2.2 第3课时 立方根-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（北师大版2024）

第3课时 A知识分点练 夯基础、 知识点1立方根的概念与开立方运算 1.64的立方根是 ( A.4 B.±4 C.8 D.±8 2.若一个数的立方根是 5,则这个数是() R士 1 C.一125 D.士125 1 3.(2024·沈阳法库期末)下列说法中，正确的是() A.一4没有立方根 B.1的立方根是士1 C36的立方根是 1 D.-5的立方根是一5 4.立方根等于其本身的数是 [变式]已知x-1=x一1，则x2一x的值 为 () A.0或1B.0或2C.0或6D.0,2或6 5.一√64的立方根是 6.求下列各数的立方根： 1 (1)0.125;(2)-16;(3 27；(4)∠3 8 知识点2利用a=a,(a)=a运算 7.下列计算正确的是 A.(-2)3=2 B.-0.064=-0.4 31 C.(-21)=21 D.-8=-2 8.(2025·阜新细河区期中)下列各组数中，互为相反 数的是 () A.3和v(-3) B.-3和一27 C.-(-√3)和3 D.-3和-|一271 24一本·初中数学8年级上册BS版 立方根 9.求下列各式的值： (1)273; (2)0.216; (3) 3125 8 (4)(-9)3; (5)(-924)3; (6)-9-103. 知识点3立方根的实际应用 10.在一个长、宽、高分别为8cm,4cm,2cm的长 方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入 一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度 忽略不计)，则此正方体容器的棱长是() A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 11.(教材P36随堂练习T2变式)如果正方体A的体 积是正方体B的体积的27倍，那么正方体A 的棱长是正方体B的棱长的 倍 12.(2025·阜新太平区月考)将一个体积为1000m3 的正方体铝块铸成8个同样大小的小正方体 铝块，求每个小正方体铝块的表面积. B能力综合练 练思维 13.下列说法中，正确的是 A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B.一个非零数的立方根与这个数同号 C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D.一个数的立方根是非负数 14.(2023·沈阳沈北新区期中)一个数值转换器的流 程图如图所示，当输入的x值为64时，输出 的y值是 ( 是无理数 输出y 是 /输入x 取算术平方根 是有理数 取立方根 理 数 是有理数 A.2 B.√2 C.±2 D.4 15.实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所 示，则化简-（√a)2十(a+b)3的结果 为 6 c a A.b-c B.-2a-b-c C.b+c D.-b-c 16.(2024·铁岭银州区期末)若元十)=0，则x与 y的关系是 [变式]若1一2x与3x-9互为相反数， 则1一一x= 17.已知一个正方体的体积是1000cm3,现要在 它的8个角上截去8个大小相同的小正方体 使截去后余下的体积是488cm3,则截得的每 个小正方体的棱长是 cm 18.计算.15+5品+1- 19.求下列各式中x的值： (1)2(x+1)3+16=0; (2)-8(2-x)3=27. 20.(2024·铁岭清河区月考)已知M="m十3是 m十3的算术平方根，N=m-“+n-2是n一2 的立方根，求M一N的平方根. 21.(2025·沈阳沈河区期中改编)已知某正数的两个 不同的平方根是3a一10和a一6，b+3的立 方根为一5.求： (1)a,b的值； (2)3a一2b的立方根， 第二章实数25 C拓展探究练 提素养、 22.(2025·大连月考)已知6=a,则0.006十 6000= A.0.1a B.a C.1.1a D.10.1a 23.【新情境·新定义】(2025·沈阳铁西区月考改编) 我们规定用(a,b)表示一个数对，给出如下定 义：记m=a,n=-√b(b>0),将(m,n)和 (n,m)称为数对(a,b)的一对“开方对称数 对”.例如，数对(8,25)的开方对称数对为 (2,-5)和(-5,2). (1)数对(27,49)的开方对称数对为 和 (2)若数对(x,6)的一个开方对称数对是 (-6,),则x (3)若数对(a,b)的一个开方对称数对是 (-4,一5)，求a+b的值. 26一本·初中数学8年级上册BS版 24.(2024·大连旅顺口区期中)数学家华罗庚在一次 出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读 的杂志上有一道智力题：求59319的立方根. 华罗庚脱口而出：39，众人感觉十分惊奇，请华 罗庚给大家解读其中的奥秘， 你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你 按下面的问题试一试： ①因为1000=10，/1000000=100，且 1000<59319<100000,所以10<959319< 100,所以能确定59319的立方根是两位数. ②因为59319的个位数字是9，且93=729，所 以能确定59319的立方根的个位数字是9. ③因为27<59<64，所以3<59<4，可 得30<59319<40，由此能确定59319的立 方根的十位数字是3. 因此59319的立方根是39， (1)按这种方法，求17576的立方根，请完成 下列填空. ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ③它的立方根的十位数字是 ④17576的立方根是 (2)根据题中给出的方法，请计算474552， 并写出详细过程，参考答案 4CD-号.AD-9 (2)△ABC为直角三角形.理由略 同步训练 5.该材料符合设计要求.理由略 6.C7.5,12,13;8,15,17(答案不唯一) 第一章勾股定理 8.D9.C10.C11.1912.720元 1探索勾股定理 13.解：(1)n2-12nn2+1 第1课时探索勾股定理 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 1.D2.c3.504.85.5 理由：因为a=n2-1,b=2n,c=n2十1，所以a2十b2=(n2 6.(1)337(2)8(3)a=20,b=15 1)2十(2n)2=n4十2n2十1=(n2+1)2=c2,所以以a,b,c为边 7.A【变式1】10【变式2】55【变式3】86 的三角形是直角三角形， 8.84cm29.28或10010.A11.A【变式】A12.C (3)观察可知第五个式子为11+602=612. 13.解：(1)4cm 3勾股定理的应用 (2)由题意，知BP=2tcm. 1.B2.53.A4.x2+32=(10-x)2 ①当∠APB=90°时，如图1，点P与，点C重合，BP=BC= 4 3 4cm,所以t=4÷2=2. 5.3.756.3cm7.28.(1)5m(2)2.8m 9.解：由题意可知，∠BEC=90°，AB=12海里，BC=16海里， AC=20海里. 因为AB2十BC2=122+162=202=AC2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90° CP) 图1 图2 因为MN⊥AC,所以快艇C进入甲海域的最短距离是CE. ②当∠BAP=90°时，如图2，CP=BP-BC=(2t-4)cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(2t-4)2, 因为S=AB·BC=吉AC·BE, 在Rt△BAP中，AP2=BP8-AB2=(2t)2-52, 所以BE-ABLC_X16智（海里， AC 20 所以3+(2：-4=(2r-5,解得1。 在Rt△BCE中，BE2十CE2=BC2, 综上所速，当△ABP为直角三角形时：的值为2或5 即cE=BC2-BE=16-()=(g）), 5 (3)①当AB=BP时，如图3,21=5，解得t= 所以CE= 海卫，所以4÷8=（时）=96（分， 64 所以9时30分+96分=11时6分. 答：快艇C最早会在11时6分进入甲海域. B 10.c13或号 12.101 图3 图4 图5 ②当AB=AP时，如图4，在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP, 即32十CP2=52,所以CP=4cm,所以BP=8cm,所以2t= 13.(1)是理由略(2)新路CH比原路CA少号kn 8,解得t=4. 14.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D. ③当BP=AP时，如图5，CP=(4-2t)cm. 设BD=x,则CD=14一x. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(4-2t)2, 在Rt△ABD中，AB=15,BD=x, 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2; B 所以(2)2=32+(4-2t)2,解得t=6, 在Rt△ACD中，AC=13,CD=14-x, 鲸上所述，当△ABP为等腰三角形时，L的值为号或4点器 25 由勾股定理，得AD2=AC2一CD2=132-(14-x)2, 所以152-x2=132一(14-x)2,解得x=9, 第2课时勾股定理的验证及简单应用 所以AD=12所以SAc2BC·AD=2X14X12=8 1.D 2.解：(1)(a-b)2+2abc2 ☆问题解决策略：反思 (2)因为方法1和方法2表示的均是大正方形的面积，所以 1.C【变式1】10【变式2】13【变式3】c (a-b)2+2ab=c2,即a2+b2=c2. 2.B【变式1】c【变式2】5cm【变式3】5 (3)1 3.1304.205.266.57.130 3.C4.B5.B6.17m 8.解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长 D 7.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AC2-AB2= 的一半，作点A关于EG的对称点A',连接 E G 502-302=402,所以BC=40m,所以v=40÷2=20(m/s). A'B交EG于点F,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的 因为20m/s=72km/h,72>70,所以这辆小汽车超速了. 最短路程为AF+BF的长，即AF+BF= 8.D9.C10.(1)9.5米(2)应该再放出8米线 A'B=20cm,过点A'作A'D⊥BG,交BG的 11.(1)c2-(a-x)22ax(2)a2+b2<c2.理由略(3)9 延长线于点D. 2一定是直角三角形吗 因为AE=A'E=DG=4cm,所以BD=16cm. 1.D2.A【变式】543.90° 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'D=12cm, 所以该圆柱的底面周长为24cm. 数学8年级上 章末复习 5.B6.D7.B 1A2A3.B4号 -88五Z099995 9.B10.B 8.(1)无理数集合： -0.1212121…(相邻两个1之间 50 11.D12.(1)△BCD为直角三角形.理由略 (2)3cm 2的个数逐次加1)，…； 13.A14.30cm215.2.25 (2)整数集合：{-2,0，-32，-(-1)，…}； 16.解：(1)如图，过，点A作AD⊥BC于点D. 因为AB⊥AC,所以∠BAC=90° 3)分数集合：{- 3 ，-3.14,0.37,31,…}； 因为AC=300km,AB=400km, (4)正实数集合： 所以BC2=AC2+AB2=3002+4002=5002,所以BC=500km. 是引0.，-（-103 因为AD1BC,所以SaMc=专BC·AD=AB·AC, 1 0.1212212221…(相邻两个1之间2的个数逐次加1)，… 所以AD= AB·AC400×300 BC 500 =240(km). 9.D10.131.c12.c13.-2(答案不唯-) B 因为AD<260km,所以农场A会受到台风的 14.解：(1)如图1，Rt△ABC即为所求 影响 (2)如图，取BC上两点E,F,使得AE=AF 260km. 易得台风在线段EF上移动时，会对农场A造 图1 图2 图3 成影响. (2)如图2，Rt△DEF即为所求. 因为AD=240km,AE=AF=260km,AD⊥BC,所以DE= (3)如图3，正方形PQRS即为所求。 DF-√260-240=100(km), 15.解：假设直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边长为 所以CD√3002-2402=180(km), n,n是一个有理数.由勾股定理，得n2=5. 所以CE=CD+DE=280km, 所以同时影响农场A和B市的距离为260一(500一280)=40(km). 因为m是一个有里数，所以设刀=号口与6是互质的两个整 因为台风的速度是25km/h, 所以受台风影响的时间为40÷25=1.6(h). 数，里60，剥=（后）广，即5=（合）广，所以a=56. 17.25或16 18.25或7 因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数. 中考新趋势 再设a=5m(m是整数，且m≠0)，所以(5m)2=5b2,所以b2= 5m2,所以b也为5的倍数，与a,b是互质的正整数矛盾. 故假设不成立，即直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边 2.解：(1)△ABC是直角三角形.理由略 长是一个无理数. (2)因为AD=13dm,AE=5dm,AE⊥DE, 2平方根与立方根 所以在Rt△ADE中，由勾股定理，得 DE=√/AD-AE=√132-5=12(dm). 第1课时算术平方根 如图，过点A作AG⊥BC于点G. 1A2.A3.c415.113(2)号(3)0.12(48 由(1)，得△ABC是直角三角形，所以S△AC= 6.B7.18.(1)a≥0(2)a≤0(3)a≥0(4)a≤3 号AB·AC=号BC·AG,所以AG 9.B10.D【变式】√1011.B12√/713.D AB·AC_6X8 14.D【变式】215.(1)14.14(2)10000m BC 10 =4.8(dm),所以购物车上篮子的左边缘D到 第2课时平方根 地面的距离为DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(dm) 1.C2.C3.C4.B5.-2024【变式1】-5【变式2】16 3.60 4.解：(1)是.理由略 6.士而2±号(3)±专 (4)士0.15 (2)设NB=x,则MN=24-AM-NB=18-x. (5)±5(6)±10-3 ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM+NB, 7.7778.② 即(18-x)2=36十x2,解得x=8; ②当NB为最长线段时，依题意，得NB2=AM2十MN2, 9.168-号8日 (40.01(5)8(6±号 即x2=36+(18-x)2,解得x=10. 10.±3【变式】1611.D12.(1)π-3.14(2)-a 综上所述，NB=8或NB=10. 11 11 第二章实数 13.(10x1=2x2=- 2 (2)x1=4,x2=-8 1认识实数 (3)x1=√27-3，x2=-√27-3 1.D2.D3.C 14.±515.(1)±3(2)a=3,m=256或a=-5,m=576 4.解：(1)a不是有理数.理由如下： 16.(1)10cm(2)不能.理由略 由题意，得ra2=50π，解得a2=50. 第3课时 立方根 因为a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数 1.A2.C3.D4.0或-1或1【变式】B5.-2 (2)因为72=49,82=64， 所以a介于7和8之间，它的整数部分是7，小数部分是a一7 60.5②76（或写作-而）80片④- 册(BS版)⑦ 6.10.5(2)5(或写作-)(8)号 3 8.解：(1)3 (4)- 2 (2)正确解答过程如下： 7.B8.c 原式=3√2+3√5+5√2=8√2+33. 9.127(2)06(8)-号0-9（⑤）-24(0 1 9.(1)83(2)0(3)2 10.B11.D12.213.2-2√2 10.B11.312.150m213.B14.B15.A 16.互为相反数【变式】3174181号 14.a0@5-反e号+8 (4)1-2(5)3-22 19.1x=-320x=720.士E 15.(1)2,3-535 10 (2)①<②62 21.(1)a=4,b=-8(2)2822.D (3)a=2,b=10(4)- 23.18,-)(-7,3)(27 (3)-39或-109 第3课时二次根式的混合运算 24.解：(1)①两②6③2④26 1.B2.C3.C4.1 (2)因为/1000=10，/1000000=100，且1000<474552< 5.145-3反(2②)+65(3)4-5+2后(4号 5 1000000,所以10</474552<100， 6.(1)1(2)57.20 所以能确定474552的立方根是两位数 因为474552的个位数字是2，且83=512， 8.c9.A107-611.6/5 5 4/2-5 所以能确定474552的立方根的个位数字是8. 12.(1)-6(2)10-2√2(3)2/2(4)-19 因为9/343<474<512，所以7<474<8，可得70< 13.(57+12/15-√2)cm214.(1)2(2)11 474552<80,由此能确定474552的立方根的十位数字是 章末复习 7.因此474552的立方根是78. 1.D2.D3.B4.B 第4课时估算 10 18 5.(1)x= 7或x= (2)x=-3 1.C2.c3.B4.465.7【变式】D 6.(1)4√17-4(2)1(3)-12+√3 6.(1)a=9,b=-13(2)4√5 7.解：(1)97(2)①4②2√2③1-22 a2>8T3号 ④如图，作一个长为2、宽为1的长方 9.解：由题意，知AC=11m,BC=8m,△ABC是直角三角形. 形，以原点为一个顶点，长为2的边在 由勾股定理，得AB2=AC2十BC2=112十82=185. 数轴的负半轴，再以长方形的对角线 的长为半径，原点为圆心画孤，与数轴 因为12.32=151.29<185，所以/185>√/151.29=12.3， -3E2-10 的负半轴相交于点E,点E所表示的 所以这根铁丝的长度不够用. 数即为一√5. 10.B11.4.6512.B13.C14.C15.C【变式】516.42次 ② 17.解：√17-√2<√13.理由如下： 8.C9.A10.D11√5-2 2 12.c【变式】√13 构造△DEF如图所示， 13.C14.√/21-415.D16.D17.x≥2022 由勾股定理，得DE=√22十3=√3 18.(1)6(2)2+5(3)3+5+√2 EF=√+1下=√/2，DF=√+4=√/I7. 在△DEF中，DE+EF>DF,即DF-EF< 19.B20.-221.1)2 3 a DE,所以√7-√2<√I3. 中考新趋势 3二次根式 1.(1)(4,5)(-5,-4)(2)2或9(3)(16,17) 第1课时二次根式的乘除运算 2.解：(1)因为√/2×18=6，/2×8=4，√/18×8=12， 1.B2.B3.③④⑥4.c5.B 所以2,18,8这三个数是“和谐组合”，最大算术平方根是12. (2)144 61vI223)2 (4)23(5)/3 3.(1)1+√5(2)22-√5(3)25-2 7.(1)1515(2)32(3)4(4)11+4√7 4.(1)15(2)15.93.示意图略 8.(1)6(2)21+45(3)3(4)2 第三章位置与坐标 9.210.g 11.1-4/21 1确定位置 1.(3,6)792.C3.C4.D65.B6.(3,300°) 第2课时二次根式的化简及加减运算 7.(1)BC(2)(7,4)(8,3) 1.c2.B3.(1)156(2)43(3) (3)答案不唯一，如(2,0)(3,0)(4,0)(4,1) 5 (4)6√7 8.(4,3) 4.a36253④6)3西 2平面直角坐标系 13 2 2 6) 13 第1课时平面直角坐标系 5.c6.C7.-2√5 1.B2.丙3.C4.(3,4)3-2DC二5.5 数学8年级 6.解：(1)A(-2,-2),B(-5,4),C(5,-4),D(0,-3), 筑物的位置分别为国旗杆(0,0)，校门(0，一3)，篮球场（一3， E(2,5),F(-3,0). 一1)，操场(4，一1)，实验楼（4,1)，学生公寓（一4,2），图书馆 (2)如图所示. (2,3),餐厅（一4,4），体育馆（一3,5），教学楼(3,5).（答案不唯一） 北 体育馆 教学楼 餐厅 图书馆 学生公寓 实验楼 国旗杆 篮球扬 操场 7.解：(1)平面直角坐标系如图所示， 校门 子馆 2解：答案不唯一，例如建立如图所示的平 面直角坐标系 点A的坐标是(0,4)，点B的坐标是(6， 4),点C的坐标是(6,0)，点D的坐标是 南门动物馆 (0,0).作EG⊥CD,垂足为G,交AB于点 F.因为AE=BE,所以AF=1 D(OG© 1 X6=3,在Rt△AEF中，EF=VAE-AF=√5-3 (2)狮子馆（一4,5），飞禽馆(3,4)，马馆(-3，一3)，两栖动物馆 4,则EG=4十4=8，则点E的坐标是(3,8) (4,1). 3.A4.A5.(2,-3) 6解：(1)建立的平面直角坐标系如图所示. 8.(1)4225(2)(3,-5)(3)(1,1)或(-3,3) 第2课时平面直角坐标系中点的坐标特征 1.D2.B3.D4.A5.D 6.-1(0,-2)(2,0)或(0，-2)7.B8.2 9.解：如图 D (2)棋子C的坐标为(2,1)，棋子D的坐标为（一2，一1）. (3)如图，黑色棋子E即为所求. (1)A,B,C横坐标都为0(2)纵x 7.A8.(2-23,0)9.(2,5)或(6,1) (3)平行(4)18 10.解：(1)如图所示. 10.A11.D【变式】(2,8)或(2，-10)12.(3,6) 13.(1)(-2,0)(2)(0,2)(3)4(4)(-1,1) (5)(-1,1)或(-3，-1) 14.解：(1)△ABC如图所示 3 (2)(0,2) B 5+4+3+2-10 12345x (3)△ABC知图所示.SaAc=2X6X4=12, -2 (4),点P的坐标为(0，一4)或(0,8) 11.解：(1)建立的平面直角坐标系如图所示」 -十-- 5 5 (2)点P的坐标为(10,0)或(-6,0) 15.(1)√37(2)△ABC是等腰直角三角形.理由略 变式微专题象限角平分线上的点的坐标特征 (2)存在.所有满足条件的点C的坐标为(7,0)或(4,0)或（一6， 【例】A【变式】(25,25)或(5，-5) 第3课时建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置 0或（货o 1解：以国旗杆为原，点，建立如图所示的平面直角坐标系，各建 12.(5,2)或(1，-2) 册(BS版)1B