精品解析：甘肃省张掖市肃南裕固族自治县康乐明德学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

人教版2025—2026学年度九年级9月月考押题卷 数学 考试范围：一元二次方程；考试时间：100分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 4，3，2 B. 4，﹣3，2 C. 4，﹣3，﹣2 D. 4，3，﹣2 3. 如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k＞﹣ B. k＞﹣且k≠0 C. ﹣且k≠0 D. k且k≠0 4. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 5. 某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 某新开楼盘今年1月房价为每平方米万元，2月房价比1月下降了，3，4两个月连续增长，4月房价达到每平方米万元．设3，4两个月房价的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若某三角形两边的长分别等于方程的两个实数根，则这个三角形的第三边长可能是（　　） A. 5 B. 10 C. 13 D. 14 8. 对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 9. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（　　） A. B. C. D. 10. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 将方程化为的形式后，______，______，______． 12. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于________． 13. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每下降1元，销售量增加10个．商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设定价为元，可列方程为 __． 14. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围为______． 15. 若关于x的方程有实数根，则k的最大整数值为 _____． 16. 已知关于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的两根分别是x1、x2，且x1·x2，则k的值是_____． 17. 绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了272件．若设全组有名同学，则根据题意列出方程为_______． 18. 已知：m、n是方程的两根，则_____． 19. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 20. 如图，在等边三角形中，E为反向延长线上一点且，F为线段上一点且，则F到直线和直线距离之和为________ 三、解答题 21. 解方程：． 22. 解下列方程 （1）2x2-4x+1=0， （2）(x-1)2-2x(x-1)=0． 23. 某旅游景点9月30日接待游客1.2万人次，10月2日接待游客2.7万人次． （1）求今年9月30日到10月2日，该景点接待游客的日平均增长率； （2）由于暴雨天气，该景点10月3日接待游客人次比10月2日减少了，10月4日天气放晴，接待游客人次比10月3日增加了6a%，又因假期即将结束，10月5日接待游客人次比10月4日减少了a%，即使这样，10月5日接待游客人次还是比9月30日增加了50%，求a的值． 24. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地． （1）若矩形场地的面积为，求的长； （2）该矩形场地的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 25. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为6，且恰好是这个方程的一个根，求的周长． 26. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率； （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过元的情况下，如果每天要盈利元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025—2026学年度九年级9月月考押题卷 数学 考试范围：一元二次方程；考试时间：100分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系．根据题意，得到，代入求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 2. 方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 4，3，2 B. 4，﹣3，2 C. 4，﹣3，﹣2 D. 4，3，﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程找出二次项的系数，一次项系数及常数项即可． 【详解】解：方程4x2﹣3x﹣2=0中二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，﹣3，﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k＞﹣ B. k＞﹣且k≠0 C. ﹣且k≠0 D. k且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k2≠0，且△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围即可． 【详解】解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0． 解得k≥-且k≠0． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 5. 某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设九年级共有x个班，根据“每两班之间都进行两场比赛，且共需安排12场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出九年级的班级数． 【详解】解：设九年级共有x个班， 依题意得： x（x-1）=12， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 某新开楼盘今年1月房价为每平方米万元，2月房价比1月下降了，3，4两个月连续增长，4月房价达到每平方米万元．设3，4两个月房价的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出2月房价为万元，设3，4两个月房价的月平均增长率为，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵今年1月房价为每平方米万元，2月房价比1月下降了， ∴2月份的房价为万元， 设3，4两个月房价的月平均增长率为，依题意，得： , 故选：B． 7. 若某三角形两边的长分别等于方程的两个实数根，则这个三角形的第三边长可能是（　　） A. 5 B. 10 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边关系定理判断即可． 【详解】解方程得： ∴这个三角形第三边的取值范围是 这个三角形的第三边长可能是10 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出一元二次方程的解是解此题的关键． 8. 对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】解：由题意得：，即， 方程有两个相等的实数根， 此方程根的判别式， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据新定义求出是解题关键． 9. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别表示出2月5日和2月6日的销量，进而相加得出等式即可． 【详解】解：根据题意可得： 2月5日的销量为：， 2月6日的销量为：， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出2月5日和2月6日的销量是解题关键． 10. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“限根方程”．熟练掌握新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分类讨论，是解题关键． ①当时，该方程是；得到方程的根为 ，，得到，该方程是“限根方程”， ①正确；②解该一元二次方程，得出，，或，．再根据此方程为“限根方程”，即此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，当，时，根据，得到，整数m不存在；当，时，得到，整数m不存在．②错误． 【详解】解：①当时，原方程为： ， 解得 ， ， ∴ ， ∵， ∴该方程是“限根方程”； ∴ ①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，，或，． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 当，时， ∵， ∴， 解得：， ∵m只是一个整数， ∴m值不存在； 当，时，， 解得：， ∴m值不存在． 综上所述，m的值不存在． ∴②错误． ∴①正确，②错误． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 将方程化为的形式后，______，______，______． 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是，本题通过移项化为一般形式，再确定各项系数． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为：1；2； 12. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义把m代入方程中即可得解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每下降1元，销售量增加10个．商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设定价为元，可列方程为 __． 【答案】 【解析】 【分析】利用销售利润售价进价，根据题中条件可以列出利润与的关系式，即可列出方程． 【详解】解：由题意，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是理解题意，表示出涨价后的销量、价格及利润，由等量关系列出方程． 14. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断，即可求出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得：； ∴的取值范围为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b24ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 15. 若关于x的方程有实数根，则k的最大整数值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】由方程有两个实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值．本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的特殊解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 16. 已知关于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的两根分别是x1、x2，且x1·x2，则k的值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根得到Δ＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可，再根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】解：∵原方程有实数根， ∴b2﹣4ac≥0 ∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0 ∴k≤1 ∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x1+x2＝2，x1•x2＝2k﹣1 又∵， ∴ ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（x1•x2）2 ∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2 解之，得：，． 经检验，都符合原分式方程的根 ∵k≤1 ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大． 17. 绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了272件．若设全组有名同学，则根据题意列出方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由绘画兴趣小组的人数，可得出每名同学需赠送件水墨画作品，结合全组共互赠了272件水墨画作品，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，且全组有x名同学， ∴每名同学需赠送件水墨画作品． 根据题意得：． 故答案为：． 18. 已知：m、n是方程的两根，则_____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据m、n是方程的两根，即可得到，，，，从而得到，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键． 19. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，根据方程解得到，进而得到，根与系数的关系得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2025． 20. 如图，在等边三角形中，E为反向延长线上一点且，F为线段上一点且，则F到直线和直线距离之和为________ 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，过点作，于点，过点作于点，先证明，再导角得到，则，在中，由勾股定理得，，设，则，在中，由勾股定理得，再解方程即可． 【详解】解：延长至点，使得，过点作，于点，过点作于点， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：或（舍）， ∴， ∵， 而， ∴， ∴F到直线和直线距离之和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，难度较大，运用面积法求解是解题的关键． 三、解答题 21. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 变形得，， 因式分解得，， ∴或， 解得， 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 22. 解下列方程 （1）2x2-4x+1=0， （2）(x-1)2-2x(x-1)=0． 【答案】（1）；（2）x1=1，x2=-1． 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）2x2-4x+1=0， ∵a=2，b=-4，c=1， ∴Δ=（-4）2-4×2×1=8＞0， ∴x=， ∴x1=，x2=； （2）(x-1)2-2x(x-1)=0， 因式分解得：(x-1)(x-1-2x)=0，即(x-1)(-x-1)=0， ∴x-1=0或-x-1=0， ∴x1=1，x2=-1． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 23. 某旅游景点9月30日接待游客1.2万人次，10月2日接待游客2.7万人次． （1）求今年9月30日到10月2日，该景点接待游客的日平均增长率； （2）由于暴雨天气，该景点10月3日接待游客人次比10月2日减少了，10月4日天气放晴，接待游客人次比10月3日增加了6a%，又因假期即将结束，10月5日接待游客人次比10月4日减少了a%，即使这样，10月5日接待游客人次还是比9月30日增加了50%，求a的值． 【答案】（1）该景点接待游客的日平均增长率为50％；（2）a的值为10． 【解析】 【分析】（1）设景点接待游客的日平均增长率为x，根据9月30日和10月2日接待游客的人数列出方程求解即可； （2）根据“10月5日接待游客人数还是比9月30日增加了50%”列方程求解． 【详解】（1）设景点接待游客的日平均增长率为x，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：景点接待游客的日平均增长率为50%； （2）根据题意得： ， 解得：，（舍去） 答：a的值是10． 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的等量关系并列出方程式解题的关键． 24. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地． （1）若矩形场地的面积为，求的长； （2）该矩形场地的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为或 （2） 解：矩形场地的面积不能为，理由如下： 假设矩形场地的面积为，设，则， 由题意得：， 整理得：， ， ∴该方程无实数根， ∴假设不成立， ∴矩形场地的面积不能为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意建立方程是解题的关键． （1）设，则，由矩形面积公式建立一元二次方程求解即可； （2）设，则，假设矩形场地的面积为，由矩形面积公式建立一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． 【小问1详解】 解：设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：的长为或； 【小问2详解】 略 25. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为6，且恰好是这个方程的一个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，这个方程总有实数根； （2）14 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=（m-3）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）将x=6代入原方程可求出m值，代入m值解方程即可求出b、c的长度，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出△ABC的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当方程的一根为6时，将代入原方程，得：， 解得：， ∴原方程为， 解得：，． ∵2、6、6能组成三角形，2、2、6不能构成三角形， ∴该三角形的周长为2+6+6=14． 【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）代入x=6求出m值． 26. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率； （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过元的情况下，如果每天要盈利元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 【答案】（1）该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为； （2）每副乒乓球拍应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为x，利用8月销售量6月销售量增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设平均每月增长率为x， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 答：该增长率为； 【小问2详解】 解：设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副， 根据题意得：， 即， 解得：或（舍去）， 答：每副乒乓球拍应降价元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $