精品解析：广东省深圳市龙华区2019-2020学年第一学期九年级期中联考数学试卷

深圳市龙华区2019－2020学年第一学期九年级期中联考数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的常数项是( ) A. ﹣5 B. 2 C. 3 D. 5 2. 方程的解的是( ) A. B. C. D. 3. 若（x，y均不为0），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程，用配方法解该方程，则配方后方程是（ ） A. B. C. D. 7. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角相等 D. 对角线相等 8. 天虹商场一月份鞋帽专柜营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一月至三月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C D. 9. 如图，若，则有（ ） A B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点B的坐标为 ，则反比例函数解析式为（ ） A. B. C. D. 11. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 其图象分别位于第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 函数的图象关于原点对称，关于直线、对称 D. 如果点在它的图象上，则点不在它的图象上 12. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 已知是的解，则_______． 14. 两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，则两三角形面积之比为_____． 15. 如图，在矩形中，与相交于O，，垂足为E，是的垂线，已知，，则_____． 16. 如图，正方形边长为2，点E为对角线上一点，连接，连接并延长到F，使与相交于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_______．（填写序号） 三、解答题（共52分） 17. 解方程：． 18. 解方程： 19. 已知y是x的反比例函数，下表给出x和y对应的值，解答下列问题： x y 6 （1）将表格填写完整，在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （2）在（1）中的直角坐标系中画出直线的图象，通过计算求出两个函数图象的交点坐标，并在坐标系中用字母A、B准确的标出交点所在的位置． 20. 如图，在中，于D． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预计这种苹果的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元，同时，平均每天有3千克的苹果损坏不能出售，而且这种苹果在冷库中最多保存90天． （1）若李明将这批苹果存放x天后一次性出售，则x天后这批苹果的销售单价为 元，销售量为 千克（用含x的代数式表示）； （2）这次销售李明共获得利润12000元，求这批苹果存放多少天后出售的？ 23. 如图，经过点的直线l与双曲线交于点，过点作x轴的平行线分别交双曲线和于点C、D． （1）k＝ ，直线l的表达式： ； （2）若点P的纵坐标为4，求证：； （3）是否存在实数m，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市龙华区2019－2020学年第一学期九年级期中联考数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的常数项是( ) A. ﹣5 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a，b，c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的常数项是﹣5， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 方程的解的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】， ． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 3. 若（x，y均不为0），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，正确将比例式变形是解题的关键． 直接利用比例的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A．，则，故此选项错误； B．，则，故此选项错误； C．，则，故此选项错误； D．，则，故此选项正确； 故选：D． 4. 若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已反比例函数图象经过某点，利用代入法求系数，再根据函数解析式分析是否经过所给的点. 通过已知条件求出，即函数解析式，然后将选项逐个代入验证即可得. 【详解】解：由题意将代入得，解得， 故反比例函数解析式为， 将每个选项代入函数解析式可得，只有选项A的符合， 故选：A. 5. 如图，矩形中，对角线相交于点O，如果，那么度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质证得，根据等腰三角行的性质和三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 已知一元二次方程，用配方法解该方程，则配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程移项得，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方1，即可得出结论. 【详解】解：方程移项，得： ， 等式两边同时加上1，得： ，即： ， 故答案为B. 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程.配方法的一般步骤： (1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为1； (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 7. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角相等 D. 对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的性质，解题的关键是掌握菱形和矩形的性质． 利用菱形和矩形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，该选项符合题意； B.矩形和菱形的对角线都互相平分，该选项不符合题意； C.菱形和矩形都具有对角相等的性质，该选项不符合题意； D. 菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，该选项不符合题意； 故选：A． 8. 天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一月至三月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一到三月每月平均增长率为x，根据一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元，列出方程即可． 【详解】解：设一到三月每月平均增长率为x，根据题意得： ． 故选：B． 9. 如图，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及其推论，熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，明确线段之间的对应关系是解答的关键． 根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，列出比例等式，对比选项即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项D正确，符合题意， 故选：D． 10. 如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点B的坐标为 ，则反比例函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式、直角三角形的性质、菱形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键．过点C作轴于D，根据题意和菱形的性质得到和，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得和，得到点C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式． 【详解】解：过点C作轴于D，如图， ∵菱形中，点，， ∴菱形的边长为6，即，， ∴中，，， ∴，， ∴， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为， 故选：D． 11. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 其图象分别位于第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 函数的图象关于原点对称，关于直线、对称 D. 如果点在它的图象上，则点不在它的图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 利用反比例函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由得，其图象分别位于第二、四象限，该选项错误，不符合题意； B.在每个象限内，y随x的增大而增大，该选择错误，不符合题意； C.该选项正确，符合题意； D. 如果点在它的图象上，则，点的坐标也满足， 所以，点也在它的图象上，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 12. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3， ∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵∠B＝∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2﹣10a+9＝0， ∴a＝9或1（舍去）， ∴AB＝9， 故选：B． 【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接AC证明△ABC是等边三角形是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 已知是的解，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的解求参数，解题的关键是掌握方程解的意义． 将方程的解代入方程，然后求参数即可． 【详解】解：将代入得， 解得， 故答案为：1． 14. 两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，则两三角形面积之比为_____． 【答案】16：81 【解析】 【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结果． 【详解】∵两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，∴两个相似三角形相似比为4：9，∴两个相似三角形的面积之比为16：81． 故答案为：16：81． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质；熟练掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，与相交于O，，垂足为E，是的垂线，已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键，先由矩形的性质及是的垂线证得及，可判定，从而可得比例式，求得的值，再证明垂直平分，进而判定为等边三角形，从而求得，然后由勾股定理求得答案即可． 【详解】解：∵是的垂线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的中点， 又∵是的垂线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为2，点E为对角线上一点，连接，连接并延长到F，使与相交于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积比，勾股定理等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 通过证明即可判断①；如图1，连接，在上取一点，使得， 通过证明是等边三角形，是等边三角形，继而证明，再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可判断②；如图2，作于点，在上取一点，使得，求得，继而利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得长，再利用三角形的面积公式进行求解即可判断③；如图3，作于点，于点，由同高三角形的面积比等于底边之比结合图2分别求出长，继而进行求解即可判断④． 【详解】①∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②如图1，连接，在上取一点，使得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴，故②正确； ③如图2，作于点在上取一点，使得， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， 解得， ∴，故③正确； ④如图3，作于点，于点， ∵， ∴， ∴， ∵，（见图2） ，（见图2） ∴， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 三、解答题（共52分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：, , , 或, ． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∵ ∴ 即． 19. 已知y是x的反比例函数，下表给出x和y对应的值，解答下列问题： x y 6 （1）将表格填写完整，在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （2）在（1）中的直角坐标系中画出直线的图象，通过计算求出两个函数图象的交点坐标，并在坐标系中用字母A、B准确的标出交点所在的位置． 【答案】（1）表格见解析，图象见解析 （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数解析式；用到的知识点为：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标适合函数解析式． （1）让x与y的乘积为计算可得表格中未知的值；根据表格中的数据描点，连线． （2）解析式联立，解方程组即可求得交点A、B的坐标． 【小问1详解】 解：设反比例解析式为， ∵时，，则； 表格填写完整： x 2 y 2 6 画出函数图象如图： 【小问2详解】 解：画直线的图象： 列表： x ⋯ 0 ⋯ y ⋯ 0 ⋯ 描点，连线，如图， 联立方程组， 解得，， ∴，． 20. 如图，在中，于D． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，然后利用相似比可得到结论； （2）由，得到，则可求出，然后利用勾股定理计算出CD的长． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ，， ， ， 即． 【小问2详解】 解：由（1）知， ，， ，解得或（舍去）， ， 所以的长为． 21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）根据矩形性质求出，推出，，证，推出，得出平行四边形，推出菱形； （2）根据菱形性质求出，在中，根据勾股定理得出，替换为，求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，∵ ∴， 解得：， 即：长为． 22. 红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预计这种苹果的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元，同时，平均每天有3千克的苹果损坏不能出售，而且这种苹果在冷库中最多保存90天． （1）若李明将这批苹果存放x天后一次性出售，则x天后这批苹果的销售单价为 元，销售量为 千克（用含x的代数式表示）； （2）这次销售李明共获得利润12000元，求这批苹果存放多少天后出售的？ 【答案】（1）， （2）存放40天后出售 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，较难的是题（2），正确建立方程是解题关键． （1）根据“这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨元”可得出销售单价，再根据 “平均每天有3千克的苹果损坏不能出售”可得销售量； 设这批苹果存放了天后出售，根据“利润=销售量销售单价成本单价收购总量冷库存放的费用”建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨元， 天后这批苹果的销售单价为元， 平均每天有3千克的苹果损坏不能出售， 天后这批苹果的销售量为千克， 故答案为：，； 【小问2详解】 设这批苹果存放了天后出售，则， 由题意得：， 解得（不符题意，舍去）， 答：这批苹果存放了40天后出售． 23. 如图，经过点的直线l与双曲线交于点，过点作x轴的平行线分别交双曲线和于点C、D． （1）k＝ ，直线l表达式： ； （2）若点P的纵坐标为4，求证：； （3）是否存在实数m，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）存在实数或使得 【解析】 【分析】（1）将点B的坐标代入即可得出k的值，设直线l的解析式为，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得和b即可得出直线l的解析式； （2）根据点P在直线上，求出点P的坐标，再证明即可； （3）先假设存在，利用．求得m的值，看是否符合要求． 【小问1详解】 解：∵在双曲线上， ∴， 设直线l的解析式为， 则， 解得， ∴直线l的解析式为； 故答案为：；． 【小问2详解】 证明：∵点，点P在直线上， ∴， 解得， ∴，，，且点P在直线上，A，B，P共线， ∴，，，， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：存在实数m，使得． ①如图2中，当点P在之间，时． ∵， ∴点C、D的纵坐标都为， 将代入和， 得和， ∴C、D的坐标分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 整理，得， 解得：， ∵， ∴， ②当时，如图3中， 同法可得：，， ∵， ∴， ∴ 整理，得， 解得， ∵， ∴， ∴存在实数或使得． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的 解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考压轴题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $