专题2.9 直线和圆的方程全章复习讲义（4大考点16种题型）-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第一册

专题2.9 直线和圆的方程全章复习 【考点1：直线与方程】 1 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 5 【题型二：两直线的位置关系】 7 【题型三：直线方程】 9 【题型四：直线的交点】 12 【题型五：点到直线的距离】 15 【题型六：点、线间的对称问题】 18 【考点2：圆的方程】 22 【题型七：求圆的方程】 24 【题型八：点与圆的位置关系】 26 【题型九：圆的对称性】 28 【题型十：与圆有关的轨迹】 31 【题型十一：与圆有关的最值】 34 【考点3：直线与圆的位置关系】 38 【题型十二：判断直线与圆位置关系】 40 【题型十三：弦长问题】 44 【题型十四：切线问题】 47 【考点4：圆与圆的位置关系】 51 【题型十五：圆与圆位置关系的判断】 51 【题型十六：两圆的公共弦、公切线】 54 【考点1：直线与方程】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 4．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 [方法技巧] 已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交 的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合 的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) [提醒]　当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 5、 直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 [易错提醒] (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．　　 　[方法技巧] 与直线方程有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y. (2)将问题转化成关于x(或y)的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．　 6．两条直线的交点 7．三种距离 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ [方法技巧] 1．两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2．求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．　 [易错提醒] (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为对应相等． 8．中心对称问题的两种类型及求解方法 点关于 点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解 直线关于 点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 9．轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 [方法技巧] 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．　　 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【分析】根据各项的坐标，应用两点斜率公式判断点是否共线即可. 【详解】A：，故三点不共线，错； B：，故三点共线，对； C：三点的横坐标都相等，斜率不存在，故三点共线，对； D：三点的纵坐标都相等，斜率为0，故三点共线，对. 故选：BCD 3．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）直线倾斜角为，且过点，则 ． 【答案】 【分析】由题意求得，把点坐标代入即可求解. 【详解】由题意可知，则，由直线过点P，则得． 故答案为：. 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】． 【分析】设直线的倾斜角为，，由斜率与倾斜角关系得到不等式，再结合正切函数的图象性质即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，求得，得到直线的倾斜角，进而得到直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 故答案为：. 【题型二：两直线的位置关系】 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 【答案】A 【分析】根据平行直线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以有且， 解得， 故选：A 3．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】由正弦定理结合两直线方程系数之间的关系进行判断. 【详解】由正弦定理，得， 又两条直线的方程分别为，， 因为两直线的系数满足，所以两直线垂直． 故选：C. 5．（25-26高二上·新疆·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】2或0 【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a的方程即可求解. 【详解】由于直线与直线垂直， 故，解得或0． 故答案为：2或0． 【题型三：直线方程】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程. 【详解】由直线PA的方程为， 当时，；当时，，所以， ∵， ∴点在线段的垂直平分线，即直线上， ∴， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为，即． 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程． 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为 . 【答案】 【分析】先求出的交点坐标，由直线的方向向量得到直线斜率，求出直线方程. 【详解】联立可得，，故交点坐标为， 直线的一个方向向量为，故直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 故答案为： 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （2）直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； （3）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； （4）直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的中点坐标，再由与垂直，则可得垂直平分线的一般方程，再转化为截距式即可； （2）由题可得方向的单位向量，同理可得方向的单位向量，然后可求的平分线所在直线的方向向量，接着即可得到直线斜率，进而得到一般方程. 【详解】（1）易知的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：， 则截距式方程为． （2）因为，， ，， ， 即的平分线所在直线的一个方向向量为， 故的平分线所在直线的斜率为， 所以的平分线所在直线的一般式方程：． 【题型四：直线的交点】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合重心公式计算出重心坐标，再求两边上的高线方程并联立求出垂心坐标，最后利用重心和垂心坐标确定欧拉线方程. 【详解】已知的顶点分别为，，， 因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即， 因为，则边上的高线斜率为， 因边上的高线过点，故其方程为，即①. 同理，则边上的高线斜率， 因边上的高线过点，故其方程为，即②. 由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为. 由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为 即. 故选：D. 2．（多选）（25-26高二上·全国·期中）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 【答案】ABC 【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 3．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 【答案】 【分析】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【详解】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的一般式方程； (2)过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得AB的中点，再利用两点式求解； （2）根据直线AC与直线BD垂直，求得直线BD的方程，然后联立方程组求解. 【详解】（1）中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般式方程为． （2）由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 联立和方程，，解得垂足． 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 【题型五：点到直线的距离】 1．（24-25高二上·山西运城·期中）已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，得出直线的倾斜角及斜率，再结合点到直线距离公式计算即可得出选项. 【详解】因为x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 对于B：的斜率为，B选项错误； 对于C：的斜率为，C选项错误； 对于D：的斜率为，D选项错误； 对于A：点O到直线l的距离为，A选项正确； 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线方程求得点的坐标，对的取值分情况讨论，并结合点到直线的距离公式，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 4．（24-25高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式求出的值，再结合的范围，求出的大小，即可求出直线的斜率． 【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得： 又，故，所以， ，解得，又，故，所以，则这条直线的斜率 故答案为： 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 【题型六：点、线间的对称问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 5．（25-26高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 【考点2：圆的方程】 1．圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 3．求圆的方程的两种方法 直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定 系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 4.确定圆心位置的三种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [方法技巧] 1．确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．　　 5．圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 6．圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． [方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的四种方法 [方法技巧]　　与圆有关最值问题的求解策略 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下： 常见类型 解题思路 μ＝型 转化为动直线斜率的最值问题 t＝ax＋by型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 【题型七：求圆的方程】 1．（24-25高二上·天津·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．圆的上半部分 C．圆 D．圆的右半部分 【答案】B 【分析】将原方程左右平方可整理得到圆的方程，结合可得到结论. 【详解】由得：，整理得：； 又，，即， 方程表示的曲线为圆的上半部分. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用垂直关系求参数，从而可得交点，即可利用圆心和半径求得圆的标准方程. 【详解】由可得：，由， 解得：，即可得，则， 即所求圆的方程为． 故选：D. 4．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】的中垂线必过圆心，所以首先求的中垂线，再求中垂线与直线的交点，交点就是圆心，最后圆心与点O的距离就是半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程． 【详解】原点和的中点坐标为， 线段的垂直平分线的斜率为， 所以，线段的垂直平分线的方程为：. 由 ，得圆心坐标C为， 所以，半径的平方. 因此，圆C的标准方程为. 故答案为： 5．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得点关于直线对称，可得，可得直线方程； （2）由（1）设外接圆方程一般式为：，代入A，B，C三点坐标可得答案. 【详解】（1）∵线段的垂直平分线为， ∴可知点关于直线对称. ∵，∴，轴，直线. （2）由（1），，，. 设外接圆方程一般式为：， 则，则. 即圆的标准方程为：. 【题型八：点与圆的位置关系】 1．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 3．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 4．（2025高二·全国·专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点与圆的位置关系：法一为几何视角，比较与半径的大小；法二为代数视角，将点的坐标代入标准方程后比较其与的大小 【详解】法一：由题意，半径为1，则，所以； 法二：由在圆内，则，所以，即. 故选：D 5．（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 【题型九：圆的对称性】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 2．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论. 【详解】把圆的方程化为标准方程为， 所以圆的圆心的坐标为， 因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心. 故选：A. 3．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 4．（24-25高二上·北京·期中）过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【答案】 【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可. 【详解】因为直线将的面积分为相等的两部分， 所以该直线过圆心，由两点式知该直线方程为. 故答案为： 5．（多选）（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B． C．直线被圆截得的最短弦长为4 D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 【答案】ACD 【分析】A项，整理直线方程为，联立方程组可得定点；B项，由圆心坐标可求；C项，结合图象可知当直线与圆心与定点连线垂直时弦长最短，利用勾股定理求解即可；D项，由直线过圆心可得. 【详解】A项，直线，即， 由解得，恒过点，设为，故A正确； B项，圆的圆心坐标为， 由，得，故B不正确； C项，由B项，圆， 即：圆，圆心，半径. 圆心到定点的距离为：，直线与圆相交， 如图可知，当直线过点且垂直时，被圆截得的弦长最短， 且最短弦长为，故C正确； D项，当时，直线，经过圆心， 所以圆上存在无数对点关于直线对称，故D正确， 故选：ACD. 【题型十：与圆有关的轨迹】 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式，整理等量关系，代入圆的方程，可得答案. 【详解】设线段的中点，， 则由题意得，且，即， 所以，即， 所以线段的中点的轨迹方程为． 故答案为：. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知直线过点，直线过点，且，互相垂直，若，交于点，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】可由题意分析得：点C的轨迹为以AB为直径的圆，从而得到圆心坐标和圆的半径，写出圆的方程.也可根据求什么设什么的原则，设点的坐标，写两出直线的斜率，将两直线互相垂直转化为两直线斜率乘积为 或向量数量积为零，即可列出点的轨迹方程.用直线斜率时,要特别注意直线或斜率不存在的情形. 【详解】解：方法一：由题可知 ,所以点C的轨迹是以AB为直径的圆，圆心坐标为 ,半径为1. 分析可知，当点 C 与 A 或 B 重合时，满足题意. 所以点C的轨迹方程是：. 方法二：设点． 当直线，的斜率都存在时，可得其斜率分别为,. 由，互相垂直，可得, 化简整理得，即为点的轨迹方程. 当直线斜率不存在时，其方程是:,此时的斜率为,其方程是,点与点重合,满足上述方程； 当直线的斜率不存在时，其方程是:,此时直线的斜率为,其方程是:  .  ,此时点  C  与点 重合；点与点重合,满足上述方程. 综上可知，点的轨迹方程为． 方法三: 解:由直线，互相垂直，且，交于点，得,即,所以, 设点(异于、)，则， 当点与或重合时，满足条件，其坐标满足上述方程. 所以,点的轨迹方程为. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 5．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点P的坐标为，根据列方程化简可得结论， （2）由条件可得，由此可得，展开利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． （2）因为点P的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故的最小值为． 【题型十一：与圆有关的最值】 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 2．（24-25高二下·广西南宁·期中）若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值，即而得出圆心到直线的距离及弦长，求出面积即可. 【详解】由可得， 故圆心，半径， 直线的方程可化为， 所以直线恒过定点， 因为 所以点在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又， 所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以， 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的圆心和半径，证明在圆内，证明Q是AB的中点，分直线l的斜率不存在时和直线l的斜率存在两种情况结合向量即可求解. 【详解】 易知圆C：的圆心为，半径， 又， 所以在圆内，因为，垂足为Q， 由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 易得此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得， 设点，则，， 所以， 即， 故点Q的轨迹方程为（除点外）， 圆心到直线的距离为， 则点Q到直线的最大距离为． 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值. 【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径． 可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点. 又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图， 设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形． 设，则，结合，， 可得，所以, ， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，当时，取得最大值． 故选：B. 5．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 【考点3：直线与圆的位置关系】 1. 直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． 2. 两种研究方法 3. 判断直线与圆位置关系的方法 几何法 (1)明确圆心的坐标和半径，将直线方程化为一般式； (2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d； (3)比较d与半径的大小，然后写出结论 代数法 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去一个变量； (2)判断一元二次方程根的个数(Δ与0的关系)； (3)得出结论 [方法技巧] 直线与圆位置关系问题的求解策略 (1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． (2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．　　 4．求解弦长问题的两个思路 直线被圆所截0得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．常用解题思路： (1)根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示； (2)通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题． [方法技巧]　　　解决圆弦长问题常用方法及结论 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 5．切线问题 ①求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． ②求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 【题型十二：判断直线与圆位置关系】 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 2．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 3．（多选）（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 【答案】AC 【分析】A，设圆，令举例说明；B，令，利用关系式求出的范围，再根据直线与圆的位置关系判断方法计算即可；C，先根据圆与轴相交求出的范围，再根据弦长公式即可判断；D，将问题转化为求的最值，再利用几何意义即可求出. 【详解】设圆， 因点在圆上，则， 若，则，则圆，此时轴与圆相切，故A正确； 令，则， 因直线与圆有交点，则， 得， 则圆心到直线的距离， 则，故直线与圆不可能相交，故B错误； 因，得， 令，则化为， 故当时圆与轴相交， 弦长为，等号成立时，故C正确； 因， 则可以理解为以为圆心，以为半径的圆上的点到的距离， 则的最大值为， 故， 故原点与圆上的点的距离的最大值为，故D错误. 故选：AC 4．（24-25高一下·上海·期末）已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号) 【答案】②④ 【分析】写出圆心和半径，应用点线距离公式判断圆心到直线距离与半径大小，即可判断. 【详解】由题设，圆心，半径， 所以到的距离，且， 对任意实数与，直线和圆有公共点，②对； 对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切，④对. 故答案为：②④ 5．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)①相离；② 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点的对称点，利用两点之间线段最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 【题型十三：弦长问题】 1．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 2．（多选）（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知直线被圆截得的弦为，则（   ） A．半径为5 B．圆心 C．圆心C到直线距离为 D． 【答案】BD 【分析】先把圆的方程化简为标准方程，再应用点到直线距离公式结合几何法求出弦长即可. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， 所以，半径，A选项错误，B选项正确； 所以圆心到直线的距离，C选项错误； 弦的长，D选项正确； 故选：BD． 3．（多选）（2025·全国·模拟预测）直线与圆交于两点，则（   ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 【答案】ABC 【分析】点到直线的距离公式判断A；几何法勾股定理判断B；根据二倍角余弦公式计算判断C；三角形面积公式计算判断D； 【详解】 对于A，点到直线的距离为，选项A正确； 对于B，线段，选项B正确； 对于C，，选项C正确； 对于D，的面积是，选项D错误． 故选：ABC． 4．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】由直线过定点判断A，由定点在圆内判断B，由弦长的计算判断CD即可. 【详解】对于A，由直线，整理可得， 令解得则直线过定点，所以A错误； 对于B，圆的圆心为，半径，由定点到圆心的距离为，得直线与圆必相交（当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切），所以B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到轴的距离为1，所以圆截轴所得弦长为，所以C正确； 对于D，当定点与圆心的连线垂直于直线时，截得的弦是最短的， 此时最短弦对应的弦心距为， 所以最短弦长为，所以D正确. 故选：BCD. 5．（多选）（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 【答案】ABC 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，    所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 【题型十四：切线问题】 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到点到圆心的距离为，从而得到，由正切二倍角公式进行求解即可. 【详解】变形为， 故圆心为，半径为2，所以点到圆心的距离为， 则切线长为，所以，则. 故选：D． 2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 3．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 【答案】或. 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即， 解得，此时切线方程为. 故答案为：或. 4．（2025高三·全国·专题练习）《测圆海镜》是元代李治所著的中国古代数学著作，其中介绍了与直角三角形斜边相切的旁切圆问题．已知在中，，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用图形确定圆心在的角平分线所在直线上，且在直线上方，列方程即可求圆心坐标与半径. 【详解】由题意可知,直线的方程为， 所以直线的方程为， 联立直线和的方程可以得到：，所以, 由圆与延长线、延长线都相切，可知圆心在的角平分线所在直线上．设，由题意，点在直线上方，故， 由直线和圆相切得到：，解得，所以， 圆的半径，所以，所以圆的标准方程为．    故答案为：． 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】（1）由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． （2）设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 【考点4：圆与圆的位置关系】 1. 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 [易错提醒] 圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．　 2. 两圆相交的综合问题 (1)设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． [方法技巧] 两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．　　 【题型十五：圆与圆位置关系的判断】 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 2．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 3．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相切，则圆O与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】先由直线与圆相切求出参数，进而得到圆的标准方程，再求出两圆的圆心距，与两圆半径之和与半径之差作比较，进而得到两圆的位置关系. 【详解】由，得圆心为，半径.因为直线与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即，解得或（舍去）.所以圆C的标准方程为.由，得圆心为，半径，所以两圆圆心距，.所以，所以两圆相交. 故选：B. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 【题型十六：两圆的公共弦、公切线】 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由两圆方程可得公共弦方程，由点在弦上有，进而利用基本不等式求最小值即可. 【详解】圆：和圆：两个方程相减，即可得到两圆的公共弦：， 又点在两圆的公共弦上，即， 则 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为 故选：D. 2．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程，由此可判断AB，利用点到直线距离以及半径及勾股定理可以计算公共弦长，从而可以判断C，数形结合找到P到直线AB的距离最大的情况即可判断D. 【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为，即；故A正确，B错误， 由， 易知，半径， 则点到直线的距离， 故弦长；故C正确， 当，并在如图所示位置时， P到直线AB的距离最大，为； 故选：AD. 3．（多选）（25-26高二上·全国·期中）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 【答案】BC 【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得. 【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误． 对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径， 所以圆与y轴相切， 同理圆心到y轴的距离等于圆的半径， 所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确． 对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确． 对于D，如图， 因为直线同时经过两圆的圆心， 依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与， 其中与和圆都相切，各有一个公共点， 与和圆都相交，各有两个交点， 故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：BC. 4．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 5．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.9 直线和圆的方程全章复习 【考点1：直线与方程】 1 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 5 【题型二：两直线的位置关系】 5 【题型三：直线方程】 6 【题型四：直线的交点】 7 【题型五：点到直线的距离】 9 【题型六：点、线间的对称问题】 10 【考点2：圆的方程】 11 【题型七：求圆的方程】 12 【题型八：点与圆的位置关系】 14 【题型九：圆的对称性】 14 【题型十：与圆有关的轨迹】 15 【题型十一：与圆有关的最值】 17 【考点3：直线与圆的位置关系】 17 【题型十二：判断直线与圆位置关系】 19 【题型十三：弦长问题】 20 【题型十四：切线问题】 21 【考点4：圆与圆的位置关系】 23 【题型十五：圆与圆位置关系的判断】 23 【题型十六：两圆的公共弦、公切线】 24 【考点1：直线与方程】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 4．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 [方法技巧] 已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交 的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合 的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) [提醒]　当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 5、 直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 [易错提醒] (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．　　 　[方法技巧] 与直线方程有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y. (2)将问题转化成关于x(或y)的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．　 6．两条直线的交点 7．三种距离 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ [方法技巧] 1．两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2．求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．　 [易错提醒] (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为对应相等． 8．中心对称问题的两种类型及求解方法 点关于 点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解 直线关于 点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 9．轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 [方法技巧] 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．　　 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）直线倾斜角为，且过点，则 ． 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 . 5．（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 【题型二：两直线的位置关系】 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 3．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·全国·单元测试）设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 5．（25-26高二上·新疆·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 【题型三：直线方程】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为 . 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 【题型四：直线的交点】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·全国·期中）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 3．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 4．（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的一般式方程； (2)过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【题型五：点到直线的距离】 1．（24-25高二上·山西运城·期中）已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 4．（24-25高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【题型六：点、线间的对称问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 5．（25-26高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【考点2：圆的方程】 1．圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 3．求圆的方程的两种方法 直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定 系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 4.确定圆心位置的三种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [方法技巧] 1．确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．　　 5．圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 6．圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． [方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的四种方法 [方法技巧]　　与圆有关最值问题的求解策略 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下： 常见类型 解题思路 μ＝型 转化为动直线斜率的最值问题 t＝ax＋by型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 【题型七：求圆的方程】 1．（24-25高二上·天津·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．圆的上半部分 C．圆 D．圆的右半部分 3．（2025高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 5．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 【题型八：点与圆的位置关系】 1．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 3．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 4．（2025高二·全国·专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 【题型九：圆的对称性】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（24-25高二上·北京·期中）过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 5．（多选）（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B． C．直线被圆截得的最短弦长为4 D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 【题型十：与圆有关的轨迹】 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知直线过点，直线过点，且，互相垂直，若，交于点，求点的轨迹方程． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 5．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 【题型十一：与圆有关的最值】 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 2．（24-25高二下·广西南宁·期中）若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点3：直线与圆的位置关系】 1. 直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． 2. 两种研究方法 3. 判断直线与圆位置关系的方法 几何法 (1)明确圆心的坐标和半径，将直线方程化为一般式； (2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d； (3)比较d与半径的大小，然后写出结论 代数法 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去一个变量； (2)判断一元二次方程根的个数(Δ与0的关系)； (3)得出结论 [方法技巧] 直线与圆位置关系问题的求解策略 (1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． (2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．　　 4．求解弦长问题的两个思路 直线被圆所截0得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．常用解题思路： (1)根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示； (2)通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题． [方法技巧]　　　解决圆弦长问题常用方法及结论 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 5．切线问题 ①求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． ②求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 【题型十二：判断直线与圆位置关系】 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 2．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 3．（多选）（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 4．（24-25高一下·上海·期末）已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号) 5．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【题型十三：弦长问题】 1．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 2．（多选）（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知直线被圆截得的弦为，则（   ） A．半径为5 B．圆心 C．圆心C到直线距离为 D． 3．（多选）（2025·全国·模拟预测）直线与圆交于两点，则（   ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 4．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 5．（多选）（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 【题型十四：切线问题】 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）《测圆海镜》是元代李治所著的中国古代数学著作，其中介绍了与直角三角形斜边相切的旁切圆问题．已知在中，，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为 ． 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 【考点4：圆与圆的位置关系】 1. 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 [易错提醒] 圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．　 2. 两圆相交的综合问题 (1)设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． [方法技巧] 两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．　　 【题型十五：圆与圆位置关系的判断】 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 3．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相切，则圆O与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 【题型十六：两圆的公共弦、公切线】 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 3．（多选）（25-26高二上·全国·期中）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 4．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 5．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $