专题08 直角三角形（期末真题汇编35题，上海专用）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题08 直角三角形 3大高频考点概览 考点01 直角三角形的两个锐角互余 考点02 含30°角的直角三角形 考点03 斜边的中线等于斜边的一半 地 城 考点01 直角三角形的两个锐角互余 一、单选题 1．(24-25八上·上海市西中学·期末)如图，在中，，是高，平分交于点，过作交边于点，交边于点，连接，下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】、∵，， ∴， ∴， 又∵是高， ∴， ∵， ∴，故此选项正确； 、由上可得：， 又由选项得：， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故此选项正确； 、由证明得， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故此选项正确； 、由上可知：，若，则有， 则有，与题意不符，故此选项不一定成立； 故选：． 2．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)下列命题中，逆命题是真命题的为（   ） A．直角都相等 B．若，，则 C．全等三角形的面积相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】D 【分析】本题考查命题的逆命题以及判定命题的真假．分别写出各命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：相等的两个角是直角，为假命题，不符合题意； B、逆命题为：若，则，．取，显然为假命题，不符合题意； C、逆命题为：面积相等的三角形一定全等．显然为假命题，不符合题意； D、逆命题为：若锐角互余的三角形，一定是直角三角形．是真命题，符合题意． 故选：D． 二、填空题 1．(23-24八上·上海松江区·期末)如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 2．(24-25八上·上海市北初级中学·期末)中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键．根据题意，画出°和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系，设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ①当时， ， ； ②当时， ，， ， ， ； 如图2所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ， ， ， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 3．(23-24八上·上海长宁区延安初级中学·期末)如图，在中，，分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 ． 【答案】/55度 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，求出，由直角三角形的性质得到，因此，即可求出．本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，分别是的高和中线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．(24-25八上·上海长宁区·期末)在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中两锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，根据直角三角形中两锐角互余，先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得到，，根据等边对等角得到，最后根据求出结果． 【详解】解：， ， ，P为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 5．(23-24八上·上海普陀区·期末)如图，在中，斜边的垂直平分线交边于点，交边于点，如果，那么 度． 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角， 根据直角三角形的性质可得，根据垂直平分线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 1．(23-24八上·上海北初级中学·期末)如图，在中，是边上的一点，．求证．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证． 【详解】证明：在中，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 地 城 考点02 含30°角的直角三角形 一、单选题 1．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，，是斜边的中线，是斜边的高，如果恰好是边上的中线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得到，即可判断A选项；然后证明出是等边三角形，得到，即可判断B选项；然后利用含角直角三角形的性质即可判断C选项；然后根据勾股定理即可判断D选项． 【详解】解：∵在中，，是斜边的中线， ∴，故A正确； ∵恰好是边上的中线， ∴ ∵是斜边的高， ∴ ∴垂直平分 ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴，故B正确； ∵ ∴ ∴，故C正确； ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴，故D错误． 故选：D． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】A 【分析】证明是直角三角形，，过点E作于点H，得到，即可判断选项B正确；由是边上的中线得到，则点在线段的垂直平分线上，即可判断选项C正确；由，得到，即可判断选项D正确；如果，则，证明，则，得到是等边三角形，则，与已知矛盾，即可判断A错误． 【详解】解：∵中， ∴， ∴是直角三角形，， 过点E作于点H， ∵是的角平分线，， ∴， ∴点到的距离等于线段的长度， 故选项B正确； ∵是边上的中线， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D正确； 如果，则，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴错误， 故选项A错误， 故选：A 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 二、填空题 1．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，已知等腰中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点．如果直线与直线的夹角为，那么面积的值等于 ． 【答案】或 【分析】由等腰直角三角形求出，，进而根据旋转轨迹分类讨论，利用30度所对的直角边是斜边的一半求解即可． 【详解】解：设直线与直线交点为D， ∵等腰中，，． ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ①当时，如图， ∴， 过作于点M， ∴， ∴； ②当时，如图， ∴过作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，面积的值等于或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、含有的直角三角形、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，，是的垂直平分线，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先由线段垂直平分线的性质得到，再由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理用表示出，据此根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图1，已知直角三角形中，为直线上的两点，且．设E、F两点的距离为与重叠部分的面积为，图2是关于的函数的图象．根据两图信息，图2中段函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】由M的坐标为得到，且点F和点B重合，求出， ，进一步得到，，，则，，当点E运动到点A时，与重叠部分的面积为达到最大值，此时则，，即点N的坐标为，得到时，，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，点M的坐标为，即当时，， 则此时，且点F和点B重合，即， ∴， ∴， 即，解得， 则， ∵ ∴， ∴，， 当点E运动到点A时，与重叠部分的面积为达到最大值， ∵． ∴此时， 此时， 即点N的坐标为， 当时，， 即段函数的解析式是 故答案为： 【点睛】此题考查了从函数图象获取信息，求函数解析式，等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，从函数图象获取正确的信息是解题的关键． 4．(24-25八上·上海黄浦区·期末)将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于 ． 【答案】/ 【分析】过点C作于点F，根据直角三角形的性质得出，，，证明为等边三角形，得出，求出，得出，根据三角形面积公式求出． 【详解】解：过点C作于点F，如图所示： 根据三角尺的特点可知：，，， ∵为中点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直角三角形的性质． 三、解答题 1．(24-25八上·上海实验学校东校·期末)在中，，点是斜边中点，作，交直线于点． (1)若，求线段的长； (2)当点在线段上时，设，求关于的函数解析式； (3)若，求的长． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）根据点是斜边中点，，得到是线段的垂直平分线，于是得到，，结合，，得到，，于是得到，根据得线段，解答即可； （2）根据题意，得，且，结合，得到，利用勾股定理，解答即可； （3）根据，分点E在上或延长线上，得到或，利用勾股定理求的长． 【详解】（1）解：∵点是斜边中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵点是斜边中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得． 故关于的函数解析式． （3）解：如图2，当点E在上， ∵， ∴， ∴． 故的长为． 如图3，当点E在的延长线上， ∵， ∴， ∴． 故的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，函数的应用，熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 2．(24-25八上·上海奉贤区·期末)如图，在等腰中，，，为线段上一点，，过点作，垂足为点，点为线段中点，，交于点，连接、． (1)当时，求的长； (2)过点作，垂足为点，与相交于点． ①若，，求关于的函数解析式； ②在（1）的条件下，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，是等腰直角三角形，求出，然后得到，，进而求解即可； （2）①如图所示，过点N作交于点M，表示出，，然后得到，，然后求出，设，则，表示出，，然后根据表示出，进而求解即可； ②根据题意求出，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴（负值舍去） ∵点为线段中点， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：①如图所示，过点N作交于点M ∵， ∴由（1）得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴设，则 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； ②∵ ∴， ∴的面积． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 3．(24-25八上·上海静安区·期末)如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结． (1)如果 ，求证：； (2)如果，平分求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质，再根据勾股逆定理的判定即可解决问题； （2）先根据垂直平分线的性质得到再根据角平分线的定义可得进而求出再根据直角三角形中角所对的边式斜边的一半即可求解； 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是合理熟练的运用这些知识点。 4．(24-25八上·上海浦东新区进才中学北校·期末)在中，，，点是斜边的中点，作，交直线于点． (1)若，求线段的长； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质得，则，再求出，然后由含角的直角三角形得，即可解决问题； （2）连接，则，在中，由勾股定理得，即，则，再求出即可； （3）分两种情况，①当点在线段上时，②当点在延长线上时，分别求出的长即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ， ， 又垂直平分， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）如图2，连接， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ， ， 关于的函数解析式为； （3）分两种情况： ①当点在线段上时， 由（2）得：， 解得：， ； ②当点在延长线上时，如图3， ， 在中，由勾股定理得：； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形、函数关系式以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理和含角的直角三角形是解题的关键． 5．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)如图，中，，点P是射线上的一点（不与点B重合），是线段的垂直平分线，交与点F，交射线与点E，联结． (1)求的度数； (2)当P是的中点时，求 (3)当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (4)如果 ，求 【答案】(1) (2) (3)， (4)或 【分析】本题主要考查含30度直角三角形，线段垂直平分线．熟练掌握含30度直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质，三角形面积公式，分类讨论，是解题的关键． （1）根据，，可得； （2）由勾股定理求出，由中点求出，由垂直平分线得，设，得，有，解得，，得，过点P作，垂足为H，则，得； （3）由30度的直角三角形得，得，由垂直平分线得，得，即得，定义域：； （4）当点P在线段上时，，代入，得； 当点P在线段的延长线上时，，得，代入，得 ． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵P是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 设， ∵， ∴，， 即， ∴， 即， ∴， ∴， 过点P作，垂足为H， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴定义域：； （4）当点P在线段上时， 由（3）可知，， ∴当时，； 当点P在线段的延长线上时， ， ∴， ∴当时， ． 6．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)如图，平分，垂足分别为点． (1)求证：； (2)如果，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）证明，，进而证明 ，即可得证； （2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：平分，， ， ，； 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知， 平分，， ，， ∵， ，， ， ， ∵在中，， ， ． 7．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，点D在边上，，垂足为E，点G在上，且，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】过点D作于点M，根据三角形内角和定理及等腰三角形的判定推出，求出，则，证明，根据全等三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】证明：如图，过点D作于点M， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴、是直角三角形， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 8．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，已知直线与交于点平分，三角形为等腰三角形，且．点是线段上的一点（不与点重合），点在射线上，满足，连接． (1)求证：； (2)设的面积为，求与的函数解析式． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）如图所示，过点作于点，作于点，则，由角平分线的性质定理可得，结合题意，运用“”证明，得到，由此即可求解； （2）如图所示，过点作于点，由等腰三角形的性质“三线合一”可得，根据含角的直角三角形的性质可得，同理可得，则有，，，结合（1）中的证明可得，，由，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，作于点，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴是中线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理，在中，， ∴，， ∴， ∴，， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是线段上的一点（不与点重合）， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，函数关系的确定，掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，数形结合分析思想是解题的关键． 9．(24-25八上·上海实验西校·期末)把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，，F在同一直线上．，，，，，点P是线段的中点．从图1的位置出发，以的速度沿射线方向匀速运动，如图2，与相交于点Q，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的长； (2)当点A在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中是否存在以为底的等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在运动过程中存在以为底的等腰三角形，此时的值为 【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先根据直角三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据求解即可得； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的长，由此即可得； （3）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得的长，从而可得的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 由题意得：， 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点是线段的中点，， ∴， 当点在线段的垂直平分线上时，则， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴， 所以的值为． （3）解：当点运动到边上，停止运动时，， ∴， 如图，是以为底的等腰三角形，过点作于点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，符合题意， 所以在运动过程中存在以为底的等腰三角形，此时的值为． 地 城 考点03 斜边的中线等于斜边的一半 一、单选题 1．(24-25八上·上海杨浦区·期末)下列命题的逆命题中，真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．关于某一条直线对称的两个三角形全等 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、直角三角形的判定、轴对称、对顶角相等判断即可． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题，故A选项不符合题意； B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，逆命题是一个三角形一边的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故B选项符合题意； C、关于某一条直线对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某一条直线对称，是假命题，故C选项不符合题意； D、对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·上海黄浦区·期末)下列命题中，是假命题的是（   ） A．百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例 B．反比例函数，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小 C．三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 D．直角三角形可以分割成两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，熟知反比例函数的定义，反比例函数的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，是解题的关键．分别根据反比例函数定义和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例，是真命题,不符合题意； B、反比例函数，在同一象限内，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小，原说法错误,是假命题，符合题意； C、三角形三边垂直平分线的交点到该三角形三个顶点的距离相等,该说法正确,是真命题，不符合题意； D、因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以直角三角形可以被斜边上的中线分割成两个等腰三角形，原说法正确,是真命题，不符合题意． 故选：B． 3．(23-24八上·上海宝山区·期末)直角三角形的两条直角边分别为和，那么它斜边上的中线长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，再根熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据勾股定理求出斜边长，据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为和， 斜边长， 它斜边上的中线长是， 故选：D． 二、填空题 1．(24-25八上·上海闵行区·期末)如图，在四边形中，，，，，连接、，取和的中点、，连接，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：5． 三、解答题 1．(24-25八上·上海浦东新区进才中学北校·期末)如图，在平面直角坐标系内，函数和交于、两点，已知． (1)求点的坐标； (2)点在坐标轴上，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据函数图象的中心对称性解答即可； （2）当点C在x轴上时，设，根据，利用两点间距离公式，勾股定理解答即可；当点C在y轴上时，设，根据，利用两点间距离公式，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵函数和交于、两点，． 根据图象的中心对称性，得． （2）解：当点C在x轴上时，设，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴, ∴或， 故点C的坐标为或； 当点C在y轴上时，设，且， ∴或， 故点C的坐标为或． 故点C的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了图象的对称性质，两点间距离公式，直角三角形性质，图象的性质，熟练掌握直角三角形的性质，公式是解题的关键． 2．(24-25八上·上海奉贤区·期末)如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)证明过程见详解． 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等，熟练运用这些知识点是正确解答此题的关键． （1）由为边上的高，证明，都是直角三角形，用证明即可得结论； （2）由得，进而得出是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，进而得，根据，得，等量代换得，即可证明． 【详解】（1）证明：为边上的高， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， 即是直角三角形， 为边上的中点， ， ， ， ， ， ． 3．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． (1)求证：； (2)取边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质： （1）勾股定理逆定理，结合完全平方公式进行判定即可； （2）延长交于点G，证明，，得到，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得证． 【详解】（1）证明：， ． （勾股定理的逆定理）； （2）证明：延长交于点G， ，， ． 又， ． ， ． ． ． ． 又，， ． ． 又， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． 4．(23-24八上·上海松江区·期末)已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求的度数． 【答案】 【分析】根据题意可得是直角三角形，，在中，由勾股定理可得，在中，可得，则是等边三角形，所以，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，，点是边中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，即， ∴是直角三角形，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查的直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理及其逆定理的运用，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握勾股定理及其逆定理，证明是等边三角形是解题的关键． 5．(24-25八上·上海长宁区延安初级中学·期末)如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，，推出，从而证明，得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明． 【详解】证明：， ，， ， 在和中 又点、分别是、的中点 ， ． 6．(24-25八上·上海实验西校·期末)如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得出结论． 【详解】解：，证明如下： ∵在中，，为的中点， ∴， ∵在中，，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）． 7．(23-24八上·上海宝山区·期末)如图，中，，，是边上的中线，是边上一点，是边上一点，且，连接． (1)求证：； (2)如果，，求边的长． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【分析】（）证，即可得出结论； （）由全等三角形的性质得，，则是等腰直角三角形，得，再由勾股定理求出的长，即可得出结论； 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）可知，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即边的长为． 8．(23-24八上·上海静安区继续教育学校附属学校（静教院附校）·期末)已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，连接，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：___________． 证明： 【答案】猜想，证明见解析 【分析】根据题意可知点P在的角平分线上，则，由此推出，设，由平行线的性质可得，如图所示，取中点H，连接，则，根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，进而可证明，得到，则． 【详解】解：猜想，证明如下： ∵点到两边的距离相等， ∴点P在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 如图所示，取中点H，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义和角平分线的判定，平行线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般是解题的关键． 2 / 45 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 直角三角形 3大高频考点概览 考点01 直角三角形的两个锐角互余 考点02 含30°角的直角三角形 考点03 斜边的中线等于斜边的一半 地 城 考点01 直角三角形的两个锐角互余 一、单选题 1．(24-25八上·上海市西中学·期末)如图，在中，，是高，平分交于点，过作交边于点，交边于点，连接，下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)下列命题中，逆命题是真命题的为（   ） A．直角都相等 B．若，，则 C．全等三角形的面积相等 D．直角三角形的两个锐角互余 二、填空题 1．(23-24八上·上海松江区·期末)如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 2．(24-25八上·上海市北初级中学·期末)中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 3．(23-24八上·上海长宁区延安初级中学·期末)如图，在中，，分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 ． 4．(24-25八上·上海长宁区·期末)在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 5．(23-24八上·上海普陀区·期末)如图，在中，斜边的垂直平分线交边于点，交边于点，如果，那么 度． 三、解答题 1．(23-24八上·上海北初级中学·期末)如图，在中，是边上的一点，．求证．    地 城 考点02 含30°角的直角三角形 一、单选题 1．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，，是斜边的中线，是斜边的高，如果恰好是边上的中线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 二、填空题 1．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，已知等腰中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点．如果直线与直线的夹角为，那么面积的值等于 ． 2．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，，是的垂直平分线，，，那么的长为 ． 3．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图1，已知直角三角形中，为直线上的两点，且．设E、F两点的距离为与重叠部分的面积为，图2是关于的函数的图象．根据两图信息，图2中段函数的解析式是 ． 4．(24-25八上·上海黄浦区·期末)将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于 ． 三、解答题 1．(24-25八上·上海实验学校东校·期末)在中，，点是斜边中点，作，交直线于点． (1)若，求线段的长； (2)当点在线段上时，设，求关于的函数解析式； (3)若，求的长． 2．(24-25八上·上海奉贤区·期末)如图，在等腰中，，，为线段上一点，，过点作，垂足为点，点为线段中点，，交于点，连接、． (1)当时，求的长； (2)过点作，垂足为点，与相交于点． ①若，，求关于的函数解析式； ②在（1）的条件下，直接写出的面积． 3．(24-25八上·上海静安区·期末)如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结． (1)如果 ，求证：； (2)如果，平分求的长． 4．(24-25八上·上海浦东新区进才中学北校·期末)在中，，，点是斜边的中点，作，交直线于点． (1)若，求线段的长； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式； (3)若，求的长． 5．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)如图，中，，点P是射线上的一点（不与点B重合），是线段的垂直平分线，交与点F，交射线与点E，联结． (1)求的度数； (2)当P是的中点时，求 (3)当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (4)如果 ，求 6．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)如图，平分，垂足分别为点． (1)求证：； (2)如果，，求的长度． 7．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，点D在边上，，垂足为E，点G在上，且，．求证：． 8．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，已知直线与交于点平分，三角形为等腰三角形，且．点是线段上的一点（不与点重合），点在射线上，满足，连接． (1)求证：； (2)设的面积为，求与的函数解析式． 9．(24-25八上·上海实验西校·期末)把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，，F在同一直线上．，，，，，点P是线段的中点．从图1的位置出发，以的速度沿射线方向匀速运动，如图2，与相交于点Q，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的长； (2)当点A在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中是否存在以为底的等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 地 城 考点03 斜边的中线等于斜边的一半 一、单选题 1．(24-25八上·上海杨浦区·期末)下列命题的逆命题中，真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．关于某一条直线对称的两个三角形全等 D．对顶角相等 2．(24-25八上·上海黄浦区·期末)下列命题中，是假命题的是（   ） A．百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例 B．反比例函数，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小 C．三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 D．直角三角形可以分割成两个等腰三角形 3．(23-24八上·上海宝山区·期末)直角三角形的两条直角边分别为和，那么它斜边上的中线长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25八上·上海闵行区·期末)如图，在四边形中，，，，，连接、，取和的中点、，连接，则的长度为 ． 三、解答题 1．(24-25八上·上海浦东新区进才中学北校·期末)如图，在平面直角坐标系内，函数和交于、两点，已知． (1)求点的坐标； (2)点在坐标轴上，且时，求点的坐标． 2．(24-25八上·上海奉贤区·期末)如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 3．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． (1)求证：； (2)取边的中点，求证：． 4．(23-24八上·上海松江区·期末)已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求的度数． 5．(24-25八上·上海长宁区延安初级中学·期末)如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    6．(24-25八上·上海实验西校·期末)如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 7．(23-24八上·上海宝山区·期末)如图，中，，，是边上的中线，是边上一点，是边上一点，且，连接． (1)求证：； (2)如果，，求边的长． 8．(23-24八上·上海静安区继续教育学校附属学校（静教院附校）·期末)已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，连接，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：___________． 证明： 2 / 45 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $