2.1 认识实数-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（北师大版2024）

参考答案 4CD-号.AD-9 (2)△ABC为直角三角形.理由略 同步训练 5.该材料符合设计要求.理由略 6.C7.5,12,13;8,15,17(答案不唯一) 第一章勾股定理 8.D9.C10.C11.1912.720元 1探索勾股定理 13.解：(1)n2-12nn2+1 第1课时探索勾股定理 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 1.D2.c3.504.85.5 理由：因为a=n2-1,b=2n,c=n2十1，所以a2十b2=(n2 6.(1)337(2)8(3)a=20,b=15 1)2十(2n)2=n4十2n2十1=(n2+1)2=c2,所以以a,b,c为边 7.A【变式1】10【变式2】55【变式3】86 的三角形是直角三角形， 8.84cm29.28或10010.A11.A【变式】A12.C (3)观察可知第五个式子为11+602=612. 13.解：(1)4cm 3勾股定理的应用 (2)由题意，知BP=2tcm. 1.B2.53.A4.x2+32=(10-x)2 ①当∠APB=90°时，如图1，点P与，点C重合，BP=BC= 4 3 4cm,所以t=4÷2=2. 5.3.756.3cm7.28.(1)5m(2)2.8m 9.解：由题意可知，∠BEC=90°，AB=12海里，BC=16海里， AC=20海里. 因为AB2十BC2=122+162=202=AC2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90° CP) 图1 图2 因为MN⊥AC,所以快艇C进入甲海域的最短距离是CE. ②当∠BAP=90°时，如图2，CP=BP-BC=(2t-4)cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(2t-4)2, 因为S=AB·BC=吉AC·BE, 在Rt△BAP中，AP2=BP8-AB2=(2t)2-52, 所以BE-ABLC_X16智（海里， AC 20 所以3+(2：-4=(2r-5,解得1。 在Rt△BCE中，BE2十CE2=BC2, 综上所速，当△ABP为直角三角形时：的值为2或5 即cE=BC2-BE=16-()=(g）), 5 (3)①当AB=BP时，如图3,21=5，解得t= 所以CE= 海卫，所以4÷8=（时）=96（分， 64 所以9时30分+96分=11时6分. 答：快艇C最早会在11时6分进入甲海域. B 10.c13或号 12.101 图3 图4 图5 ②当AB=AP时，如图4，在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP, 即32十CP2=52,所以CP=4cm,所以BP=8cm,所以2t= 13.(1)是理由略(2)新路CH比原路CA少号kn 8,解得t=4. 14.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D. ③当BP=AP时，如图5，CP=(4-2t)cm. 设BD=x,则CD=14一x. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(4-2t)2, 在Rt△ABD中，AB=15,BD=x, 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2; B 所以(2)2=32+(4-2t)2,解得t=6, 在Rt△ACD中，AC=13,CD=14-x, 鲸上所述，当△ABP为等腰三角形时，L的值为号或4点器 25 由勾股定理，得AD2=AC2一CD2=132-(14-x)2, 所以152-x2=132一(14-x)2,解得x=9, 第2课时勾股定理的验证及简单应用 所以AD=12所以SAc2BC·AD=2X14X12=8 1.D 2.解：(1)(a-b)2+2abc2 ☆问题解决策略：反思 (2)因为方法1和方法2表示的均是大正方形的面积，所以 1.C【变式1】10【变式2】13【变式3】c (a-b)2+2ab=c2,即a2+b2=c2. 2.B【变式1】c【变式2】5cm【变式3】5 (3)1 3.1304.205.266.57.130 3.C4.B5.B6.17m 8.解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长 D 7.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AC2-AB2= 的一半，作点A关于EG的对称点A',连接 E G 502-302=402,所以BC=40m,所以v=40÷2=20(m/s). A'B交EG于点F,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的 因为20m/s=72km/h,72>70,所以这辆小汽车超速了. 最短路程为AF+BF的长，即AF+BF= 8.D9.C10.(1)9.5米(2)应该再放出8米线 A'B=20cm,过点A'作A'D⊥BG,交BG的 11.(1)c2-(a-x)22ax(2)a2+b2<c2.理由略(3)9 延长线于点D. 2一定是直角三角形吗 因为AE=A'E=DG=4cm,所以BD=16cm. 1.D2.A【变式】543.90° 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'D=12cm, 所以该圆柱的底面周长为24cm. 数学8年级上 章末复习 5.B6.D7.B 1A2A3.B4号 -88五Z099995 9.B10.B 8.(1)无理数集合： -0.1212121…(相邻两个1之间 50 11.D12.(1)△BCD为直角三角形.理由略 (2)3cm 2的个数逐次加1)，…； 13.A14.30cm215.2.25 (2)整数集合：{-2,0，-32，-(-1)，…}； 16.解：(1)如图，过，点A作AD⊥BC于点D. 因为AB⊥AC,所以∠BAC=90° 3)分数集合：{- 3 ，-3.14,0.37,31,…}； 因为AC=300km,AB=400km, (4)正实数集合： 所以BC2=AC2+AB2=3002+4002=5002,所以BC=500km. 是引0.，-（-103 因为AD1BC,所以SaMc=专BC·AD=AB·AC, 1 0.1212212221…(相邻两个1之间2的个数逐次加1)，… 所以AD= AB·AC400×300 BC 500 =240(km). 9.D10.131.c12.c13.-2(答案不唯-) B 因为AD<260km,所以农场A会受到台风的 14.解：(1)如图1，Rt△ABC即为所求 影响 (2)如图，取BC上两点E,F,使得AE=AF 260km. 易得台风在线段EF上移动时，会对农场A造 图1 图2 图3 成影响. (2)如图2，Rt△DEF即为所求. 因为AD=240km,AE=AF=260km,AD⊥BC,所以DE= (3)如图3，正方形PQRS即为所求。 DF-√260-240=100(km), 15.解：假设直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边长为 所以CD√3002-2402=180(km), n,n是一个有理数.由勾股定理，得n2=5. 所以CE=CD+DE=280km, 所以同时影响农场A和B市的距离为260一(500一280)=40(km). 因为m是一个有里数，所以设刀=号口与6是互质的两个整 因为台风的速度是25km/h, 所以受台风影响的时间为40÷25=1.6(h). 数，里60，剥=（后）广，即5=（合）广，所以a=56. 17.25或16 18.25或7 因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数. 中考新趋势 再设a=5m(m是整数，且m≠0)，所以(5m)2=5b2,所以b2= 5m2,所以b也为5的倍数，与a,b是互质的正整数矛盾. 故假设不成立，即直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边 2.解：(1)△ABC是直角三角形.理由略 长是一个无理数. (2)因为AD=13dm,AE=5dm,AE⊥DE, 2平方根与立方根 所以在Rt△ADE中，由勾股定理，得 DE=√/AD-AE=√132-5=12(dm). 第1课时算术平方根 如图，过点A作AG⊥BC于点G. 1A2.A3.c415.113(2)号(3)0.12(48 由(1)，得△ABC是直角三角形，所以S△AC= 6.B7.18.(1)a≥0(2)a≤0(3)a≥0(4)a≤3 号AB·AC=号BC·AG,所以AG 9.B10.D【变式】√1011.B12√/713.D AB·AC_6X8 14.D【变式】215.(1)14.14(2)10000m BC 10 =4.8(dm),所以购物车上篮子的左边缘D到 第2课时平方根 地面的距离为DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(dm) 1.C2.C3.C4.B5.-2024【变式1】-5【变式2】16 3.60 4.解：(1)是.理由略 6.士而2±号(3)±专 (4)士0.15 (2)设NB=x,则MN=24-AM-NB=18-x. (5)±5(6)±10-3 ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM+NB, 7.7778.② 即(18-x)2=36十x2,解得x=8; ②当NB为最长线段时，依题意，得NB2=AM2十MN2, 9.168-号8日 (40.01(5)8(6±号 即x2=36+(18-x)2,解得x=10. 10.±3【变式】1611.D12.(1)π-3.14(2)-a 综上所述，NB=8或NB=10. 11 11 第二章实数 13.(10x1=2x2=- 2 (2)x1=4,x2=-8 1认识实数 (3)x1=√27-3，x2=-√27-3 1.D2.D3.C 14.±515.(1)±3(2)a=3,m=256或a=-5,m=576 4.解：(1)a不是有理数.理由如下： 16.(1)10cm(2)不能.理由略 由题意，得ra2=50π，解得a2=50. 第3课时 立方根 因为a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数 1.A2.C3.D4.0或-1或1【变式】B5.-2 (2)因为72=49,82=64， 所以a介于7和8之间，它的整数部分是7，小数部分是a一7 60.5②76（或写作-而）80片④- 册(BS版)⑦第二章 实数 1 认 A知识分点练 夯基础 知识点1无理数的发现 1.(2024·沈阳浑南区期未改编)以下正方形的边长不 是有理数的是 A.面积为100的正方形 B.面积为25的正方形 C.面积为49的正方形 D.面积为45的正方形 2.两直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边 长 A.是整数 B.是分数 C.是有理数 D.既不是整数，也不是分数 知识点2用“夹逼法”估算无理数的近似值 3.若一个面积为2的正方形的边长为a,则a是 无理数.教材中采取“夹逼法”对a的大小进行 了探究：即先判断出a是大于1且小于2的数， 再进一步得到1.4<a<1.5(精确到一位小数) 同样地，若一个面积为14的正方形的边长为 b,则b的取值范围是（精确到一位小数） ( A.3.5<b<3.6 B.3.6<b3.7 C.3.7<b<3.8 D.3.8<b<3.9 4.【新情境·传统文化】（原创题）刺绣能通过绣线 的色彩和纹理变化，展现出丰富的视觉效果和 艺术美感，是国家级非物质文化遗产的一部分。 一幅面积约为50πcm的圆形刺绣作品如图所 示，设它的半径为acm. (1)a是有理数吗？请说明理由. 识实数 (2)a介于哪两个整数之间？它的整数部分和 小数部分各是多少？ 知识点3实数的概念及分类 5.(2025·沈阳皇姑区期中)下列各数中，是无理数的 是 （) A.0 B号 22 C.1 D.2.010101… 6.3.14一π的绝对值是 ( A.3.14—元 B.3.14 C.0 D.π-3.14 7.下列说法不正确的是 A.实数包括正实数、零和负实数 B.正整数和负整数统称为整数 C.无理数一定是无限小数 D,有理数包括正有理数、零和负有理数 8.把下列各数填入相应的集合内： 3 -2,0, 4 3.14,交=32,0.37， -(-1),3-1,0.1212212221…(相邻两个1之 间2的个数逐次加1). (1)无理数集合：{ …}； (2)整数集合：{ …}； (3)分数集合：{ …}; (4)正实数集合：{ …}. 知识点4实数与数轴上点的对应关系 9.与数轴上的点一一对应的数是 A.整数 B.有理数C.无理数D.实数 第二章实数19 10.如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数 为2，AB⊥BC,垂足为B,且BC=3,以点A 为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴正半轴 于点D,则点D表示的数的平方为 A B D -1012 4 第10题图 第11题图 B能力综合练 练思维 11.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长 均为1，则在网格上的△ABC中，长度是无理 数的边有 () A.0条B.1条 C.2条 D.3条 12.如图，圆的直径为1，该圆上的点A与数轴上 表示一1的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A 到达点A'的位置，则点A表示的数是() A.π-1 B.一π-1 C.-π-1或π-1D.-π-1或π十1 13.写出一个同时符合下列三个条件的数： (1)它是一个无理数； (2)在数轴上表示它的点在原点的左侧； (3)它的绝对值比2小. 14.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长 都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为 顶点分别按下列要求画图. (1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边 长都是有理数； (2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边 长都是无理数； 20一本·初中数学8年级上册BS版 (3)在图3中画一个正方形，使它的面积是5. 图1 图2 图3 C拓展探究练 提素养、 15.【新考法·阅读理解】定义：可以表示为两个互 质整数的商的形式的数称为有理数，整数可 以看作分母为1的有理数；反之为无理数.对 于“边长为1的正方形的对角线长是一个无理 数”，给出了如下证明： 假设边长为1的正方形的对角线长为n,n是 一个有理数.由勾股定理，得n2=2. 因为是一个有理数，所以设n=6,a与b是 互质的两个整数，且6≠0，则m2=(分)，即 2=(分，所以a2=262 因为b是整数且不为0，所以a是不为0的 偶数. 再设a=2m(m是整数，且m≠0)，所以 (2m)2=2b2,即b2=2m2,所以b也是偶数，与 a,b是互质的正整数矛盾. 故假设不成立，即边长为1的正方形的对角线 长是一个无理数 [解决问题]请试着说明直角边长分别为1和 2的直角三角形的斜边长是无理数