第1章 三角形的初步知识 单元练习 2025-2026学年浙教版八年级上册数学

【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第1章 三角形的初步知识 （解析版） 考试时间：150分钟 满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD， 在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC， ∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC， ∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD， ∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO， 又∠AOD=∠BOC， ∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD）， AP、CD的交点标为点E， 在△CPE中， ∠P=180°-∠PCO-∠CEP， ∵∠CEP=∠AOD+∠PAO， ∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD， ∴∠P=（∠B+∠D）。 故答案为：B。 2．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（　　） A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ C．β= D．θ=2α+2β﹣180° 【答案】B 【解析】设AC与A'D相交于点F，如图 ∵ 三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ， ∴ ∠A= ∠A’= α ，∠ADE=∠A'DE ， ∠DEA=∠DEA’=β， ∴∠AFD=∠A'+∠A'EF 且 ∠BDA' =∠A+∠AFD， ∴∠BDA' =∠A+∠A'+∠A'EF， 即 θ =2α+γ， ∴A项正确， ∵∠DEF=∠DEA'- ∠CEA'=β- γ， ∴∠AED+∠DEF=180°， 即β+β- γ=180°， ∴β=90°+， ∴C项正确， ∵∠A+ ∠DEA= ∠BDA' +∠A'DE， ∴α +β =θ +∠ADE， ∵∠ADE=180°-α- β， ∴α +β =θ +180°-α- β， ∴ θ=2α+2β﹣180° ， ∴D项正确， B项中的式子不能得出， 故答案为：B. 3．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设∠ABF=α，∠FCA1=β，则∠FBC=α，∠ECA1=β 由外角的性质得β=α+∠A1①，2β=2α+∠A②，①×2得2β=2α+2∠A1，得∠A1=∠A， 同理得∠A2=∠A1=∠A，∠A3=∠A2=∠A，.....故m 故答案为：D. 4．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD=2：1，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】∵△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G， ∴ ∵ ∴ ∴阴影部分面积为：2+2=4， 故答案为：B. 5．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 ∴M’N’=M‘E， ∴CE=CM‘+M'E 当点M与M'重合，点N与N'重合时，CM+MN的最小值 ∵三角形ABC的面积为8，AB=4， 即CM+MN的最小值为4. 故答案为：4. 6．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 【答案】C 【解析】∵∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°， ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴，， ∴， ∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确； ∴∠BPD=180°-∠APB=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠APH=∠FPD=90°， ∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°， ∴∠APB=∠FPB， ∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB， ∴△ABP≌△FBP， ∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确； ∵∠DAB=∠CAD， ∴∠PAH=∠BFP， ∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP， ∴△APH≌△FPD， ∴AH=FD， 又∵AB=FB， ∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确； 连接HD，ED，如图： ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD， ∵∠HPD=90°，PH=PD， ∴∠HDP=∠DHP=45° ∴∠HDP=∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH=S△EPD， ∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD =S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD =S△ABP+S△APH+S△PBD =S△ABP+S△FPD+S△PBD =S△ABP+S△FBP =2S△ABP，④不正确； 故正确的有①②③； 故答案为：C. 7．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】①.如图，延长交于， 分别为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ②.∵， ∴， ∵， ∴，②错误； ③.∵，， ∴， ∴，③正确； ④.∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长 ，④正确， ∴正确的有①③④． 故选：C． 8．如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论： ①；②AP平分∠BAC；③；④；⑤， 正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解析】①∵BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠BAC=60° ∴∠PBC+∠PCB=×（180°-∠BAC）=×（180°-60°）=60°， ∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°， 故①正确，符合题意； ②过点P分别作出PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，如图所示： ∵BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴PF=PG=PH， ∴AP是∠BAC的角平分线， 故②正确，符合题意； ③∵假设AP=PC，则∠PAC=∠PCA， ∴∠BAC=∠BCA=60°， ∴△ABC是等边三角形，这与题干中任意画一个∠BAC=60°的△ABC不符合， 故③不正确，不符合题意； ④∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°， ∴∠FPG=120°， ∴∠DPF=∠EPG， 在△PFD和△PGE中，， ∴△PFD≌△PGE（ASA）， ∴PD=PE， 在Rt△BHP和Rt△BFP中，， ∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL）， 同理可得：Rt△CHP≌Rt△CGP， ∴BH=BD+DF，CH=CE-GE， 两式相加可得：BH+CH=BD+DF+CE-GE， ∵DF=EG， ∴BC=BD+CE， 故④正确，符合题意； ⑤∵AP是∠BAC的角平分线， ∴点P到AB和AC的距离相等， ∴S△ABP：S△ACP=AB：AC， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确的结论是①②④⑤，共4个， 故答案为：B. 9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（　　） A．2 B．2.5 C．4 D．5 【答案】B 【解析】如图，延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H， ∴∠GHA=90°， ∵BD平分∠ABC，BD⊥CD， ∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°， 在△BDG和△BDC中，， ∴△BDG≌△BDC（ASA）， ∴BC=BG，CD=DG， ∴， 又∵∠GHA=90°，AC=5， ∴， ∴， ∵BC-AB=2， ∴BG-AB=AG=2， ∵GH≤AG，即GH≤2， ∴当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大， ∴则GH的最大值为2， ∴△ADC的最大面积为：， 故答案为：B． 10．如图，在中，，平分交与点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的是（　　） ①若，则；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】①∵，且∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠ABC=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-70°=50°， ∵平分，平分， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=25°，∠BAG=∠CAG=∠BAD=35°， ∴∠BFE=∠ABD+∠BAG=25°+35°=60°， ∵， ∴∠BEF=90°， ∴∠FBE=90°-60°=30°， ∴∠EBC=∠FBE-∠FBC=35°-30°=5°， ∴此结论正确； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴∠BEF=90°， ∴∠FBE=90°-60°=30°， ∴， ∴此结论正确； ③如图，延长，交于点H， 在△ABE和△AHE中， ∴（ASA）， ∴， ∴点E为线段中点， ∴只有当时， ， 由题意知：， ∴， ∴此结论错误； ④如图，在上截取，连接， 在△ABE和△AHE中， ∴（SAS）， ∴， 而∠AFD=∠BFG， ∴， 在△AFD和△AFN中， ∴（ASA）， ∴， ∴， ∴此结论正确． 故答案为：B. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　. 【答案】9＜AB＜19 【解析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE. 在△ADC和△EDB中， ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）. ∵AC=5，AD=7， ∴BE=5，AE=14. 在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE， ∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19. 故答案为9＜AB＜19. 12．如图，的角平分线、交于点．延长至，与的延长线相交于点，且，，若的面积为6，，则线段的长度为　 　． 【答案】 【解析】设，， 平分，， ，，， ，， ， 平分， ， ； ， ， ， ， ， ． 故答案为： 【分析】 13．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为　 　度. 【答案】32 【解析】过C点作∠ACE=∠CBD，如图所示： ∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°， ∴∠ECD=∠BDC， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠BAC=∠CEB=64°， ∴∠BDC=∠CEB=32°． 故答案为：32． 14．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD，BE，CF交于点O，OH⊥BC于点H．下列结论：①∠BOC＝120°，②∠DOH＝∠OCB－∠OBC，③OD平分∠BOC，④OE＝OF，其中正确的结论序号有　 　． 【答案】①②④ 【解析】①∵，∴，∴. ∵，， ∴，故①正确； ②∵于H，∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴，故②正确； ③∵，，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，故③错误； ④如图，过点O作于点M，于点N， ∵平分，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∵，，∴. ∵，，∴，∴，故④正确. 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 15．如图，△ABC中，AC－AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，若△BCD的面积最大值为20，此时BC=　 　. 【答案】20 【解析】如图：延长AB，CD交点于E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠EAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC=∠ADE=90°， 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴AC=AE，DE=CD； ∵AC-AB=4， ∴AE-AB=4，即BE=4； ∵DE=DC， ∴S△BDC= S△BEC， ∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大， 即S△BDC最大面积= × ×BC×BE=20， ∴BC=20. 故答案为：20. 16．如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则　 　度． 【答案】160 【解析】如图1，连接， ∵在中，， ∴． ∵三内角的角平分线交于点D， ∴平分， ∴， 同理可得，，， ∵在中， ， 又∵，，， ∴， ∵， ∴． 如图2，连接， ∵三边的垂直平分线交于点E， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中， ． 故答案为：160． 三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．在中，，点D，E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设． （1）若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则___________（用含∠α的代数式表示）； （2）若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． （3）当点P在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的之间的关系式．（不需要证明） 【答案】（1） （2）解：结论：，证明如下： 如图， ∵，， ∵， ∴， ∴． （3）解：或 【解析】（1）解：∵，， ∴（四边形内角和定理）， ∴； 故答案为：； （3）解：如图（3）， ∵，， ∵， ∴， ∴． 如图（4）， ∵，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 18．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由 （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】解：（1）∵DE=AD，∴AE=2AD， ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， ∵AB=5， ∴CE=5， 在△ACE中，， ∴ 解得：， ∴AD的取值范围是1＜AD＜6； （2）证明： 延长ED到点H，使DH=DE，连接CH，FH，如图所示： ∵DH=DE，DE⊥DF， ∴DF垂直平分EH， ∴EF=HF， ∵AD是BC边上的中线， ∴DB=DC， 在△DCH和△DBE中，， ∴△DCH≌△DBE（SAS）， ∴CH=BE， 在△CFH中，CH+CF＞FH， ∴BE+CF＞EF； （3）AF+CE=EF， 理由：延长BC到H，使得CH=AF，如图所示： ∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCH=180°， ∴∠A=∠DCH， 在△ADF和△CDH中，， ∴△ADF≌△CDH（SAS） ∴∠ADF=∠CDH，DF=DH， ∵∠ADC=120°，∠EDF=60°， ∴∠ADF+∠EDC=∠ADC-∠EDF=60°， ∴∠CDH+∠EDC=60°，即∠EDH=60°， ∴∠EDF=∠EDH， 在△DEF和△DEH中， ， ∴△DEF≌△DEH（SAS）， ∴EF=EH， ∵CH+CE=EH， ∴AF+CE=EF. 19．如图，在中，与的平分线相交于点． （1）若，则的度数是　 　； （2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； （3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】（1）； （2）解：，之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）解：∵平分，平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： ①当时， 则， ∴， 此时， ②当时，则， ∴，则， 此时， ③当时，则， ∴， 此时， ④当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 【解析】（1）在中，=180°-60°=120°， ∵与的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ 故答案为：； 20．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型），解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，将（1）中的条件改为：，、、三点都在直线上，且有，其中为任意锐角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴. （2）解： 结论成立，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴. （3）解：结论不成立，理由如下： ∵，，， 且， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴. ∴. 21．综合与实践 【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD．求证：S△ABD＝S△ACD． 证明：过点A作AE⊥BC于E ∵点D是BC边上的中点 ∴BD＝CD ∵ ∴S△ABD＝S△ACD 【拓展探究】 （1）如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S△ABC＝6，S△ABD＝　 　； （2）如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点且CD＝2BD，S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程； （3）【问题解决】 现在有一块四边形土地ABCD（如图4），熊大和熊二都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙． 要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺． 【答案】（1）3 （2）证明：如图，作AP⊥BC于点P， ∵CD+BD=BC， CD＝2BD， ∴BD=BC， ∵S△ABD=BD·AP=×BC×AP=×BC×AP，S△ABC=BC·AP=BC×AP， ∴S△ABD＝S△ABC （3）解：如图，连接BD，取BD的中点Q，连接AQ、CQ，则折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分. 理由：∵Q是BD的中点， ∴AQ是△ABD的中线，CQ是△BCD的中线， ∴S△ABQ=S△AQD，S△BQC=S△CQD， ∴S△ABQ+S△BQC=S△AQD+S△CQD， ∴折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分. 【解析】（1）∵ 点D是BC边上的中点 ， ∴S△ABD=S△ACD ∵ S△ABC＝6， ∴S△ABD=S△ABC＝3； 故答案为：3. 22．课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明. （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明. 【答案】（1）解：BD；证明：如图1，延长至F，使，连接， 则， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， 在和中，，∴， ∴， ∴. （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，，∴ ∴，即平分. 23．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） （2）答：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或或； 【解析】 （1） 解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （3） 答：或或，理由如下： ①由（1）、（2）可知，； ②，如图：当点E、F分别在BC、CD延长线上时，在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ③，如图，当点E、F分别在CB、DC的延长线上时，在上截取， 同②，先证得，再证得， ∴ ； ④如图，点 、F分别在 、的延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 24．已知：在中，，点D在上，连接，且． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线， 于点F，G，H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，，求的值． 【答案】（1）证明：设， ∵∠ABC=∠ACB+90°，∠ADB=∠ACB+∠CAD，∠ADB=45°， ∴∠ABC=α+90°，∠CAD=∠ADB-∠ACB=45°-α ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：如图2，过点B作BT⊥GH于点T，过点C作CR⊥RH交GH的延长线于点R， ∴∠BTE=∠BTG=∠CRE=90°， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，AD平分∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠AHF=∠CHR， ∴∠G=∠CHR， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 由（2）得∠G=∠AHF，BG=CH，∴AG=AH， ∵点E为的中点，∴，∴， ∵ ，∴， ∵EM⊥AG，EN⊥AC， ∴， 又∵，BG=CH， ∴， ∵AG=AH， ∴， ∴， ∴. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第1章 三角形的初步知识 考试时间：150分钟 满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（　　） A． B． C． D． （第1题） （第2题） （第3题） （第4题） 2．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（　　） A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ C．β= D．θ=2α+2β﹣180° 3．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD=2：1，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 （第5题） （第6题） （第7题） （第8题） 6．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 7．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 8．如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：①；②AP平分∠BAC；③；④；⑤，正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（　　） A．2 B．2.5 C．4 D．5 10．如图，在中，，平分交与点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的是（　　） ①若，则；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （第9题） （第10题） （第12题） 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　. 12．如图，的角平分线、交于点．延长至，与的延长线相交于点，且，，若的面积为6，，则线段的长度为　 　． 13．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为　 　度. （第13题） （第14题） （第15题） （第16题） 14．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD，BE，CF交于点O，OH⊥BC于点H．下列结论：①∠BOC＝120°，②∠DOH＝∠OCB－∠OBC，③OD平分∠BOC，④OE＝OF，其中正确的结论序号有　 　． 15．如图，△ABC中，AC－AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，若△BCD的面积最大值为20，此时BC=　 　. 16．如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则　 　度． 三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．在中，，点D，E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设． （1）若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则___________（用含∠α的代数式表示）； （2）若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． （3）当点P在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的之间的关系式．（不需要证明） 18．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由 （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 19．如图，在中，与的平分线相交于点． （1）若，则的度数是　 　； （2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； （3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 20．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型），解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，将（1）中的条件改为：，、、三点都在直线上，且有，其中为任意锐角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 21．综合与实践 【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD．求证：S△ABD＝S△ACD． 证明：过点A作AE⊥BC于E ∵点D是BC边上的中点 ∴BD＝CD ∵ ∴S△ABD＝S△ACD 【拓展探究】 （1）如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S△ABC＝6，S△ABD＝　 　； （2）如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点且CD＝2BD，S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程； （3）【问题解决】 现在有一块四边形土地ABCD（如图4），熊大和熊二都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙． 要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺． 22．课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明. （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明. 23．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 24．已知：在中，，点D在上，连接，且． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线， 于点F，G，H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $