 【详解】解:a与b互为相反数， ， 故选:． 例题3：（2025七年级上·全国·专题练习） ． 【答案】6 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：6． 例题4：（24-25七年级下·全国·假期作业）计算和猜想∶ (1) (2) 【答案】(1)0 (2)0 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数和零相乘，掌握任何数与零的积均为零成为解题的关键． （1）直接根据任何数与零的积均为零即可解答； （2）直接根据任何数与零的积均为零即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【知识点二】有理数乘法运算律 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【易错点】1）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. 例题1：（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案． 【详解】A．，不含数字，该选项符合题意； B．，含数字，该选项不符合题意； C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意； D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意． 故答案为：A． 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）用乘法结合律计算 (1)(−0.4)×(+25)×(−5) (2)(−10)×(−0.1)×(−8.25) (3)(−2)×(−)×(−4) (4)1.2×(−1)×(−2.5)×(−) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【详解】（1）解：(−0.4)×(+25)×(−5) （2）(−10)×(−0.1)×(−8.25) （3）(−2)×(−)×(−4) （4）1.2×(−1)×(−2.5)×(−) 【变式训练2】（七年级上·四川巴中·阶段练习） 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数乘法运算，乘法分配律即可求解． 【详解】解： ． 【变式训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各式：； 【答案】6 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号．先确定符号，再用约分即可得答案． 【详解】解：， ， ， ． 【知识点03】多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 负 ；当负因数有偶数个时，积为 正 ． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为 0 ． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下列各式： ①； ②； ③； ④． 其中结果为负数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握多个有理数相乘的法则是解题的关键． 根据多个有理数相乘的法则：“几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．如果有一个乘数是，积就为”，分别计算，统计结果为负数的个数即可． 【详解】解：① ：含两个负号，负号个数为偶数，结果为正数． ② ：含因数，结果为，既非正数也非负数． ③ ：含四个负号，负号个数为偶数，结果为正数． ④ ：含五个负号，负号个数为奇数，结果为负数． 综上，仅④结果为负数，共个． 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）若，则的值为 ． 【答案】800 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】先化简，然后将的值代入化简后的式子，计算即可. 【详解】解： 将代入得： 原式 故答案为：800． 【变式训练3】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 题型精讲1两个有理数的乘法 例题1：（25-26七年级上·浙江·阶段练习）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法、有理数的加法，根据运算法则计算后即可得出正确结果． 【详解】解：A、，原式计算正确，所以不符合题意； B、，原式计算错误，所以符合题意； C、，原式计算正确，所以不符合题意； D、，原式计算正确，所以不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）不计算，判断下列各式的积大于3.14的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数乘法的意义，有理数的大小比较，根据一个正数乘以比1大的数结果比这个数大，一个正数乘以1结果等于这个数，一个正数乘以比1小的数结果比这个数小，即可解答． 【详解】解：A、，故符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）根据题意计算求值：若，，且，求的值． 【答案】8 【知识点】求一个数的绝对值、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数乘法的符号法则，有理数的加法运算． 解决本题要先确定的值，结合，可得出的值，再计算即可． 【详解】解：，，且， ， ． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1） （ ） ； （2） （ ） ； （3） （ ） ； （4） （ ） ； （5） ． 【答案】 3 6 12 2 24 0 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】解∶（1）， 故答案为：，3，6，； （2）， 故答案为：，12，2，24； （3）， 故答案为：，，，； （4）， 故答案为：，，，； （5）， 故答案为：0． 题型精讲2运算多个有理数的乘法 例题1：（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算以及乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键．根据有理数乘法运算、乘法运算律逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法交换律和结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，原运算不符合乘法分配律，错误，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是（    ） A．这六个有理数一定都为0 B．这六个有理数中只有一个为0 C．这六个有理数中至少有一个为0 D．这六个有理数中有两个数互为倒数 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】该题考查了有理数的乘法，根据0乘以任何数都为0即可解答． 【详解】解：∵六个有理数相乘，积为0， 故这六个有理数中至少有一个为0， 故选：C． 【变式训练3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ( )( ) ( )( ) ． 【答案】 8 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，将和结合在一起，根据有理数的乘法法则计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：，，，8，． 【变式训练4】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)80 (2)0 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0，由此即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 【变式训练5】（25-26七年级上·全国·课后作业）三个有理数相乘，积为负数，则这三个有理数中，负数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．0个或2个 D．1个或3个 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了多个有理数相乘的乘法法则，特别是负数相乘的符号法则，掌握法则是解题的关键． 根据有理数乘法符号法则，多个非零有理数相乘，积的符号由负数的个数决定：当负数个数为奇数时，积为负；当负数个数为偶数时，积为正；因此，三个有理数乘积为负数时，负数的个数必须为奇数．据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、虽然满足条件，但未包含个的情况，不全面； B、个负数的乘积为正，不符合题意； C、个负数时乘积为正，个负数时乘积也为正，均不符合题意； D、两种情况均满足积为负数的条件，正确． 故选：D. 题型精讲3运算有理数乘法的实际应用 例题1：（25-26七年级上·全国·期中）某自行车厂原计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少生产一辆扣5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)313辆 (2)26辆 (3)105540元 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）根据题意求出星期一到星期日这七天的产量，然后进行判断即可； （3）分别求出基础工资和奖励工资，然后相加，即可得出答案． 【详解】（1）解：计划每天生产300辆，星期四超产辆， 故星期四产量（辆）； （2）解：星期一：（辆）； 星期二：（辆）； 星期三：（辆）； 星期四：313辆（已求）； 星期五：（辆）； 星期六：（辆）； 星期日：（辆）． 产量最多：星期六316辆；产量最少：星期五290辆， 差值（辆）． （3）解：总增减量（辆）， 实际总产量（辆）， 基础工资：（元）， 超额奖励：（元）， 总工资：（元）． 【变式训练1】（25-26七年级上·广东揭阳·开学考试）在一次投掷测试中，5位同学的成绩如下表所示，如果将及格线15米记作“0米”，小李的成绩记作“米”，那么小美的成绩记作( )米，这5位同学的及格率是( )． 姓名 小李 小天 小美 小方 小军 成绩 米 18米 14米 米 米 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的运算，求及格率． 根据正负数的意义求出小美的成绩，用成绩大于或等于15的人数除以总人数乘以即可求出及格率． 【详解】及格线15米记作“0米”，则小美的成绩记作米， 由成绩表可知5人中4人及格，及格率是， 故答案为：，． 【变式训练2】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【答案】(1)千克 (2)千克； (3)元． 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的减法进行列式计算，即可作答． （2）根据题意，结合平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合（2）的结论，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（千克）， ∴在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：（千克）， ∴每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； （3）解：由（2）得每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； 依题意，（元）， ∴售完这20箱萝卜泡菜的销售总额为元． 【变式训练3】（25-26七年级上·全国·课后作业）在汛期，如果黄河水位每天上升，那么求3天后的水位比今天高多少，可以用算式表示为． （规定：把今天的水位记为，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负） (1)如果水位每天下降，那么3天前的水位比今天高多少？请用算式表示． (2)请写出算式表示的意义． 【答案】(1)3天前的水位比今天高， (2)水位每天下降，那么3天后的水位比今天低 【知识点】相反意义的量、有理数乘法的实际应用 【分析】此题考查了有理数的乘法，正数和负数，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据把今天的水位记为0厘米，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负表示出意义即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 答：3天前的水位比今天高6厘米； （2）解：算式 表示的意义是：水位每天下降2厘米，那么3天后的水位比今天低厘米． 题型精讲4倒数 例题1：（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了求一个数的倒数，根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，1的倒数是1，0没有倒数． 【详解】解：， 的倒数是． 故答案为： 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各组数中，具有互为倒数关系的是（    ） A．与7 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义、绝对值的计算、立方根与平方根的性质，解题的关键是先化简各选项中两个数的具体值，再根据“乘积为1的两个数互为倒数”这一核心定义逐一验证． 先明确倒数的判定依据：若两数乘积为1，则这两数互为倒数；再分别化简各选项中的数，其中化简为7，化简为，化简为11；最后计算每个选项中两数的乘积，根据乘积是否为1判断是否具有倒数关系． 【详解】解：根据“乘积为1的两个数互为倒数”逐一分析： A、，计算，故两数不互为倒数，此选项不符合题意； B、计算，满足倒数定义，故两数互为倒数，此选项符合题意； C、，计算，故两数不互为倒数，此选项不符合题意； D、，计算，故两数不互为倒数，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 【变式训练3】（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、倒数、相反数的定义 【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可． 【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确     B. 2与互为倒数，故选项B不正确；     C. 0的相反数是0，故选项C正确；     D. 2的绝对值是2，故选项D不正确． 故选C． 题型精讲5有理数乘法运算律 【思维建模】乘法运算律运用的“四点说明” 1.运用交换律时，在交换因数的位置时，要连同 符号 一起交换； 2.运用分配律时，要用括号外的因数乘括号内的 每一个 因数，不能有遗漏； 3.逆用:有时可以把运算律“逆用”; 4.推广:三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘。 例题1：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数乘法．利用有理数乘法分配律计算，即可求解． 【详解】解： 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律． （1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算； （2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【拓展培优】 【典例1】相反数、倒数、绝对值的综合应用．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法：①若，则；②若a、b互为倒数，则；③若，则；④若，则a、b互为相反数，其中错误的有 （请填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的概念与性质，正确理解相反数、倒数、绝对值的概念与性质是解题的关键．根据相反数、倒数、绝对值的概念与性质，即可得到答案． 【详解】， 或， ①错误； 若a、b互为倒数， 则， ②错误； 若， 则， ③错误； 若， 则a、b互为相反数， ④正确； 其中错误的有①②③． 故答案为：①②③． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）若，互为相反数，，互为倒数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、有理数加法运算、有理数的减法运算、倒数 【分析】本题考查了相反数，倒数的定义，直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，进而得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故选：． 【变式训练2】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，那么代数式 的值为 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，互为相反数且均不为0，，互为倒数，，可以得到，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为相反数且均不为0，，互为倒数，， ，， 当时， ， 综上所述，的值为 故答案为：． 【典例2】 有理数乘法中的新定义运算 （24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的运算等知识点．理解新运算的计算规则、掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先用新运算法则将原式化成有理数的运算式，然后再计算即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴． 故选：A． 【变式训练1】（23-24七年级上·贵州安顺·阶段练习）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足；如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，理解题意是解题的关键； （1）根据定义的新运算代入计算即可； （2）根据定义的新运算代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】（24-25七年级上·山西临汾·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 【答案】(1)3 (2) (3)，，不满足 【知识点】有理数加法运算、有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，乘法运算律．理解运算规则是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； ∴的值为3； （2）解： ， ∴的值为； （3）解：由题意知，， ， ∵， 不满足交换律． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中，①；②；③；④，其中正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减运算法则，有理数的乘法运算法则，熟练掌握数轴，绝对值，有理数的加减运算法则，有理数的乘法运算法则是解题的关键．根据判断①；根据，，利用有理数的乘法运算法则判断②；根据有理数的加法运算法则判断③；根据有理数的减法运算法则判断④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 由题意可知，，b在的右边， ∴， ∴，故②错误； ∵，，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，其中正确的有①③④，共3个． 故选：C． 2． 的倒数是（   ） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两数之积为1，求解即可． 【详解】解：的倒数是； 故选C． 3．一种商品原价500元，先提价再降价，现在售价（　　）元． A．550 B．500 C．495 【答案】C 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用．根据题目所给的调价方式进行计算即可． 【详解】解：（元）， 故选：C． 4．几个不是0的有理数相乘，它们的积的符号（    ） A．由因数的个数决定 B．由正因数的个数决定 C．由负因数的个数决定 D．由负因数的大小决定 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】可根据有理数乘法运算的符号法则进行判断． 【详解】解：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 5．小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，分别求出和的结果，再计算两者的差值即可得出结果． 【详解】解：正确算式展开：， 错误算式展开：， 正确结果错误结果 ． 因此，算出的结果与正确结果相差56， 故选：C． 6．如果，那么（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，设，，得出，，根据，即可得出． 【详解】解：设，， 则， ， 因为，所以， 所以． 故选：B． 二、填空题 7．计算： ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握运算法则． 8．在，，，这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是 ． 【答案】15 【知识点】有理数大小比较、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较．关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 两个非0数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可． 【详解】解：，其他数相乘均为负数， ∵． ∴积最大是15． 故答案为：15． 9．计算： ； 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．如果规定符号“☆”为选择两数中的较大数，“△”为选择两数中的较小数，例如：，，那么 ． 【答案】48 【知识点】有理数大小比较、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的大小比较和乘法运算，根据符号“☆”为选择两数中的较大数，“△”为选择两数中的较小数计算即可； 【详解】解：由题意． 故答案为：48． 三、解答题 11．计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． 先根据负号的个数确定符号为负号，并将带分数化成假分数，各数进行相乘得到结果． 【详解】解：原式． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据有理数的乘法，利用乘法交换律进行计算，即可； （2）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （3）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （4）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客、于是想到了发送宣传单；刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗元，第二周每碗元，第三周每碗元、从第四周开始每碗元，月末结算时，每周以碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负、这四周的销售情况加下表． 周次 一 二 三 四 销售量 (1)若麻辣烫成本为元碗，哪一周的收益最多？是多少元？ (2)这四周总销售额是多少元？ (3)在（）的条件下，为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案： 方案一：凡来店中吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶元的矿泉水； 方案二：凡一次性购买碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费元． 若某人一次性购买碗麻辣烫，则小刘更希望以哪种方案卖出？ 【答案】(1)第三周的收益最多，为元； (2)这四周总销售额是元； (3)小刘更希望以方案二卖出，见解析． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（）分别求出每周收益，再比较即可； （）分别求出每周销售额，再相加即可； （）分别求出方案一和方案二的利润，再比较即可； 本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：第一周的收益为：（元）； 第二周的收益为：（元）； 第三周的收益为：（元）； 第四周的收益为：（元）； ∵， ∴第三周的收益最多，为元； （2）解：第一周的销售额为：（元）； 第二周的销售额为：（元）； 第三周的销售额为：（元）； 第四周的销售额为：（元）； ∴这四周总销售额是：（元）； 答：这四周总销售额是元； （3）解：方案一利润：（元）， 方案二利润：（元）， 因为， 所以小刘更希望以方案二卖出． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 第三节 有理数的乘法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1有理数的乘法运算法则 2 知识点2有理数乘法运算律 3 知识点3多个有理数相乘（难点） 4 题型精讲1两个有理数的乘法 5 题型精讲2运算多个有理数的乘法 6 题型精讲3运算有理数乘法的实际应用 7 题型精讲4倒数 9 题型精讲5有理数乘法运算律 9 03拓展培优 11 04课堂检测 13 知识思维导图 课程学习目标 1. 理解有理数乘法法则的合理性，能准确表述“同号得正，异号得负，绝对值相乘”及与0相乘的规则。 2. 熟练进行两数及多个有理数的乘法运算，能依据负因数个数判断积的符号。 3. 掌握乘法运算律（交换、结合、分配律），会用其简化计算，理解倒数的意义并求一个数的倒数。 4. 能运用乘法解决简单实际问题，初步形成运算能力与推理意识。 【新知学习】 【知识点1】有理数的乘法运算法则 1. 乘法运算法则： （1） 两数相乘，同号得 ，异号得 ，再把 相乘。若两个因数的符号时一样的，则积的符号为正，若两个因数的符号不一样，则积的符号为负。再把他们的绝对值相乘。 （2） 任何数与0相乘都等于 。 （3） 任何数与1相乘的积是 ，与﹣1相乘得到它的 。 （4） 在有理数的乘法计算时，小数化成 ，带分数化成 。 （5） 例题1：（25-26七年级上·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2：（25-26七年级上·全国·期中）若a与b互为相反数，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 例题3：（2025七年级上·全国·专题练习） ． 例题4：（24-25七年级下·全国·假期作业）计算和猜想∶ (1) (2) 【知识点二】有理数乘法运算律 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积 . 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积 . 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积 . 【易错点】1）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. 例题1：（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）用乘法结合律计算 (1)(−0.4)×(+25)×(−5) (2)(−10)×(−0.1)×(−8.25) (3)(−2)×(−)×(−4) (4)1.2×(−1)×(−2.5)×(−) 【变式训练2】（七年级上·四川巴中·阶段练习） 【变式训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各式：； 【知识点03】多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 ；当负因数有偶数个时，积为 ． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为 ． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下列各式： ①； ②； ③； ④． 其中结果为负数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）若，则的值为 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）计算： ． 题型精讲1两个有理数的乘法 例题1：（25-26七年级上·浙江·阶段练习）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）不计算，判断下列各式的积大于3.14的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）根据题意计算求值：若，，且，求的值． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1） （ ） ； （2） （ ） ； （3） （ ） ； （4） （ ） ； （5） ． 题型精讲2运算多个有理数的乘法 例题1：（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是（    ） A．这六个有理数一定都为0 B．这六个有理数中只有一个为0 C．这六个有理数中至少有一个为0 D．这六个有理数中有两个数互为倒数 【变式训练3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ( )( ) ( )( ) ． 【变式训练4】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练5】（25-26七年级上·全国·课后作业）三个有理数相乘，积为负数，则这三个有理数中，负数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．0个或2个 D．1个或3个 题型精讲3运算有理数乘法的实际应用 例题1：（25-26七年级上·全国·期中）某自行车厂原计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少生产一辆扣5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式训练1】（25-26七年级上·广东揭阳·开学考试）在一次投掷测试中，5位同学的成绩如下表所示，如果将及格线15米记作“0米”，小李的成绩记作“米”，那么小美的成绩记作( )米，这5位同学的及格率是( )． 姓名 小李 小天 小美 小方 小军 成绩 米 18米 14米 米 米 【变式训练2】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【变式训练3】（25-26七年级上·全国·课后作业）在汛期，如果黄河水位每天上升，那么求3天后的水位比今天高多少，可以用算式表示为． （规定：把今天的水位记为，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负） (1)如果水位每天下降，那么3天前的水位比今天高多少？请用算式表示． (2)请写出算式表示的意义． 题型精讲4倒数 例题1：（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）的倒数是 ． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各组数中，具有互为倒数关系的是（    ） A． 与7 B．与 C．与 D．与 B． 【变式训练2】（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式训练3】（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是 题型精讲5有理数乘法运算律 【思维建模】乘法运算律运用的“四点说明” 1.运用交换律时，在交换因数的位置时，要连同 一起交换； 2.运用分配律时，要用括号外的因数乘括号内的 因数，不能有遗漏； 3.逆用:有时可以把运算律“逆用”; 4.推广:三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘。 例题1：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 【拓展培优】 【典例1】相反数、倒数、绝对值的综合应用．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法：①若，则；②若a、b互为倒数，则；③若，则；④若，则a、b互为相反数，其中错误的有 （请填序号）． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）若，互为相反数，，互为倒数，且，则（   ） A． B． C． D． B． 【变式训练2】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，那么代数式 的值为 ． 【典例2】 有理数乘法中的新定义运算 （24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． B． 【变式训练1】（23-24七年级上·贵州安顺·阶段练习）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足；如． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练2】（24-25七年级上·山西临汾·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中，①；②；③；④，其中正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2． 的倒数是（   ） A． B．2024 C． D． 3．一种商品原价500元，先提价再降价，现在售价（　　）元． A．550 B．500 C．495 4．几个不是0的有理数相乘，它们的积的符号（    ） A．由因数的个数决定 B．由正因数的个数决定 C．由负因数的个数决定 D．由负因数的大小决定 5．小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 6．如果，那么（ ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 7．计算： ． 8．在，，，这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是 ． 9．计算： ； 10．如果规定符号“☆”为选择两数中的较大数，“△”为选择两数中的较小数，例如：，，那么 ． 三、解答题 11．计算：． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客、于是想到了发送宣传单；刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗元，第二周每碗元，第三周每碗元、从第四周开始每碗元，月末结算时，每周以碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负、这四周的销售情况加下表． 周次 一 二 三 四 销售量 (1)若麻辣烫成本为元碗，哪一周的收益最多？是多少元？ (2)这四周总销售额是多少元？ (3)在（）的条件下，为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案： 方案一：凡来店中吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶元的矿泉水； 方案二：凡一次性购买碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费元． 若某人一次性购买碗麻辣烫，则小刘更希望以哪种方案卖出？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $