精品解析：山东省东营市胜利第一初级中学2024-2025学年九年级中考仿真演练数学试题

胜利第一初级中学2025年学业水平考试仿真演练 九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将各数化为最简，再根据正数大于零，负数小于零，两个负数绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：，，，，且， ， 最小的数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的意义、绝对值的意义、有理数的乘方、有理数的比较大小，熟练掌握有理数的比较大小的方法：正数大于零，负数小于零，两个负数绝对值大的反而小是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图所示，直线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∵ ， ， ． 故选：． 4. 下图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图（图中所标的数字表示该位置上小正方体的个数），则这个几何体的左视图为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从左边看到的图形有3列，从左到右依次有1个，3个，2个小正方形，据此解答. 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟知物体的左视图是从物体的左面看到的图形是关键. 5. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：55，57，65，55，65，70，65，78，68，70．对这组数据判断正确的是（ ） A. 方差为3 B. 平均数为65 C. 众数为65 D. 中位数为67.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、众数、中位数，根据平均数、方差、众数、中位数的定义计算即可得解． 【详解】解：数据排序为：55，55，57，65，65，65，68，70，70，78， 数据出现的次数最多，故众数为65，故C正确； 中间位置的两个数为65，65，故中位数为，故D错误； 平均数为，故B错误； 方差为，故A错误； 故选：C． 6. 小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率：画出树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一个志愿服务项目的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”分别记为A，B，C，D， 列表如图： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个志愿服务项目的结果数为4种，小明和小颖恰好选到同一个志愿服务项目的概率是， 故选：B． 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 9. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， I．当P在线段AD上时，即时，如解图1 ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误； II．当P在线段CD上时，即时，如解图2： 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF＋BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断； ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断； ③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断； ④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH＝AE×BF=AE•BF=AC•BC=，依次即可作出判断． 【详解】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形， ∴ ， 故①正确； ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合， ∵MB⊥BC， ∴∠MBC=90°， ∵MG⊥AC， ∴∠MGC=90°=∠ACB=∠MBC， ∴MGBC，四边形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG， ∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°， ∴CF=AF=BF， ∴FG是△ACB的中位线， ∴GC=AC=MH， 故②正确； ③如图2所示， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠5=45°． 将△ACF顺时针旋转90°至△BCD， 则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF； ∵∠2=45°， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°， ∴∠DCE=∠2． 在△ECF和△ECD中， ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴EF=DE． ∵∠5=45°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2， 故③错误； ④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE， ∵∠A=∠5=45°， ∴△ACE∽△BFC， ∴ ， ∴AE•BF=AC•BC=1， 由题意知四边形CHMG是矩形， ∴MGBC，MH=CG， MG=CH，MHAC， ∴ ， ， 即 ， ， ∴MG=AE；MH=BF， ∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=， 故④正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，能灵活运用以上知识是解题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分． 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，先提公因式，再运用平方差公式因式分解，即可得到答案． 【详解】解： = =； 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 14. 某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______ ．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】设旗杆底部为点，顶部为点，过点作，交直线于点．设，在中，，进而求得，在中，，求得，根据可得出答案． 【详解】解：设旗杆底部为点，顶部为点，延长交直线于点，依题意则， 则，，，， 设， 在中， 解得 则， 在中，， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 15. 如图，点是正方形边的中点，连接，把沿翻折得到，连接，若，则正方形的边长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接CF，交BE于H，可得∠DFC=∠BCE=90°，从而得，进而得到FC=2DF=2，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接CF，交BE于H， ∵将△BCE沿BE翻折至△BFE， ∴CE＝EF，BE⊥CF， ∵点是正方形边的中点， ∴DE=EC=EF， ∴∠ECF=∠EFC，∠DFE=∠FDE， ∴∠DFE+∠EFC=， ∴∠DFC=∠BCE=90°， ∵∠DCF+∠BCH=∠CBE+∠BCH， ∴∠DCF=∠CBE， ∴， ∴， ∴FC=2DF=2， ∴CD=． ∴正方形的边长是． 故答案是：． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质以及相似三角形得判定和性质是本题的关键． 16. 如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，连接，交于点C和点D，交半径于点B，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算、线段垂直平分线的性质、尺规作图，掌握圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据余弦的定义求出，进而求出，根据弧长公式、圆的周长公式计算即可． 【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 17. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ________ ． 【答案】2-2 【解析】 【分析】通过证明△ABE≌△BCF，可证∠AGF=90°，则点G在以AB为直径的一段弧上运动， 当点G在OC与弧的交点处时，CG最短，然后根据勾股定理求出OC的长即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BCF=90°，AB=BC=4． 在△ABE和△BCF中 ， ∴△ABE≌△BCF， ∴∠BAE=∠CBF． ∵∠ABF+∠CBF=90°， ∴∠ABF+∠BAE=90°， ∴∠AGF=90°， ∴点G在以AB为直径的一段弧上运动， 设AB的中点为O，则当点G在OC与弧的交点处时，CG最短． ∵AB=4， ∴OB=2． ∴OC==， ∴CG=OC=OG=2-2． 故答案为：2-2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键． 18. 如图，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，的长为半径画弧交轴正半轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，以的长为半径画弧交x轴正半轴于点；…．按此作法进行下去，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求弧长；先根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求出点的坐标，得出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标，再根据弧长公式计算即可求解． 【详解】解：直线，坐标为，过点作轴的垂线交直线于点 ∴点的坐标为，， ∴， 以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点， ，点的坐标为， ∴，的坐标为， 故点的坐标为，， 以此类推便可求出点的坐标为， 则的长是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本体考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关运算法则，准确计算是解题的关键； （1）根据二次根式的性质化简，根据零指数幂与负整数指数幂进行计算即可求解； （2）先根据分式的混合运算进行计算，再将代入化简结果进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 当时，原式． 20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图． （1）本次抽样调查的学生共有___________名； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？ （4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）60 （2）补全条形图如图所示： ； （3）估计本次竞赛获得B等级的学生有480名； （4）所选2人恰好是一男一女的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题； （2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题； （3）利用样本估计总体即可； （4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率． 【小问1详解】 解：（名） 答：本次抽样调查的学生共有60名； 故答案为：60； 【小问2详解】 解：C组人数为：（名）， 图略； 【小问3详解】 解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名）， 答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种， 故被选中的两人恰好是一男一女的概率是： 【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 21. 如图，内接于，为的直径，过点作于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，垂径定理，三角形中位线定理，熟练掌握切线的判定，勾股定理，垂径定理是解题的关键． （1）连接，利用半径相等得到，再利用垂直的定义结合等量代换证得，即可证明是的切线； （2）利用垂径定理得到，利用三角形中位线定理得到，再结合已知求得半径，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， 是的中位线， ， ， ， ，， ， ，即， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）在直线上有点P，的面积为12，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入得，再把代入，求出，运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）认真观察图象，且结合，，运用数形结合思想得不等式的解集或，即可作答． （3）先求出，得，设，运用三角形面积公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 则， 把和分别代入， 得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，，， ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴不等式的解集或； 【小问3详解】 解：依题意，与x轴交于C点， ∴当时，则， 解得， ∴， ∴， ∵直线上有点P， 设， ∵的面积为12， ∴， 则， ∴或， 解得或， 则或． 23. 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元，用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市发现每个“哪吒”手办的售价为52元时，可卖出180个，每增加1元，销量将减少10个．超市要求利润率不低于且不高于．问超市应如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）单个“敖丙”手办的进价是30元，单个“哪吒”手办的进价是40元 （2）“哪吒”手办定价56元时，才能获得最大利润，最大利润为2240元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的应用，根据等量关系列出方程，函数解析式，是解题的关键． （1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同，得出答案即可； （2）设单个“哪吒”手办的定价是元，总利润为w元，列出函数解析式，根据二次函数的最值进行求解即可． 【小问1详解】 解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是30元，单个“哪吒”手办的进价是40元； 【小问2详解】 解：设单个“哪吒”手办的定价是元，总利润为w元，根据题意得， ， 又利润率不低于且不高于， ， ， ， 在对称轴右侧随的增大而减小， 时，元， “哪吒”手办定价56元时，才能获得最大利润，最大利润为2240元． 24. 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点． （1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式　 　； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 【答案】解：（1）AE∥BF，QE=QF; （2）QE=QF，证明如下： 如图，延长FQ交AE于D， ∵AE∥BF， ∴∠QAD=∠FBQ． 在△FBQ和△DAQ中， ∵， ∴△FBQ≌△DAQ（ASA）． ∴QF=QD． ∵AE⊥CP， ∴EQ是直角△DEF斜边上的中线． ∴QE=QF=QD，即QE=QF． （3）（2）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长EQ、FB交于D， ∵AE∥BF， ∴∠1=∠D． 在△AQE和△BQD中， ， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD． ∵BF⊥CP， ∴FQ是斜边DE上的中线． ∴QE=QF． 【解析】 【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可． （2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 【详解】（1）如图，∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ． ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ． 在△BFQ和△AEQ中，， ∴△BFQ≌△AEQ（AAS）． ∴QE=QF． （2）略 （3）略 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可； （3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：作交于点， 令，则， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点R的坐标为， ∴ ， ∵， ∴时，有最大值，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点Q是线段上一点， ∴设点Q的坐标为， ∵，， ∴， ∵点是线段上一点（点不与两端点重合）， ∴分以下两种情况讨论： 如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点P的纵坐标为， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设， 同理， ∴，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴点P的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 胜利第一初级中学2025年学业水平考试仿真演练 九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，直线，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图（图中所标的数字表示该位置上小正方体的个数），则这个几何体的左视图为( ) A. B. C. D. 5. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：55，57，65，55，65，70，65，78，68，70．对这组数据判断正确的是（ ） A. 方差为3 B. 平均数为65 C. 众数为65 D. 中位数为67.5 6. 小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF＋BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分． 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 12. 因式分解：______． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______ ．（结果保留根号） 15. 如图，点是正方形边的中点，连接，把沿翻折得到，连接，若，则正方形的边长是_____． 16. 如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，连接，交于点C和点D，交半径于点B，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 17. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ________ ． 18. 如图，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，的长为半径画弧交轴正半轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，以的长为半径画弧交x轴正半轴于点；…．按此作法进行下去，则的长是______． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图． （1）本次抽样调查的学生共有___________名； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？ （4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率． 21. 如图，内接于，为的直径，过点作于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）在直线上有点P，的面积为12，求点P的坐标． 23. 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元，用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市发现每个“哪吒”手办的售价为52元时，可卖出180个，每增加1元，销量将减少10个．超市要求利润率不低于且不高于．问超市应如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 24. 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点． （1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式　 　； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $