精品解析：吉林省吉林市永吉实验高级中学2025-2026学年高一上学期9月月考（分班考试）数学试卷

永吉实验高中高一（9月份）数学学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上； 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第一册第一章､第二章； 5.考试结束后，将本试卷个人保留，上交答题卡. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知集合A满足，则满足条件的集合A的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 8个 7. 已知实数，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 2 8. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是 B. 由2，3组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解组成的集合是 D. 与表示同一个集合 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若，则 11. 正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则是的_______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 13. 若集合，且，则___________． 14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. （1）用数学中的不等式解释这一现象； （2）证明（1）中的不等式. 17. 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． （1）若为假命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 18. 已知，且． （1）证明：； （2）求的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永吉实验高中高一（9月份）数学学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上； 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第一册第一章､第二章； 5.考试结束后，将本试卷个人保留，上交答题卡. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，， 因此，. 故选：B. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的性质，转化为即可求解. 【详解】由可得， 解得或，即不等式解集为， 故选：C 4. 命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 则是的真子集， ∴， 故选：D. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 6. 已知集合A满足，则满足条件的集合A的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的定义，列举出符合题意的集合即可. 【详解】因为， 所以， 故集合可以为， 共个. 故选：D. 7. 已知实数，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式的“1”的妙用求解. 【详解】， 于是， 当，即时取等号， 结合，即时，的最小值是. 故选：A 8. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是 B. 由2，3组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解组成的集合是 D. 与表示同一个集合 【答案】AB 【解析】 【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误； 对于D，表示以为元素的集合，故D错误． 故选：AB． 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BD选项；利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，若，，则，A错误； 对于B选项，若，，则，，B正确； 对于C选项，若且，则， 即，C正确； 对于D选项，若，所以,所以，D正确. 故选：BCD. 11. 正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据乘“1”法即可求解A，直接利用不等式即可求解B,根据完全平方公式，结合二次函数的性质即可求解C，根据基本不等式求解D. 【详解】对于A, ， 当且仅当，即时等号成立，故A正确， 对于B，，即， 当且仅当，即时等号成立，故B正确， 对于C，由可得， 故，由B选项可知， 故， 当且仅当时等号成立，故C错误， 对于D, 由可得， 故， 当且仅当，即时等号成立，故D正确， 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则是的_______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】既不充分也不必要 【解析】 【分析】解出，再利用集合之间关系以及充要条件的判断方法判断即可. 【详解】，解得， 显然与不具备包含关系， 则是的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 13. 若集合，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据属于的性质，运用分类讨论思想结合集合元素的互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，或， 解得或， 当时，，不符合集合元素互异性，故舍去， 当时，，符合集合元素互异性. 故答案为： 14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集、并集的定义求解即可； （2）根据推出，再求的范围即可. 【小问1详解】 因为集合 ，由 ，解得 ， 所以集合 ， 可得当时，集合 ， 又因为全集 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以. 【小问2详解】 因为 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以 ， 即实数的取值范围为 ． 16. 如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. （1）用数学中的不等式解释这一现象； （2）证明（1）中的不等式. 【答案】（1） （2） 由， 因为，所以， 即. 【解析】 【分析】 利用浓度的变大来解释变咸了； 利用作差法来证明不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以盐水中含有氯化钠的浓度变大了，则盐水变得更咸了. 【小问2详解】 略 17. 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． （1）若为假命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意为真命题，则有即可求解； （2）由p，q中一真一假，分真，假和假，真，两种情况分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意有：为假命题，所以为真命题， 又由方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以实数m的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）有为真命题，则， 因为p，q中一真一假， 所以当真，假时，有， 当假，真时，有， 综上所述，， 所以实数m的取值范围为. 18. 已知，且． （1）证明：； （2）求的最小值． 【答案】（1）证明：已知，且， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，证毕； （2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论； （2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为 19. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，解不等式即可； （2）把恒成立的问题转化为分离参数求值的问题，再利用基本不等式求的最小值即可. 【小问1详解】 当时，， 则不等式，即， 解得，或， 因此当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，关于的不等式恒成立， 即当时，关于的不等式恒成立， 在时，恒成立， 令， 令，则， 故， 又， 当且仅当，即时等号成立， 故当，即时，， 因此可得， 即当时，关于的不等式恒成立，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $