1.1 第1课时 探索勾股定理-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（北师大版2024）

第一章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 A知识分点练 夯基础 (2)若a=15,c=17,求b的值； (3)若a:b=4:3,c=25,求a,b的值. 知识点1勾股定理 1.已知直角三角形的两条直角边长分别为6,8， 则斜边的长为 () A.5 B.6 C.8 D.10 2.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的 知识点2：勾股定理求面积 对边，下列说法正确的是 () 7.(2025·沈阳大东区期中)如图，25和169分别表示 A.a2+b2=c2 其所在正方形的面积，则字母B所代表的正方 B.若△ABC是直角三角形，则a2+b2=c2 形的面积是 （) A.144 C.若∠C=90°，则a2+b2=c2 B.194 C.12 D.69 D.若∠B=90°，则a2+b2=c2 25 3.在Rt△ABC中，斜边BC=5,则BC2+AB2+ AC2= 169 4.(教材P9习题T6变式)如图，在△ABC中，AB= 第7题图 变式1图 AC=10,BC=12,AD平分∠BAC,则AD= [变式1](2025·沈阳浑南区期未)在如图所示的 图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，正方形A,B,C,D的面积 之和是100cm,则最大的正方形的边长为 cm B 第4题图 第5题图 [变式2](2025·阜新细河区期中)一个勾股树衍 5.(教材P19复习题T1变式)如图，在5×6的正方形 生图案如图所示，它由若干个正方形和直角三 网格中，点A,B都在格点（网格线的交点）上， 角形构成，S1,S2,S3,S4分别表示其对应正方 且每个小正方形的边长都是1，则线段AB的 形的面积.若已知上方左右两端的两个正方形 长为 的面积分别是64,9，则S1一S2+S3一S4= 6.如图，在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c,∠C=90°. 64 (1)若a=9,b=16,求c2的值； S ⊙ A S.B 变式2图 变式3图 b [变式3](2024·鞍山立山区月考)如图，在四边 形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以 四边形的四条边为边向外作四个正方形，S1, 4一本·初中数学8年级上册BS版 S2,S3,S4分别表示其对应正方形的面积.若 [变式](2025·沈阳沈北新区期中)如图， S1+S4=135,S3=49,则S2= △ABC的顶，点都在边长为1的正方形网格的 8.(教材P20复习题T2变式)如图，在△ABC中，AD 格点上，CD⊥AB于点D,则CD的长是() 是边BC上的高，AB=13cm,AC=15cm AD=12cm,求△ABC的面积. A号 B.4 c唱 12.【新考法·新定义】(2025·沈阳大东区月考)对角 线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有 如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线 AC,BD交于点O.若AD=1,BC=4,则 AB2+CD2等于 () A.15 B.16 C.17 D.20 C拓展探究练 提素养 ?易错点未明确直角边和斜边导致漏解 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 9.在直角三角形中，有两边的长分别为6和8，那 5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线 么第三边的长的平方为 BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts. B能力综合练 练思维 (1)边BC的长为 10如果把一个直角三角形的两条直角边都扩大 (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； 到原来的2倍，那么斜边将 () (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. A.扩大到原来的2倍 B.扩大到原来的4倍 C.扩大到原来的3倍 D.不能确定 备用图 11.(2025·辽阳二中期中)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=9,BC=12,点C到AB的 距离CD是 () R 36 12 B.35 c 03 4 第一章勾股定理5参考答案 4CD-号.AD-9 (2)△ABC为直角三角形.理由略 同步训练 5.该材料符合设计要求.理由略 6.C7.5,12,13;8,15,17(答案不唯一) 第一章勾股定理 8.D9.C10.C11.1912.720元 1探索勾股定理 13.解：(1)n2-12nn2+1 第1课时探索勾股定理 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 1.D2.c3.504.85.5 理由：因为a=n2-1,b=2n,c=n2十1，所以a2十b2=(n2 6.(1)337(2)8(3)a=20,b=15 1)2十(2n)2=n4十2n2十1=(n2+1)2=c2,所以以a,b,c为边 7.A【变式1】10【变式2】55【变式3】86 的三角形是直角三角形， 8.84cm29.28或10010.A11.A【变式】A12.C (3)观察可知第五个式子为11+602=612. 13.解：(1)4cm 3勾股定理的应用 (2)由题意，知BP=2tcm. 1.B2.53.A4.x2+32=(10-x)2 ①当∠APB=90°时，如图1，点P与，点C重合，BP=BC= 4 3 4cm,所以t=4÷2=2. 5.3.756.3cm7.28.(1)5m(2)2.8m 9.解：由题意可知，∠BEC=90°，AB=12海里，BC=16海里， AC=20海里. 因为AB2十BC2=122+162=202=AC2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90° CP) 图1 图2 因为MN⊥AC,所以快艇C进入甲海域的最短距离是CE. ②当∠BAP=90°时，如图2，CP=BP-BC=(2t-4)cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(2t-4)2, 因为S=AB·BC=吉AC·BE, 在Rt△BAP中，AP2=BP8-AB2=(2t)2-52, 所以BE-ABLC_X16智（海里， AC 20 所以3+(2：-4=(2r-5,解得1。 在Rt△BCE中，BE2十CE2=BC2, 综上所速，当△ABP为直角三角形时：的值为2或5 即cE=BC2-BE=16-()=(g）), 5 (3)①当AB=BP时，如图3,21=5，解得t= 所以CE= 海卫，所以4÷8=（时）=96（分， 64 所以9时30分+96分=11时6分. 答：快艇C最早会在11时6分进入甲海域. B 10.c13或号 12.101 图3 图4 图5 ②当AB=AP时，如图4，在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP, 即32十CP2=52,所以CP=4cm,所以BP=8cm,所以2t= 13.(1)是理由略(2)新路CH比原路CA少号kn 8,解得t=4. 14.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D. ③当BP=AP时，如图5，CP=(4-2t)cm. 设BD=x,则CD=14一x. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(4-2t)2, 在Rt△ABD中，AB=15,BD=x, 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2; B 所以(2)2=32+(4-2t)2,解得t=6, 在Rt△ACD中，AC=13,CD=14-x, 鲸上所述，当△ABP为等腰三角形时，L的值为号或4点器 25 由勾股定理，得AD2=AC2一CD2=132-(14-x)2, 所以152-x2=132一(14-x)2,解得x=9, 第2课时勾股定理的验证及简单应用 所以AD=12所以SAc2BC·AD=2X14X12=8 1.D 2.解：(1)(a-b)2+2abc2 ☆问题解决策略：反思 (2)因为方法1和方法2表示的均是大正方形的面积，所以 1.C【变式1】10【变式2】13【变式3】c (a-b)2+2ab=c2,即a2+b2=c2. 2.B【变式1】c【变式2】5cm【变式3】5 (3)1 3.1304.205.266.57.130 3.C4.B5.B6.17m 8.解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长 D 7.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AC2-AB2= 的一半，作点A关于EG的对称点A',连接 E G 502-302=402,所以BC=40m,所以v=40÷2=20(m/s). A'B交EG于点F,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的 因为20m/s=72km/h,72>70,所以这辆小汽车超速了. 最短路程为AF+BF的长，即AF+BF= 8.D9.C10.(1)9.5米(2)应该再放出8米线 A'B=20cm,过点A'作A'D⊥BG,交BG的 11.(1)c2-(a-x)22ax(2)a2+b2<c2.理由略(3)9 延长线于点D. 2一定是直角三角形吗 因为AE=A'E=DG=4cm,所以BD=16cm. 1.D2.A【变式】543.90° 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'D=12cm, 所以该圆柱的底面周长为24cm. 数学8年级上 章末复习 5.B6.D7.B 1A2A3.B4号 -88五Z099995 9.B10.B 8.(1)无理数集合： -0.1212121…(相邻两个1之间 50 11.D12.(1)△BCD为直角三角形.理由略 (2)3cm 2的个数逐次加1)，…； 13.A14.30cm215.2.25 (2)整数集合：{-2,0，-32，-(-1)，…}； 16.解：(1)如图，过，点A作AD⊥BC于点D. 因为AB⊥AC,所以∠BAC=90° 3)分数集合：{- 3 ，-3.14,0.37,31,…}； 因为AC=300km,AB=400km, (4)正实数集合： 所以BC2=AC2+AB2=3002+4002=5002,所以BC=500km. 是引0.，-（-103 因为AD1BC,所以SaMc=专BC·AD=AB·AC, 1 0.1212212221…(相邻两个1之间2的个数逐次加1)，… 所以AD= AB·AC400×300 BC 500 =240(km). 9.D10.131.c12.c13.-2(答案不唯-) B 因为AD<260km,所以农场A会受到台风的 14.解：(1)如图1，Rt△ABC即为所求 影响 (2)如图，取BC上两点E,F,使得AE=AF 260km. 易得台风在线段EF上移动时，会对农场A造 图1 图2 图3 成影响. (2)如图2，Rt△DEF即为所求. 因为AD=240km,AE=AF=260km,AD⊥BC,所以DE= (3)如图3，正方形PQRS即为所求。 DF-√260-240=100(km), 15.解：假设直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边长为 所以CD√3002-2402=180(km), n,n是一个有理数.由勾股定理，得n2=5. 所以CE=CD+DE=280km, 所以同时影响农场A和B市的距离为260一(500一280)=40(km). 因为m是一个有里数，所以设刀=号口与6是互质的两个整 因为台风的速度是25km/h, 所以受台风影响的时间为40÷25=1.6(h). 数，里60，剥=（后）广，即5=（合）广，所以a=56. 17.25或16 18.25或7 因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数. 中考新趋势 再设a=5m(m是整数，且m≠0)，所以(5m)2=5b2,所以b2= 5m2,所以b也为5的倍数，与a,b是互质的正整数矛盾. 故假设不成立，即直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边 2.解：(1)△ABC是直角三角形.理由略 长是一个无理数. (2)因为AD=13dm,AE=5dm,AE⊥DE, 2平方根与立方根 所以在Rt△ADE中，由勾股定理，得 DE=√/AD-AE=√132-5=12(dm). 第1课时算术平方根 如图，过点A作AG⊥BC于点G. 1A2.A3.c415.113(2)号(3)0.12(48 由(1)，得△ABC是直角三角形，所以S△AC= 6.B7.18.(1)a≥0(2)a≤0(3)a≥0(4)a≤3 号AB·AC=号BC·AG,所以AG 9.B10.D【变式】√1011.B12√/713.D AB·AC_6X8 14.D【变式】215.(1)14.14(2)10000m BC 10 =4.8(dm),所以购物车上篮子的左边缘D到 第2课时平方根 地面的距离为DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(dm) 1.C2.C3.C4.B5.-2024【变式1】-5【变式2】16 3.60 4.解：(1)是.理由略 6.士而2±号(3)±专 (4)士0.15 (2)设NB=x,则MN=24-AM-NB=18-x. (5)±5(6)±10-3 ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM+NB, 7.7778.② 即(18-x)2=36十x2,解得x=8; ②当NB为最长线段时，依题意，得NB2=AM2十MN2, 9.168-号8日 (40.01(5)8(6±号 即x2=36+(18-x)2,解得x=10. 10.±3【变式】1611.D12.(1)π-3.14(2)-a 综上所述，NB=8或NB=10. 11 11 第二章实数 13.(10x1=2x2=- 2 (2)x1=4,x2=-8 1认识实数 (3)x1=√27-3，x2=-√27-3 1.D2.D3.C 14.±515.(1)±3(2)a=3,m=256或a=-5,m=576 4.解：(1)a不是有理数.理由如下： 16.(1)10cm(2)不能.理由略 由题意，得ra2=50π，解得a2=50. 第3课时 立方根 因为a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数 1.A2.C3.D4.0或-1或1【变式】B5.-2 (2)因为72=49,82=64， 所以a介于7和8之间，它的整数部分是7，小数部分是a一7 60.5②76（或写作-而）80片④- 册(BS版)⑦