精品解析：甘肃省武威第七中学2025-2026学年高三上学期第二次质量检测数学试卷

武威第七中学2025—2026学年第一学期高三第二次质量检测 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ） A. 286 B. 293 C. 252 D. 246 6. 若函数的值域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 下列叙述中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件 C. 命题“若，则且”的否命题是“若，则且” D. 若为真命题，为假命题，则，一真一假 8. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数最小值为 C. 函数与是同一个函数 D. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 10. 眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（ ） A. 与互为对立 B. 与相互独立 C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 当时，函数的最小值为 D. 若对，都有，则 三、填空题 12. 已知函数 ，则______，的最小值是______. 13. 若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 14. 甲乙丙丁四位同学围成一圈玩传球游戏，通过掷骰子决定传球的次数，按照甲→乙→丙→丁→甲→乙→丙→丁→…的顺序循环，初始时球在甲手中，掷出几点就向后传几次球，若抛掷3次骰子后，球还在甲手中，则不同的掷骰子方法有__________种. 四、解答题 15. 根据下列条件，求函数的解析式. （1）已知函数是一次函数，若，求的解析式. （2）已知，求的解析式. 16. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 17. 是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． （1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； （2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当取得最小值时，求二面角的余弦值． 19. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威第七中学2025—2026学年第一学期高三第二次质量检测 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据补集和并集概念进行求解 【详解】由题得，因为，所以. 又，所以. 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求一元二次不等式和绝对值不等式的解集，再根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系． 【详解】由，解得或，即， 又，则，解得，即， 又因为是的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B． 3. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 4. 若，，则错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可根据不等式的性质，结合已知条件，，结合特殊值方法，还有幂函数单调性，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】对于选项，当，，，时，，，此时，所以选项错误. 对于选项，由可得，则. 又因为，所以，根据不等式的性质：可得，所以选项正确. 对于选项，由，则，则，，根据不等式的性质：，可得，所以选项正确. 对于选项，由前面分析可知，因为函数在上单调递增，所以，所以选项正确. 故选：A. 5. 已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ） A. 286 B. 293 C. 252 D. 246 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得解. 【详解】由题意得， ， ， 所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293. 故选：B. 6. 若函数的值域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，通过换元法将表示为，然后根据二次函数的性质求解出的值域. 【详解】令，得，，则， 所以，对称轴，开口向上且，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 7. 下列叙述中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件 C. 命题“若，则且”的否命题是“若，则且” D. 若为真命题，为假命题，则，一真一假 【答案】D 【解析】 【分析】选项：根据特称命题的否定为全称命题进行判断； 选项：根据两直线垂直求出，从而判断“”是“直线和直线垂直”的必要而不充分条件； 选项：根据否命题的定义来判断； 选项：根据含有逻辑连接词的命题的真假来判断. 【详解】选项：命题的否定为，，故选项错误； 选项：直线和直线垂直的充要条件为，即，可以推出，但推不出，故“”是“直线和直线垂直”的必要而不充分条件，故选项错误； 选项：命题“若，则且”的否命题是“若，则或”， 故选项错误； 选项：若为真命题，则，中至少有一个为真，若为假命题，则，中至少有一个为假，因此，一真一假，故选项正确. 故选：D. 8. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 二、多选题 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数最小值为 C. 函数与是同一个函数 D. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据存在性命题的否定判断A，利用换元法结合对勾函数单调性可判断B，根据函数定义域判断C，由一元二次不等式、一元二次方程的关系求不等式的解集判断D. 【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A为假命题； 对于B，令，则，所以函数在上单调递增， 所以，故B选项为真命题； 对于C，函数定义域为R，函数定义域为， 定义域不同，两函数不是同一个函数，故C选项为假命题； 对于D，由题意，方程的解为，且， 由韦达定理可得，解得， 则不等式，即， 由，则不等式变为，解得或，故D为假命题； 故选：ACD. 10. 眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（ ） A. 与互为对立 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对立事件及独立事件定义判断A，B，应用条件概率公式判断D，应用概率基本性质判断C即可. 【详解】因为，，， 则，所以， 所以，则与不对立，故A错误； 得到，与相互独立，故B正确； 而，故，故C正确； ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 当时，函数的最小值为 D. 若对，都有，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数的定的定义可判断A，根据在，和上单调递增，即可判断B，根据，则，即可判断C，利用分离参数法即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，图象关于原点对称，A正确， 对于B，时，由于定义域为，由于均为在，和上递增函数，故在，和上单调递增，故B错误， 对于C，时，若，则，故C错误， 对于D，对，都有，故，由于对，，故，D正确， 故选：AD 三、填空题 12. 已知函数 ，则______，的最小值是______. 【答案】 ①. . ②. . 【解析】 【分析】第一空，根据分段函数解析式即可求得答案；第二空，分段求得函数的最小值，比较可得答案. 【详解】由题意可得 ， 所以， 当时，的最小值为0， 当时，，当且仅当时取等号,最小值为， 故的最小值为， 故答案为： . 13. 若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 【答案】-5 【解析】 【分析】由题意可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知二项式 的展开式共有 6 项，故， 则二项式的通项公式为， 令，故含的项的系数为， 故答案为：-5 14. 甲乙丙丁四位同学围成一圈玩传球游戏，通过掷骰子决定传球的次数，按照甲→乙→丙→丁→甲→乙→丙→丁→…的顺序循环，初始时球在甲手中，掷出几点就向后传几次球，若抛掷3次骰子后，球还在甲手中，则不同的掷骰子方法有__________种. 【答案】55 【解析】 【分析】利用点数和为4的倍数则会传回甲手中，然后再利用分类思想计算即可得解. 【详解】按照甲→乙→丙→丁→甲→乙→丙→丁→…的顺序循环，初始时球在甲手中， 若要再次回到甲手中，则需要传球次数分别为，即4的倍数， 若要使得抛掷3次骰子后，球还在甲手中，则必需要使3次骰子的点数和为4的倍数， 利用分类思想可知： 第一类：3次骰子的点数和刚好为4， 即点数为两个1和一个2，故有种，此类共有3种； 第二类：3次骰子的点数和刚好为8， 即点数为两个1和一个6，故有种； 点数为一个1和一个2和一个5，故有种； 点数为一个1和一个3和一个4，故有种； 点数为两个2和一个4，故有种； 点数为两个3和一个2，故有种，此类共有21种 第三类：3次骰子的点数和刚好为12， 即点数为一个1和一个5和一个6，故有种； 点数为一个2和一个4和一个6，故有种； 点数为两个3和一个6，故有种； 点数为两个5和一个2，故有种； 点数为一个3和一个4和一个5，故有种； 点数为三个4，故有1种，此类共有25种； 第四类：3次骰子的点数和刚好为16， 即点数为两个6和一个4，故有种； 点数为两个5和一个6，故有种，此类共6种； 三个骰子的点数和最大是18，所以只有以上四类情形，共计有种， 故答案为：55. 四、解答题 15. 根据下列条件，求函数的解析式. （1）已知函数是一次函数，若，求的解析式. （2）已知，求的解析式. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，设，求出即可； （2）利用换元法，令则，求出即可 【小问1详解】 是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 【小问2详解】 令则，， 16. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为，可得且和是方程的两个实数根，再根据根与系数的关系即可求解； （2）由，可得，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以，且的两根为和， 则根据韦达定理，可得，解得； 【小问2详解】 由，可得，化简得. 又，所以， 当且仅当时，即时等号成立. 17. 是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． （1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； （2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 数学期望为元．【解析】 【分析】（1）由题知的取值为，而甲进入决赛有可能答3或4道题，利用组合数计算概率即可. （2）由题可知的取值为，再利用二项分布计算概率，写出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 记为甲在预赛答对的题数，则的取值为， ，， 记甲进入决赛为事件， 则甲进入决赛的概率为． 【小问2详解】 由题可知的取值为， 所以，， ，， 所以的分布列如下： （元）， 即甲获得奖金的数学期望为元． 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当取得最小值时，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为四边形为菱形，所以 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）解法一：由二面角的性质可知即为二面角的平面角，利用垂直关系和等面积法求出的边长，进而求出的余弦值即可；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面， 因为平面，所以，， 又，平面平面，所以即为二面角的平面角， 当取得最小值时，有， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为在菱形ABCD中，，， 所以，， 又因为，所以， 又因为在中，，解得, 则在中，， 所以二面角的余弦值为． 解法二：由底面，底面，且底面为菱形可知两两垂直， 又当取得最小值时，有， 以为原点，分别为轴建空间直角坐标系， 因为在菱形ABCD中，，， 所以，为等边三角形，易得，， 则，，，，， 易知为平面的法向量， 又由（1）得平面，平面， 所以，又因为，，平面，平面， 所以平面， 所以为平面的法向量， 又， 所以二面角的余弦值为. 19. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 【答案】（1）（i）；（ⅱ），7.5 （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 【解析】 【分析】（1）（i）由题意可得，求解即可；（ⅱ）利用最小二乘法求得回归方程，可求得预测值； （2）利用，求得，利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率加法公式求得的分布列与数学期望，比较可得结论. 【小问1详解】 （i）根据表格中的数据，可得，解得. （ⅱ），， 所以. 故所求经验回归方程为， 当时，， 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $