4.2角讲义　 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学六年级上册

4.2 角 学习目标 1. 理解角的概念，掌握角的四种表示方法。 2. 掌握角的分类，能区分锐角、直角、钝角、平角和周角。 3. 理解角度制的意义，掌握度、分、秒之间的换算。 4. 熟练进行角度的四则运算（加、减、乘、除）。 5. 学会比较两个角的度数大小。 6. 理解方向角的概念，能正确描述物体的方向角。 7. 掌握利用一副三角板拼出不同角度的方法，并能进行相关计算。 8. 理解角平分线的概念，并能进行相关角度计算。 9. 理解余角和补角的概念，掌握其性质并能进行相关计算。 知识点讲解 一、角的概念与表示方法 1. 角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 2. 角的表示方法： · 方法一：用三个大写字母表示。例如，顶点为 O，两边分别为射线 OA、OB 的角，可表示为 ∠AOB（顶点字母 O 必须写在中间）。 · 方法二：用一个大写字母表示。当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点字母表示。例如，∠O。 · 方法三：用一个数字表示。例如，∠1、∠2。 · 方法四：用一个希腊字母表示。例如，∠α（阿尔法）、∠β（贝塔）、∠γ（伽马）。 二、角的分类 根据角的度数大小，角可以分为以下几类： · 锐角：大于 0° 且小于 90° 的角。 （0° < 锐角 < 90°） · 直角：等于 90° 的角。 （直角 = 90°） · 钝角：大于 90° 且小于 180° 的角。 （90° < 钝角 < 180°） · 平角：等于 180° 的角。 （平角 = 180°） · 周角：等于 360° 的角。 （周角 = 360°） 三、角的单位和角度制 1. 基本单位：度（°）、分（′）、秒（″）。 2. 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制度叫做角度制。 3. 换算关系： · 1 周角 = 360° · 1 平角 = 180° · 1 直角 = 90° · 1° = 60′ （1 度等于 60 分） · 1′ = 60″ （1 分等于 60 秒） · 1° = 3600″ （1 度等于 3600 秒） 四、角度的四则运算 1. 加减法： · 度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减。 · 相加时，满 60 向高一级单位进 1。 · 相减时，若某一级单位不够减，从高一级单位借 1 当 60，再减。 2. 乘法： · 分别用度、分、秒乘以乘数。 · 然后从秒开始，满 60 向高一级单位进 1。 3. 除法： · 从度开始除，得到的商的整数部分为度。 · 余数部分乘以 60 化成分，再除以除数，得到的商的整数部分为分。 · 余数部分再乘以 60 化成秒，再除以除数，得到的商的整数部分为秒（通常秒的余数可四舍五入或保留）。 五、角的度数大小比较 角的度数大小比较与正数的大小比较方法相同。 · 可以直接比较度数的数值。度数越大，角越大。 · 例如：30° < 45°，90° > 60°，180° = 180°。 六、方向角的表示 1. 定义：方向角是从正北或正南方向为基准，描述物体运动方向的角。 2. 表示方法： · 通常表示为“北偏东（西）××度”或“南偏东（西）××度”。 · 例如：北偏东 30°，表示从正北方向开始，向东旋转 30° 的方向。 · 南偏西 45°，表示从正南方向开始，向西旋转 45° 的方向。 · 当角度为 45° 时，也可以说成“东北方向”（北偏东 45°）、“西北方向”（北偏西 45°）、“东南方向”（南偏东 45°）、“西南方向”（南偏西 45°）。 · 注意：一般不说“东偏北××度”或“西偏南××度”，除非角度接近 90°，但小学阶段通常以南北为基准。 七、三角板中角度计算问题 一副标准的三角板有两个： · 一个三角板的三个角分别是：30°、60°、90°。 · 另一个三角板的三个角分别是：45°、45°、90°。 通过将这两个三角板的角进行拼接（相加）或重叠（相减），可以得到一些特定的角度。例如：75°（30°+45°）、105°（60°+45°）、15°（45°-30°）等。 八、角平分线的有关计算 1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 性质：若 OC 是 ∠AOB 的平分线，则 ∠AOC = ∠∠AOB，或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB。 九、余角补角的有关计算 1. 余角：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。 · 性质：同角（或等角）的余角相等。 · 若 ∠1 + ∠2 = 90°，则 ∠1 与 ∠2 互余；反之亦然。 · ∠α 的余角 = 90° - ∠α。 2. 补角：如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。 · 性质：同角（或等角）的补角相等。 · 若 ∠3 + ∠4 = 180°，则 ∠3 与 ∠4 互补；反之亦然。 · ∠β 的补角 = 180° - ∠β。 例题解析 例题 2：度分秒换算 将 3.25° 换算成度分秒的形式。 思路分析：1° = 60′，将小数部分 0.25° 化成分。 解题过程： 0.25° = 0.25 × 60′ = 15′ 所以 3.25° = 3°15′ 答案：3°15′ 例题 3：角度加法 计算 38°25′ + 42°48′。 思路分析：度与度相加，分与分相加，分满60向度进1。 解题过程： 38°25′ + 42°48′ = + (25′ + 48′) = 80° + 73′ = 80° + 1°13′ = 81°13′ 答案：81°13′ 例题 4：角度减法 计算 90° - 36°45′。 思路分析：90° 可以看作 89°60′，然后度与度相减，分与分相减。 解题过程： 90° - 36°45′ = 89°60′ - 36°45′ = + (60′ - 45′) = 53° + 15′ = 53°15′ 答案：53°15′ 例题 5：方向角 “北偏东 60°” 是什么意思？ 思路分析：根据方向角的定义，以正北方向为基准，向东旋转 60°。 解题过程：表示从观测点出发，以正北方向为起始边，向东（顺时针方向）旋转 60° 所得到的方向。 答案：从正北方向向东旋转 60° 的方向。 例题 6：余角计算 已知一个角的度数是 35°，求它的余角的度数。 思路分析：根据余角定义，余角 = 90° - 已知角。 解题过程： 90° - 35° = 55° 答案：55° 例题 7：补角计算 已知一个角的补角是 120°，求这个角的度数。 思路分析：设这个角为 x，则 x + 120° = 180°，解方程可得 x。 解题过程： 设这个角的度数为 x。 x + 120° = 180° x = 180° - 120° x = 60° 答案：60° 例题 8：角平分线 已知 ∠AOB = 80°，OC 是 ∠AOB 的平分线，求 ∠AOC 的度数。 思路分析：角平分线将角分成两个相等的角，所以 ∠∠AOB。 解题过程： 因为 OC 是 ∠AOB 的平分线， 所以 ∠∠AOB ∠ ∠AOC = 40° 答案：40° 例题 9：三角板角度 利用一副三角板，能拼出的最大钝角是多少度？ 思路分析：一副三角板的角有 30°、45°、60°、90°。钝角是大于 90° 小于 180° 的角。要拼出最大钝角，应将两个较大的锐角相加。 解题过程： 90° + 60° = 150° 90° + 45° = 135° 60° + 45° = 105° 其中最大的是 150°。 答案：150° 巩固练习 练习 1：角的概念 判断对错：一条射线就是一个周角。 ( ) 答案与解析：错。 周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，它是角，有顶点和两条重合的边，而一条射线只是一个几何图形，没有角的构成要素（顶点和两条边的动态过程）。 练习 2：度分秒换算 将 12°24′36″ 换算成度。 答案与解析： 思路分析：先将秒化成分，再将分化成度。 解题过程： 36″ = 36 ÷ 60′ = 0.6′ 24′ + 0.6′ = 24.6′ 24.6′ = 24.6 ÷ 60° = 0.41° 12° + 0.41° = 12.41° 答案：12.41° 练习 3：角度乘法 计算 15°20′ × 3。 答案与解析： 思路分析：度、分分别乘以 3，分满 60 向度进 1。 解题过程： 15°20′ × 3 = 15° × 3 + 20′ × 3 = 45° + 60′ = 45° + 1° = 46° 答案：46° 练习 4：角度除法 计算 175° ÷ 4。 答案与解析： 思路分析：从度开始除，余数化成分继续除，再余数化成秒继续除。 解题过程： 175° ÷ 4 = 43° 余 3° 3° = 3 × 60′ = 180′ 180′ ÷ 4 = 45′ 余 0′ 所以 175° ÷ 4 = 43°45′ 答案：43°45′ 练习 5：方向角 “南偏西 30°” 是从哪个方向为基准，向哪个方向旋转多少度？ 答案与解析：从正南方向为基准，向西旋转 30°。 练习 6：余角补角 一个角的余角是它本身的 2 倍，求这个角的度数。 答案与解析： 思路分析：设这个角为 x，则它的余角为 90° - x，根据题意列方程。 解题过程： 设这个角的度数为 x。 90° - x = 2x 90° = 3x x = 30° 答案：30° 练习 7：余角补角 已知 ∠α = 50°17′，求它的补角的度数。 答案与解析： 思路分析：补角 = 180° - ∠α。 解题过程： 180° - 50°17′ = 179°60′ - 50°17′ = + (60′ - 17′) = 129° + 43′ = 129°43′ 答案：129°43′ 练习 8：角平分线 已知 OC 是 ∠AOB 的平分线，∠AOC = 35°，求 ∠AOB 和 ∠BOC 的度数。 答案与解析： 思路分析：角平分线分角为两个相等的角。 解题过程： 因为 OC 是 ∠AOB 的平分线， 所以 ∠AOC = ∠BOC = 35° ∠AOB = 2∠AOC = 2 × 35° = 70° 答案：∠AOB = 70°，∠BOC = 35° 练习 9：三角板角度 利用一副三角板，能否拼出 160° 的角？为什么？ 答案与解析：不能。 一副三角板能拼出的角是其本身角的和或差，可能的度数有：15°(45-30)、30°、45°、60°、75°(30+45)、90°、105°(60+45)、120°(30+90)、135°(45+90)、150°(60+90)、180°(90+90)等。160° 不在这些可能的度数范围内。 练习 10：角度综合计算 计算：(45°30′ - 15°40′) × 2 答案与解析： 思路分析：先算括号内的减法，再算乘法。 解题过程： 45°30′ - 15°40′ = 44°90′ - 15°40′ = + (90′ - 40′) = 29° + 50′ = 29°50′ (29°50′) × 2 = 29° × 2 + 50′ × 2 = 58° + 100′ = 58° + 1°40′ = 59°40′ 答案：59°40′ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 角 学习目标 1. 理解角的概念，掌握角的四种表示方法。 2. 掌握角的分类，能区分锐角、直角、钝角、平角和周角。 3. 理解角度制的意义，掌握度、分、秒之间的换算。 4. 熟练进行角度的四则运算（加、减、乘、除）。 5. 学会比较两个角的度数大小。 6. 理解方向角的概念，能正确描述物体的方向角。 7. 掌握利用一副三角板拼出不同角度的方法，并能进行相关计算。 8. 理解角平分线的概念，并能进行相关角度计算。 9. 理解余角和补角的概念，掌握其性质并能进行相关计算。 知识点讲解 一、角的概念与表示方法 1. 角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 2. 角的表示方法： · 方法一：用三个大写字母表示。例如，顶点为 O，两边分别为射线 OA、OB 的角，可表示为 ∠AOB（顶点字母 O 必须写在中间）。 · 方法二：用一个大写字母表示。当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点字母表示。例如，∠O。 · 方法三：用一个数字表示。例如，∠1、∠2。 · 方法四：用一个希腊字母表示。例如，∠α（阿尔法）、∠β（贝塔）、∠γ（伽马）。 二、角的分类 根据角的度数大小，角可以分为以下几类： · 锐角：大于 0° 且小于 90° 的角。 （0° < 锐角 < 90°） · 直角：等于 90° 的角。 （直角 = 90°） · 钝角：大于 90° 且小于 180° 的角。 （90° < 钝角 < 180°） · 平角：等于 180° 的角。 （平角 = 180°） · 周角：等于 360° 的角。 （周角 = 360°） 三、角的单位和角度制 1. 基本单位：度（°）、分（′）、秒（″）。 2. 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制度叫做角度制。 3. 换算关系： · 1 周角 = 360° · 1 平角 = 180° · 1 直角 = 90° · 1° = 60′ （1 度等于 60 分） · 1′ = 60″ （1 分等于 60 秒） · 1° = 3600″ （1 度等于 3600 秒） 四、角度的四则运算 1. 加减法： · 度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减。 · 相加时，满 60 向高一级单位进 1。 · 相减时，若某一级单位不够减，从高一级单位借 1 当 60，再减。 2. 乘法： · 分别用度、分、秒乘以乘数。 · 然后从秒开始，满 60 向高一级单位进 1。 3. 除法： · 从度开始除，得到的商的整数部分为度。 · 余数部分乘以 60 化成分，再除以除数，得到的商的整数部分为分。 · 余数部分再乘以 60 化成秒，再除以除数，得到的商的整数部分为秒（通常秒的余数可四舍五入或保留）。 五、角的度数大小比较 角的度数大小比较与正数的大小比较方法相同。 · 可以直接比较度数的数值。度数越大，角越大。 · 例如：30° < 45°，90° > 60°，180° = 180°。 六、方向角的表示 1. 定义：方向角是从正北或正南方向为基准，描述物体运动方向的角。 2. 表示方法： · 通常表示为“北偏东（西）××度”或“南偏东（西）××度”。 · 例如：北偏东 30°，表示从正北方向开始，向东旋转 30° 的方向。 · 南偏西 45°，表示从正南方向开始，向西旋转 45° 的方向。 · 当角度为 45° 时，也可以说成“东北方向”（北偏东 45°）、“西北方向”（北偏西 45°）、“东南方向”（南偏东 45°）、“西南方向”（南偏西 45°）。 · 注意：一般不说“东偏北××度”或“西偏南××度”，除非角度接近 90°，但小学阶段通常以南北为基准。 七、三角板中角度计算问题 一副标准的三角板有两个： · 一个三角板的三个角分别是：30°、60°、90°。 · 另一个三角板的三个角分别是：45°、45°、90°。 通过将这两个三角板的角进行拼接（相加）或重叠（相减），可以得到一些特定的角度。例如：75°（30°+45°）、105°（60°+45°）、15°（45°-30°）等。 八、角平分线的有关计算 1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 性质：若 OC 是 ∠AOB 的平分线，则 ∠AOC = ∠∠AOB，或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB。 九、余角补角的有关计算 1. 余角：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。 · 性质：同角（或等角）的余角相等。 · 若 ∠1 + ∠2 = 90°，则 ∠1 与 ∠2 互余；反之亦然。 · ∠α 的余角 = 90° - ∠α。 2. 补角：如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。 · 性质：同角（或等角）的补角相等。 · 若 ∠3 + ∠4 = 180°，则 ∠3 与 ∠4 互补；反之亦然。 · ∠β 的补角 = 180° - ∠β。 例题解析 例题 2：度分秒换算 将 3.25° 换算成度分秒的形式。 例题 3：角度加法 计算 38°25′ + 42°48′。 例题 4：角度减法 计算 90° - 36°45′。 例题 5：方向角 “北偏东 60°” 是什么意思？ 例题 6：余角计算 已知一个角的度数是 35°，求它的余角的度数。 例题 7：补角计算 已知一个角的补角是 120°，求这个角的度数。 例题 8：角平分线 已知 ∠AOB = 80°，OC 是 ∠AOB 的平分线，求 ∠AOC 的度数。 例题 9：三角板角度 利用一副三角板，能拼出的最大钝角是多少度？ 巩固练习 练习 1：角的概念 判断对错：一条射线就是一个周角。 ( ) 练习 2：度分秒换算 将 12°24′36″ 换算成度。 练习 3：角度乘法 计算 15°20′ × 3。 练习 4：角度除法 计算 175° ÷ 4。 练习 5：方向角 “南偏西 30°” 是从哪个方向为基准，向哪个方向旋转多少度？ 练习 6：余角补角 一个角的余角是它本身的 2 倍，求这个角的度数。 练习 7：余角补角 已知 ∠α = 50°17′，求它的补角的度数。 练习 8：角平分线 已知 OC 是 ∠AOB 的平分线，∠AOC = 35°，求 ∠AOB 和 ∠BOC 的度数。 练习 9：三角板角度 利用一副三角板，能否拼出 160° 的角？为什么？ 练习 10：角度综合计算 计算：(45°30′ - 15°40′) × 2 学科网（北京）股份有限公司 $