专题1.2.2数轴（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课　2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

1.2.2数轴 【题型1】数轴的概念及三要素判断 1. 知识点 - 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三者缺一不可，是数轴的核心三要素。 - 三要素的具体要求：原点是表示数0的点，是数轴的基准；正方向通常规定为向右（或向上），用箭头表示；单位长度是数轴上相邻两个整数点之间的距离，同一数轴上的单位长度必须统一。 2. 考点 - 判断给出的图形是否为正确的数轴（核心考点），需逐一核对原点、正方向、单位长度是否齐全且符合要求。 - 补全数轴中缺失的三要素（如补充原点、标注正方向、确定单位长度）。 3. 易错点 - 忽略“单位长度统一”：如同一数轴上相邻整数点之间的距离不一致，误认为是正确数轴。 - 遗漏“正方向”：未画箭头表示正方向，或箭头方向标注错误（如向左标注正方向但未说明）。 - 混淆“原点”：将非0的点误认为原点，或未标注原点。 4. 解题技巧 - 采用“三要素核对法”：面对数轴判断题目时，先找原点（是否有0点），再看正方向（是否有向右箭头），最后查单位长度（相邻整数点距离是否一致），三者均满足则为正确数轴。 - 补全数轴时，优先确定原点（通常选中间位置），再标注正方向（右侧画箭头），最后根据已知数确定单位长度（如已知1和3，单位长度为1）。 【例题1】．（2024-2025•积石山县校级期中）下列各项中，有关数轴三要素的描述，正确的有（　　） ①原点；②单位长度；③正方向；④直线． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【变式题1-1】．（2024-2025•嵊州市期末）下面关于数轴的说法，正确的是（　　） A．数轴是一条规定了原点和正方向的射线 B．数轴的正方向一定向右 C．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点是数轴的“基准点” D．数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的线段 【变式题1-2】．（2024-2025•抚顺县期末）下列所画的直线中，能正确反映数轴三要素的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-3】．（2024-2025•槐荫区期中）下列说法中，错误的是（　　） A．数轴上表示﹣3的点距离原点3个单位长度 B．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 C．有理数0在数轴上表示的点是原点 D．表示十万分之一的点在数轴上不存在 【题型2】用数轴上的点表示有理数 1. 知识点 - 有理数与数轴的对应关系：所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示（正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，0对应原点）。 - 分数、小数在数轴上的表示：需将单位长度细分，如表示1/2时，将0到1的单位长度平均分成2份，取靠近0的第1份端点；表示-1.5时，将-2到-1的单位长度平均分成2份，取靠近-2的第1份端点。 2. 考点 - 已知有理数，在数轴上画出对应的点（如在数轴上标出-3、2.5、0、1/3）。 - 已知数轴上的点，读出该点表示的有理数（如判断数轴上点P表示的数是-2还是-1.5）。 3. 易错点 - 分数、小数的位置偏差：如将1/3标在0到1的1/2处，混淆分数的分母对应的细分份数。 - 正负方向颠倒：将负数标在原点右侧，正数标在原点左侧，忽略“正右负左”的规则。 - 未准确标注点的名称：如在数轴上画了点但未标注对应的有理数，或标注的数与点的位置不匹配。 4. 解题技巧 - 画点三步法：①定正负（判断数是正还是负，确定在原点左侧还是右侧）；②算距离（计算数到原点有几个单位长度）；③细定位（若为分数/小数，细分单位长度后确定点的位置）。 - 读数两步法：①定方向（看该点在原点左侧还是右侧，确定数的正负）；②算距离（数该点到原点有几个单位长度，若为细分段，按细分份数确定分数/小数）。 【例题2】．（2024-2025•高新区校级四模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5 【变式题2-1】．（2024-2025•封开县期末）如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0 【变式题2-2】．（2024-2025•思明区校级期中）画出数轴并把下列各数标在数轴上：﹣4，1，0，3，﹣2.5． 【变式题2-3】．（2024-2025•社旗县期中）把下列各数：2.5，﹣3，0，，﹣1.6 （1）分别在数轴上表示出来： （2）将上述的有理数填入图中相应的圈内． 【题型3】数轴上点的移动问题 1. 知识点 - 点的移动规律：数轴上点的移动遵循“右加左减”原则——点向右移动n个单位长度，对应的数加n；点向左移动n个单位长度，对应的数减n（如点表示的数为a，右移n个单位后为a+n，左移n个单位后为a-n）。 - 移动的叠加：若点先左移再右移（或反之），需按顺序叠加计算（如先左移3个单位，再右移5个单位，总变化为-3+5=+2，即最终右移2个单位）。 2. 考点 - 已知点的初始位置和移动方向、距离，求移动后点表示的数（如点A表示-2，右移5个单位后表示的数）。 - 已知点的初始位置和移动后的位置，求移动的方向和距离（如点B从3移动到-1，求移动方向和距离）。 3. 易错点 - 移动方向与符号混淆：将“左移”用加法、“右移”用减法，违背“右加左减”原则（如点表示2，左移3个单位误算为2+3=5）。 - 多步移动时顺序错误：未按移动顺序逐步计算，直接合并移动距离导致错误（如先右移2、再左移5，误算为2+(5-2)=5，正确应为2+2-5=-1）。 - 忽略初始位置的正负：计算时未带初始位置的负号，如点表示-3，右移4个单位误算为3+4=7，正确应为-3+4=1。 4. 解题技巧 - 公式法：设初始数为a，移动方向“右为+、左为-”，移动距离为n，则最终数= a + (±n)（右移取+，左移取-）。 - 数轴辅助法：画简易数轴，标注初始点位置，按移动方向和距离逐步标出移动后的位置，直观读取结果，避免符号错误。 【例题3】．（2024-2025•余杭区期末）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（　　） A．1 B．1或﹣1 C．5或﹣5 D．4或6 【变式题3-1】．（2024-2025•抚顺县期末）点A表示的有理数是3，将点A向左移动4个单位长度，这时点A表示的有理数是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5 【变式题3-2】．（2024-2025•广平县校级开学）如图，把三角形纸板ABC进行平移（点P在边BC上），点A，B，C，P的对应点分别是点A′，B′，C′，P′，若点C在数轴上表示的数为﹣1，点C′在数轴上表示的数为4，则点P平移的路程是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题3-3】．（2024-2025•冷水滩区校级开学）数轴上有A、B两点，若将点A向左移动5个单位长度得到点B，则下列说法错误的是（　　） A．若点A表示的数为6，则点B表示的数为1 B．若点A表示的数为﹣2，则点B表示的数为﹣7 C．若点B表示的数为5，则点A表示的数为0 D．若点B表示的数为﹣5，则点A表示的数为0 【题型4】数轴上两点之间的距离计算 1. 知识点 - 两点距离的定义：数轴上两点之间的距离是一个非负的数值，计算时需先确定两点在数轴上的左右位置——始终用右边的点表示的数减去左边的点表示的数，结果就是两点之间的距离（因为数轴上右边的数一定大于左边的数，用大数减小数能保证距离为正数）。 - 点到原点的距离：原点表示的数是0，若点在原点右侧，则该点到原点的距离就是这个点表示的数（如点表示5，到原点距离为5）；若点在原点左侧，则该点到原点的距离是这个点表示的数的相反的数（如点表示-3，到原点距离为3）。 - 特殊位置关系：当两点在原点同侧时，距离是两点表示的数的差（右边数减左边数）；当两点在原点两侧时，距离是两点表示的数的和（右侧数加左侧数的相反的数，本质仍是右边数减左边数）。 2. 考点 - 已知两点在数轴上表示的数，求两点之间的距离（如求表示-3和5的两点距离，或表示-2和-7的两点距离）。 - 已知一个点表示的数以及该点到另一个点的距离，求另一个点表示的数（如已知点A表示2，到点B的距离为4，求点B表示的数）。 - 求数轴上某点到原点的距离（如求表示-4或6的点到原点的距离）。 3. 易错点 - 漏解“已知距离求点”的情况：只考虑未知点在已知点的右侧（或左侧），忽略另一侧的可能性（如已知点A表示2，到点B的距离为4，只算出2+4=6，漏算2-4=-2，导致少一个答案）。 - 用负数表示距离：计算时未先确定两点的左右位置，直接用左边的数减去右边的数，得到负数（如求表示-3和5的两点距离，误算为-3-5=-8，忽略距离必须是正数，正确应为5-(-3)=8）。 - 混淆“点到点的距离”与“点到原点的距离”：将“点到原点的距离”当作“点到其他点的距离”，如误将点B到原点的距离4，当作点B到点A（表示2）的距离，导致计算错误。 - 确定左右位置错误：将两点的左右顺序弄反，用小数减大数计算距离（如求表示4和-1的两点距离，误判-1在4右侧，用-1-4=-5，正确应为4-(-1)=5）。 4. 解题技巧 - 计算两点距离：第一步，先在数轴上标出两点的位置，确定哪个点在左侧（表示的数更小）、哪个点在右侧（表示的数更大）；第二步，用右侧点表示的数减去左侧点表示的数，结果就是两点之间的距离（如点A表示-5，点B表示3，右侧是B，左侧是A，距离=3-(-5)=8）。 - 已知距离求未知点：第一步，明确已知点表示的数（设为a）和两点间的距离（设为d）；第二步，考虑未知点的两种位置：①在已知点的右侧，未知点表示的数为a+d（在已知点右边，数更大，加距离）；②在已知点的左侧，未知点表示的数为a-d（在已知点左边，数更小，减距离）；第三步，验证两种情况是否都符合数轴上的位置逻辑，确保无遗漏（如已知点A表示2，d=4，右侧点为2+4=6，左侧点为2-4=-2，均符合数轴位置）。 - 求点到原点的距离：先判断点在原点左侧还是右侧，若在右侧，距离就是点表示的数；若在左侧，距离是点表示的数的相反的数（如点表示-6，在左侧，距离为6；点表示7，在右侧，距离为7）。 【例题4】．（2024-2025•奇台县期末）数轴上点A到原点的距离为1，则点A表示的数为　 　 ． 【变式题4-1】．（2024-2025•冷水滩区校级开学）数轴上，表示﹣2和5两点之间的距离是（　　） A．3 B．7 C．﹣3 D．﹣7 【变式题4-2】．（2024-2025•兴庆区校级四模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的点表示的数是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3 【变式题4-2】．（2024-2025•邻水县期末）如图，点A在数轴上表示的数是3，点B到点A的距离是7个单位长度，则点B在数轴上表示的数是 　 　 ． 【题型5】利用数轴比较有理数大小 1. 知识点 - 数轴上数的大小核心规律：根据数轴的定义，数轴上右边的点表示的数，始终大于左边的点表示的数（这是比较有理数大小的根本依据，所有比较都基于此规律推导）。 - 有理数与数轴位置的对应关系： 正数在数轴的原点右侧，负数在数轴的原点左侧，0正好对应原点；因此可直接得出：正数＞0，0＞负数，正数＞负数（这是三类基础数的大小关系，无需额外计算，仅通过位置即可判断）。 两个负数的大小比较：由于负数都在原点左侧，需观察它们在左侧的具体位置——在数轴左侧，更靠近原点的负数（右边的负数）更大，离原点更远的负数（左边的负数）更小（如数轴上-3在-5的右侧，因此-3＞-5）。 - 多有理数比较的逻辑：将多个有理数在数轴上依次标出后，按“从左到右”的顺序排列这些点，对应的数就是“从小到大”的顺序；反之，“从右到左”的顺序对应“从大到小”的顺序（如将-4、2、0、-1标在数轴上，从左到右为-4、-1、0、2，故-4＜-1＜0＜2）。 2. 考点 - 比较两个有理数的大小（重点是两个负数的大小比较），并能用“＜”或“＞”正确连接（如比较-2和-5的大小，或3和-1的大小）。 - 比较三个及以上有理数的大小，按要求完成排序（如将-3、1.5、0、-2.5按“从小到大”或“从大到小”的顺序排列）。 - 结合数轴上点的位置，判断给定有理数的大小关系（如已知数轴上点A在点B左侧，点A表示-1，点B表示x，判断-1与x的大小）。 3. 易错点 - 两个负数比较时位置颠倒：忽略“左侧负数更小”的规律，误将离原点更远的负数（更靠左的负数）当作更大的数（如在数轴上-6在-2左侧，却误判-6＞-2）。 - 混淆0的属性：将0错误归为负数或正数，导致大小判断错误（如误判0＜-1，违背“0在原点，负数在原点左侧，0＞负数”的基本关系）。 - 数轴标数位置错误：将有理数在数轴上的左右顺序标反，进而导致比较结果错误（如将-1标在-2的左侧，误判-1＜-2；或把正数标在原点左侧，负数标在右侧，完全颠倒大小逻辑）。 - 多有理数排序时遗漏顺序：比较三个及以上数时，未按“从左到右”或“从右到左”的完整顺序排列，出现跳步或颠倒（如将-5、3、-1排序时，误写为-5＜3＜-1，忽略-1在-5右侧、3左侧的位置）。 4. 解题技巧 - 数轴直观法（核心方法）： 1. 画简易数轴，标出原点和正方向，确定合适的单位长度； 2. 将所有需要比较的有理数，按“正数在右、负数在左、0在原点”的规则，准确标在数轴上； 3. 观察数轴上点的左右顺序，从左到右依次读出对应的数，即为“从小到大”的顺序；从右到左读出，即为“从大到小”的顺序（如比较-3、2、-1，标数后从左到右为-3、-1、2，故-3＜-1＜2，直观且不易出错）。 - 分类法则法（快速判断）： 1. 正数与正数比较：在数轴上，哪个数对应的点更靠右，哪个数就大（如3和5，5在右，故5＞3）； 2. 正数与0比较：正数在原点右侧，故正数＞0（如2＞0）； 3. 正数与负数比较：正数在原点右，负数在原点左，故正数＞负数（如1＞-4）； 4. 0与负数比较：0在原点，负数在原点左，故0＞负数（如0＞-2）； 5. 两个负数比较：在数轴上，哪个负数对应的点更靠右（更靠近原点），哪个负数就大（如-3在-5右侧，故-3＞-5）。 【例题5】．（2024-2025•南木林县校级期末）在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． ﹣|﹣3|，﹣（﹣2），﹣（﹣1）3，﹣23． 【变式题5-1】．（2024-2025•中原区校级月考）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“＜”将它们连接起来： ． 【变式题5-2】．（2024-2025•江南区校级月考）比较大小：有理数a在数轴上的位置如图所示，则a 　 　 0． 【变式题5-3】．（2024-2025•常宁市期末）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（　　） A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b 【题型6】数轴上的整点覆盖问题（提升） 1. 知识点 - 整点的定义：数轴上表示整数的点称为整点（如-2、-1、0、1、2等对应的点）。 - 线段覆盖整点的规律：若线段长度为n（单位长度），则覆盖的整点个数分两种情况：①线段的两个端点均为整点时，覆盖的整点个数为n + 1；②线段的两个端点均不为整点时，覆盖的整点个数为n。 2. 考点 - 已知线段的两个端点表示的数，求线段覆盖的整点个数（如线段从-1.2到3.5，求覆盖的整点）。 - 已知线段长度和覆盖的整点个数，判断线段端点是否为整点（如长5的线段覆盖6个整点，判断端点为整点）。 3. 易错点 - 漏判端点是否为整点：直接用线段长度加1或等于长度，未先判断端点是否为整数（如线段从-2.3到2.3，长度为4.6，误算为4.6+1=5.6个整点，实际端点非整点，覆盖-2、-1、0、1、2共5个整点）。 - 计算线段长度时出错：未用“右边数 - 左边数”计算长度，导致后续整点个数判断错误（如线段从-3到1，误算长度为-3 - 1 = -4，忽略长度为正数，正确长度为1 - (-3)=4）。 - 整数范围判断错误：如线段从1.6到-0.8，未先确定左右端点（左为-0.8，右为1.6），误判整点为0、1、2，漏-0.8到1.6之间的0、1，多算2。 4. 解题技巧 - 步骤法：①确定线段的左右端点（左端点a < 右端点b）；②计算线段长度L = b - a；③找出a和b之间的所有整数（即大于a的最小整数到小于b的最大整数）；④数出整数的个数，即为覆盖的整点个数（无需死记公式，直观计数更准确）。 - 验证法：若计数结果为L或L+1，可反推端点是否为整点，验证结果是否合理（如L=5，计数6个整点，说明端点为整点）。 【例题6】．（2024-2025•盐都区期中）如图，下面的4个数中哪一个数所表示的点被数轴上的杭州亚运会吉祥物之一宸宸卡通贴纸所覆盖（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣4 【变式题6-1】．（2024-2025•新北区校级月考）在数轴上与数﹣2相距2个单位长度的点表示的数为 　 　 ．长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 　 　 个表示整数的点．最多能覆盖 　 　 个表示整数的点；长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 　 　 个表示整数的点，最多能覆盖 　 　 表示整数的点． 【变式题6-2】．（2024-2025•利津县期末）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有　 　 个． 【变式题6-3】．（2024-2025•慈利县期中）小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数和是 　 　 ． 【题型7】数轴的折叠问题（提升） 1. 知识点 - 折叠的本质：数轴折叠后，重合的两点关于折痕点对称（即折痕点是重合两点的中点）。 - 中点公式：若两点表示的数为a、b，折叠后重合，则折痕点（中点）表示的数为(a + b) ÷ 2；反之，若折痕点为m，一点为a，则其对称点b满足m = (a + b) ÷ 2，即b = 2m - a。 2. 考点 - 已知折叠后重合的两点，求折痕点表示的数（如-1和3折叠重合，求折痕点）。 - 已知折痕点和一点，求该点折叠后的对称点（如折痕点为2，点5的对称点）。 - 已知折叠后某点的位置，求原点点表示的数（如点A表示-5，折叠后与点B重合，点B表示3，求折痕点）。 3. 易错点 - 中点公式记错：将中点公式写为(a - b)÷2或a + b÷2，导致折痕点计算错误（如-1和3的中点，误算为(-1 - 3)÷2 = -2，正确为(-1 + 3)÷2 = 1）。 - 对称点方向搞反：已知折痕点m和点a，求对称点b时，误算为a - 2(m - a)，正确应为b = 2m - a（如m=2，a=5，误算为5 - 2(2-5)=11，正确为2×2 - 5 = -1）。 - 忽略折叠后点的位置范围：如数轴向右折叠，点A在折痕左侧，折叠后应在右侧，误判在左侧导致结果错误。 4. 解题技巧 - 公式法：牢记“对称点公式”——若折痕点为m，已知点为x，则对称点y = 2m - x；若已知两点x、y重合，则折痕点m = (x + y)÷2，直接代入计算。 - 数轴画图法：画简易数轴，标注已知点和折痕点（或假设折痕点），根据对称关系标出对称点，直观验证计算结果是否正确（如折痕点1，点-1的对称点应在3，与公式结果一致）。 【例题7】．（2024-2025•平遥县期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4 【变式题7-1】．（2024-2025•西山区校级期末）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示﹣4的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2 【变式题7-2】．（2024-2025•辛集市期末）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是（　　） A．﹣2 B．﹣2.5 C．0 D．﹣1 【变式题7-3】．（2024-2025•香洲区期末）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣5表示的点与 　 　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是 　 　 ； ②﹣1表示的点与 　 　 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 【题型8】数轴上的新定义问题（培优） 1. 知识点 - 新定义的核心：题目会给出数轴上的新概念（如“n阶伴侣点”“相关点”“距离比点”等），需结合数轴的距离、位置关系将新定义转化为数学关系。 - 常见新定义转化：如“点P是点A、B的1阶伴侣点”表示PA = PB（P是AB中点）；“点P是点A、B的2阶伴侣点”表示PA是PB的2倍或PB是PA的2倍（距离比为2）。 2. 考点 - 理解新定义，求符合定义的点表示的数（如已知M表示-1、N表示4，求M、N的2阶伴侣点）。 - 结合新定义判断点的位置关系、数量（如判断数轴上是否存在符合“3阶伴侣点”的点，有几个）。 3. 易错点 - 误解新定义：未准确拆解新定义中的关键词（如“n阶伴侣点”中“距离的比值为n”，误理解为距离差为n），导致转化错误。 - 漏解多情况：新定义可能对应多种位置关系（如“PA是PB的2倍”，P可能在AB之间，也可能在AB延长线上），只考虑一种情况导致漏解。 - 无法转化为数学式子：将新定义停留在文字层面，不会用距离关系（右边数减左边数）表示，无法列方程求解。 4. 解题技巧 - 三步拆解法：①读：逐字阅读新定义，圈出关键词（如“距离比值”“中点”“左侧/右侧”）；②转：将关键词转化为数学关系（如“距离比值为2”转化为（右数-左数）的比为2）；③解：根据数学关系列方程，解方程并验证解的合理性（如P在AB延长线上时，解是否符合位置要求）。 - 举例验证法：若新定义较复杂，可先取简单的数代入验证，理解定义后再求解（如“相关点”定义为“点B是点A的相关点，B表示的数=2 - A表示的数”，先取A=1，得B=1，验证定义后再求A=-3时的B）。 【例题8】．（2024-2025•通许县期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”． （1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数0，1，4对应的点是点A、B的“倍分点”的是 　 　 ； （2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数． 【例题8-1】．（2024-2025•蒙阴县期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是[A，B]的美好点．例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． 请写出[M，N]美好点P所表示的数是　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025•朝阳区期末）对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段． （1）在数轴上，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2，点C1表示的数为，点C2表示的数为﹣2，点C3表示的数为4，在线段BC1，BC2，BC3中，与线段AB互为友好线段的是 　 　 ； （2）在数轴上，点A，B，C，D表示的数分别为x，﹣2﹣x，，且A，B不重合．若线段AB，CD互为友好线段，直接写出x的值． 【变式题8-3】．（2024-2025•湖北期中）已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）请直接写出A，B两点所对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数． （3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值． 【题型9】数轴与规律探究问题（培优） 1. 知识点 - 规律探究的核心：数轴上点的运动、排列通常具有周期性（如点的运动方向、表示的数重复出现）或递推性（如第n个点的数与n的线性关系）。 - 常见规律类型：①点的运动周期（如左右往返运动，周期为2T）；②点的表示数的周期（如1、-2、3、-4…周期为2，符号交替）；③点的排列周期（如正六边形顶点在数轴上翻转，周期为6）。 2. 考点 - 求第n个点表示的数（如点1表示1，点2表示-2，点3表示3，点4表示-4，求点2024表示的数）。 - 求某点在第n次运动后的位置（如点从0出发，第1次右移1，第2次左移2，第3次右移3…求第10次运动后位置）。 - 找规律的周期，判断某数对应的点（如正六边形翻转，第2025个数对应哪个顶点）。 3. 易错点 - 找不到周期：无法从前几个点的位置中发现重复规律（如点1:1，点2:-1，点3:2，点4:-2…误判周期为2，实际周期为2，但数的绝对值随周期增加1）。 - 周期计算错误：如周期为6，求第n个点时，用n除以周期的余数错误（如n=2025，2025÷6=337余3，误算余4，导致对应点错误）。 - 递推关系错误：将线性关系（如第n个点表示n）误判为非线性（如认为第n个点表示2n），导致后续计算错误。 4. 解题技巧 - 列表法：列出前5-10个点的位置或表示的数，观察数据特征（符号、绝对值、重复情况），确定周期T或递推公式（如第n个点的数=(-1)^(n+1) × n）。 - 周期公式法：若周期为T，计算n除以T的余数r（r=1,2,…,T）：①r≠0时，第n个点的规律与第r个点相同；②r=0时，第n个点的规律与第T个点相同（如周期6，n=2025，2025÷6=337余3，与第3个点规律相同）。 - 验证法：用找到的规律计算前几个已知点，验证是否符合（如规律第n个点表示(-1)^(n+1)×n，验证n=3时为3，正确；n=4时为-4，正确）。 【例题9】．（2024-2025•金水区校级期末）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是　 　 ． 【变式题9-1】．（2024-2025•溧阳市期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 　 　 ． 【变式题9-2】．（2024-2025•江夏区月考）已知如图，数轴上点A，B分别与刻度尺上2，18对齐，点A在数轴上表示的数为﹣4．第一次取AB的中点M1，第二次取AM1的中点M2，第三次取AM2的中点M3，按此规律依次取得中点M6，则点M6在数轴上表示的数是 　 　 ． 【变式题9-3】．（2024-2025•广安期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第2次将点A1向右平移6个单位长度到达点A2，第3次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3…则第6次移动到点A6；按照这种规律移动下去，至少移动次 　 　 后该点到原点的距离不小于41． 【题型10】数轴上的动点问题（培优） 1. 知识点 - 单动点的位置表示：设动点的初始位置为a（数轴上的数），速度为v（单位长度/时间，向右为正，向左为负），运动时间为t，则t时刻动点的位置为：x = a + v × t（核心公式）。 - 动点与定点的距离：t时刻动点（x）与定点（b）的距离需先判断位置——若x在b右侧，距离为x - b；若x在b左侧，距离为b - x。 2. 考点 - 求某一时刻动点的位置（如动点P从原点出发，以2单位/秒向左运动，求t=3秒时P的位置）。 - 求动点与定点距离为定值时的时间（如动点Q从5出发，以1单位/秒向右运动，求Q与原点距离为8时的t）。 - 求动点到达某位置的时间（如动点R从-4出发，以3单位/秒向右运动，求R到达2时的t）。 3. 易错点 - 速度方向与符号错误：将向左运动的速度设为正，向右设为负，违背“右正左负”原则（如向左运动速度2，误设v=2，正确v=-2）。 - 位置公式记错：将“x = a + v t”记为“x = a - v t”，导致位置计算错误（如a=5，v=-2，t=3，误算x=5 - (-2)×3=11，正确x=5 + (-2)×3=-1）。 - 忽略时间的非负性：解方程得到t为负数，未舍去（如求距离为定值时，t=-1，无实际意义，应舍去）。 4. 解题技巧 - 公式建模法：①设时间为t（t ≥ 0）；②用含t的式子表示动点位置（x = 初始位置 + 速度×t，速度左负右正）；③根据题目条件（如距离、位置）列方程（如动点在定点右侧时，x - 定点 = 距离；左侧时，定点 - x = 距离）；④解方程，舍去负时间，得到合理解。 - 数轴动态分析：画数轴，标注初始位置，根据速度方向预测动点运动轨迹，对关键时间点（如到达原点、到达定点）进行验证，确保解的合理性。 【例题10】．（2024-2025•无为市期末）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90． （1）AB的中点M对应的数为 　 　 ； （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度的时间为 　 　 秒． 【变式题10-1】．（2024-2025•淮南期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（　　） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，t＝6； ③BP＝2时，t＝5； ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式题10-2】．（2024-2025•永春县期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝30，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若2AP+3PO﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【变式题10-3】．（2024-2025•嵊州市期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，C为线段AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）点C表示的数是　 　 （2）当t＝　 　 秒时，点P到达点A处； （3）点P表示的数是　 　 （用含字母t的代数式表示）； （4）求t为多少秒时，线段PC的长为2个单位长度． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（　　） A．1 B．1或﹣1 C．5或﹣5 D．4或6 2．点A表示的有理数是3，将点A向左移动4个单位长度，这时点A表示的有理数是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5 3．如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为（　　） A．﹣5 B．﹣2.5 C．0 D．2.5 4．数轴上有三个点A，B，C，且C为AB的中点，如果点A表示数﹣3，线段AB的长为8，那么点C表示的数是（　　） A．5 B．5或1 C．﹣7 D．﹣7或1 5．将下列各数在数轴上表示，其中与原点距离最近的点表示的数是（　　） A．﹣3 B．﹣0.8 C．1 D．2 二．填空题（共5小题） 6．如图，在数轴上被墨汁覆盖的所有整数的和为　 　 ． 7．数轴上点A表示的数是﹣1，点B到点A的距离为2个单位，则B点表示的数是　 　 ． 8．看图填空． （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是　 　 ． （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是　 　 ． 9．如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是　 　 ． 10．若将数轴折叠，使得表示﹣1的点与表示5的点重合，则原点与表示 　 　 的点重合． 三．解答题（共5小题） 11．如图，已知AB＝20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB＝3． （1）求CD的长； （2）若以D为原点，请直接写出数轴上A，B，C，E各点所表示的数． 12．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　 　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 13．数轴上表示﹣2和2的两点之间的距离是　 　 ． 14．数轴上，点A到原点（表示数0的点）的距离为4，点B到原点的距离为6，那么A与B的距离为　 　 ． 15．在数轴上表示出下列各数，并直接写出数轴上表示3和﹣4的两点之间的距离． 3，﹣4，0.5，0， 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2数轴 【题型1】数轴的概念及三要素判断 1. 知识点 - 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三者缺一不可，是数轴的核心三要素。 - 三要素的具体要求：原点是表示数0的点，是数轴的基准；正方向通常规定为向右（或向上），用箭头表示；单位长度是数轴上相邻两个整数点之间的距离，同一数轴上的单位长度必须统一。 2. 考点 - 判断给出的图形是否为正确的数轴（核心考点），需逐一核对原点、正方向、单位长度是否齐全且符合要求。 - 补全数轴中缺失的三要素（如补充原点、标注正方向、确定单位长度）。 3. 易错点 - 忽略“单位长度统一”：如同一数轴上相邻整数点之间的距离不一致，误认为是正确数轴。 - 遗漏“正方向”：未画箭头表示正方向，或箭头方向标注错误（如向左标注正方向但未说明）。 - 混淆“原点”：将非0的点误认为原点，或未标注原点。 4. 解题技巧 - 采用“三要素核对法”：面对数轴判断题目时，先找原点（是否有0点），再看正方向（是否有向右箭头），最后查单位长度（相邻整数点距离是否一致），三者均满足则为正确数轴。 - 补全数轴时，优先确定原点（通常选中间位置），再标注正方向（右侧画箭头），最后根据已知数确定单位长度（如已知1和3，单位长度为1）。 【例题1】．（2024-2025•积石山县校级期中）下列各项中，有关数轴三要素的描述，正确的有（　　） ①原点；②单位长度；③正方向；④直线． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据数轴的三要素即原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，即可得出答案． 【解答】解：∵数轴是规定了原点，正方向及单位长度的直线， ∴数轴的三要素为：原点，单位长度，正方向， ∴数轴的三要素是①②③； 故选：C． 【点评】此题考查了数轴的三要素，熟记数轴的三要素是本题的关键． 【变式题1-1】．下面关于数轴的说法，正确的是（　　） A．数轴是一条规定了原点和正方向的射线 B．数轴的正方向一定向右 C．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点是数轴的“基准点” D．数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的线段 【答案】C 【分析】根据数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线即可解决问题． 【解答】解：根据数轴是直线可知选项A和选项D都是错误的； 数轴的正方向是规定的，并不一定向右，竖直方向的数轴正方向也可能向上或向下，故选项B错误； 根据数轴的定义可知原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，而原点表示0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，所以原点是数轴的“基准点”，故选项C正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查的是数轴的定义，解决此题的关键是理解数轴的三要素为原点、正方向以及单位长度，同时数轴是直线；原点、正方向以及单位长度都是规定的，可以根据不同情况进行更改． 【变式题1-2】．下列所画的直线中，能正确反映数轴三要素的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方形、单位长度分别进行判断，即可得出答案． 【解答】解：A、没有正方向，错误； B、负数表示的位置不正确，错误； C、单位长度不一样，错误； D、符合数轴的三要素，正确； 故选：D． 【点评】此题开车数轴，掌握数轴的三要素是本题的关键，数轴的三要素：原点、正方形、单位长度． 【变式题1-3】．（2024-2025•槐荫区期中）下列说法中，错误的是（　　） A．数轴上表示﹣3的点距离原点3个单位长度 B．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 C．有理数0在数轴上表示的点是原点 D．表示十万分之一的点在数轴上不存在 【答案】D 【分析】根据数轴的定义、数轴上的点表示的数、实数在数轴上对应的点解决此题． 【解答】解：A．根据数轴上的点表示的数，表示﹣3的点距离原点3个单位长度，故A正确，那么A不符合题意． B．根据数轴的定义，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，故B正确，那么B不符合题意． C．根据有理数在数轴上对应的点，有理数0在数轴上表示的点是原点，故C正确，那么C不符合题意． D．根据数轴上的点表示的数，表示十万分之一的点在数轴上存在，故D不正确，那么D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查数轴的定义、数轴上的点表示的数、实数在数轴上对应的点，熟练掌握数轴的定义、数轴上的点表示的数、实数在数轴上对应的点是解决本题的关键． 【题型2】用数轴上的点表示有理数 1. 知识点 - 有理数与数轴的对应关系：所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示（正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，0对应原点）。 - 分数、小数在数轴上的表示：需将单位长度细分，如表示1/2时，将0到1的单位长度平均分成2份，取靠近0的第1份端点；表示-1.5时，将-2到-1的单位长度平均分成2份，取靠近-2的第1份端点。 2. 考点 - 已知有理数，在数轴上画出对应的点（如在数轴上标出-3、2.5、0、1/3）。 - 已知数轴上的点，读出该点表示的有理数（如判断数轴上点P表示的数是-2还是-1.5）。 3. 易错点 - 分数、小数的位置偏差：如将1/3标在0到1的1/2处，混淆分数的分母对应的细分份数。 - 正负方向颠倒：将负数标在原点右侧，正数标在原点左侧，忽略“正右负左”的规则。 - 未准确标注点的名称：如在数轴上画了点但未标注对应的有理数，或标注的数与点的位置不匹配。 4. 解题技巧 - 画点三步法：①定正负（判断数是正还是负，确定在原点左侧还是右侧）；②算距离（计算数到原点有几个单位长度）；③细定位（若为分数/小数，细分单位长度后确定点的位置）。 - 读数两步法：①定方向（看该点在原点左侧还是右侧，确定数的正负）；②算距离（数该点到原点有几个单位长度，若为细分段，按细分份数确定分数/小数）。 【例题2】．（2024-2025•高新区校级四模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5 【答案】B 【分析】设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可． 【解答】解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0， 则表示的数可能是﹣0.5． 故选：B． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•封开县期末）如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据数轴与实数的关系求解． 【解答】解：数轴上原点右边的数表示正数， 所以数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为1， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，实数与数轴的关系是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•思明区校级期中）画出数轴并把下列各数标在数轴上：﹣4，1，0，3，﹣2.5． 【答案】见解答过程． 【分析】直接画出数轴，进而在数轴上表示出各数即可． 【解答】解：在数轴上表示出来如下： 【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确画出数轴是解题关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•社旗县期中）把下列各数：2.5，﹣3，0，，﹣1.6 （1）分别在数轴上表示出来： （2）将上述的有理数填入图中相应的圈内． 【答案】（1）画图见解析； （2）填表见解析． 【分析】（1）根据正数在原点的右边，负数在原点左边，在数轴上表示各数即可； （2）根据有理数的分类逐一填入集合内即可． 【解答】解：（1）在数轴上表示如下： （2） 【点评】本题考查的是有理数的分类，在数轴上表示有理数，熟记有理数的分类是解本题的关键． 【题型3】数轴上点的移动问题 1. 知识点 - 点的移动规律：数轴上点的移动遵循“右加左减”原则——点向右移动n个单位长度，对应的数加n；点向左移动n个单位长度，对应的数减n（如点表示的数为a，右移n个单位后为a+n，左移n个单位后为a-n）。 - 移动的叠加：若点先左移再右移（或反之），需按顺序叠加计算（如先左移3个单位，再右移5个单位，总变化为-3+5=+2，即最终右移2个单位）。 2. 考点 - 已知点的初始位置和移动方向、距离，求移动后点表示的数（如点A表示-2，右移5个单位后表示的数）。 - 已知点的初始位置和移动后的位置，求移动的方向和距离（如点B从3移动到-1，求移动方向和距离）。 3. 易错点 - 移动方向与符号混淆：将“左移”用加法、“右移”用减法，违背“右加左减”原则（如点表示2，左移3个单位误算为2+3=5）。 - 多步移动时顺序错误：未按移动顺序逐步计算，直接合并移动距离导致错误（如先右移2、再左移5，误算为2+(5-2)=5，正确应为2+2-5=-1）。 - 忽略初始位置的正负：计算时未带初始位置的负号，如点表示-3，右移4个单位误算为3+4=7，正确应为-3+4=1。 4. 解题技巧 - 公式法：设初始数为a，移动方向“右为+、左为-”，移动距离为n，则最终数= a + (±n)（右移取+，左移取-）。 - 数轴辅助法：画简易数轴，标注初始点位置，按移动方向和距离逐步标出移动后的位置，直观读取结果，避免符号错误。 【例题3】．（2024-2025•余杭区期末）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（　　） A．1 B．1或﹣1 C．5或﹣5 D．4或6 【答案】D 【分析】先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【解答】解：由条件可知：点B表示的数是：﹣1和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 【点评】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，掌握数轴的性质是解题关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•抚顺县期末）点A表示的有理数是3，将点A向左移动4个单位长度，这时点A表示的有理数是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题可以用正负数表示移动的方向及数量，列出算式，也可以观察数轴求解． 【解答】解：根据正负数的意义，规定向左为负，向右为正，点 A 表示的数是3，点 A 向左移动4个单位长度后，则点A表示的数是：3﹣4＝﹣1， 故答案为：﹣1 故选：B． 【点评】本题考查了数轴的知识，本题中，向左可以用负数表示，并列式计算． 【变式题3-2】．（2024-2025•广平县校级开学）如图，把三角形纸板ABC进行平移（点P在边BC上），点A，B，C，P的对应点分别是点A′，B′，C′，P′，若点C在数轴上表示的数为﹣1，点C′在数轴上表示的数为4，则点P平移的路程是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】依据题意，由平移的性质即可求解． 【解答】解：由题意得，CC′＝4﹣（﹣1）＝5， ∴由平移的性质可得，PP′＝CC′＝5， ∴点P平移的路程为5， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的不变性是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•冷水滩区校级开学）数轴上有A、B两点，若将点A向左移动5个单位长度得到点B，则下列说法错误的是（　　） A．若点A表示的数为6，则点B表示的数为1 B．若点A表示的数为﹣2，则点B表示的数为﹣7 C．若点B表示的数为5，则点A表示的数为0 D．若点B表示的数为﹣5，则点A表示的数为0 【答案】C 【分析】根据数轴上点的移动规律，结合有理数的加减运算法则逐项分析即可得解． 【解答】解：A、若点A表示的数为6，则点B表示的数为6﹣5＝1，原说法正确，不符合题意； B、若点A表示的数为﹣2，则点B表示的数为﹣2﹣5＝﹣7，原说法正确，不符合题意； C、若点B表示的数为5，则点A表示的数为5+5＝10，原说法错误，符合题意； D、若点B表示的数为﹣5，则点A表示的数为﹣5+5＝0，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，有理数的减法、有理数的加法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型4】数轴上两点之间的距离计算 1. 知识点 - 两点距离的定义：数轴上两点之间的距离是一个非负的数值，计算时需先确定两点在数轴上的左右位置——始终用右边的点表示的数减去左边的点表示的数，结果就是两点之间的距离（因为数轴上右边的数一定大于左边的数，用大数减小数能保证距离为正数）。 - 点到原点的距离：原点表示的数是0，若点在原点右侧，则该点到原点的距离就是这个点表示的数（如点表示5，到原点距离为5）；若点在原点左侧，则该点到原点的距离是这个点表示的数的相反的数（如点表示-3，到原点距离为3）。 - 特殊位置关系：当两点在原点同侧时，距离是两点表示的数的差（右边数减左边数）；当两点在原点两侧时，距离是两点表示的数的和（右侧数加左侧数的相反的数，本质仍是右边数减左边数）。 2. 考点 - 已知两点在数轴上表示的数，求两点之间的距离（如求表示-3和5的两点距离，或表示-2和-7的两点距离）。 - 已知一个点表示的数以及该点到另一个点的距离，求另一个点表示的数（如已知点A表示2，到点B的距离为4，求点B表示的数）。 - 求数轴上某点到原点的距离（如求表示-4或6的点到原点的距离）。 3. 易错点 - 漏解“已知距离求点”的情况：只考虑未知点在已知点的右侧（或左侧），忽略另一侧的可能性（如已知点A表示2，到点B的距离为4，只算出2+4=6，漏算2-4=-2，导致少一个答案）。 - 用负数表示距离：计算时未先确定两点的左右位置，直接用左边的数减去右边的数，得到负数（如求表示-3和5的两点距离，误算为-3-5=-8，忽略距离必须是正数，正确应为5-(-3)=8）。 - 混淆“点到点的距离”与“点到原点的距离”：将“点到原点的距离”当作“点到其他点的距离”，如误将点B到原点的距离4，当作点B到点A（表示2）的距离，导致计算错误。 - 确定左右位置错误：将两点的左右顺序弄反，用小数减大数计算距离（如求表示4和-1的两点距离，误判-1在4右侧，用-1-4=-5，正确应为4-(-1)=5）。 4. 解题技巧 - 计算两点距离：第一步，先在数轴上标出两点的位置，确定哪个点在左侧（表示的数更小）、哪个点在右侧（表示的数更大）；第二步，用右侧点表示的数减去左侧点表示的数，结果就是两点之间的距离（如点A表示-5，点B表示3，右侧是B，左侧是A，距离=3-(-5)=8）。 - 已知距离求未知点：第一步，明确已知点表示的数（设为a）和两点间的距离（设为d）；第二步，考虑未知点的两种位置：①在已知点的右侧，未知点表示的数为a+d（在已知点右边，数更大，加距离）；②在已知点的左侧，未知点表示的数为a-d（在已知点左边，数更小，减距离）；第三步，验证两种情况是否都符合数轴上的位置逻辑，确保无遗漏（如已知点A表示2，d=4，右侧点为2+4=6，左侧点为2-4=-2，均符合数轴位置）。 - 求点到原点的距离：先判断点在原点左侧还是右侧，若在右侧，距离就是点表示的数；若在左侧，距离是点表示的数的相反的数（如点表示-6，在左侧，距离为6；点表示7，在右侧，距离为7）。 【例题4】．（2024-2025•奇台县期末）数轴上点A到原点的距离为1，则点A表示的数为　1或﹣1　 ． 【答案】1或﹣1． 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：点A表示的数为1或﹣1． 故答案为：1或﹣1． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 【变式题4-1】．（2024-2025•冷水滩区校级开学）数轴上，表示﹣2和5两点之间的距离是（　　） A．3 B．7 C．﹣3 D．﹣7 【答案】B 【分析】用较大的数减去较小的数即可求解． 【解答】解：∵5﹣（﹣2）＝5+2＝7， ∴距离是7， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•兴庆区校级四模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的点表示的数是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3 【答案】C 【分析】数轴上一点到原点的距离为该点表示的数的绝对值，据此比较出四个数的绝对值大小即可得到答案． 【解答】解：∵1＜2＜3＜4， ∴与原点距离最近的点表示的数是1， 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴上两点的距离，熟练掌握该知识点是关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•邻水县期末）如图，点A在数轴上表示的数是3，点B到点A的距离是7个单位长度，则点B在数轴上表示的数是 　10或﹣4　 ． 【答案】.10或﹣4 【分析】根据数轴上两点的距离分析，分类讨论，即在A点的左侧和右侧都有一个点与A的距离为7，进而即可求得答案． 【解答】解：当点B在A点的右侧时，点B在数轴上表示的数是3+7＝10， 当点B在A点的左侧时，点B在数轴上表示的数是3﹣7＝﹣4， ∴点B在数轴上表示的数是10或﹣4． 故答案为：10或﹣4． 【点评】本题考查了数轴上两点的距离，理解题意是解题的关键． 【题型5】利用数轴比较有理数大小 1. 知识点 - 数轴上数的大小核心规律：根据数轴的定义，数轴上右边的点表示的数，始终大于左边的点表示的数（这是比较有理数大小的根本依据，所有比较都基于此规律推导）。 - 有理数与数轴位置的对应关系： 正数在数轴的原点右侧，负数在数轴的原点左侧，0正好对应原点；因此可直接得出：正数＞0，0＞负数，正数＞负数（这是三类基础数的大小关系，无需额外计算，仅通过位置即可判断）。 两个负数的大小比较：由于负数都在原点左侧，需观察它们在左侧的具体位置——在数轴左侧，更靠近原点的负数（右边的负数）更大，离原点更远的负数（左边的负数）更小（如数轴上-3在-5的右侧，因此-3＞-5）。 - 多有理数比较的逻辑：将多个有理数在数轴上依次标出后，按“从左到右”的顺序排列这些点，对应的数就是“从小到大”的顺序；反之，“从右到左”的顺序对应“从大到小”的顺序（如将-4、2、0、-1标在数轴上，从左到右为-4、-1、0、2，故-4＜-1＜0＜2）。 2. 考点 - 比较两个有理数的大小（重点是两个负数的大小比较），并能用“＜”或“＞”正确连接（如比较-2和-5的大小，或3和-1的大小）。 - 比较三个及以上有理数的大小，按要求完成排序（如将-3、1.5、0、-2.5按“从小到大”或“从大到小”的顺序排列）。 - 结合数轴上点的位置，判断给定有理数的大小关系（如已知数轴上点A在点B左侧，点A表示-1，点B表示x，判断-1与x的大小）。 3. 易错点 - 两个负数比较时位置颠倒：忽略“左侧负数更小”的规律，误将离原点更远的负数（更靠左的负数）当作更大的数（如在数轴上-6在-2左侧，却误判-6＞-2）。 - 混淆0的属性：将0错误归为负数或正数，导致大小判断错误（如误判0＜-1，违背“0在原点，负数在原点左侧，0＞负数”的基本关系）。 - 数轴标数位置错误：将有理数在数轴上的左右顺序标反，进而导致比较结果错误（如将-1标在-2的左侧，误判-1＜-2；或把正数标在原点左侧，负数标在右侧，完全颠倒大小逻辑）。 - 多有理数排序时遗漏顺序：比较三个及以上数时，未按“从左到右”或“从右到左”的完整顺序排列，出现跳步或颠倒（如将-5、3、-1排序时，误写为-5＜3＜-1，忽略-1在-5右侧、3左侧的位置）。 4. 解题技巧 - 数轴直观法（核心方法）： 1. 画简易数轴，标出原点和正方向，确定合适的单位长度； 2. 将所有需要比较的有理数，按“正数在右、负数在左、0在原点”的规则，准确标在数轴上； 3. 观察数轴上点的左右顺序，从左到右依次读出对应的数，即为“从小到大”的顺序；从右到左读出，即为“从大到小”的顺序（如比较-3、2、-1，标数后从左到右为-3、-1、2，故-3＜-1＜2，直观且不易出错）。 - 分类法则法（快速判断）： 1. 正数与正数比较：在数轴上，哪个数对应的点更靠右，哪个数就大（如3和5，5在右，故5＞3）； 2. 正数与0比较：正数在原点右侧，故正数＞0（如2＞0）； 3. 正数与负数比较：正数在原点右，负数在原点左，故正数＞负数（如1＞-4）； 4. 0与负数比较：0在原点，负数在原点左，故0＞负数（如0＞-2）； 5. 两个负数比较：在数轴上，哪个负数对应的点更靠右（更靠近原点），哪个负数就大（如-3在-5右侧，故-3＞-5）。 【例题5】．（2024-2025•南木林县校级期末）在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． ﹣|﹣3|，﹣（﹣2），﹣（﹣1）3，﹣23． 【答案】在数轴上表示数见解析，﹣23＜﹣|﹣3|＜﹣（﹣1）3＜﹣（﹣2）． 【分析】把各数在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的数小于右边的数，用小于号将各数连接起来即可． 【解答】解：在数轴上把各数表示出来为： 从小到大排列为：﹣23＜﹣|﹣3|＜﹣（﹣1）3＜﹣（﹣2）． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴．熟练掌握乘方和绝对值计算，符号化简，在数轴上表示数，是解决问题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•中原区校级月考）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“＜”将它们连接起来： ． 【答案】数轴表示见解析，． 【分析】在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【解答】解：各数在数轴上表示如下所示： 从小到大排列为：． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，在数轴上表示各数是关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•江南区校级月考）比较大小：有理数a在数轴上的位置如图所示，则a 　＜　 0． 【答案】＜． 【分析】数轴上原点右边表示的数是正数，原点左边表示的数是负数，据此解答即可． 【解答】解：由数轴得，有理数a在原点左边，所以a＜0． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了数轴，熟知数轴的性质是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•常宁市期末）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（　　） A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b 【答案】A 【分析】从数轴得出b＜0＜c＜a，|a|＞|b|＞|c，据此判断即可． 【解答】解：由题意可知，b＜0＜c＜a，且|a|＞|b|＞|c，从数轴上点的位置关系可知b＜c＜a． ∴b＜c＜a，故选项A合题意； ∴a＜b＜c，故选项B不合题意； ∴b＜a＜c，故选项C不合题意； ∴a＜c＜b，故选项D不合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数． 【题型6】数轴上的整点覆盖问题（提升） 1. 知识点 - 整点的定义：数轴上表示整数的点称为整点（如-2、-1、0、1、2等对应的点）。 - 线段覆盖整点的规律：若线段长度为n（单位长度），则覆盖的整点个数分两种情况：①线段的两个端点均为整点时，覆盖的整点个数为n + 1；②线段的两个端点均不为整点时，覆盖的整点个数为n。 2. 考点 - 已知线段的两个端点表示的数，求线段覆盖的整点个数（如线段从-1.2到3.5，求覆盖的整点）。 - 已知线段长度和覆盖的整点个数，判断线段端点是否为整点（如长5的线段覆盖6个整点，判断端点为整点）。 3. 易错点 - 漏判端点是否为整点：直接用线段长度加1或等于长度，未先判断端点是否为整数（如线段从-2.3到2.3，长度为4.6，误算为4.6+1=5.6个整点，实际端点非整点，覆盖-2、-1、0、1、2共5个整点）。 - 计算线段长度时出错：未用“右边数 - 左边数”计算长度，导致后续整点个数判断错误（如线段从-3到1，误算长度为-3 - 1 = -4，忽略长度为正数，正确长度为1 - (-3)=4）。 - 整数范围判断错误：如线段从1.6到-0.8，未先确定左右端点（左为-0.8，右为1.6），误判整点为0、1、2，漏-0.8到1.6之间的0、1，多算2。 4. 解题技巧 - 步骤法：①确定线段的左右端点（左端点a < 右端点b）；②计算线段长度L = b - a；③找出a和b之间的所有整数（即大于a的最小整数到小于b的最大整数）；④数出整数的个数，即为覆盖的整点个数（无需死记公式，直观计数更准确）。 - 验证法：若计数结果为L或L+1，可反推端点是否为整点，验证结果是否合理（如L=5，计数6个整点，说明端点为整点）。 【例题6】．（2024-2025•盐都区期中）如图，下面的4个数中哪一个数所表示的点被数轴上的杭州亚运会吉祥物之一宸宸卡通贴纸所覆盖（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣4 【答案】C 【分析】根据数轴上数的特征，即可解答． 【解答】解：如图，数轴上的杭州亚运会吉祥物之一宸宸卡通贴纸所覆盖的数可能是﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上数的特征是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•新北区校级月考）在数轴上与数﹣2相距2个单位长度的点表示的数为 　0或﹣4　 ．长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 　2　 个表示整数的点．最多能覆盖 　3　 个表示整数的点；长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 　2001　 个表示整数的点，最多能覆盖 　2002　 表示整数的点． 【答案】0或﹣4；2，3，2001，2002． 【分析】到点﹣1的距离为2，则可以往左也可以往右，即有两种情况，需要分别计算；单位为2的木条，要覆盖最多的整数点，则需要一端放在一个整数点上，画出图形求解即可，其它同理可解答． 【解答】解：在数轴上与数﹣2相距2个单位长度的点有两个，即①﹣2+2＝0；②﹣2﹣2＝﹣4； 如图，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖2个表示整数的点，最多能覆盖3个表示整数的点； 同理可得长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖2001个表示整数的点，最多能覆盖2002表示整数的点． 故答案为：0或﹣4；2，3，2001，2002． 【点评】本题考查了数轴的应用，画图解题是解决很多问题的简便算法，在做题时要注意数形结合的方法． 【变式题6-2】．（2024-2025•利津县期末）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有　7　 个． 【答案】7． 【分析】根据数轴写出所有被盖住的整数即可． 【解答】解：由数轴可得， 被盖住的整数有﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，1，2， ∴墨迹盖住的整数共有7个， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式题6-3】．（2024-2025•慈利县期中）小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数和是 　﹣14　 ． 【答案】﹣14． 【分析】结合数轴找到﹣6.5～﹣1与0～4之间的整数即可得． 【解答】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数是﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、1、2、3， 以上这些整数的和为：﹣14， 故答案为﹣14． 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴表示数的意义和规律是得出正确答案的前提． 【题型7】数轴的折叠问题（提升） 1. 知识点 - 折叠的本质：数轴折叠后，重合的两点关于折痕点对称（即折痕点是重合两点的中点）。 - 中点公式：若两点表示的数为a、b，折叠后重合，则折痕点（中点）表示的数为(a + b) ÷ 2；反之，若折痕点为m，一点为a，则其对称点b满足m = (a + b) ÷ 2，即b = 2m - a。 2. 考点 - 已知折叠后重合的两点，求折痕点表示的数（如-1和3折叠重合，求折痕点）。 - 已知折痕点和一点，求该点折叠后的对称点（如折痕点为2，点5的对称点）。 - 已知折叠后某点的位置，求原点点表示的数（如点A表示-5，折叠后与点B重合，点B表示3，求折痕点）。 3. 易错点 - 中点公式记错：将中点公式写为(a - b)÷2或a + b÷2，导致折痕点计算错误（如-1和3的中点，误算为(-1 - 3)÷2 = -2，正确为(-1 + 3)÷2 = 1）。 - 对称点方向搞反：已知折痕点m和点a，求对称点b时，误算为a - 2(m - a)，正确应为b = 2m - a（如m=2，a=5，误算为5 - 2(2-5)=11，正确为2×2 - 5 = -1）。 - 忽略折叠后点的位置范围：如数轴向右折叠，点A在折痕左侧，折叠后应在右侧，误判在左侧导致结果错误。 4. 解题技巧 - 公式法：牢记“对称点公式”——若折痕点为m，已知点为x，则对称点y = 2m - x；若已知两点x、y重合，则折痕点m = (x + y)÷2，直接代入计算。 - 数轴画图法：画简易数轴，标注已知点和折痕点（或假设折痕点），根据对称关系标出对称点，直观验证计算结果是否正确（如折痕点1，点-1的对称点应在3，与公式结果一致）。 【例题7】．（2024-2025•平遥县期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4 【答案】C 【分析】先根据两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C表示的数． 【解答】解：10+6＝16，10﹣6＝4， 当A落在16对应的点时，C表示的数为：（16﹣14）＝1， 当A落在4对应的点时，C表示的数为：（4﹣14）＝﹣5， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•西山区校级期末）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示﹣4的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据题中画出数轴，根据数轴上点的位置判断即可得到结果． 【解答】解：根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示﹣4的点重合，得到以﹣1对应的点对折， ∵数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴A表示的数为﹣5，B表示的数为3． 故选：B． 【点评】此题考查了数轴，画出相应的图形是解本题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•辛集市期末）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是（　　） A．﹣2 B．﹣2.5 C．0 D．﹣1 【答案】A 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：∵A，B表示的数分别是﹣9，4，AB＝1， ∴4+1＝5， ∴关于点C对折后，A与表示5的点重合， ∴[5﹣（﹣9）]÷2 ＝14÷2 ＝7， ∴5﹣7＝﹣2， ∴点C表示的数是﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 【变式题7-3】．（2024-2025•香洲区期末）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣5表示的点与 　5　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是 　1　 ； ②﹣1表示的点与 　3　 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 【答案】（1）5；（2）①1；②3；③a＝﹣5，b＝7，画数轴见解析． 【分析】（1）根据题意可知数轴上数1表示的点与﹣1表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①根据折叠的性质求解即可； ②据折叠的性质求解即可； ③根据AB＝12结合A、B关于1对称进行求解即可． 【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与﹣1表示的点关于原点对称， ∴数轴上数﹣5表示的点与数5表示的点重合； 故答案为：5； （2）①∵5表示的点与﹣3表示的点重合， ∴数轴上数5表示的点与数﹣3表示的点关于数1表示的点对称， ∴C点表示的数是1． 故答案为：1； ②∵折痕C点表示的数是1， ∴﹣1表示的点与3表示的点重合；， 故答案为：3； ③∵折痕C点表示的数是1，AB＝12， ∴点A、B到1的距离均为6， 又∵A在B的左侧， ∴A点表示的数是a＝1﹣6＝﹣5，B表示的数是b＝1+6＝7． 画数轴表示如下： 【点评】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，折叠的性质，熟知数轴的相关知识是解题的关键． 【题型8】数轴上的新定义问题（培优） 1. 知识点 - 新定义的核心：题目会给出数轴上的新概念（如“n阶伴侣点”“相关点”“距离比点”等），需结合数轴的距离、位置关系将新定义转化为数学关系。 - 常见新定义转化：如“点P是点A、B的1阶伴侣点”表示PA = PB（P是AB中点）；“点P是点A、B的2阶伴侣点”表示PA是PB的2倍或PB是PA的2倍（距离比为2）。 2. 考点 - 理解新定义，求符合定义的点表示的数（如已知M表示-1、N表示4，求M、N的2阶伴侣点）。 - 结合新定义判断点的位置关系、数量（如判断数轴上是否存在符合“3阶伴侣点”的点，有几个）。 3. 易错点 - 误解新定义：未准确拆解新定义中的关键词（如“n阶伴侣点”中“距离的比值为n”，误理解为距离差为n），导致转化错误。 - 漏解多情况：新定义可能对应多种位置关系（如“PA是PB的2倍”，P可能在AB之间，也可能在AB延长线上），只考虑一种情况导致漏解。 - 无法转化为数学式子：将新定义停留在文字层面，不会用距离关系（右边数减左边数）表示，无法列方程求解。 4. 解题技巧 - 三步拆解法：①读：逐字阅读新定义，圈出关键词（如“距离比值”“中点”“左侧/右侧”）；②转：将关键词转化为数学关系（如“距离比值为2”转化为（右数-左数）的比为2）；③解：根据数学关系列方程，解方程并验证解的合理性（如P在AB延长线上时，解是否符合位置要求）。 - 举例验证法：若新定义较复杂，可先取简单的数代入验证，理解定义后再求解（如“相关点”定义为“点B是点A的相关点，B表示的数=2 - A表示的数”，先取A=1，得B=1，验证定义后再求A=-3时的B）。 【例题8】．（2024-2025•通许县期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”． （1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数0，1，4对应的点是点A、B的“倍分点”的是 　1，4　 ； （2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数． 【答案】（1）1，4； （2）20或50或0或﹣30． 【分析】（1）根据定义，通过计算进行判断即可； （2）设P点表示的数是x，分两种情况讨论：当PA＝3PB时和当PB＝3PA时，分别求出x的值即可． 【解答】解：（1）∵|0﹣2|＝2，|2﹣0|＝2， ∴|0﹣2|＝|2﹣0|， ∴0不是点A、B的“倍分点”； ∵|1﹣（﹣2）|＝3，|1﹣2|＝1， ∴3|1﹣2|＝|1﹣（﹣2）|， ∴1是点A、B的“倍分点”； ∵|4﹣（﹣2）|＝6，|4﹣2|＝2， ∴|4﹣（﹣2）|＝3|4﹣2|， ∴4是点A、B的“倍分点”； 故答案为：1，4； （2）设P点表示的数是x， 当PA＝3PB时，|x+10|＝3|x﹣30|， 解得x＝20或x＝50； 当PB＝3PA时，|x﹣30|＝3|x+10|， 解得x＝0或x＝﹣30； 综上所述：点P表示的数是20或50或0或﹣30． 【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•蒙阴县期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是[A，B]的美好点．例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． 请写出[M，N]美好点P所表示的数是　﹣1或11　 ． 【答案】﹣1或11． 【分析】设P点表示m．，根据“美好点”的定义，PM＝2PN，构建方程求解． 【解答】解：设P点表示m． ∵P是[M，N]美好点， ∴m﹣（﹣7）＝2（2﹣m）或m﹣（﹣7）＝2（m﹣2）， 解得m＝﹣1或11 故答案为：﹣1或11． 【点评】本题考查了数轴上两点的距离，还有新定义“美好点”，理解这个新定义是解决问题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•朝阳区期末）对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段． （1）在数轴上，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2，点C1表示的数为，点C2表示的数为﹣2，点C3表示的数为4，在线段BC1，BC2，BC3中，与线段AB互为友好线段的是 　BC1，BC2　 ； （2）在数轴上，点A，B，C，D表示的数分别为x，﹣2﹣x，，且A，B不重合．若线段AB，CD互为友好线段，直接写出x的值． 【答案】（1）BC1，BC2，（2）x的值为，7，9，26． 【分析】（1）求出BC1，BC2，BC3，AB的中点和三等分点表示的数，根据互为友好线段的定义分析即可；（2）分AB的中点是CD的三等分点和CD的中点是AB的三等分点两种情况，根据互为友好线段的定义列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点B表示的数为2，点C1表示的数为， ∴BC1＝2﹣（）， BC1， ∴BC1的中点表示的数是（2）÷2， 三等分点表示的数是或2． ∵点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2， ∴AB＝2﹣（﹣4）＝6，AB＝2， ∴AB的中点表示的数是（2﹣4）÷2＝﹣1， 三等分点表示的数是﹣4+2＝﹣2或2﹣2＝0． ∵点B表示的数为2，点C2表示的数为﹣2， ∴BC2＝2﹣（﹣2）＝4，BC2． ∴BC2的中点表示的数是（2﹣2）÷2＝0， 三等分点表示的数是﹣2或2； ∵AB的中点是BC1的一个三等分点，BC2的中点是AB的一个三等分点， ∴BC，BC2与AB互为友好线段． ∵BC3与AB无重叠部分，∴BC3与AB不可能是互为友好线段． 故答案为：BC1，BC2； （2）∵， ∴， ∴CD，CD＝1， ∴CD的中点表示的数是（）÷2＝3， 三等分点表示的数是或； ∵点A，B表示的数分别为x，﹣2﹣x， ∴AB的中点表示的数是（x﹣2﹣x）÷2＝﹣1． 当AB的中点是CD的一个当AB的中点是CD的一个三等分点时， 1或1； x＝7或x＝9． 当CD的中点是AB的一个三等分点时， 若x＞﹣2﹣x，即x＞﹣1时， AB＝x﹣（﹣2﹣x）＝2x+2，AB， ∴AB三等分点表示的数是﹣2﹣x或x ∴3或3 解得x＝26或． 若x＜﹣2﹣x，即x＜﹣1时， AB＝﹣2﹣x﹣x＝﹣2x﹣2，AB， ∴AB三等分点表示的数是x或﹣2﹣x， ∴3或3， 解得x＝26（舍去）或（舍去）． 综上可知，x的值为，7，9，26．本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的n等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的n等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•湖北期中）已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）请直接写出A，B两点所对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数． （3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意找出A与B点对应的数即可； （2）设经过x秒点A、B相遇，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出C点对应的数； （3）根据题意分5种情况列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：A点所对应的数是﹣8；B对应的数是20； （2）设经过x秒点A、B相遇， 根据题意得：3x﹣x＝28， 解得：x＝14， 则点C对应的数为﹣8﹣14＝﹣22； （3）依题意，当O到M，N距离相等， 20﹣2t＝8+t， 解得t＝4； 当N和O重合，2t＝20， 解得t＝10； 当N到M，O距离相等，2（2t﹣20）＝8+t， 解得t＝16； 当M，N重合2t﹣t＝20+8， 解得t＝28； 当M到N，O距离相等，2t﹣20＝2（8+t），方程无解． 故t的值为4或10或16或28． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知点运动速度以及距离之间的关系得出等式是解题关键． 【题型9】数轴与规律探究问题（培优） 1. 知识点 - 规律探究的核心：数轴上点的运动、排列通常具有周期性（如点的运动方向、表示的数重复出现）或递推性（如第n个点的数与n的线性关系）。 - 常见规律类型：①点的运动周期（如左右往返运动，周期为2T）；②点的表示数的周期（如1、-2、3、-4…周期为2，符号交替）；③点的排列周期（如正六边形顶点在数轴上翻转，周期为6）。 2. 考点 - 求第n个点表示的数（如点1表示1，点2表示-2，点3表示3，点4表示-4，求点2024表示的数）。 - 求某点在第n次运动后的位置（如点从0出发，第1次右移1，第2次左移2，第3次右移3…求第10次运动后位置）。 - 找规律的周期，判断某数对应的点（如正六边形翻转，第2025个数对应哪个顶点）。 3. 易错点 - 找不到周期：无法从前几个点的位置中发现重复规律（如点1:1，点2:-1，点3:2，点4:-2…误判周期为2，实际周期为2，但数的绝对值随周期增加1）。 - 周期计算错误：如周期为6，求第n个点时，用n除以周期的余数错误（如n=2025，2025÷6=337余3，误算余4，导致对应点错误）。 - 递推关系错误：将线性关系（如第n个点表示n）误判为非线性（如认为第n个点表示2n），导致后续计算错误。 4. 解题技巧 - 列表法：列出前5-10个点的位置或表示的数，观察数据特征（符号、绝对值、重复情况），确定周期T或递推公式（如第n个点的数=(-1)^(n+1) × n）。 - 周期公式法：若周期为T，计算n除以T的余数r（r=1,2,…,T）：①r≠0时，第n个点的规律与第r个点相同；②r=0时，第n个点的规律与第T个点相同（如周期6，n=2025，2025÷6=337余3，与第3个点规律相同）。 - 验证法：用找到的规律计算前几个已知点，验证是否符合（如规律第n个点表示(-1)^(n+1)×n，验证n=3时为3，正确；n=4时为-4，正确）。 【例题9】．（2024-2025•金水区校级期末）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是　C　 ． 【答案】C． 【分析】读懂题意，发现变化规律，利用数轴知识和发现的规律解答． 【解答】解：由题意可知A、B、C、D、E、F、A、B、C、D、E......对应的数分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11......， 6个数为一循环， 2025÷6＝337余数为3， ∴数轴上数2025所对应的顶点是C． 故答案为：C． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 【变式题9-1】．（2024-2025•溧阳市期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 　﹣1013　 ． 【答案】﹣1013． 【分析】根据题意可以发现点P运动后对应的点的规律，从而可以解答本题． 【解答】解：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…+2024﹣2025 ＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）...+（﹣2023+2024）﹣2025 ＝1012×1﹣2025 ＝﹣1013， 故点P所对应的有理数是﹣1013． 故答案为：﹣1013． 【点评】本题考查了数轴，有理数的加减法，关键是读懂题意，正确列出算式． 【变式题9-2】．（2024-2025•江夏区月考）已知如图，数轴上点A，B分别与刻度尺上2，18对齐，点A在数轴上表示的数为﹣4．第一次取AB的中点M1，第二次取AM1的中点M2，第三次取AM2的中点M3，按此规律依次取得中点M6，则点M6在数轴上表示的数是 　﹣3.75　 ． 【答案】﹣3.75． 【分析】先求出点B在数轴上表示的数为﹣4+16＝12，分别计算每一次对应的点M表示的数即可． 【解答】解：∵数轴上点A，B分别与刻度尺上2，18对齐， ∴AB＝16， ∵点A在数轴上表示的数为﹣4， ∴点B在数轴上表示的数为：12， 第一次取AB的中点M1，则， ∴点M1在数轴上表示的数为﹣4+8＝4， 第二次取AM1的中点M2，则， ∴点M2在数轴上表示的数为﹣4+4＝0， 第三次取AM2的中点M3，则， ∴点M3在数轴上表示的数为﹣4+2＝﹣2， 第四次取AM3的中点M4，则， ∴点M4在数轴上表示的数为﹣4+1＝﹣3， 第五次取AM4的中点M5，则， ∴点M5在数轴上表示的数为﹣4+0.5＝﹣3.5， 第六次取AM5的中点M6，则， ∴点M6在数轴上表示的数为﹣4+0.25＝﹣3.75， 故答案为：﹣3.75． 【点评】本题考查了数轴上表示有理数，有理数的加法和乘法，数轴上两点间的距离，正确理解题意是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•广安期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第2次将点A1向右平移6个单位长度到达点A2，第3次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3…则第6次移动到点A6；按照这种规律移动下去，至少移动次 　27　 后该点到原点的距离不小于41． 【答案】27． 【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答． 【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2； 第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4； 第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5； 第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7； 第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8； 第6次从点A5向左移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为﹣8+18＝10； ⋯； 则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A15表示的数为﹣20﹣3＝﹣23，A17表示的数为﹣23﹣3＝﹣26，A19表示的数为﹣26﹣3＝﹣29，A21表示的数为﹣29﹣3＝﹣32，A23表示的数为﹣32﹣3＝﹣35，A25表示的数为﹣35﹣3＝﹣38，A27表示的数为﹣38﹣3＝﹣41， 所以至少移动27次后该点到原点的距离不小于41． 故答案为：27． 【点评】此题考查了数轴，解答此题的关键是先求出前五次这个点移动后在数轴上表示的数，再根据此数值找出规律即可解答． 【题型10】数轴上的动点问题（培优） 1. 知识点 - 单动点的位置表示：设动点的初始位置为a（数轴上的数），速度为v（单位长度/时间，向右为正，向左为负），运动时间为t，则t时刻动点的位置为：x = a + v × t（核心公式）。 - 动点与定点的距离：t时刻动点（x）与定点（b）的距离需先判断位置——若x在b右侧，距离为x - b；若x在b左侧，距离为b - x。 2. 考点 - 求某一时刻动点的位置（如动点P从原点出发，以2单位/秒向左运动，求t=3秒时P的位置）。 - 求动点与定点距离为定值时的时间（如动点Q从5出发，以1单位/秒向右运动，求Q与原点距离为8时的t）。 - 求动点到达某位置的时间（如动点R从-4出发，以3单位/秒向右运动，求R到达2时的t）。 3. 易错点 - 速度方向与符号错误：将向左运动的速度设为正，向右设为负，违背“右正左负”原则（如向左运动速度2，误设v=2，正确v=-2）。 - 位置公式记错：将“x = a + v t”记为“x = a - v t”，导致位置计算错误（如a=5，v=-2，t=3，误算x=5 - (-2)×3=11，正确x=5 + (-2)×3=-1）。 - 忽略时间的非负性：解方程得到t为负数，未舍去（如求距离为定值时，t=-1，无实际意义，应舍去）。 4. 解题技巧 - 公式建模法：①设时间为t（t ≥ 0）；②用含t的式子表示动点位置（x = 初始位置 + 速度×t，速度左负右正）；③根据题目条件（如距离、位置）列方程（如动点在定点右侧时，x - 定点 = 距离；左侧时，定点 - x = 距离）；④解方程，舍去负时间，得到合理解。 - 数轴动态分析：画数轴，标注初始位置，根据速度方向预测动点运动轨迹，对关键时间点（如到达原点、到达定点）进行验证，确保解的合理性。 【例题10】．（2024-2025•无为市期末）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90． （1）AB的中点M对应的数为 　40　 ； （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度的时间为 　13或27　 秒． 【答案】（1）40；（2）13或27． 【分析】（1）先求出4、B两点之间的距离，再求出M点到A、B两点的距离，然后再用B点对应的数减去M点到A、B两点的距离即可求得答案； （2）此问分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度，根据距离除以速度等于时间即可求得答案． 【解答】解：（1）AB＝90﹣（﹣10）＝100， ∴MB＝AM＝100÷2＝50， ∵B点对应的数为 90， ∴M对应的数为90﹣50＝40， 则与A，B两点距离相等的M点对应的数为40， 故答案为：40； （2）相遇前： （100﹣35）÷（2+3）＝13（秒）， 相遇后：（35+100）÷（2+3）＝27（秒）， 则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度， 故答案为：13或27． 【点评】本题主要考查数轴，解决（2）的关键是要分两种情况：相遇前和相遇后． 【变式题10-1】．（2024-2025•淮南期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（　　） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，t＝6； ③BP＝2时，t＝5； ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点P在点B右边时，当点P在点B左边时，分别求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点P在点B右边时，当点P在点B左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可． 【解答】解：设点B对应的数是x， ∵点A对应的数为8，且AB＝12， ∴8﹣x＝12， ∴x＝﹣4， ∴点B对应的数是﹣4，故①错误； 由题意得：12÷2＝6（秒）， ∴点P到达点B时，t＝6，故②正确； 当点P在点B右边时， ∵AB＝12，BP＝2， ∴AP＝AB﹣BP＝12﹣2＝10， ∴10÷2＝5（秒）， 当点P在点B左边时， ∵AB＝12，BP＝2， ∴AP＝AB+BP＝12+2＝14， ∴14÷2＝7（秒）， 综上，BP＝2时，t＝5或7；故③错误； ∵M，N始终为AP，BP的中点， ∴，， 当点P在点B右边时， MN＝MP+NP ＝6， 当点P在点B左边时， MN＝MP﹣NP ＝6， ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•永春县期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝30，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若2AP+3PO﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【分析】根据 【解答】解：∵AB＝30，且OA＝2OB， ∴点A、B表示的数分别为﹣20，10， 根据题意得，OP＝10+4t，BP＝t， AP长分两种情况： ①当t≤15时，AP＝4t+30﹣6t＝30﹣2t， ∴2AP+3PO﹣mBP＝60﹣4t+30+12t﹣mt＝（8﹣m）t+90， 要使2AP+3PO﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则8﹣m＝0，即m＝8， ②当t＞15时，AP＝6t﹣4t+30＝2t﹣30， ∴2AP+3PO﹣mBP＝4t﹣60+30+12t﹣mt＝（16﹣m）t+90， 要使2AP+3PO﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则16﹣m＝0，即m＝16， 故答案为：D． 【点评】本题以数轴的形式考查了行程问题，含参数的一次函数的应用即函数取定值问题，同时渗透了分类讨论思想，考查了学生的综合能力． 【变式题10-3】．（2024-2025•嵊州市期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，C为线段AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）点C表示的数是　1　 （2）当t＝　5　 秒时，点P到达点A处； （3）点P表示的数是　2t﹣4　 （用含字母t的代数式表示）； （4）求t为多少秒时，线段PC的长为2个单位长度． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据线段中点坐标公式可求点C表示的数； （2）根据时间＝路程÷速度，可求t的值； （3）根据两点之间的距离公式可求点P表示的数； （4）分P在点C左边和点C右边两种情况讨论求解． 【解答】解：（1）（6﹣4）÷2 ＝2÷2 ＝1． 故点C表示的数是1． 故答案为：1； （2）[6﹣（﹣4）]÷2 ＝10÷2 ＝5（秒）． 答：当t＝5秒时，点P到达点A处． 故答案为：5； （3）点P表示的数是2t﹣4． 故答案为：2t﹣4； （4）P在点C左边， [1﹣2﹣（﹣4）]÷2 ＝3÷2 ＝1.5（秒）． P在点C右边， [1+2﹣（﹣4）]÷2 ＝7÷2 ＝3.5（秒）． 答：当t＝1.5秒或3.5秒秒时，线段PC的长为2个单位长度． 【点评】本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的应用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/23 23:27:12；用户：陈剑清（小初高数学）；邮箱：18659079182；学号：39903391 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 D B A D B 一．选择题（共5小题） 1．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（　　） A．1 B．1或﹣1 C．5或﹣5 D．4或6 【答案】D 【分析】先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【解答】解：由条件可知：点B表示的数是：﹣1和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 【点评】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，掌握数轴的性质是解题关键． 2．点A表示的有理数是3，将点A向左移动4个单位长度，这时点A表示的有理数是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题可以用正负数表示移动的方向及数量，列出算式，也可以观察数轴求解． 【解答】解：根据正负数的意义，规定向左为负，向右为正，点 A 表示的数是3，点 A 向左移动4个单位长度后，则点A表示的数是：3﹣4＝﹣1， 故答案为：﹣1 故选：B． 【点评】本题考查了数轴的知识，本题中，向左可以用负数表示，并列式计算． 3．如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为（　　） A．﹣5 B．﹣2.5 C．0 D．2.5 【答案】A 【分析】由图可得刻度尺上的0.5对应数轴1个单位长度，点A在原点O的左侧5个单位长度处，即可得点A对应的实数． 【解答】解：由数轴得：刻度尺上的0.5对应数轴1个单位， ∵点A在原点O的左侧5个单位处， ∴数轴上点A对应的实数为﹣5， 故选：A． 【点评】本题考查了数轴，掌握实数与数轴上的点是一一对应的关系是解题的关键． 4．数轴上有三个点A，B，C，且C为AB的中点，如果点A表示数﹣3，线段AB的长为8，那么点C表示的数是（　　） A．5 B．5或1 C．﹣7 D．﹣7或1 【答案】D 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为C为AB的中点，且AB的长为8， 所以． 又因为点A表示的数为﹣3， 所以﹣3﹣4＝﹣7，﹣3+4＝1， 即点C表示的数是﹣7或1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 5．将下列各数在数轴上表示，其中与原点距离最近的点表示的数是（　　） A．﹣3 B．﹣0.8 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：∵﹣3，﹣0.8，1，2，这四个数的绝对值最小的是﹣0.8， ∴﹣0.8与原点最近． 故选：B． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 二．填空题（共5小题） 6．如图，在数轴上被墨汁覆盖的所有整数的和为　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据题目中的图可知，被遮住的整数为大于小于π的整数，从而可以得到问题的答案． 【解答】解：∵由图可知：数轴上被墨汁盖住的整数大于小于π， ∴被遮住的整数为：﹣2，﹣1，0，1，2，3． 故在数轴上被墨汁覆盖的所有整数的和为﹣2﹣1+0+1+2+3＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查数轴的知识，解题的关键是能看懂图，明确题意． 7．数轴上点A表示的数是﹣1，点B到点A的距离为2个单位，则B点表示的数是　﹣3或1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】分两种情况讨论，在﹣1的左边距离点A2个单位和在﹣1的右边距离点A2个单位，分别计算即可得出答案． 【解答】解：在表示﹣1左边的，比﹣1小2的数时，这个数是﹣1﹣2＝﹣3； 在表示﹣1右边的，比﹣1大2的数时，这个数是﹣1+2＝1． 故答案为：﹣3或1． 【点评】本题考查的是数轴上两点间的距离，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 8．看图填空． （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是　　 ． （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是　﹣10　 ． 【答案】（1）；（2）﹣10． 【分析】（1）根据数轴到原点的距离分析即可得到答案； （2）根据数轴到原点的距离分析即可得到答案． 【解答】解：根据分析可知： （1）如果点B表示的数是，B点在一个单位长度上， ∴点C表示的数是， 故答案为：； （2）点D表示的数是50，从原点到点是5个单位长度， ∴一个单位长度为10， 那么点A表示的数是﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题主要考查了数轴表示数，掌握和理解数轴的单位长度是解决此题的关键． 9．如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【分析】根据题意：A、B之间的距离为6个单位长度，点A、B到原点的距离相等，得出点A表示的数为﹣3，点B表示的数为3，再结合数轴，即可得出点C表示的数． 【解答】解：∵数轴的单位长度为1，A、B之间的有6个格， 即A、B之间的距离为6个单位长度， 又点A、B到原点的距离相等， ∴点A、B表示的数的绝对值相等， ∵6÷2＝3， ∴点A表示的数为﹣3，点B表示的数为3， 由此可知原点的位置， ∴点C在原点的左侧1个单位长度处， ∴点C表示的数为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解本题的关键． 10．若将数轴折叠，使得表示﹣1的点与表示5的点重合，则原点与表示 　4　 的点重合． 【答案】4． 【分析】利用数轴上两点间距离进行计算即可解答． 【解答】解：设折叠点表示的数为x， ∵﹣1的点与表示5的点重合， ∴x﹣（﹣1）＝5﹣x， ∴x+1＝5﹣x， ∴x＝2， ∴折叠点表示的数为：2， 设原点与表示y的点重合， ∴y﹣2＝2﹣0， ∴y＝4， ∴原点与表示4的点重合， 故答案为：4． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．如图，已知AB＝20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB＝3． （1）求CD的长； （2）若以D为原点，请直接写出数轴上A，B，C，E各点所表示的数． 【答案】（1）CD＝4 （2）点D为原点，点A表示﹣14，点B表示6，点C表示﹣4，点E表示3． 【分析】（1）先求出BC的长，再根据E为DB的中点，且EB＝3，求出BD的长，利用CD＝BC﹣BD即可求出CD的长； （2）分别求出AD，DB，DC，EB的长即可写出数轴上A、B、D、E各表示的数． 【解答】解：（1）∵AB＝20，C为AB的中点， ∴BC＝10， ∵E为DB的中点，且EB＝3， ∴BD＝2EB＝6， ∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4； （2）∵以D为原点，EB＝3，E为DB的中点， ∴DB＝6，点B表示6， ∵AB＝20， ∴AD＝AB﹣DB＝20﹣6＝14， ∵点A在原点左边， ∴点A表示﹣14， ∵C为AB的中点， ∴CD＝4，点C在原点左边， ∴点C表示﹣4， ∵EB＝3， ∴点E表示3． 故数轴上A、B、C、E各表示的数是：A：﹣14；B：6；C：﹣4；E：3． 【点评】本题考查了比较线段的长短，利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 12．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　2　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 【答案】（1）2； （2）①点D表示的数为﹣3；②A，B两点表示的数分别为﹣3.5，5.5． 【分析】（1）根据表示1的点与表示﹣1的点重合，可得其中点为原点，则﹣2与2重合； （2）根据表示﹣1的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【解答】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合， ∴折痕经过原点， ∴表示﹣2的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）∵表示﹣1的点与表示3的点重合， ∴1， ∴折痕经过表示1的点， ①1﹣（5﹣1）＝﹣3， ∴点D表示的数为﹣3； ②A：13.5， B：15.5． ∴A，B两点表示的数分别为﹣3.5，5.5． 【点评】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． 13．数轴上表示﹣2和2的两点之间的距离是　4　 ． 【答案】4． 【分析】连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 【解答】解：2﹣（﹣2）＝4， 在数轴上，表示﹣2和2的两点之间的距离是4； 故答案为：4． 【点评】本题考查了数轴，关键是能根据题意得出算式． 14．数轴上，点A到原点（表示数0的点）的距离为4，点B到原点的距离为6，那么A与B的距离为　10或2　 ． 【答案】10或2． 【分析】根据两点间的距离公式进行计算即可． 【解答】解：由题意，点A表示的数为4或﹣4，点B表示的数为6或﹣6， ∴A与B的距离为6﹣4＝2或4+6＝10； 故答案为：10或2． 【点评】本题考查数轴两点间的距离，掌握其性质是解题的关键． 15．在数轴上表示出下列各数，并直接写出数轴上表示3和﹣4的两点之间的距离． 3，﹣4，0.5，0， 【答案】数轴见详解，7． 【分析】先利用数轴的意义表示各数，再求3和﹣4两点间的距离即可． 【解答】解：如图所示， 3和﹣4的两点之间的距离为3﹣（﹣4）＝7． 【点评】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴的意义是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $