2.4 用因式分解法求解一元二次方程 （教学设计）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

课题：用因式分解法求解一元二次方程 教学目标： （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过因式分解法求解一元二次方程，理解数学在解决实际问题中的应用，能够将现实问题转化为数学模型。 （2）会用数学的思维思考现实世界：掌握因式分解法的基本原理，能够运用 “降次” 和 “转化” 思想，将复杂的一元二次方程简化为易于求解的形式。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过解题过程，能够清晰地表达因式分解法的步骤和逻辑，并用数学语言准确描述解题思路和结果。 教学重难点： （1）理解并掌握因式分解法解一元二次方程的基本原理，能够将方程转化为两个一元一次方程求解，体现 “降次” 和 “转化” 思想。 （2）在实际问题中灵活运用因式分解法，特别是在方程变形和因式分解过程中，准确识别并应用合适的因式分解方法。 （3）通过真实情境中的问题解决，培养学生的数学建模能力和逻辑推理能力，提升数学核心素养。 教学准备： （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示因式分解法求解一元二次方程的步骤和例题解析。 （2）黑板和彩色粉笔，以便教师在讲解过程中可以清晰地标出关键步骤和公式。 （3）《北师大版数学九年级上册》教材，供学生参考和复习相关知识点。 教学过程 一、导入新课 回顾旧知，引入新课。 老师：同学们，我们之前已经学习了多项式的因式分解方法。谁能回忆一下这些方法有哪些？ （生：提取公因式法、公式法、分组分解法等。） 老师：非常好！那么现在，请大家尝试将以下多项式进行因式分解： ① 3x²－4x ② 4x²－9y² ③ x²－6xy＋9y² ④ (2x＋1)²＋4(2x＋1)＋4 （学生尝试解题，老师巡视指导，并在黑板上展示学生的答案。） 二、讲授新课 1. 自学课本 P46-P48，初步了解因式分解法求解一元二次方程 自学与讨论。 老师：请同学们打开课本第 46 页到第 48 页，自行阅读这部分内容，并思考如何用因式分解法来解某些方程。 （学生阅读课本，老师巡视并解答疑问。） （生：阅读完课本后，开始小组讨论如何用因式分解法求解一元二次方程。） 集体讨论。 老师：通过阅读课本，谁来说说因式分解法是如何使二次方程降为一次的？ （生：通过因式分解，将一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，从而实现 “降次” 的思想。） 2. 详细讲解例题 例 1：解下列方程。 老师：下面我们来看一些具体的例子，以帮助大家进一步理解因式分解法的应用。 例 1.1 3x²－5x=0 分析：这个方程左边可以提取公因式 x，得到 x (3x－5)=0。 解：设 x (3x－5)=0，则 x=0 或 3x－5=0，即 x=0 或 x=5/3。 （生：跟着老师的步骤，一起写解题过程。） 例 1.2 x (x－2) ＋x－2=0 分析：这个方程可以通过提取 公因式 (x-2) 来简化，得到 (x-2)(x+1)=0。 解：设 (x-2)(x+1)=0，则 x-2=0 或 x+1=0，即 x=2 或 x=-1。 （生：跟着老师的步骤，一起写解题过程。） 例 2：用因式分解法解下列方程。 例 2.1 5x²－2x－1/4=x²－2x＋3/4 分析：将所有项移到方程一边，得到 4x² - 1 = 0。 解：4x² - 1 = 0 可以写成 (2x-1)(2x+1)=0。 解：设 (2x-1)(2x+1)=0，则 2x-1=0 或 2x+1=0，即 x=1/2 或 x=-1/2。 （生：跟着老师的步骤，一起写解题过程。） 例 2.2 x (x－3)－4 (3－x)=0 分析：将方程变形为 x (x-3)+4 (x-3)=0，提取公因式 (x-3)，得到 (x-3)(x+4)=0。 解：设 (x-3)(x+4)=0，则 x-3=0 或 x+4=0，即 x=3 或 x=-4。 （生：跟着老师的步骤，一起写解题过程。） 例 2.3 (5－x)²－16=0 分析：可以写成 (5-x)²-4²=0，利用平方差公式得到 (5-x-4)(5-x+4)=0。 解：设 (5-x-4)(5-x+4)=0，则 5-x-4=0 或 5-x+4=0，即 x=1 或 x=9。 （生：跟着老师的步骤，一起写解题过程。） 例 2.4 16 (2x－1)²=25 (x－2)² 分析：两边同时开方，得到 4|2x-1|=5|x-2|。 解：设 4 (2x-1)=±5 (x-2)。 分别解得：4 (2x-1)=5 (x-2) 和 4 (2x-1)=-5 (x-2)。 最终解得：x=1/3 或 x=14/13。 （生：跟着老师的步骤，一起写解题过程。） 三、巩固练习 达标练习。 老师：现在请大家解下面的方程，看看你们是否掌握了因式分解法。 ① x²＋x=0 ② x²＋2√3 x=0 ③ 3x²－6x=－3 ④ 4 x²－121=0 ⑤ 3x(2x＋1)=4x＋2 ⑥ (x－4)²=(5－2x)² （学生独立完成练习，老师巡视并指导。） 拓展练习。 老师：接下来，我们一起解决一些更复杂的题目。 ① 4（x－5）²=16 ② 3 x²＋2x－3=0 ③ （x＋3）(x＋1)=5 （学生独立完成练习，老师巡视并指导。） 四、小结 总结所学内容。 老师：今天，我们学习了如何用因式分解法来解一元二次方程。通过将一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了 “降次” 思想和 “转化” 思想。希望大家能在今后的学习中灵活运用这些方法。 强调重点。 老师：重点是掌握因式分解法的基本步骤和注意事项。在解题过程中，要注意将方程变形为易于因式分解的形式，然后提取公因式或利用公式进行分解。 布置作业。 老师：今天的作业是完成课本上的相关习题，预习下一节课的内容。 （学生认真听讲并记录。） 布置作业： （1）运用因式分解法解以下一元二次方程，并解释解题过程中如何实现 “降次” 与 “转化” 思想的应用： a) 2x - 3x = 0 b) (x + 1)(x - 4) = 0 （2）根据课堂所学，计算并比较以下两个圆形场地的面积，小圆半径为 r，大圆半径为 r+5m，验证场地面积是否增加了一倍。 学科网（北京）股份有限公司 $