概率的马尔科夫链专项训练-2026届高三数学一轮复习

概率论中的一颗明珠——马尔科夫链 引言：马尔科夫链是描述一种无后效性（马尔科夫性）的随机过程模型， 首次出现是在2019年的全国卷的考试中，主要考察了 概率的递推，全概率和数列结合问题，尽量近两年的模拟预测题目中有多次出现我整理了部分题目，主要是从原理上理解马尔科夫链，辅以例题强化训练。本节内容从天气问题，传球问题，摸球问题出发解释规律，方便读者更好的理解问题。 一基本题型： 题型分类 核心特征/模型 典型例题简介 题目来源 球交换模型 两个盒子中各有若干黑球与白球，每次从两个盒子中各取一球交换。考察重复操作 (n) 次后，某盒子中某种颜色球的个数（概率、期望）。 甲、乙两口袋各装有1个黑球和2个白球。每次操作从两袋中各取一球交换，重复n次。记甲袋中黑球数为 (Xn)，考察其概率分布和数学期望。 各地高三开学考试、模拟题 传球游戏模型 多个人之间传球，规定传球规则。考察经过 (n) 次传球后，球在特定人手中的概率。 A、B、C三人传球。球在A手中时，传给B、C的概率各半；球在B手中时，传给A的概率为 (p)，传给C的概率为 (1-p)（具体规则题目中会明确）。求n次传球后球在A手中的概率。 新高考模拟题、专题汇编 随机游走与赌徒模型 质点在数轴上左右移动，或赌徒在赢钱输钱情况下持续游戏直到达到某个目标或破产。 赌徒有本金A元，每局赢1元或输1元的概率各为50%。游戏在赌徒金达到B元或输光（可借最多A元）时结束。思路相关概率或期望。 高校自招、高三专题训练 系统状态转移问题 描述一个系统（如机器、天气）在不同状态间依据一定概率转移，预测其长期行为。 扫雷机器人在实际有雷和无雷的区域进行检测，根据检测结果计算精确率、召回率等指标，并利用马尔科夫链知识进行证明和评价。 概率统计专题汇编 二情景分析: 天气问题 假设我们只关心天气是“晴天”还是“雨天”。气象学家发现，明天的天气并不是完全随机的，它和今天的天气有很大关系。他们根据历史数据总结出以下规律： · 如果今天是晴天，那么明天是晴天的概率是0.8，是雨天的概率是0.2。 · 如果今天是雨天，那么明天是晴天的概率是0.4，是雨天的概率是0.6。 问题1： 如果今天是周一，并且是晴天，你能估计周三下雨的可能性有多大吗？ 引导发现： 这个例子中，“明天”的天气只依赖于“今天”的天气，而与“昨天”或更早的天气没有直接关系。这种“未来”仅由“现在”决定的特性，就是马尔科夫链的核心思想——无后效性（或称马尔科夫性）。 三概念——认识马尔科夫链的“三要素” 1. 状态（State）： 系统在某个时刻可能出现的所有情况。在天气例子中，状态就是 {晴天， 雨天}。 2. 状态转移（Transition）： 从一个状态变化到另一个状态的过程。 3. 状态转移概率（Transition Probability）： 从当前状态转移到下一个状态的概率。例如，从“晴天”转移到“雨天”的概率是 0.2。 为了便于理解，我们把所有概率写成一个矩阵（表格）。我们规定：矩阵的行表示“当前状态”，列表示“下一状态”。 当前状态 晴天 雨天 晴天 0.8 0.2 雨天 0.4 0.6 这个矩阵我们记为 P。可以发现，矩阵的每一行概率之和都等于1，因为从任何一个状态出发，下一步必然转移到所有可能状态之一。 模型应用—预测未来 1. 一步预测： 已知周一（第0天）是晴天。我们可以用一个向量来表示初始状态的概率分布： P₀ = [晴天概率，雨天概率] = [1,0] 问题2： 预测周二（第1天）的天气概率分布 π₁ 是多少？ 计算方法： P₁ = P₀ × P 计算过程： · 周二晴天的概率 = (1 × 0.8) + (0 × 0.4) = 0.8 · 周二雨天的概率 = (1 × 0.2) + (0 × 0.6) = 0.2 所以，P₁ = [0.8,0.2] 2. 多步预测（解决导入问题）： 问题3： 现在来精确计算周三（第2天）下雨的概率。即求 P₂。 思路： 周二的分布 π₁ 已经求出，那么周三的分布就是 P₂ = P₁ × P。 计算： P₂ = [0.8,0.2] × P · 周三晴天的概率 = (0.8 × 0.8) + (0.2 × 0.4) = 0.64 + 0.08 = 0.72 · 周三雨天的概率 = (0.8 × 0.2) + (0.2 × 0.6) = 0.16 + 0.12 = 0.28 所以，P₂ = [0.72, 0.28]。因此，周三下雨的概率是0.28。 四例题： 1．现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 【思路】对B，列出各种可能传球路线，概率求和；对C，设球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为，分别列出与之间的关系式，整理得到；对D，列出的关系式，构造等比数列求出；对A，由时概率值可判断. 【解析】对于B：由已知，甲传给乙、丙、丁的概率分别为；乙传给甲、丙、丁的概率分别为； 丙传给甲、乙、丁的概率分别为；丁传给甲、乙、丙的概率分别为；传球的路线可能是①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙；⑥甲-丁-甲-乙；⑦甲-丁-丙-乙. 其概率为，B正确； 对于C：设传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 则，所以，所以，所以是常数列，C正确； 对于D：当传球3次时，球在甲手中，传球的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲；④甲-丙-乙-甲；⑤甲-丁-丙-甲；⑥甲-丁-乙-甲.概率为，所以球在A队成员手中的概率为. 由C可知，传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 所以，整理得，所以是公比为的等比数列. 当时，，整理得，D正确； 对于A：由时，球在乙手中的概率为，结合C可知球在甲手中的概率为，故两个概率不相等，A错误. 2．甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【思路】根据题意可推导得到及之间的关系，知A正确,B错误；根据题干得到递推关系可知C正确;再构造等比数列，由此可得，采用作差法可求得D正确. 【解析】对于A：因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以，又接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以，A正确；对于B：因为第次触球者是甲的概率为，所以，故当时，， 当时，，可知，故B错误； 对于C：由选项B中等式，可得，C正确； 对于D：因为，即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以 ，故； 故； 3．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、；(2)求；(3)证明：是等比数列． 【思路】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率，结合古典概型的概率公式可求得、的值； （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，求出的值，思路可知的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列，由此可得出的值； （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，可得，推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. 【解析】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率， 由题可知：，. （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，易得， 由题易得的所有可能取值为、、、， 且，       ，     ，      ，        所以的分布列为： 数学期望为. （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为， 由题，可得，           而， ， ， 于是，， 也即，       首项为， 因此是首项为，公比为等比数列. 4．设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 【思路】（1）由条件可知，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3，转化为独立重复概率类型，列式求解； （2）根据硬币正面朝上的硬币数为奇数和偶数，结合全概率公式，即可得到递推关系式，再利用数列的构造法，即可证明； （3）方法一：根据（2）的结果，结合等比数列通项公式的求法，求得，，以及的通项公式，以及递推关系式，并代入求解的通项公式，讨论的取值，即可证明；方法二：首先设个硬币出现奇数的概率为，根据全概率公式，得到的递推关系式，以及通项公式，再求前3项，并表示，即可证明. 【解析】（1）当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 此时，游戏成功的概率为：； （2）设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示， 当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上； 第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上. 此时，，所以（且）， 则，且，则是以为首项，为公比的等比数列. （3）方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，. 由（2）知：，则，（） 所以，（）① 当时，， 则， 注意到：，则， 故：② 当时，， 则：③. 结合①②③： 由于，当时，，，，则； 当时，，则； 当时，，，，则. 综上：对任意的，成立. 方法二：对于个硬币出现奇数的概率为， ∴ ∴ ∴ ∴等比，∴ ∴前个硬币出现奇数的概率 中间个：后面个： 当时，. 当时，. 当时，. ∴成立. 5．设，有个罐子和个小球，球和罐子均以1至编号.现在按号码递增的顺序依次将球放入罐子中，1号球可不受限制地随意等可能放入个罐子中的任意一个；对于，只要号罐子空着，就把号球放入到号罐子里；否则，就随意等可能放入一个空罐中.如此下去，显然号球就只有一种放法.将号球放入号罐子中的事件记为.例如，当时，显然1号球放入到1号罐子里的概率为，也就是. (1)当时，求和； (2)对于确定的，记.例如，表示的是按照规则将4个球放入到4个罐子里，最终4号球落入4号罐子里的概率.显然，，求证：在时，，并求出数列的通项公式； (3)对于确定的，求. 【思路】（1）当时，分两类情况，利用互斥事件的和事件概率加法公式（全概率公式）求解可得； （2）按1号球放入罐子号分类，利用由互斥事件的和事件概率加法公式（全概率公式）求解递推关系；再构造作差求通项即可. （3）根据全概率公式计算求解. 【解析】（1）当时，由题意，事件“将号球放入号罐子中”， 即前个球放置后号罐子为空，、号球不能放入号罐子， 共如图两类情况： 第一类：号球放入号罐子，其概率为，且之后放法确定. 因为号罐子空，号球必放入号罐子， 然后因为号罐子空，则号球必放入号罐子； 第二类：号球放入号罐子，概率为， 然后因为号罐子不空，则号球放入号罐子的概率为， 之后由于号罐子空，则号球放法确定，必放入号罐子； 则由概率乘法公式可知，此类情况概率为. 因为两类事件互斥，则由互斥事件的和事件概率加法公式可得 所以； 由事件“号球不放入号罐子，且号球放入号罐子”，即上述第二类情况， 故. （2）表示的是按照规则将个球放入到个罐子里，最终号球落入号罐子里的概率， 其中，且由题意，由（1）可知. 当时，事件共有以下情况： 第1类：号球放入号罐子，其概率为，且依序各罐子都空，故之后放法确定， 即任意号球都必放入号罐子； 第2类：号球放入号罐子，其概率为， 然后将剩余号共个球放入共个罐子中，且号球必须放入号罐子， 现不妨将号罐子重新编号为“新”号罐子，即将个球放入“新”共个罐子中，且号球必须放入号罐子，其概率为， 故由概率乘法公式可知，此类情况概率为该类情况的概率即为； 第类：号球放入号罐子，其概率为， 因为号罐子空，号球放法确定，必放入号罐子， 然后将剩余号共个球放入共个罐子中， 且号球必须放入号罐子， 现不妨将号罐子重新编号为“新”号罐子， 即将个球放入“新”共个罐子中， 且号球必须放入号罐子，其概率为， 故由概率乘法公式可知，此类情况的概率为； 同理依次分类下去，，直至第类， 第类：号球放入号罐子，其概率为， 因为号罐子均为空，所以号球依次放入对应编号的罐子中 然后将球与号球两个球放入号共个罐子中即可，且号球必须放入号罐子， 同理可知此类情况的概率为； 因为这类事件互斥，则由互斥事件的和事件概率加法公式可得 所以， 则有①，得证. 由所证式子可得②， 由得， 化简可得，又， 故可得. （3）现按照规则将个球放入到个罐子里，其中， 由题意事件“号球放入号罐子中”， 则由全概率公式可得， 且，，， 且由（2）知， 代入公式可得， 解得. 故. 6．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. (2)证明见解析，，. 【思路】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解； （2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证. 【解析】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间， 设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间， 则 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）由题意，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 所以，则， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式也满足题意，则. 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为. 所以， 整理可得， 因为，所以， 即， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，满足上式也满足题意，则， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为. 7．某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【思路】（1）根据题意，利用互斥事件的概率公式可求得，再根据第天选择餐厅用餐的概率得到关于的表达式； （2）由（1）可得到是等比数列，利用等比数列的通项公式可求得. 【解析】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥．根据题意得 ， ， ， ， 即． （2） 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 从而． 8．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【思路】（1）根据全概率公式即可求解. （2）根据全概率公式思路得，再对分奇偶求解. 【解析】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，． . （2）因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，．综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 9．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 【思路】（1）按照游戏约定，易得，； （2）由全概率公式得出数列的递推公式，根据等差数列的定义易得为等差数列，运用累加法和，的值即可求得公差； （3）根据（2）求得的概率通项式，代入和，整理即得，逐一代入值，即可求出的值，思路即得结论. 【解析】（1）当时，赌徒已经欠债元，因此． 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率； （2）记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元上一场赢的事件， ，即， 所以， 所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，得； （3），由（2）， 代入可得，即， 当时，，当时，， 当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债． 【反思】关键在于对的理解，掌握运用全概率公式正确表达，然后利用数列递推公式的处理方法证明等差和求出通项，即可解决实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率论中的一颗明珠——马尔科夫链 引言：马尔科夫链是描述一种无后效性（马尔科夫性）的随机过程模型， 首次出现是在2019年的全国卷的考试中，主要考察了 概率的递推，全概率和数列结合问题，尽量近两年的模拟预测题目中有多次出现我整理了部分题目，主要是从原理上理解马尔科夫链，辅以例题强化训练。本节内容从天气问题，传球问题，摸球问题出发解释规律，方便读者更好的理解问题。 一基本题型： 题型分类 核心特征/模型 典型例题简介 题目来源 球交换模型 两个盒子中各有若干黑球与白球，每次从两个盒子中各取一球交换。考察重复操作 (n) 次后，某盒子中某种颜色球的个数（概率、期望）。 甲、乙两口袋各装有1个黑球和2个白球。每次操作从两袋中各取一球交换，重复n次。记甲袋中黑球数为 (Xn)，考察其概率分布和数学期望。 各地高三开学考试、模拟题 传球游戏模型 多个人之间传球，规定传球规则。考察经过 (n) 次传球后，球在特定人手中的概率。 A、B、C三人传球。球在A手中时，传给B、C的概率各半；球在B手中时，传给A的概率为 (p)，传给C的概率为 (1-p)（具体规则题目中会明确）。求n次传球后球在A手中的概率。 新高考模拟题、专题汇编 随机游走与赌徒模型 质点在数轴上左右移动，或赌徒在赢钱输钱情况下持续游戏直到达到某个目标或破产。 赌徒有本金A元，每局赢1元或输1元的概率各为50%。游戏在赌徒金达到B元或输光（可借最多A元）时结束。思路相关概率或期望。 高校自招、高三专题训练 系统状态转移问题 描述一个系统（如机器、天气）在不同状态间依据一定概率转移，预测其长期行为。 扫雷机器人在实际有雷和无雷的区域进行检测，根据检测结果计算精确率、召回率等指标，并利用马尔科夫链知识进行证明和评价。 概率统计专题汇编 二情景分析: 天气问题 假设我们只关心天气是“晴天”还是“雨天”。气象学家发现，明天的天气并不是完全随机的，它和今天的天气有很大关系。他们根据历史数据总结出以下规律： · 如果今天是晴天，那么明天是晴天的概率是0.8，是雨天的概率是0.2。 · 如果今天是雨天，那么明天是晴天的概率是0.4，是雨天的概率是0.6。 问题1： 如果今天是周一，并且是晴天，你能估计周三下雨的可能性有多大吗？ 引导发现： 这个例子中，“明天”的天气只依赖于“今天”的天气，而与“昨天”或更早的天气没有直接关系。这种“未来”仅由“现在”决定的特性，就是马尔科夫链的核心思想——无后效性（或称马尔科夫性）。 三概念——认识马尔科夫链的“三要素” 1. 状态（State）： 系统在某个时刻可能出现的所有情况。在天气例子中，状态就是 {晴天， 雨天}。 2. 状态转移（Transition）： 从一个状态变化到另一个状态的过程。 3. 状态转移概率（Transition Probability）： 从当前状态转移到下一个状态的概率。例如，从“晴天”转移到“雨天”的概率是 0.2。 为了便于理解，我们把所有概率写成一个矩阵（表格）。我们规定：矩阵的行表示“当前状态”，列表示“下一状态”。 当前状态 晴天 雨天 晴天 0.8 0.2 雨天 0.4 0.6 这个矩阵我们记为 P。可以发现，矩阵的每一行概率之和都等于1，因为从任何一个状态出发，下一步必然转移到所有可能状态之一。 模型应用—预测未来 1. 一步预测： 已知周一（第0天）是晴天。我们可以用一个向量来表示初始状态的概率分布： P₀ = [晴天概率，雨天概率] = [1,0] 问题2： 预测周二（第1天）的天气概率分布 π₁ 是多少？ 计算方法： P₁ = P₀ × P 计算过程： · 周二晴天的概率 = (1 × 0.8) + (0 × 0.4) = 0.8 · 周二雨天的概率 = (1 × 0.2) + (0 × 0.6) = 0.2 所以，P₁ = [0.8,0.2] 2. 多步预测（解决导入问题）： 问题3： 现在来精确计算周三（第2天）下雨的概率。即求 P₂。 思路： 周二的分布 π₁ 已经求出，那么周三的分布就是 P₂ = P₁ × P。 计算： P₂ = [0.8,0.2] × P · 周三晴天的概率 = (0.8 × 0.8) + (0.2 × 0.4) = 0.64 + 0.08 = 0.72 · 周三雨天的概率 = (0.8 × 0.2) + (0.2 × 0.6) = 0.16 + 0.12 = 0.28 所以，P₂ = [0.72, 0.28]。因此，周三下雨的概率是0.28。 四例题： 1．现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 2．甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 3．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、；(2)求；(3)证明：是等比数列． 4．设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 5．设，有个罐子和个小球，球和罐子均以1至编号.现在按号码递增的顺序依次将球放入罐子中，1号球可不受限制地随意等可能放入个罐子中的任意一个；对于，只要号罐子空着，就把号球放入到号罐子里；否则，就随意等可能放入一个空罐中.如此下去，显然号球就只有一种放法.将号球放入号罐子中的事件记为.例如，当时，显然1号球放入到1号罐子里的概率为，也就是. (1)当时，求和； (2)对于确定的，记.例如，表示的是按照规则将4个球放入到4个罐子里，最终4号球落入4号罐子里的概率.显然，，求证：在时，，并求出数列的通项公式； (3)对于确定的，求. 6．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. (2)证明见解析，，. 7．某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 8．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 9．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 学科网（北京）股份有限公司 $