1.1 第2课时 勾股定理的验证及简单应用-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（北师大版2024）

参考答案 4CD-号.AD-9 (2)△ABC为直角三角形.理由略 同步训练 5.该材料符合设计要求.理由略 6.C7.5,12,13;8,15,17(答案不唯一) 第一章勾股定理 8.D9.C10.C11.1912.720元 1探索勾股定理 13.解：(1)n2-12nn2+1 第1课时探索勾股定理 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 1.D2.c3.504.85.5 理由：因为a=n2-1,b=2n,c=n2十1，所以a2十b2=(n2 6.(1)337(2)8(3)a=20,b=15 1)2十(2n)2=n4十2n2十1=(n2+1)2=c2,所以以a,b,c为边 7.A【变式1】10【变式2】55【变式3】86 的三角形是直角三角形， 8.84cm29.28或10010.A11.A【变式】A12.C (3)观察可知第五个式子为11+602=612. 13.解：(1)4cm 3勾股定理的应用 (2)由题意，知BP=2tcm. 1.B2.53.A4.x2+32=(10-x)2 ①当∠APB=90°时，如图1，点P与，点C重合，BP=BC= 4 3 4cm,所以t=4÷2=2. 5.3.756.3cm7.28.(1)5m(2)2.8m 9.解：由题意可知，∠BEC=90°，AB=12海里，BC=16海里， AC=20海里. 因为AB2十BC2=122+162=202=AC2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90° CP) 图1 图2 因为MN⊥AC,所以快艇C进入甲海域的最短距离是CE. ②当∠BAP=90°时，如图2，CP=BP-BC=(2t-4)cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(2t-4)2, 因为S=AB·BC=吉AC·BE, 在Rt△BAP中，AP2=BP8-AB2=(2t)2-52, 所以BE-ABLC_X16智（海里， AC 20 所以3+(2：-4=(2r-5,解得1。 在Rt△BCE中，BE2十CE2=BC2, 综上所速，当△ABP为直角三角形时：的值为2或5 即cE=BC2-BE=16-()=(g）), 5 (3)①当AB=BP时，如图3,21=5，解得t= 所以CE= 海卫，所以4÷8=（时）=96（分， 64 所以9时30分+96分=11时6分. 答：快艇C最早会在11时6分进入甲海域. B 10.c13或号 12.101 图3 图4 图5 ②当AB=AP时，如图4，在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP, 即32十CP2=52,所以CP=4cm,所以BP=8cm,所以2t= 13.(1)是理由略(2)新路CH比原路CA少号kn 8,解得t=4. 14.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D. ③当BP=AP时，如图5，CP=(4-2t)cm. 设BD=x,则CD=14一x. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(4-2t)2, 在Rt△ABD中，AB=15,BD=x, 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2; B 所以(2)2=32+(4-2t)2,解得t=6, 在Rt△ACD中，AC=13,CD=14-x, 鲸上所述，当△ABP为等腰三角形时，L的值为号或4点器 25 由勾股定理，得AD2=AC2一CD2=132-(14-x)2, 所以152-x2=132一(14-x)2,解得x=9, 第2课时勾股定理的验证及简单应用 所以AD=12所以SAc2BC·AD=2X14X12=8 1.D 2.解：(1)(a-b)2+2abc2 ☆问题解决策略：反思 (2)因为方法1和方法2表示的均是大正方形的面积，所以 1.C【变式1】10【变式2】13【变式3】c (a-b)2+2ab=c2,即a2+b2=c2. 2.B【变式1】c【变式2】5cm【变式3】5 (3)1 3.1304.205.266.57.130 3.C4.B5.B6.17m 8.解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长 D 7.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AC2-AB2= 的一半，作点A关于EG的对称点A',连接 E G 502-302=402,所以BC=40m,所以v=40÷2=20(m/s). A'B交EG于点F,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的 因为20m/s=72km/h,72>70,所以这辆小汽车超速了. 最短路程为AF+BF的长，即AF+BF= 8.D9.C10.(1)9.5米(2)应该再放出8米线 A'B=20cm,过点A'作A'D⊥BG,交BG的 11.(1)c2-(a-x)22ax(2)a2+b2<c2.理由略(3)9 延长线于点D. 2一定是直角三角形吗 因为AE=A'E=DG=4cm,所以BD=16cm. 1.D2.A【变式】543.90° 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'D=12cm, 所以该圆柱的底面周长为24cm. 数学8年级上 章末复习 5.B6.D7.B 1A2A3.B4号 -88五Z099995 9.B10.B 8.(1)无理数集合： -0.1212121…(相邻两个1之间 50 11.D12.(1)△BCD为直角三角形.理由略 (2)3cm 2的个数逐次加1)，…； 13.A14.30cm215.2.25 (2)整数集合：{-2,0，-32，-(-1)，…}； 16.解：(1)如图，过，点A作AD⊥BC于点D. 因为AB⊥AC,所以∠BAC=90° 3)分数集合：{- 3 ，-3.14,0.37,31,…}； 因为AC=300km,AB=400km, (4)正实数集合： 所以BC2=AC2+AB2=3002+4002=5002,所以BC=500km. 是引0.，-（-103 因为AD1BC,所以SaMc=专BC·AD=AB·AC, 1 0.1212212221…(相邻两个1之间2的个数逐次加1)，… 所以AD= AB·AC400×300 BC 500 =240(km). 9.D10.131.c12.c13.-2(答案不唯-) B 因为AD<260km,所以农场A会受到台风的 14.解：(1)如图1，Rt△ABC即为所求 影响 (2)如图，取BC上两点E,F,使得AE=AF 260km. 易得台风在线段EF上移动时，会对农场A造 图1 图2 图3 成影响. (2)如图2，Rt△DEF即为所求. 因为AD=240km,AE=AF=260km,AD⊥BC,所以DE= (3)如图3，正方形PQRS即为所求。 DF-√260-240=100(km), 15.解：假设直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边长为 所以CD√3002-2402=180(km), n,n是一个有理数.由勾股定理，得n2=5. 所以CE=CD+DE=280km, 所以同时影响农场A和B市的距离为260一(500一280)=40(km). 因为m是一个有里数，所以设刀=号口与6是互质的两个整 因为台风的速度是25km/h, 所以受台风影响的时间为40÷25=1.6(h). 数，里60，剥=（后）广，即5=（合）广，所以a=56. 17.25或16 18.25或7 因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数. 中考新趋势 再设a=5m(m是整数，且m≠0)，所以(5m)2=5b2,所以b2= 5m2,所以b也为5的倍数，与a,b是互质的正整数矛盾. 故假设不成立，即直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边 2.解：(1)△ABC是直角三角形.理由略 长是一个无理数. (2)因为AD=13dm,AE=5dm,AE⊥DE, 2平方根与立方根 所以在Rt△ADE中，由勾股定理，得 DE=√/AD-AE=√132-5=12(dm). 第1课时算术平方根 如图，过点A作AG⊥BC于点G. 1A2.A3.c415.113(2)号(3)0.12(48 由(1)，得△ABC是直角三角形，所以S△AC= 6.B7.18.(1)a≥0(2)a≤0(3)a≥0(4)a≤3 号AB·AC=号BC·AG,所以AG 9.B10.D【变式】√1011.B12√/713.D AB·AC_6X8 14.D【变式】215.(1)14.14(2)10000m BC 10 =4.8(dm),所以购物车上篮子的左边缘D到 第2课时平方根 地面的距离为DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(dm) 1.C2.C3.C4.B5.-2024【变式1】-5【变式2】16 3.60 4.解：(1)是.理由略 6.士而2±号(3)±专 (4)士0.15 (2)设NB=x,则MN=24-AM-NB=18-x. (5)±5(6)±10-3 ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM+NB, 7.7778.② 即(18-x)2=36十x2,解得x=8; ②当NB为最长线段时，依题意，得NB2=AM2十MN2, 9.168-号8日 (40.01(5)8(6±号 即x2=36+(18-x)2,解得x=10. 10.±3【变式】1611.D12.(1)π-3.14(2)-a 综上所述，NB=8或NB=10. 11 11 第二章实数 13.(10x1=2x2=- 2 (2)x1=4,x2=-8 1认识实数 (3)x1=√27-3，x2=-√27-3 1.D2.D3.C 14.±515.(1)±3(2)a=3,m=256或a=-5,m=576 4.解：(1)a不是有理数.理由如下： 16.(1)10cm(2)不能.理由略 由题意，得ra2=50π，解得a2=50. 第3课时 立方根 因为a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数 1.A2.C3.D4.0或-1或1【变式】B5.-2 (2)因为72=49,82=64， 所以a介于7和8之间，它的整数部分是7，小数部分是a一7 60.5②76（或写作-而）80片④- 册(BS版)⑦第2课时 勾股定县 A知识分点练 夯基础 知识点1勾股定理的验证 1勾股定理是数学定理中验证方法最多的定理 之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的 工具之一.下列图形中，可以验证勾股定理的 有 b ②) ③ ④ A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 2用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成 图2中的大正方形.解答下列问题： (1)请用含a,b,c的代数式表示大正方形的 面积. 方法1： ;方法2： (2)利用图形的面积关系，推导a,b,c之间满 足的关系式。 (3)利用(2)得到的关系式，如果大正方形的面 积是25，且(a+b)2=49,求小正方形的面积， +X校 ☒1 图2 知识点2勾股定理的简单应用 3.(2025·沈阳康平期未)一茅屋的屋顶剖面如图所 示，它呈等腰三角形，如果屋檐AB=AC= 5m,横梁BC=8m,从横梁BC上的任意一点 D处支一根木头顶住屋顶的点A处，那么这根 6一本·初中数学8年级上册BS版 里的验证及简单应用 木头的长度可能是 ( A.2.5mB.6m C.4m D.8 m 第3题图 第4题图 4.(教材P8习题T3变式)如图，一棵大树在离地面 6m高的B处断裂，树顶A落在距离大树底部 C8m处，则大树断裂之前的高度为() A.10mB.16m C.15mD.14m 5.(2025·沈阳月考)如图，长方形BCFG是一块草 地，折线ABCDE是一条人行道，BC=15m, CD=8m,为了避免行人穿过草地（走虚线 BD),践踏绿草，管理部门分别在B,D处挂了 一块牌子，牌子上写着“少走nm,踏之何忍”， 其中n的值为 () A.5 B.6 C.4 D.7 B 5m 13m 第5题图 第6题图 6.如图，在一个高为5m、长为13m的楼梯表面 铺地毯，则地毯的长度至少是 7.(教材P5例题变式)如图，一辆小汽车在一条限速 为70km/h的公路上直线行驶.某一时刻刚好 行驶到路对面车速检测仪A正前方30m的B 处，过了2s后，测得小汽车（位于C处）与车速检 测仪A的距离为50m,这辆小汽车超速了吗？ B能力综合练 练思维 8.(2024·鞍山铁东区月考)如图，小巷左右两侧是竖 直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到 左墙角的距离BC为0.7m,梯子顶端到地面的 距离AC为2.4m.若保持梯子底端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 A'D为1.5m,则小巷的宽为 ( A.2.4mB.2m C.2.5m D.2.7m A 2.4m .5m B D 0.7m 第8题图 第9题图 9.(2025·沈阳铁西区月考)一个由“赵爽弦图”变化 得到的图形如图所示，它由八个全等的直角三 角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形 EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1,S2, S3.若S1十S2+S3=60,则S2的值是( ) A.12 B.15 C.20 D.30 10.(2025·锦州期中)某数学兴趣小组想要利用所 学数学知识测量风筝的高度.如图，小组成员 测得与风筝的水平距离BC的长为15米，根 据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为 17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米. (1)求AD的长； (2)如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且 BC的长度不变，则应该再放出多少米线？ A 0⊙ C拓展探究练 提素养、 11.(教材P5思考·交流变式)[问题背景]在△ABC 中，BC=a,AC=b,AB=c,且c≥b≥a.若 ∠C为直角，则a2十b2=c2;若∠C为锐角或 钝角，则a2+b2与c2之间有怎样的大小关系？ [探究结论](1)当△ABC是锐角三角形时，小 明猜想：a2+b2>c2,以下是他的猜想过程： 如图1，过点A作AD⊥CB,垂足为D. 设CD=x. 在Rt△ADC中，AD2=b2-x2, 在Rt△ADB中，AD2=①， 所以b2-x2=①， 化简，得a2十b2一c2=2ax. 因为a>0,x>0,所以②>0， 所以a2+b2-c2>0, 即a2+b>c2. 其中，①是 ;②是 (2)如图2，当△ABC是钝角三角形时，猜想 a2十b与c2之间的关系，并说明理由 [拓展应用](3)如图3，在△ABC中，∠B为 锐角，D是AC的中点，点E在BC上，点F 在AB上.若CE=5,EF=11,∠EDF=90°， 求AF长的最大整数值. 图3 第一章勾殷定理7