精品解析：上海市大同中学2025-2026学年高三上学期摸底考数学试题（2025.9）

大同中学2025-2026学年第一学期高三年级数学摸底考 2025.9 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分） 1. 已知集合，则___________． 2. 已知函数，则__________. 3. 的展开式中各项系数的和为___________． 4. 在中，，，，则为_____. 5. 若双曲线的离心率小于3，则m的取值范围为___________. 6. 已知单位向量满足，则的模为________. 7. 已知实数满足，则的最小值是________ 8. 某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有______种不同的选法（用数字作答） 9. 某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为___________. 10. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月-4月 1965年5月-8月 1965年9月-12月 1966年1月-4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为___________. 11. 设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m.记所有这样的不同数列的个数为.例如：当时，所有的不同数列为：与，从而.若，则的通项公式为___________. 12. 若两条曲线存在一个公共点，且在点处满足以下两个条件，则称这两条曲线在点处相切，点称为它们的切点：①两条曲线在点处拥有同一条切线（即切线重合）；②两条曲线在点P处的切线斜率相等（若曲线可导）.已知圆和轴相切，且和相切于点，则圆的半径为___________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.） 13. 设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（ ） A. B. C. D. 15. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. C. 的图像关于点对称 D. 函数有个零点 16. 若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.） 17. 如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过的平面交于E，交于Q.若点Q是的中点，且. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）若平面上有一点H满足平面，求点H的坐标. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围. 19. 药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下： 组：，，，，，，； 组：12，13，15，16，17，14，，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立． （1）从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率； （2）若组病人康复时间的方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围． 20. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； （3）若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 21. 已知函数是定义在上的增函数. （1）若，求的取值范围； （2）若为周期函数，证明：是常值函数； （3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同中学2025-2026学年第一学期高三年级数学摸底考 2025.9 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分） 1. 已知集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集的运算直接求解即可． 【详解】， ． 故答案为：． 2. 已知函数，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用分段函数解析式，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 3. 的展开式中各项系数的和为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】令即可得到展开式各项系数和. 【详解】二项式为，令则各项的项的系数之和为. 故答案为： 0 4. 在中，，，，则为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】 利用正弦定理求得的值，再由的取值范围可求得的值. 【详解】由正弦定理可得：，可得， ，，因此，或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，在求角时要注意考查角的取值范围或者利用大边对大角定理求解，考查计算能力，属于基础题. 5. 若双曲线的离心率小于3，则m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合双曲线方程确定，根据离心率小于3列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线方程为，所以，，， 因为离心率小于3，所以，所以. 故答案为： 6. 已知单位向量满足，则的模为________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的模长公式，先得，再求的模. 【详解】根据题意，， 即， 所以， 则. 故答案为： 7. 已知实数满足，则的最小值是________ 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，所以，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 8. 某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有______种不同的选法（用数字作答） 【答案】360 【解析】 【分析】由于7名医务工作者中护士只有2名，而要从7名医务工作者中选4人至少有1名护士有两种情况，一是只有1名护士，另一个是有2名护士，然后由分类加法原理可得结果. 【详解】解：分两类： ①只有1名护士，共有：种选法； ②有2名护士，共有：种； 故共有240+120=360种选法. 故答案为：360 【点睛】此题考查排列组合的应用，分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题. 9. 某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作中点为，连接，利用几何知识证明平面，则得，从而可再证明平面，从而可求得的长，从而可求解. 【详解】如图所示，作中点为，连接，因为，所以， 又因为是等腰直角三角形，且，所以， 因为，，是公共边，所以， 所以，所以， ，平面，平面，所以平面. 所以为点P到底面的距离，即. 在中，根据勾股定理，. 因为，，，平面，平面， 所以平面，所以为点到平面的距离， 在等腰直角三角形中，. 故答案为：. 10. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月-4月 1965年5月-8月 1965年9月-12月 1966年1月-4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为___________. 【答案】61岁5个月 【解析】 【分析】解法一：根据题意把退休年龄看作等差数列，求得某一项即可； 解法二：根据题中表格按规律列举推得结果； 【详解】解法一：根据题意，出生年月在1965年1月-4月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年5月-8月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年9月-12月的人的法定退休年龄记为，， 则构成等差数列，首项岁1个月，公差为1个月，可得岁个月. 依此规律，1970年5月出生的男职工，因为， 所以他的退休年龄应该是的第17项， 即他的退休年龄为岁17个月=61岁5个月. 解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月. 出生年龄 退休年龄 1965.5 60岁2个月 1966.5 60岁5个月 1967.5 60岁8个月 1968.5 60岁11个月 1969.5 61岁2个月 1970.5 61岁5个月 故答案为：61岁5个月. 11. 设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m.记所有这样的不同数列的个数为.例如：当时，所有的不同数列为：与，从而.若，则的通项公式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出首项，由题意可得，利用累加法即可求得答案. 【详解】当，即时，所有的不同数列为： ， ， ， ，以及，共12个， 故；同理可得，， 由题意知，， ，即， 则时，，， 累加得，又， ，也适合该式， 所以. 故答案为： 12. 若两条曲线存在一个公共点，且在点处满足以下两个条件，则称这两条曲线在点处相切，点称为它们的切点：①两条曲线在点处拥有同一条切线（即切线重合）；②两条曲线在点P处的切线斜率相等（若曲线可导）.已知圆和轴相切，且和相切于点，则圆的半径为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】法一：利用导数可求得切线方程为，设圆心，利用点到直线的距离可得与的关系式，结合进而可得，可求得结论.法二：利用导数求得切线的斜率，进而求得的参数方程，利用参数方程可求得的值. 【详解】法一：由切线，即， 设圆心，则，所以或. 注意到. 若，则代入（1）整理得； 若，则代入（1）整理得. 综上. 法二：由， 所以可得的参数方程， 设圆心，则或. 故答案为：或. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.） 13. 设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】若复数是纯虚数，必有所以由能推出； 但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.， 因此是充分不必要条件,故选A. 【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 14. 设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，结合选项逐一判断即可. 【详解】抛物线的准线方程为：，焦点坐标为：， A：因为在抛物线内部，而到准线的距离为：， 所以的最小值为，不符合题意； B：因为在抛物线上，所以的最小值就是，不符合题意； C：因为在抛物线内部，到准线的距离为：， 所以的最小值为，符合题意， D：因为在抛物线外部：所以的最小值就是 ，不符合题意， 故选：C 15. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. C. 的图像关于点对称 D. 函数有个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设可得周期为4，对A，根据条件，利用偶函数的性质，即可求解；对B，利用函数的周期性，即可求解；对C，假设结论成立，从而有，再根据题设有，即可求解；对D，将问题转化成图象交点的个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且， 则，即周期为4， 对于选项A，因为时，， 则时，，，又， 所以时，，故A正确， 对于选项B，，所以B正确， 对于选项C，若的图像关于点对称，则， 又，则与矛盾，所以C错误， 对于选项D，令，得，由选项A知，， 又的周期为，则同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图可知，有个交点，所以函数有个零点，故D正确， 故选：C. 16. 若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数的值域应关于原点对称，据此分析命题①②求得的范围，进而可判断命题的真假. 【详解】对于集合D内的任意，都存在，使得， 故函数的值域应关于原点对称， 对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称， 则，所以， 故若函数在上具有性质P，则的取值范围是， 故①为真命题； 对于命题②，，则， 若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得， 当时，则，可得， 当时，则即可，解得， 当时，，可满足题意，即时恒成立， 综上所述：函数在上具有性质P， 则的取值范围是或或，故②是假命题． 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.） 17. 如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过的平面交于E，交于Q.若点Q是的中点，且. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）若平面上有一点H满足平面，求点H的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据面面平行的性质可得四边形为平行四边形，根据向量相等的坐标关系可求解，即可利用向量的夹角公式求解， （2）根据线面垂直的性质，以及垂直的坐标关系，即可联立方程求解. 【小问1详解】 如图，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，设， 由于平面平面，平面平面， 且平面与平面，平面的交线分别为 平面与平面，平面的交线分别为， 因此，故四边形为平行四边形， ∴，则有， 解得，，， ∴，，， ∴， 设异面直线与所成角为， 则， 异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设平面ABCD上一点， 因为，则，，， 由平面，则可以作为平面的一个法向量， 则有， 解得，，∴. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由对数函数的性质可得，再解含指数的一元二次方程，结合指数的性质即可得解. （2）由题设有在上恒成立，判断的单调性并确定其值域，即可求k的范围. 【小问1详解】 由题设，令，则， ∴，可得或（舍）， ∴，故的零点为. 【小问2详解】 由，则，即在上恒成立， ∵在上均递减， ∴在上递减，则， ∴k的取值范围为. 19. 药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下： 组：，，，，，，； 组：12，13，15，16，17，14，，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立． （1）从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率； （2）若组病人康复时间的方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出组第60百分位数，再根据组中康复时间不少于中位数的人数，即可求解； （2）分别求出、组的方差，根据题意列不等式求解即可. 【小问1详解】 由，得组第60百分位数为第5个数：，组中康复时间不少于共有3人， 故从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率为. 【小问2详解】 组病人康复时间的平均数； 组病人康复时间的方差为； 组病人康复时间的平均数； 组病人康复时间的方差为 由,得 , 化简，得，解得. 故实数的取值范围是. 20. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； （3）若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）由条件推得为矩形，设，利用椭圆的定义得，再由勾股定理得，联立求出，从而可求的平行四边形的面积； （3）设，则，依题意求出的方程，联立求得点的坐标，由点Q在椭圆E上，解方程即可求得点P坐标. 【小问1详解】 由题意，当P点在长轴端点时，取，则 ①， 当P点在短轴端点时，取，则 ②， 由②得，故代入①，可得，， 故椭圆E的标准方程为. 【小问2详解】 如图1，若四边形为平行四边形，又，则，即为矩形， 设，则，又，则， 于是，故平行四边形的面积为. 【小问3详解】 如图2，设，则，且， 因且，故，则； 因，则因，故，则. 由联立解得：， 因点Q在椭圆E上，则得，将代入化简得：， 解得，，即点P坐标为. 21. 已知函数是定义在上的增函数. （1）若，求的取值范围； （2）若为周期函数，证明：是常值函数； （3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用反证法，假设周期为的函数不是常值函数，根据是定义在上的增函数，推出，矛盾，可得答案； （3）先证分充分性，再必要性，设周期为周期为，在处取得最大值，（方法一）反证法：假设函数不是常值函数，利用是定义在上的增函数，存在，推出与矛盾，所以假设不成立.（方法二）对任意正整数，利用周期性、单调性得在上为常值函数，对于任意固定的正整数，对重复一样的推理可知，上为常值函数可得答案. 【小问1详解】 因为是定义在上的增函数， 所以恒成立，故； 【小问2详解】 反证：假设周期为的函数不是常值函数， 注意到是定义在上的增函数， 则存在，满足.取， 则，由是增函数， 则，矛盾. 故是常值函数； 【小问3详解】 （充分性）是常值函数，则显然是周期函数. （必要性）是周期函数，设其周期为周期为， 在处取得最大值. （方法一）反证法：假设函数不是常值函数. 注意到是定义在上的增函数，则存在，满足.若， 用代替，则我们总可以假设. 取，有，所以 ， 这与矛盾，所以假设不成立. 故函数是常值函数. （方法二）对任意正整数， ， 所以，函数是增函数， 所以在上为常值函数， 注意到为任意正整数，所以上为常值函数. 对于任意固定的正整数， 对重复一样的推理可知， 上为常值函数.正整数是任意的， 所以上为常值函数. 【点睛】方法点睛：在本题反证法中主要是利用周期性、单调性推出矛盾. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $