例析与数学家笛卡尔相关的高中数学试题专题训练-2025届高三数学二轮专题

【原卷版】 例析与数学家 笛卡尔 相关的高中数学试题 笛卡尔是一位 “百科全书式的学者”：他用数学打破了几何与代数的壁垒，用哲学确立了理性的权威，用科学推动了机械论的发展。他的思想不仅塑造了近代数学与哲学的走向，更深刻影响了人类对 “知识本质” 与 “世界规律” 的认知方式。 勒内・笛卡尔（René Descartes，1596-1650）是 17 世纪法国杰出的数学家、哲学家、科学家，被誉为 “近代哲学之父” 和 “解析几何创始人”。他以 “理性主义” 为核心思想，打破了中世纪以来哲学与科学的神学束缚，在数学领域实现了 “代数与几何的融合”，在哲学领域确立了 “理性至上” 的原则，其研究成果横跨多个学科，对近代科学与思想体系的建立产生了颠覆性影响。 数学成就：创立解析几何，重塑数学研究范式；笛卡尔在数学上的核心贡献是创立解析几何（Coordinate Geometry） —— 这一突破彻底改变了古代以来 “几何与代数分离” 的局面，将 “几何图形的直观性” 与 “代数方程的逻辑性” 结合，为后续微积分、近代数学的发展奠定了基础。他的数学思想集中体现在 1637 年出版的《谈谈方法》（Discours de la méthode）的附录《几何》（La Géométrie）中，这是解析几何的奠基之作。 1、核心突破：引入 “笛卡尔坐标系”，建立几何与代数的对应；2、代数领域的革新：符号表示与方程理论；3、数学思想的影响：为微积分奠基； 数学领域：解析几何的创立让数学从 “静态的几何描述” 转向 “动态的代数分析”，成为微积分、线性代数、拓扑学等近代数学分支的 “基石”；笛卡尔坐标系至今仍是数学、物理、工程学的核心工具（如计算机图形学、GPS 定位均依赖坐标系）。 正如数学史家克莱因所言：“笛卡尔的解析几何，是人类历史上第一次将两个不同的数学分支（代数与几何）融合为一个统一的体系，其影响远超数学本身，成为近代科学革命的关键一步。”； 笛卡尔的研究成果（尤其是解析几何的创立）是现行高中数学的 “基石性源头”—— 他建立的 “坐标系”“几何与代数的对应关系”，直接支撑了高中数学中函数、几何、代数的核心考点，甚至塑造了高中数学 “用代数方法解决几何问题” 的基本范式。以下结合高中数学具体模块与考点，系统解析关联： 1、核心关联：笛卡尔坐标系与“函数的图像与性质”；（1） 平面直角坐标系：函数图像的 “载体”；（2）坐标系与函数性质的 “代数化研究”； 2、解析几何思想与“直线、圆的方程”；（1）直线的方程：几何特征的代数翻译；（2）圆的方程：几何定义的代数表达； 3、解析几何思想与“圆锥曲线”（椭圆、双曲线、抛物线）是高中解析几何的 “巅峰模块”，其所有考点（定义、方程、性质、直线与圆锥曲线的位置关系）均源于笛卡尔 “用代数研究几何” 的思想 —— 笛卡尔在《几何》中已初步研究了圆锥曲线的代数表示，为高中考点奠定了基础。（1） 圆锥曲线的定义与方程：几何到代数的转化；（2） 直线与圆锥曲线的位置关系：代数运算解决几何问题； 4、空间直角坐标系与“立体几何中的向量方法”：笛卡尔不仅提出了平面直角坐标系，还推广了空间直角坐标系（x, y, z）—— 这是高中 “立体几何” 模块中 “向量法” 的核心工具，彻底改变了立体几何 “依赖辅助线、直观想象” 的传统解法，让复杂的空间几何问题可通过代数运算解决。（1）空间直角坐标系：空间点的代数表示；（2） 向量法解决立体几何问题：代数替代几何推理； 例1、“虚数”这个词是17世纪著名数学家､哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程在实数范围内没有解.已知复数满足，则（     ） A．4 B．2 C． D．1 例2、伟大的法国数学家笛卡尔（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形中，是线段上的点，，，则（    ）. A．3 B．6 C．9 D．12 例3、1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：，则下列说法错误的是（    ） A．当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 B．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 C．笛卡尔叶形线关于直线对称 D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 例4、有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形.如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算的值为（     ） A． B． C． D． 例5、著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为的三个圆两两外切，同时又都与半径为的圆外切，则.已知，，若圆两两外切，且都与圆外切，其中圆的半径相等，则圆的标准方程为 . 例6、数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线在平面直角坐标系中的方程为．当时，给出下列四个结论： ①曲线不经过第三象限； ②曲线关于直线轴对称； ③对任意，曲线与直线一定有公共点； ④对任意，曲线与直线一定有公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 例7、作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（    ） A．曲线不经过第三象限 B．曲线关于直线y = x对称 C．曲线与直线x + y =－1有公共点 D．曲线与直线x + y =－1没有公共点 例8、大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 例9、解析几何，又称为坐标几何或卡氏几何，早先被叫作笛卡尔几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支.三维坐标下也有空间解析几何.在空间直角坐标系下可求解直线和平面的方程.例如，已知平面过点且一个法向量为，设是空间的一动点，则在平面内的充分必要条件是与垂直，即，由此可得，该式为平面的点法式方程.令，则点法式方程化为，该式为平面的一般式方程，其中 系数不同时为零.若直线过点且一个方向向量为，类似可推导直线的点向式方. （1）求过点且过轴的平面的一般式方程； （2）已知两平面与交于直线，求坐标原点到直线的距离. （3）在空间直角坐标系中，有一个不透明的球与平面相切，球心的坐标为.在点处放置一个点光源，将球体投影到平面上，得到的阴影区域边界为曲线.求的所有可能值. 1、笛卡尔在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传，其实能画出心型曲线的方程有很多种．心形曲线如图所示，其方程为，若为曲线上一点，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用GeoGebra电脑软件将，两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（     ） A． B． C． D． 3、笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是 4、对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是 5、17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示 ，过点且法向量为的平面的方程是 ． 6、笛卡尔､牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数.其中不正确的是 . 7、卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点(叫做焦点)的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设，是平面内的两个定点，(是定长)，得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若，则曲线过原点；③若，则曲线不存在；④若，则.其中正确命题的序号是 ． 8、如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为，该曲线的渐近线方程为．若，直线与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的圆的方程为 （写出一个即可） 9、高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）证明：“”的充要条件是“”； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.记，，满足，对，恒成立，求的取值范围. 10、如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径； （2）若曲线的参数方程为（为参数），且曲线和曲线相交于除极点以外的两点，求线段的长度． 【解析版】 例析与数学家 笛卡尔 相关的高中数学试题 笛卡尔是一位 “百科全书式的学者”：他用数学打破了几何与代数的壁垒，用哲学确立了理性的权威，用科学推动了机械论的发展。他的思想不仅塑造了近代数学与哲学的走向，更深刻影响了人类对 “知识本质” 与 “世界规律” 的认知方式。 勒内・笛卡尔（René Descartes，1596-1650）是 17 世纪法国杰出的数学家、哲学家、科学家，被誉为 “近代哲学之父” 和 “解析几何创始人”。他以 “理性主义” 为核心思想，打破了中世纪以来哲学与科学的神学束缚，在数学领域实现了 “代数与几何的融合”，在哲学领域确立了 “理性至上” 的原则，其研究成果横跨多个学科，对近代科学与思想体系的建立产生了颠覆性影响。 数学成就：创立解析几何，重塑数学研究范式；笛卡尔在数学上的核心贡献是创立解析几何（Coordinate Geometry） —— 这一突破彻底改变了古代以来 “几何与代数分离” 的局面，将 “几何图形的直观性” 与 “代数方程的逻辑性” 结合，为后续微积分、近代数学的发展奠定了基础。他的数学思想集中体现在 1637 年出版的《谈谈方法》（Discours de la méthode）的附录《几何》（La Géométrie）中，这是解析几何的奠基之作。 1、核心突破：引入 “笛卡尔坐标系”，建立几何与代数的对应；2、代数领域的革新：符号表示与方程理论；3、数学思想的影响：为微积分奠基； 数学领域：解析几何的创立让数学从 “静态的几何描述” 转向 “动态的代数分析”，成为微积分、线性代数、拓扑学等近代数学分支的 “基石”；笛卡尔坐标系至今仍是数学、物理、工程学的核心工具（如计算机图形学、GPS 定位均依赖坐标系）。 正如数学史家克莱因所言：“笛卡尔的解析几何，是人类历史上第一次将两个不同的数学分支（代数与几何）融合为一个统一的体系，其影响远超数学本身，成为近代科学革命的关键一步。”； 笛卡尔的研究成果（尤其是解析几何的创立）是现行高中数学的 “基石性源头”—— 他建立的 “坐标系”“几何与代数的对应关系”，直接支撑了高中数学中函数、几何、代数的核心考点，甚至塑造了高中数学 “用代数方法解决几何问题” 的基本范式。以下结合高中数学具体模块与考点，系统解析关联： 1、核心关联：笛卡尔坐标系与“函数的图像与性质”；（1） 平面直角坐标系：函数图像的 “载体”；（2）坐标系与函数性质的 “代数化研究”； 2、解析几何思想与“直线、圆的方程”；（1）直线的方程：几何特征的代数翻译；（2）圆的方程：几何定义的代数表达； 3、解析几何思想与“圆锥曲线”（椭圆、双曲线、抛物线）是高中解析几何的 “巅峰模块”，其所有考点（定义、方程、性质、直线与圆锥曲线的位置关系）均源于笛卡尔 “用代数研究几何” 的思想 —— 笛卡尔在《几何》中已初步研究了圆锥曲线的代数表示，为高中考点奠定了基础。（1） 圆锥曲线的定义与方程：几何到代数的转化；（2） 直线与圆锥曲线的位置关系：代数运算解决几何问题； 4、空间直角坐标系与“立体几何中的向量方法”：笛卡尔不仅提出了平面直角坐标系，还推广了空间直角坐标系（x, y, z）—— 这是高中 “立体几何” 模块中 “向量法” 的核心工具，彻底改变了立体几何 “依赖辅助线、直观想象” 的传统解法，让复杂的空间几何问题可通过代数运算解决。（1）空间直角坐标系：空间点的代数表示；（2） 向量法解决立体几何问题：代数替代几何推理； 例1、“虚数”这个词是17世纪著名数学家､哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程在实数范围内没有解.已知复数满足，则（     ） A．4 B．2 C． D．1 【提示】利用复数模的运算性质求解即可； 【答案】B 【解析】解：因为， 所以， 故， 所以． 故选：． 例2、伟大的法国数学家笛卡尔（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形中，是线段上的点，，，则（    ）. A．3 B．6 C．9 D．12 【提示】以、为一组基底，表示出，再根据向量的数量积的定义及运算律计算可得； 【答案】B 【解析】在正三角形中，是线段上的点，，， 所以 所以 故选：B 例3、1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：，则下列说法错误的是（    ） A．当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 B．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 C．笛卡尔叶形线关于直线对称 D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 【提示】对于AD，代入，求解即可判断，对于B，分别令或求解即可，对于C，将，互换，方程不变可判断； 【答案】A 【解析】在中，令，则，令，则， 所以笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故B的说法正确； 在中，当，互换时，得， 方程不变，所以笛卡尔叶形线关于直线对称，故C的说法正确； 当时，笛卡尔叶形线方程为， 令，解得或，故顶点坐标为，故A的说法错误； 由图象知，笛卡尔叶形线上第一象限内的点离原点距离最大， 则的最大值为18，故D的说法正确. 故选：A. 例4、有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形.如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【提示】以为原点，建立平面直角坐标系，求得，根据即为向量与的夹角，结合向量的夹角公式，即可求解. 【答案】A 【解析】以为原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，且分别为的中点， 则，可得， 可得，则，且， 因为即为向量与的夹角， 可得. 故选：A. 例5、著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为的三个圆两两外切，同时又都与半径为的圆外切，则.已知，，若圆两两外切，且都与圆外切，其中圆的半径相等，则圆的标准方程为 . 【提示】根据题意结合两圆的位置关系可得，代入题中公式可得，进而可求圆心的坐标，即可得方程. 【答案】 【解析】设圆的半径分别为， 由题意可得：，解得， 又因为， 即，解得， 由，可知点在线段的中垂线上，即y轴上，设， 由题意可得，解得， 即圆的圆心，半径，所以圆的方程为. 故答案为：. 例6、数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线在平面直角坐标系中的方程为．当时，给出下列四个结论： ①曲线不经过第三象限； ②曲线关于直线轴对称； ③对任意，曲线与直线一定有公共点； ④对任意，曲线与直线一定有公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【提示】当时，判断是否成；点(y，x)代入方程，判断与原方程是否相同； 联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解分别逐一判断选项即可. 【答案】①②④ 【解析】当时, 方程为 当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确； 将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，②正确； 当,联立其中， 将代入得，即，则方程组无解， 故曲线与直线无公共点，③错误; 联立可得有解, 设, , 当时, 在单调递增, 单调递减,值域为所以成立, 当时成立. 当时, ,单调递增, ,所以成立, 所以曲线与直线一定有公共点 故④选项正确. 故答案为：①②④. 例7、作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（    ） A．曲线不经过第三象限 B．曲线关于直线y = x对称 C．曲线与直线x + y =－1有公共点 D．曲线与直线x + y =－1没有公共点 【提示】对于A：当时，判断是否可能成立即可；对于B：将点代入方程，判断与原方程是否相同即可；对于C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可. 【答案】C 【解析】当，则方程为 对于A：若，则， 所以，即曲线不经过第三象限，故A正确； 对于B：将点代入方程得， 所以曲线关于直线y = x对称，故B正确； 对于C、D：联立方程， 由可得， 将代入方程可得， 所以方程组无解，即曲线与直线x + y =－1没有公共点， 故C错误，D正确； 故选：C. 例8、大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【提示】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【答案】D 【解析】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D 例9、解析几何，又称为坐标几何或卡氏几何，早先被叫作笛卡尔几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支.三维坐标下也有空间解析几何.在空间直角坐标系下可求解直线和平面的方程.例如，已知平面过点且一个法向量为，设是空间的一动点，则在平面内的充分必要条件是与垂直，即，由此可得，该式为平面的点法式方程.令，则点法式方程化为，该式为平面的一般式方程，其中 系数不同时为零.若直线过点且一个方向向量为，类似可推导直线的点向式方. （1）求过点且过轴的平面的一般式方程； （2）已知两平面与交于直线，求坐标原点到直线的距离. （3）在空间直角坐标系中，有一个不透明的球与平面相切，球心的坐标为.在点处放置一个点光源，将球体投影到平面上，得到的阴影区域边界为曲线.求的所有可能值. 【提示】（1）设平面的方程为，在轴上选择两个点代入求得，再将点代入得，求得平面的方程;（2）法1：联立方程求得，利用直线的方向向量求解点到直线得距离.法2：将代所给方程组，解出，得到点在直线上，结合平面的法向量求解出求直线的一个方向向量，结合直线的方向向量求解点到直线的距离.（3）在曲线上任取一点利用球心到直线的距离是，建立方程. 将和代入求解出， 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）设平面的方程为， 由平面过轴得，过点和，故 将点代入得，取，则，于是的方程为. （2）法一： 得，则，即 直线的方向向量，过点， 坐标原点到直线的距离. 法二：以代所给方程组，解出，可见点在直线上. 平面与的法向量分别为 与，这两个向量均与直线的方向向量垂直. 可求直线的一个方向向量， 坐标原点到直线的距离. （3）在曲线上任取一点，则球心到直线的距离是. 设向量与的夹角是，则；又. 于是，将和代入，得 化简得 上式对任意的实数都成立.故 .若，由式得，不符合要求. 所以，那么由式得，代入到式得，即.那么. 【说明】读懂题目给的新定义，结合已经学习过的空间向量和立体几何的知识求解，在第一小问中类比求直线的方程求出平面的方程，第二小问中利用空间中的直线是两平面的交线，再结合直线的方向向量求解点到直线的距离.第三小问中利用球的半径为1，结合相切的条件建立距离为1的方程是关键；注意方法：类比法； 1、笛卡尔在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传，其实能画出心型曲线的方程有很多种．心形曲线如图所示，其方程为，若为曲线上一点，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【提示】记与轴非负半轴所成的角为，点，则()，代入曲线方程化简可求得结果； 【答案】A 【解析】记与轴非负半轴所成的角为，心形曲线关于轴对称，不妨取． 设点，则，代入曲线方程可得， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即 所以． 故选：A 2、笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用GeoGebra电脑软件将，两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（     ） A． B． C． D． 【提示】易得函数表示如图“心形线”中轴下方的图象，再根据函数的单调性及切线斜率的变化情况即可得解； 【答案】A 【解析】因为，， 所以函数表示如图“心形线”中轴下方的图象， 由得，所以 由图可知函数在上单调递增，可得，故排除BC， 又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，排除D， 故函数的先减后增，故只有A选项符合题意. 故选：A. 3、笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是 【提示】由图写出点的坐标，然后再利用关于轴对称的点的性质写出对称点的坐标. 【答案】 【解析】由图可知，点，所以点关于轴对称的点的坐标为. 4、对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是 【提示】根据、的定义对进行分析，利用基本不等式确定正确答案. 【答案】4 【解析】设，， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 5、17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示 ，过点且法向量为的平面的方程是 ． 【提示】根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为，且平面过点，那么平面方程为计算可得； 【答案】 一个平面 【解析】依题意可得在三维空间中，它表示一个平面，在这个平面上所有点的横坐标都为， 过点且法向量为的平面的方程为，整理得 故答案为：一个平面； 6、笛卡尔､牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数.其中不正确的是 . 【提示】将点，得到的方程是否与原方程一样，进而可判断①②，根据第三象限的取值判断③，求曲线的点的坐标，判断④. 【答案】①②④ 【解析】因为满足方程， 则将点代入方程有，原方程不成立， 所以该曲线不关于y轴对称； 将点代入方程有，原方程不成立， 所以该曲线不关于原点对称； 当时，，所以方程不可能成立，所以该曲线不经过第三象限； 令易得即满足题意，同理可得符合题意， 所以该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数是错误的； 故答案为：①②④. 7、卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点(叫做焦点)的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设，是平面内的两个定点，(是定长)，得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若，则曲线过原点；③若，则曲线不存在；④若，则.其中正确命题的序号是 ． 【提示】结合已知条件，利用直接法求出的轨迹方程，然后逐项检验即可. 【答案】①②④ 【解析】由题意设，则， 即， 对于①：由原方程可知，点也在曲线上，故曲线关于轴对称， 由曲线方程可知，也在曲线上，故曲线关于原点对称，故①正确； 对于②：若，将代入曲线方程可知，方程成立，则曲线过原点，故②正确； 对于③：令，则，解得，所以曲线存在，故③错误； ④若，对方程化简整理可得， ， 由题意易知，当点在轴上时，达到最大，即， 即，从而， 故， 故④正确. 故答案为：①②④． 8、如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为，该曲线的渐近线方程为．若，直线与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的圆的方程为 （写出一个即可） 【提示】联立与，解得，利用两直线的位置关系求出从点A向渐近线作垂线的垂足B，进而求出圆的圆心坐标和半径，即可求解. 【答案】（答案不唯一） 【解析】联立与，得，解得或． 结合题意可得．渐近线的方程为． 从点A向此渐近线作垂线，垂足为B， 设，则，解得，即， 所以，AB的中点坐标为， 所以以AB为直径的圆与渐近线相切的圆的方程为 ． 故答案为：． 9、高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）证明：“”的充要条件是“”； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.记，，满足，对，恒成立，求的取值范围. 【提示】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）首先表示出，，，结合基本不等式求出，即可得到的取值范围即可. 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）； 【解析】（1）因为，，且， 所以，； （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的充分条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）依题意，，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 又，对，恒成立， 所以，即的取值范围为. 10、如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径； （2）若曲线的参数方程为（为参数），且曲线和曲线相交于除极点以外的两点，求线段的长度． 【提示】（1）求出曲线的直角坐标方程，再化成极坐标方程；与曲线方程联立求出交点的极径. （2）把曲线的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，与曲线的极坐标方程联立求出点的极坐标即可. 【答案】（1），，；（2）2； 【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，即， 将，代入并化简得的极坐标方程为，， 由消去，并整理得，解得或， 所以所求异于极点的交点的极径为. （2）由消去参数得曲线的普通方程为， 因此曲线的极坐标方程为和， 由和得曲线与曲线两交点的极坐标为， 所以为极点. 1 第9页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $