精品解析：江苏省南京市2025～2026学年上学期9月份第一次月考九年级数学试题

江苏省南京市2025~2026学年上学期9月份第一次月考九年级数学试题 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4. 如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 6. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 8. 已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为________． 9. 已知，且，则化简_____． 10. 如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为____________． 11. 已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是_____． 12. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______． 13. 如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是______． 14. 如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则＝______． 15. 如图，在中，，，．的半径长为1，是边上一动点（可以与顶点重合），并且点到的切线长为．若满足条件的点的位置有4个，则的取值范围是______． 16. 如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 解方程：； 18. 解方程：． 19. （1）若关于x的方程（p为常数）有两个不相等的实数根，求p的取值范围； （2）关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 20. 如图，AB是的弦，点C在过点B的切线上，且，OC交AB于点P． （1）求证； （2）若，，则的半径长为______． 21. 如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． （1）求证：与相切； （2）若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 22. 如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． （1）如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； （2）在（1）的条件下，直径，，的“幸运角”为，求CP的长． 23. 如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉． （1）设观览通道的宽度为x米，则______（用含x的代数式表示）； （2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？ 24. 如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． （1）求证：； （2）连接，若为的直径，，，求的半径． 25. 解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于的方程的解是（、、均为常数，）， 则方程的解是． 解法探讨 （1）小明的思路如下所示，请你按照他的思路解决这个问题； 小明的思路 第步把、代入到第个方程中求出的值； 第步把的值代入到第个方程中求出的值； 第步解第个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题． 策略运用 （3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中、、是三边的长，判断的形状． 26. 解答下列问题 （1）【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？ （2）【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心． （3）【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 27. 【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市2025~2026学年上学期9月份第一次月考九年级数学试题 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义即可得出答案，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，故该选项符合题意； C、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了扇形的面积公式，根据题意画出图形，边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积，据此进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可得，都是等腰直角三角形，则， 边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积， 故选：B 3. 如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H，根据三角形内切圆和圆周角定理求出，根据证明，可得出，根据点I是的内心，可得出，即可求解． 【详解】解∶延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H， 则与的内切圆相切于G，与的内切圆相切于F，与的内切圆相切于H， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点I是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心与内心，切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 4. 如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 6. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由题意知，平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 如图，连接交于，则， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据条件得出，，原式整理为，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ∴，即 解得． 故答案为：． 8. 已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、两点坐标距离公式、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解答的关键．先得到一次函数图像过定点，设切点坐标为，圆心为，根据切线定义、勾股定理以及两点坐标距离公式列方程求解即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴一次函数图像过定点， 如图，设切点坐标为，圆心为， 则，，， ∴， 由勾股定理得， 则， 由①②解得，， ∴切点坐标为，， 故答案为：，． 9. 已知，且，则化简_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，即，且可知可看做方程的两不相等的实数根，继而知，且，将其代入到原式可得答案． 【详解】解：，即，且 可看做方程的两不相等的实数根， 则 则原式 【点睛】主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据满足的等式判断出可看做方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 10. 如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内心的应用，勾股定理等知识， 延长交于点，连接，证明求出的长，再通过角的关系可以，进而求证直角三角形为等腰直角三角形，求得的长，的长，利用勾股定理求出的长，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于，连接，     ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 中，为三个角平分线的交点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 据勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 11. 已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】当是锐角三角形时，得出，得出，求解即可；当是钝角三角形时， ，得出，求解即可；当是直角三角形时，不符合题意． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图所示： ∵I是的内心， ∴、平分、， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴； 当是钝角三角形时，如图所示： ∵I是的内心， ∴、平分、， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴； 当是直角三角形时，不符合题意； 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形的内心，角平分的定义，分情况讨论是解题的关键． 12. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：连接交于点G， ， ， ∵点O为的内切圆的圆心， ， ， ， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 13. 如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在矩形中作出使成立的点P的轨迹，则可得出矩形中空白部分为使成立的点P形成区域，然后求出对应区域面积即可得解． 【详解】解：如图，在上分别截取，使，连接，则四边形是正方形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为正方形的外接圆． ，， 是等腰直角三角形，， 在中，所对圆周角均等于，， 则所有符合条件的点P形成的区域为矩形中空白部分， 矩形中空白部分的面积为， ，，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧所对圆周角相等，矩形的性质，扇形面积的计算等知识，在矩形中作出使成立的点P的轨迹是解题关键． 14. 如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 过B作于P，则，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于P，则， ，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．的半径长为1，是边上一动点（可以与顶点重合），并且点到的切线长为．若满足条件的点的位置有4个，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，作切于点，连接，由勾股定理可得，再利用面积法求得，然后根据勾股定理可得；作切于点，求得；观察图形可知，点的位置有4个需要满足的条件是，即的取值范围是． 【详解】解：如下图，过点作于点，作切于点，连接， 则， ∵，，， ∴， ∵，即， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∴， 作切于点，则，， ∴， ∴， 观察图形可知，点的位置有4个需要满足的条件是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、利用面积法求线段的长度等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． 16. 如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 作的外接圆，连接，构造圆内接四边形，设外接圆的半径为，又，则，故有，即是等腰直角三角形，从而可得点四点共圆，则有，过作于点，，然后通过垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，构造圆内接四边形， 设外接圆的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴， 如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 解方程：； 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用平方差公式将原方程变为，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 18. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解： ∴， ∴， ， ， ∴， 解得：． 19. （1）若关于x的方程（p为常数）有两个不相等的实数根，求p的取值范围； （2）关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】（1）；（2）C 【解析】 【分析】（1）先把方程化为，结合题意可得，再解不等式即可． （2）先把方程化为，再根据可得方程有两个不相等的实数根，由即可得出结论． 【详解】解（1）∵（p为常数）， ∴， ∵关于x的方程（p为常数）有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， （2）∵（p为常数）， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵， ∴原方程有一个正根，一个负根． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数关系，注意利用偶次方的非负性判断代数式的符号是解决问题的关键． 20. 如图，AB是的弦，点C在过点B的切线上，且，OC交AB于点P． （1）求证； （2）若，，则的半径长为______． 【答案】（1） 证明：延长交圆于点M，如图， 则， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）延长交圆于点M，如图，则，再证明即可； （2）设圆的半径为x，，则，证明，然后利用勾股定理列出关于a、x的方程组，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设圆的半径为x，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：①， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：②， 联立①②可解得：，即的半径长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 21. 如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． （1）求证：与相切； （2）若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【答案】（1） 证明：过点作于点，如图： ， ， ， ， ∵圆的半径为2， ∴点在圆上， ， ∴与相切； （2） 解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下： ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ， 过点作的切线，交于点，交于点，连接，则，，如图： 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 作的内切圆，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是等腰直角三角形， ， 设圆的半径为， ， ， 解得：， ， ∴可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆性质，圆的切线性质，圆锥的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求出，即可证明； （2）根据扇形的弧长求出圆锥的底面圆的半径为，作的内切圆，证明四边形是平行四边形，从而得到是等腰直角三角形，设圆的半径为，再利用 ，求出，由于，可以判断出可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． （1）如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； （2）在（1）的条件下，直径，，的“幸运角”为，求CP的长． 【答案】（1） 是的“幸运角”，理由如下： ∵是的直径，弦， ∴平分， 即为的垂直平分线， ， ， ， ， 是的“幸运角”； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用“幸运角”的定义，说明即可； （2）连接，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理列出方程，解方程求得值，再利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： 的“幸运角”为，即， ， ， ， ， ∵直径， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 设，则，在中， ， ， 解得：或， 或． 23. 如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉． （1）设观览通道的宽度为x米，则______（用含x的代数式表示）； （2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？ 【答案】（1） （2）通道的宽度为． 【解析】 【分析】（1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，可得式，化简即可得； （2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得． 【小问1详解】 解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， 解得（不合题意，舍去）． ∴通道的宽度为． 【点睛】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键． 24. 如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． （1）求证：； （2）连接，若为的直径，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，并延长交于点F，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）的半径为5． 【解析】 【分析】（1）连接，并延长交于点F，根据切线性质得出，得出，根据平行线的性质得出，证明，根据垂径定理得出，说明垂直平分，即可得出答案； （2）根据中位线性质得出，设的半径为r，则，根据勾股定理得出，解方程得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴， 设的半径为r，则， 在和中根据勾股定理得：， ， ∴， 解得：或（舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，平行线的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的性质． 25. 解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于的方程的解是（、、均为常数，）， 则方程的解是． 解法探讨 （1）小明的思路如下所示，请你按照他的思路解决这个问题； 小明的思路 第步把、代入到第个方程中求出的值； 第步把的值代入到第个方程中求出的值； 第步解第个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题． 策略运用 （3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中、、是三边的长，判断的形状． 【答案】（1）；（2）或；（3）是直角三角形． 【解析】 【分析】此题考查根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的解，解题关键在于掌握根的判别式及勾股定理逆定理． （1）根据题意利用待定系数法求解即可． （2）把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． （3）先根据方程有两个相等的实数根，求得方程的根，再根据根与系数的关系列出方程，找到、、的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】解：（1）将代入到方程中， 得， ∴， 解得 ∴． ∴ 第个方程可变形为， 即， 解得：； （2）∵关于的方程的解是， ∴把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为或， 故答案为：或； （3）∵当时， ∴方程必有一根是 ∴方程的两根为． ∴． ∴． ∴是一个直角三角形 26. 解答下列问题 （1）【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？ （2）【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心． （3）【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1） ，证明：如图①，连接． ∵I是的内心， ∴． ∵是所对的圆周角， ∴． ∴． 根据角之间的关系可得． 又∵是的一个外角， ∴． ∴． ∴； （2） 证明：连接． ∵， ∴． ∴． 即平分． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∵， ∴，即平分． ∴I为的内心； （3） 文字说明：①以点B为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点M和N， ②以点M和点N为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线， ③以点C为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点E和F， ④以点E和点F为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线， ∴射线和射线交于点I， ∴点I即为的内心． 画图如下： 【解析】 【分析】（1）如图①，连接．首先根据三角形内心的概念得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后通过角度之间的转化即可证明，进而得到； （2）连接．首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据得到，然后根据角度之间的转化得到，即可证明出I为的内心； （3）根据题意作出和的角平分线，两条平分线的交点即为的内心I． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内心的定义，圆周角定理的推论是解答本题的关键． 27. 【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【答案】（1）2；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $