专题1.1 空间向量与立体几何全章14种题型（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学期末复习讲义以空间向量与立体几何为主题，通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，按“概念-运算-定理-坐标表示-应用”分层呈现知识点，清晰展现空间向量与立体几何问题的内在逻辑和重难点分布。 讲义亮点在于题型分类与解题技巧结合，如“空间向量的线性表示”题型强调基向量法，培养数学思维；分层设计基础通关、重难突破、综合拓展练习，适配不同学生，易错点提醒助力自主复习，为教师精准教学提供有效支持。

专题1.1 空间向量与立体几何（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的线性运算 1、熟练运用空间向量线性运算的法则、运算律进行计算； 2、借助图形用已知空间向量表示未知空间向量 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式出现，难度较低；容易忽略空间图形中向量的方向关系，导致运算符号错误 空间向量的数量积运算 1、准确掌握空间向量数量积的定义、公式及性质； 2、运用数量积求解向量的模、夹角，判断向量的垂直关系 高频考点，小题、大题均有涉及；常与后续立体几何度量问题结合命题；易错点为混淆向量夹角与空间图形中几何角的范围 空间向量的坐标表示与坐标运算 1、能根据空间直角坐标系准确写出向量的坐标； 2熟练进行空间向量的坐标加减、数乘、数量积运算； 3、能利用坐标判断向量的平行、垂直关系 核心考点，是解决立体几何问题的重要工具，贯穿大题始终；小题常考查坐标运算的基本性质，大题作为解题步骤的核心环节；易错点为空间直角坐标系建立不当 直线的方向向量与平面的法向量 1、准确求解空间直线的方向向量； 2、熟练掌握平面法向量的求解方法； 3、能理解方向向量、法向量与直线、平面位置关系的联系 必考点，是后续求解空间角、距离的基础；小题可直接考查求解，大题作为解题的前置步骤； 空间角的求解 1、明确三种空间角与对应向量夹角关系； 2、熟练运用向量法求解三种空间角； 3、准确区分不同角的范围，规范书写解题步骤 高频重难点，多以大题形式出现，分值占比高；命题趋势为结合多面体或旋转体的直观图考查，常与空间垂直、平行关系判定结合；易错点为混淆向量夹角与空间角的转换关系，导致角度求解错误；二面角的法向量方向判断失误，导致所求角与实际角互补 空间距离的求解 1、掌握点到平面距离的向量求解公式 2、理解异面直线间距离的向量求解思路 3、规范计算过程 常考点，小题、大题均可能涉及，难度中等；命题多结合具体几何体考查点到平面的距离，异面直线间距离考查频率相对较低；易错点为点到平面距离公式记忆错误，或忽略距离的非负性 空间平行、垂直的向量判断 1、熟练运用向量法判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系； 2、能结合图形选择合适的向量判定方法，规范书写推理过程 基础必考点，小题常直接考查判定结果，大题常作为第一问考查，为后续求解角、距离铺垫；命题趋势为结合折叠问题、动态几何体考查；易错点为混淆平行、垂直关系的向量判定条件 知识点01 空间向量及其运算 1、空间向量的相关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量． 2、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 空间向量加减法的运算律：交换律；结合律． （2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 3、空间向量的数量积 （1）空间向量数量积的定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0． （2）空间向量数量积的运算律： ①； ②（交换律） ③（分配律） （3）空间向量数量积的性质：设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 知识点02 空间向量的相关定理 1、共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. 2、共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 3、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． ·易错点：误将“三点共面”与“三向量共面”等价，三点共面只需、，线性相关；但三向量共面与向量起点无关． 知识点03 空间向量及其运算的坐标表示 1、空间向量的坐标运算 若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直 若，，则 （1） （2） 3、空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是． （2）． （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与的关系（相等，互余，互补）． 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 知识点04 向量法研究平行与垂直 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， ·易错点：认为等价于直线⊥直线”，忽略零向量的特殊性，若或为零向量，但直线不一定垂直． 知识点05 向量法研究空间角 1、异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． 2、直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. 3、二面角 （1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. （2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 知识点06 向量法研究空间距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线l上的定点，是直线外一点， 设向量在直线上的投影向量为＝，则点到直线的距离为 (如图)． 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. 3、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 题型一 空间向量的相关概念理解 解｜题｜技｜巧 紧扣向量“大小”与“方向”两大本质属性，以严格定义为判断基准． 需注意区分易混淆概念，如共线与共面向量的从属关系、等模与相等向量的差异，规避认知误区．可借助正方体等空间模型具象化向量，通过几何直观辅助判断方向与大小关系．解题时优先采用定义排除法，逐一验证选项，同时关注“非零向量”等关键前提条件，确保判断准确． 【例题1】（25-26高二上·陕西西安·月考）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【变式1-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【变式1-3】（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 题型二 空间向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 紧扣运算法则与图形特征，优先借助三角形或平行四边形法则梳理向量关系． 进行加减运算时，可通过平移向量将空间问题转化为平面问题，直观确定运算结果的方向与模长． 运用数乘运算性质时，需注意实数λ的符号对向量方向的影响，以及模长公式的准确应用． 【例题2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·北京·月考）在四面体PABC中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 题型三 空间向量的线性表示 解｜题｜技｜巧 用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【例题3】（24-25高二上·天津和平·期末）长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型四 空间向量的基本定理及应用 解｜题｜技｜巧 1、判断基底的基本方法 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设（），运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 【例题4】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知P是所在平面外一点，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型五 空间向量的共线定理及应用 解｜题｜技｜巧 若三点(P，A，B)共线，则 （1）＝λ且同过点P； （2）对空间任一点O，＝＋t； （3）对空间任一点O，＝x＋(1－x) ． 【例题5】（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则 . 【变式5-2】（24-25高二上·北京西城·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·福建厦门·月考）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六 空间向量的共面定理及应用 解｜题｜技｜巧 若空间四点(M，P，A，B)共面，则 （1）＝x＋y （2）对空间任一点O，＝＋x＋y （3）对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) ． 【例题6】（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式6-1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点在所在平面内，若对于空间中任意一点都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式6-2】（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式6-3】（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 题型七 空间向量的数量积问题 解｜题｜技｜巧 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角． 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 【例题7】（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式7-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 题型八 空间向量的点坐标对称问题 解｜题｜技｜巧 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 【例题8】（24-25高二下·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【变式8-3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型九 利用空间向量证明平行与垂直 解｜题｜技｜巧 1、利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 【例题9】（24-25高二上·四川眉山·期末）如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·山东青岛·期末）如图，在平行六面体中，且. (1)求的长度； (2)求证：平面. 【变式9-2】（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【变式9-3】（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 题型十 利用空间向量求异面直线 解｜题｜技｜巧 利用空间向量求异面直线的步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【例题10】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型十一 利用空间向量求线面角 解｜题｜技｜巧 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【例题11】（24-25高二下·河南开封·期末）在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二下·河南漯河·期末）在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 题型十二 利用空间向量求二面角 解｜题｜技｜巧 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【例题12】（24-25高二下·河南周口·期末）如图，在圆锥中，为底面的圆心，，，点是底面圆周上一点，是的中点，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式12-1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式12-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【变式12-3】（24-25高二下·河南驻马店·期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的正弦值． 题型十三 利用空间向量求空间距离 解｜题｜技｜巧 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【例题13】（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 【变式13-2】（25-26高二上·山西太原·月考）如图，且，，且，且，平面，... (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求点到线段的距离． 【变式13-3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 题型十四 利用空间向量研究动点问题 解｜题｜技｜巧 利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 【例题14】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【变式14-1】（25-26高二上·北京·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【变式14-2】（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式14-3】（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·贵州安顺·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）下列命题中正确的是（    ） A．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底 B．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D．已知，与方向相同的单位向量是 5．（24-25高二下·江西·期末）（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（    ） A．若点共面，则存在实数，使得 B．若分别为平面的法向量，且，则 C．若分别为平面的法向量，且，则 D．若，则直线所成的角为 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江宁波·期末）如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 3．（25-26高二上·山西太原·月考）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 2．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 3．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 空间向量与立体几何（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的线性运算 1、熟练运用空间向量线性运算的法则、运算律进行计算； 2、借助图形用已知空间向量表示未知空间向量 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式出现，难度较低；容易忽略空间图形中向量的方向关系，导致运算符号错误 空间向量的数量积运算 1、准确掌握空间向量数量积的定义、公式及性质； 2、运用数量积求解向量的模、夹角，判断向量的垂直关系 高频考点，小题、大题均有涉及；常与后续立体几何度量问题结合命题；易错点为混淆向量夹角与空间图形中几何角的范围 空间向量的坐标表示与坐标运算 1、能根据空间直角坐标系准确写出向量的坐标； 2熟练进行空间向量的坐标加减、数乘、数量积运算； 3、能利用坐标判断向量的平行、垂直关系 核心考点，是解决立体几何问题的重要工具，贯穿大题始终；小题常考查坐标运算的基本性质，大题作为解题步骤的核心环节；易错点为空间直角坐标系建立不当 直线的方向向量与平面的法向量 1、准确求解空间直线的方向向量； 2、熟练掌握平面法向量的求解方法； 3、能理解方向向量、法向量与直线、平面位置关系的联系 必考点，是后续求解空间角、距离的基础；小题可直接考查求解，大题作为解题的前置步骤； 空间角的求解 1、明确三种空间角与对应向量夹角关系； 2、熟练运用向量法求解三种空间角； 3、准确区分不同角的范围，规范书写解题步骤 高频重难点，多以大题形式出现，分值占比高；命题趋势为结合多面体或旋转体的直观图考查，常与空间垂直、平行关系判定结合；易错点为混淆向量夹角与空间角的转换关系，导致角度求解错误；二面角的法向量方向判断失误，导致所求角与实际角互补 空间距离的求解 1、掌握点到平面距离的向量求解公式 2、理解异面直线间距离的向量求解思路 3、规范计算过程 常考点，小题、大题均可能涉及，难度中等；命题多结合具体几何体考查点到平面的距离，异面直线间距离考查频率相对较低；易错点为点到平面距离公式记忆错误，或忽略距离的非负性 空间平行、垂直的向量判断 1、熟练运用向量法判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系； 2、能结合图形选择合适的向量判定方法，规范书写推理过程 基础必考点，小题常直接考查判定结果，大题常作为第一问考查，为后续求解角、距离铺垫；命题趋势为结合折叠问题、动态几何体考查；易错点为混淆平行、垂直关系的向量判定条件 知识点01 空间向量及其运算 1、空间向量的相关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量． 2、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 空间向量加减法的运算律：交换律；结合律． （2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 3、空间向量的数量积 （1）空间向量数量积的定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0． （2）空间向量数量积的运算律： ①； ②（交换律） ③（分配律） （3）空间向量数量积的性质：设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 知识点02 空间向量的相关定理 1、共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. 2、共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 3、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． ·易错点：误将“三点共面”与“三向量共面”等价，三点共面只需、，线性相关；但三向量共面与向量起点无关． 知识点03 空间向量及其运算的坐标表示 1、空间向量的坐标运算 若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直 若，，则 （1） （2） 3、空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是． （2）． （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与的关系（相等，互余，互补）． 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 知识点04 向量法研究平行与垂直 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， ·易错点：认为等价于直线⊥直线”，忽略零向量的特殊性，若或为零向量，但直线不一定垂直． 知识点05 向量法研究空间角 1、异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． 2、直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. 3、二面角 （1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. （2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 知识点06 向量法研究空间距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线l上的定点，是直线外一点， 设向量在直线上的投影向量为＝，则点到直线的距离为 (如图)． 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. 3、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 题型一 空间向量的相关概念理解 解｜题｜技｜巧 紧扣向量“大小”与“方向”两大本质属性，以严格定义为判断基准． 需注意区分易混淆概念，如共线与共面向量的从属关系、等模与相等向量的差异，规避认知误区．可借助正方体等空间模型具象化向量，通过几何直观辅助判断方向与大小关系．解题时优先采用定义排除法，逐一验证选项，同时关注“非零向量”等关键前提条件，确保判断准确． 【例题1】（25-26高二上·陕西西安·月考）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为.故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【解析】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反， 即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确.故选：D 【变式1-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解析】相等向量是指长度相等，方向相同的向量， 单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误.故选：C 【变式1-3】（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【解析】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同， 因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为， 故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，， ②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误.故选：ABD. 题型二 空间向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 紧扣运算法则与图形特征，优先借助三角形或平行四边形法则梳理向量关系． 进行加减运算时，可通过平移向量将空间问题转化为平面问题，直观确定运算结果的方向与模长． 运用数乘运算性质时，需注意实数λ的符号对向量方向的影响，以及模长公式的准确应用． 【例题2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在平行六面体中，==.故选：C 【变式2-1】（24-25高二上·北京·月考）在四面体PABC中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知故选：A 【变式2-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知：.故选：D 【变式2-3】（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【解析】在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点， 所以，， 所以， 又因为，所以. 题型三 空间向量的线性表示 解｜题｜技｜巧 用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【例题3】（24-25高二上·天津和平·期末）长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量的运算法则得，, 代入，，， 所以.故选：A 【变式3-1】（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是的中点，， 又 ， 由， .故选：. 【变式3-2】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 【变式3-3】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意 ， 所以，解得，故选：B 题型四 空间向量的基本定理及应用 解｜题｜技｜巧 1、判断基底的基本方法 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设（），运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 【例题4】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】设，即， ，此方程组无解，，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 【变式4-1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知P是所在平面外一点，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】由，得， 即，所以，，， 故.故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，利用空间向量的运算法则， 可得：， 因为，所以，解得.故选：D. 【变式4-3】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以 ，所以．故选：B. 题型五 空间向量的共线定理及应用 解｜题｜技｜巧 若三点(P，A，B)共线，则 （1）＝λ且同过点P； （2）对空间任一点O，＝＋t； （3）对空间任一点O，＝x＋(1－x) ． 【例题5】（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意.故选：C 【变式5-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】5 【解析】由，得，解得，， 所以 【变式5-2】（24-25高二上·北京西城·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于， 由于三点共线，所以，解得， 故,故选：A 【变式5-3】（25-26高二上·福建厦门·月考）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得．故选：C. 题型六 空间向量的共面定理及应用 解｜题｜技｜巧 若空间四点(M，P，A，B)共面，则 （1）＝x＋y （2）对空间任一点O，＝＋x＋y （3）对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) ． 【例题6】（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】已知， 因为四点共面，所以，解得.故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点在所在平面内，若对于空间中任意一点都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解析】由题意可知四点共面， 故，故，故选：A 【变式6-2】（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得．故选：C． 【变式6-3】（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 【答案】4 【解析】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 题型七 空间向量的数量积问题 解｜题｜技｜巧 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角． 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 【例题7】（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 .故选：B 【变式7-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， ，所以.    故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且， 得， 故，即， 所以，即二面角的余弦值为.故选：D 【变式7-3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题意可得 ， 解得：，所以 题型八 空间向量的点坐标对称问题 解｜题｜技｜巧 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 【例题8】（24-25高二下·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为.故选：B. 【变式8-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称， 则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数， 故点关于平面的对称点坐标为.故选：D. 【变式8-2】（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【答案】C 【解析】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称.故选：C 【变式8-3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于轴对称点的坐标,故选：A 题型九 利用空间向量证明平行与垂直 解｜题｜技｜巧 1、利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 【例题9】（24-25高二上·四川眉山·期末）如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点， 对于A，，， ，与不垂直，A不是； 对于B，，， ，，B是； 对于C，，， ，与不垂直，C不是； 对于D，，， ，与不垂直，D不是. 故选：B 【变式9-1】（24-25高二上·山东青岛·期末）如图，在平行六面体中，且. (1)求的长度； (2)求证：平面. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设， 由于，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以，同理可证， 又因为平面． 所以平面. 【变式9-2】（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)或2 【解析】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以． 因为是正三角形，D是中点，所以． 又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以． 由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以． 设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2． 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 【变式9-3】（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 题型十 利用空间向量求异面直线 解｜题｜技｜巧 利用空间向量求异面直线的步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【例题10】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则，故选：D. 【变式10-1】（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由空间四点，，，， 可得，则， 设直线与直线所成的角为，其中， 则，可得， 所以直线与直线所成的角为.故选：A. 【变式10-2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系如图所示： ， ，， 设异面直线与所成角为， 则.故选：A 【变式10-3】（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，两两垂直，所以以为原点， 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以.   由坐标可得. .   先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是， 所以异面直线和夹角的余弦值为.故选：D. 题型十一 利用空间向量求线面角 解｜题｜技｜巧 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【例题11】（24-25高二下·河南开封·期末）在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以.故选：B. 【变式11-1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ， 则, 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为.故选：D. 【变式11-2】（24-25高二下·河南漯河·期末）在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点O，连接， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 建立如图所示的直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为. 又，设与平面所成角为， 所以.故选：B. 【变式11-3】（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面且平面平面， 所以平面. （2）因为，所以，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，，，，且D为的中点，即， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值. 题型十二 利用空间向量求二面角 解｜题｜技｜巧 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【例题12】（24-25高二下·河南周口·期末）如图，在圆锥中，为底面的圆心，，，点是底面圆周上一点，是的中点，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图1，取的中点，取靠近点的四等分点，连接，，. 因为是的中点，所以是的中位线，所以，. 因为，所以，所以根据相似的性质可得，， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）根据圆锥的性质可得平面， 因为平面，平面，所以，. 因为，所以以点为坐标原点， ，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图2所示， 则，，，，. 设平面的法向量为，则，取. 易得平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 因为平面与平面的夹角为为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【变式12-1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）在直三棱柱中，有，，， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， ，即． （2）由（1）得，， ，，， 设平面的法向量为， 则即令，即， 设平面的法向量为， 则即令，即， ． 平面与平面夹角的余弦值为． 【变式12-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接与交于点， 在菱形中，， 底面平面， 平面，， 平面， 平面； （2）取的中点，连接， 为中点，中，， 底面底面， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设， ，即，由此可求， 设平面，平面的法向量分别为， ， ∴即取； 同理，即，取； 设二面角的平面角为，则， 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为． 【变式12-3】（24-25高二下·河南驻马店·期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意：，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，且四边形为梯形，且，所以与必相交， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系，因为平面，所以轴. 设，，则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 设平面的法向量为，则 ，取. 所以，，. 所以， 所以，即二面角所成平面角的正弦值为. 题型十三 利用空间向量求空间距离 解｜题｜技｜巧 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【例题13】（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点P到平面的距离为；故选：C 【变式13-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 【答案】2 【解析】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 【变式13-2】（25-26高二上·山西太原·月考）如图，且，，且，且，平面，... (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由，平面，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，即，而直线平面， 所以平面. （2）由（1）知， 所以点到直线的距离. 【变式13-3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由底面，， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得,； 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 因为，可得，且平面， 所以平面 （2）因为， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 题型十四 利用空间向量研究动点问题 解｜题｜技｜巧 利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 【例题14】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 【变式14-1】（25-26高二上·北京·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析. 【解析】（1）在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 【变式14-2】（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 【变式14-3】（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在为靠近的处或中点，满足要求. 【解析】（1）若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合， 故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； （3）构建如上图示的空间直角坐标系， 则且， 所以， 若是平面的一个法向量， 则，取，则， 由与平面所成角为， 则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·贵州安顺·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.故选：B. 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量，且，则存在实数，使得， 即，所以,解得, 故，故选：B 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确；故选：C. 4．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）下列命题中正确的是（    ） A．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底 B．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D．已知，与方向相同的单位向量是 【答案】B 【解析】对于A，因向量，则对于空间内任一向量都与，共面， 故不存在向量可以与，构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，点为平面上的一点，且， 则，解得，故C错误； 对于D，由，可得， 则与方向相同的单位向量是，故D错误．故选：B. 5．（24-25高二下·江西·期末）（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（    ） A．若点共面，则存在实数，使得 B．若分别为平面的法向量，且，则 C．若分别为平面的法向量，且，则 D．若，则直线所成的角为 【答案】ABD 【解析】对于A，根据共面向量定理可知A正确； 对于B，，，，解得，故B正确； 对于C，，，即， ，消去,并整理得，故C错误； 对于D，，，， ， 因为异面直线所成的角范围为， 所成的角为，故D正确,故选：ABD 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若， 则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面， 因此不可能成立，故D错误．故选：B． 2．（24-25高二下·浙江宁波·期末）如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 【答案】D 【解析】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则， 设，，则， 设异面直线与所成的角为， 则， 因，由于，则时，， 又，，于是，则， 又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误； 对于C.设，，则， 由上述分析，，， 当时，无解，故C错误； 对于D.，令，得， 即对于任意的M，存在点P使得，故D正确.故选：D. 3．（25-26高二上·山西太原·月考）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）取的中点，的中点，连接， 由题意可知四棱台为正四棱台， 则平面，线面垂直的性质知，，， 则，且，则四边形为矩形． 所以，故为与侧面所成的角． 因为与侧面所成角为，所以， 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则平面的一个法向量为，而， 所以点到平面的距离； （2）因为，设平面的法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【解析】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误；故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误；故选：BD. 2．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点， AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 3．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【解析】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：，∴ 在立体几何中，， ∵解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2：由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，，∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得，， 即：，解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $