第一章 因式分解自我评估 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学八年级上册

第一章 因式分解自我评估 （满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是 （　　） A. （x + 4）（x - 4） = x2 - 16 B. x2 - y2 - 1 = （x + y）（x - y） - 1 C. x2 - 4xy + 4y2 = （x - 2y）2 D. x2 - 2x + 1 = x（x - 2） + 1 2. 多项式6ab2x - 3a2by + 12a2b2的公因式是 （　　） A. 3aby B. 3a2b C. 3ab D. 3abx 3. 把多项式（x + 2）（x - 2） + （x - 2）提取公因式（x - 2）后，余下的部分是 （　　） A. x + 1 B. x + 3 C. 2x D. x + 2 4. 下列多项式：①3x2 + 3y2；② - x2 + y2；③ - x2 - y2；④x2 + xy + y2；⑤x2 + 2xy - y2；⑥ - x2 + 4xy - 4y2. 其中能用公式法因式分解的有 （　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 一个多项式因式分解的结果是x（x - 2）²，则该多项式为 （　　） A. x² - 2x B. x3 - 2x² C. x2 - 4x + 4 D. x3 - 4x² + 4x 6. 小东的爸爸看完第十九届杭州亚运会比赛后，给小东出了这么一道题：若一个长方形游泳池的面积是（x2 - 64）平方米，其长为（x + 8）米，则它的宽为 （　　） A. （x + 8）米 B. （x - 8）米 C. （x + 64）米 D. （x - 64）米 7. 下列因式分解正确的是 （　　） A. 4a2 - b2 = （4a + b）（4a - b） B. a2 + ab + a = a（a + b） C. 2a2 - 4a + 2 = 2（a - 1）2 D. a3b - ab3 = ab（a - b）2 8. 已知多项式a2 + b2 + M可以在有理数范围内运用平方差公式因式分解，则单项式M可以是 （　　） A. 2ab B. - 2ab C. - 3b2 D. - 10b2 9. 已知xy = 2，x - 3y = 3，则2x3y - 12x2y2 + 18xy3的值为 （　　） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 10. 已知a = 2023x + 2022，b = 2023x + 2023，c = 2023x + 2024，则a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc的值是 （　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： - a2 + 5ab2 = ____________. 12. 因式分解：2024x2 - 4048x + 2024 = ____________. 13. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x + 1），请你写出一个符合条件的多项式：____________. 14. 小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：（x＋2）（x +☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），则□ = ____________，☆____________. 15. 若x2 + （3 - m）x + 25可以用完全平方公式来因式分解，则m的值为____________. 16. RSA129是一个129位利用代数知识产生的数字密码.曾有人认为，RSA129是有史以来最难的密码系统，涉及数论里因数分解的知识.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式，因式分解的结果是·（x + y）（x2 + y2），若取x = 9，y = 9时，则各个因式的值是：x－y = 0，x + y = 18，x2 + y2 = 162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取x = 10，y = 10时，用上述方法产生的密码是____________.（写出一个即可） 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17. （每小题2分，共4分）因式分解： （1）a2 + 7ab + 2ab2； （2）a2（m - 2） - b2（m - 2）. 18. （每小题2分，共4分）因式分解： （1）3m3 - 6m2n + 3mn2； （2）（x + 4）（x + 5） + . 19. （6分）利用因式分解计算： （1）5352 × 4 - 4652 × 4； （2）2 × 1012 + 2 × 101 × 98 + 2 × 492. 20. （6分）给出三个多项式：2x2 + 4x - 1，2x2 + 8x + 1，2x2 - 4x.请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解. 21. 利用因式分解解答下列各题： （1）当x = ，y = 时，求代数式2x（x + 2y）2 - （2y + x）2·（x - 2y）的值； （2）试说明32026 - 2 × 32025 + 8 × 32024能被33整除. 22. 下面是某同学对多项式（x2-3x+4）（x2-3x+6）+1进行因式分解的过程． 解：设x2-3x=m. 原式=（m+4）（m+6）+1 （第一步） =m2+10m+25 （第二步） =（m+5）2 （第三步） =（x2-3x+5）2. （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （　　） A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 完全平方公式 （2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； （3）因式分解：_________________．（在横线处直接写出因式分解的结果） 23. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“崇德尚美数”. 如：4 = 22 - 02，12 = 42 - 22，20 = 62 - 42，因此4，12，20这三个数都是“崇德尚美数”. （1）判断：36____________“崇德尚美数”；（填“是”或“不是”） （2）设两个连续偶数为2k + 2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是4的倍数吗？为什么？ 24. 阅读材料： 形如a2 ± 2ab + b2的式子叫做完全平方式.有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做“配方法”.配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用. （1）用配方法因式分解：a2 + 6a + 8. 解：原式 = a2 + 6a + 9 - 1 = （a + 3）2 - 1 = （a + 3 - 1）（a + 3 + 1） = （a + 2）（a + 4）. （2）用配方法求代数式a2 + 6a + 8的最小值. 解：原式 = a2 + 6a + 9 - 1 = （a + 3）2 - 1. 因为（a + 3）2 ≥ 0，所以（a + 3）2 - 1 ≥ - 1. 所以a2 + 6a + 8的最小值为 - 1. 解决问题： （1）因式分解：a2 - 12a + 32 = ____________； （2）用配方法求代数式4x2 + 4x + 5的最小值； 拓展应用： （3）若实数a，b满足a2 - 5a - b + 7 = 0，则a + b的最小值为____________. 第一章　因式分解自我评估 一、1. C　2. C　3. B　4. A　5. D　6. B　7. C　8. D　9. D 10. D　解析：a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = [2（a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc）] = （2a2 + 2b2 + 2c2-2ab-2ac-2bc） = [（a2-2ab + b2） + （a2-2ac + c2） + （b2-2bc + c2）] = [（a-b）2 + （a-c）2 + （b-c）2] = [（-1）2 + （-2）2 + （-1）2] = 3.　 二、11. - a（a - 5b2）　12. 2024（x - 1）2 13. x2 - 1（答案不唯一）　14. - 1　- 3 15. - 7或13　16. 101030（答案不唯一） 三、17. 解：（1）原式 = a（a + 7b + 2b2）； （2）原式 = （m - 2）（a2 - b2） = （m - 2）（a + b）· （a - b）. 18. 解：（1）原式 = 3m（m2 - 2mn + n2） = 3m（m - n）2. （2）原式 = x2 + 9x + 20 + = x2 + 9x + = . 19. 解：（1）原式 = 4 × （5352 - 4652） = 4 × （535 + 465）×（535 - 465） = 4 × 1000 × 70 = 280 000. （2）原式 = 2 × （1012 + 101 × 98 + 492） = 2 × （1012 + 2 × 101 × 49 + 492） = 2 × （101 + 49）2 = 2 × 1502 = 45 000. 20. 解：答案不唯一，如选取2x2 + 4x - 1，2x2 - 4x. （2x2 + 4x - 1） + （2x2 - 4x） = 4x2 - 1 = （2x - 1）·（2x + 1）. 21. 解：（1）2x（x + 2y）2 - （2y + x）2（x - 2y） = （x + 2y）2（2x - x + 2y） = （x + 2y）3. 当x = ，y = 时，原式 = . （2）32026 - 2 × 32025 + 8 × 32024 = 32024 × （32 - 2 × 3 + 8） = 32024 × （9 - 6 + 8） = 32024 × 11. 因为32024 × 11 = 32023 × （3 × 11） = 32023 × 33，所以32026 - 2 × 32025 + 8 × 32024能被33整除. 22. 解：（1）C （2）设x2+2x=y，则原式=y（y+6）+9=y2+6y+9=（y+3）2=（x2+2x+3）2. （3）（x-2）4　解析：设x2-4x+2= z，则原式=z（z+4）+4=z2+4z+4=（z+2）2=（x2-4x+2+2）2=（x2-4x+4）2=［（x-2）2］2=（x-2）4． 23. 解：（1）是　解析：因为36 = 102 - 82，所以36是“崇德尚美数”. （2）由这两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是4的倍数.理由如下：因为（2k + 2）2 - （2k）2 = （2k + 2 + 2k）（2k + 2 - 2k）＝（4k + 2） × 2 = 4（2k + 1），2k + 1是奇数，所以由这两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是4的倍数. 24. 解：（1）（a - 4）（a - 8） 解析：a2 - 12a + 32 = a2 - 12a + 36 - 4 = （a - 6）2 - 4 = （a - 6 + 2）（a - 6 - 2） = （a - 4）（a - 8）. （2）4x2 + 4x + 5 = 4x2 + 4x + 1 + 4 = （2x + 1）2 + 4. 因为（2x + 1）2 ≥ 0，所以（2x + 1）2 + 4 ≥ 4. 所以4x2 + 4x + 5的最小值为4. （3）3　解析：因为a2 - 5a - b + 7 = 0，所以a2 - 4a - a - b + 7 = 0. 所以a + b = a2 - 4a + 4 + 3 = （a - 2）2 + 3. 因为（a - 2）2 ≥ 0，所以（a - 2）2 + 3 ≥ 3. 所以a + b的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $