江苏省苏州市工业园区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷

江苏省苏州市工业园区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数为二次函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. ，且 D. 3.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是(    ) A. B. C. D. 4.二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 5.下列函数中，随增大而增大的是(    ) A. B. C. D. 6.若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.下表是二次函数的，的部分对应值： 则对于该函数的性质的判断：该二次函数有最大值；不等式的解集是或；方程的两个实数根分别位于和之间；当时，函数值随的增大而增大；其中正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴正半轴上，点在二次函数图象上，以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；；按此规律进行下去，若的横坐标为，则的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.抛物线的顶点坐标是          ． 10.已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______按照从小到大用链接 11.已知一组数据，，，的方差是，则数据，，，的方差是______． 12.抛物线的对称轴是______． 13.已知、是方程的两个根，那么           ． 14.已知等腰三角形的一边长为，另外两边长是关于的方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为          ． 15.如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：；；方程的根为，；当时，随着的增大而增大．其中正确结论有          ． 16.如图，点是二次函数为常数的图像与轴的交点，是二次函数的对称轴与轴的交点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段若点恰好落在二次函数的图像上，则的值为          ． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点点在点的左侧，交轴于点，连接，，． 求抛物线的解析式； 当时，的取值范围______； 当时，的取值范围______． 18.本小题分 如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥处为警戒水位标识，点到的水平距离和它到水面的距离都为米． 按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； 求在正常水位时桥面距离水面的高度． 19.本小题分 已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如表： 画出函数图象，并求出抛物线与轴的交点坐标； 当 ______时，随的增大而减小； 当时，的取值范围为______． 20.本小题分 我国古诗词源远流长某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 本次共抽取了______名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； 若该校共有人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数； 学校在竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这名学生里，随机选取人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有人被选中的概率． 21.本小题分 如图，已知二次函数图像的顶点为原点，直线与抛物线分别交于两点，且． 求二次函数的表达式； 已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于点，求的面积． 22.本小题分 为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品．该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，九月份的销售量达到袋． 求八、九这两个月销售量的月平均增长率； 该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利元？若农产品每袋进价元，原售价为每袋元 23.本小题分 已知关于的一元二次方程． 如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； 如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值． 24.本小题分 已知二次函数为常数 若二次函数的图象经过点，求函数的表达式； 若二次函数在时有最大值，求的值． 25.本小题分 已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴的交点为，其对称轴是直线，点是抛物线上第一象限内的点，过点作轴，垂足为，交于点，且点的横坐标为． 求这条抛物线对应的函数表达式； 如图，过点作平行于轴，交抛物线于点，若点在的上方，连接，，，当四边形时，求点坐标； 如图，连接，，设交于点，的面积为，的面积为，求的最大值； 如图，在的条件下，连接，将右侧的抛物线沿翻折，交轴于点，请直接写出点的坐标． 26.本小题分 如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 若两点的距离为时，求的值？ 当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 27.本小题分 如图，二次函数为常数，且的图象与轴交于，两点点在点左侧，与轴交于点，顶点为，过点且平行于轴的直线与轴交于点，与直线交于点，连接交直线于点． 填空：点的坐标为          ，点的坐标为          ； 试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由； 若点为二次函数为常数，且位于第一象限图象上一点，连接，交直线于点，试求的最大值，并求出此时点的横坐标． 1.【答案】  【解析】解：是二次函数，故本选项符合题意； B.是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C.是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D.等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：． 根据二次函数的定义逐个判断即可． 本题考查了二次函数的定义，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数． 2.【答案】  【解析】解：由为二次函数，得 ，解得，且， 故选：． 根据形如函数是二次函数，可得答案． 本题考查了二次函数的定义，注意二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键． 3.【答案】  【解析】解：将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是，即． 故答案为：． 故选：． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数平移的法则是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：由二次函数图象，得出，，， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B正确； C、一次函数图象，得，，故C错误； D、一次函数图象，得，，故D错误． 故选：． 可先根据二次函数的图象判断、的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误． 本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 5.【答案】  【解析】由一次函数、反比例函数、二次函数的性质判断各选项． 【详解】解：选项A，，函数图象经过二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，本选项不符合题意； 选项B，，随的增大而减小，不符合题意； 选项C，，随的增大而增大，符合题意； 选项D，，开口向上，在对称轴的左侧，随的增大而减小，不符合题意． 符合条件的只有选项C， 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 解得：且， 为整数， 的最大值为， 故选：． 7.【答案】  【解析】由图表可得二次函数的对称轴为直线，，即可判断不正确，由图表可直接判断正确． 【详解】当时，；当时，； 当，；当，； 二次函数的对称轴为直线， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小． 即二次函数有最小值 则错误 由图表可得：不等式的解集是或； 由图表可得：方程的两个实数根分别位于和之间； 故选：． 8.【答案】  【解析】由题已得，可计算出的长度，得，利用平行四边形的性质及两直线平行，其解析式的系数相等的特性，可知直线解析式，联立，可求得，同理，依此类推，可求得，寻找规律，类比可得的坐标． 【详解】解：的横坐标为，且在图象上 ，则：， 易得的解析式为：， 又 ，即： 又为平行四边形， 直线解析式为：两直线平行，其解析式的系数相等 联立 解得：或舍去， 即， 则：，， ， 又为平行四边形， 直线解析式为：， 联立 解得：或舍去， 即， 由，，，得，，， 依此类推， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知， 抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 本题考查将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是． 10.【答案】  【解析】解：二次函数中， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴水平距离越远，函数值越大， ， ． 故答案为：． 由抛物线开口向上且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 11.【答案】  【解析】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加上了，则平均数变为， 设原来的方差， 则现在的方差 ， 所以方差不变． 故答案为：． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，根据方差的计算方法解答即可． 本题考查方差的变化特点，是一个统计问题，本题说明了当数据都加上一个数或减去一个数时，方差不变，即数据的波动情况不变． 12.【答案】直线  【解析】解：， 对称轴是直线， 故答案为：直线． 把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解． 本题主要考查了求抛物线的对称轴．解题的关键是能够将一般式转化为顶点式，难度不大． 13.【答案】  【解析】此题主要考查了根与系数的关系，解答本题的关键是掌握两根之和和两根之积的表达式．根据根与系数的关系得出，根据求出，代入即可． 【详解】解：、是方程的两个根， ，， ，         ． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】分腰为或底为两种情况进行讨论，解一元二次方程求出两个根，对应三角形两边，利用三角形三边关系判断是否符合题意，即可解答． 【详解】解：等腰三角形的一边为， 腰长为时， 是方程的一个根， ，解得：， 此时方程为：，解得：，， 则三角形三边为，，，能构成三角形， 此时这个等腰三角形的周长为； 如果底边为，则有两个相等的实数根， ，解得：， 此时方程为：，解得：， 则三边长为，，，不能构成三角形， 综上可知：这个等腰三角形的周长为， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】本题考查了二次函数图像与二次函数系数之间的关系， 根据抛物线的开口方向得，对称轴在轴右侧，得，抛物线与轴的正半轴相交，得，故正确；当时，，故错误；根据对称轴为，与轴交于点可得与轴的另一个交点，故正确；由抛物线的对称性，得正确． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， 抛物线与轴的正半轴相交， ， ，故正确； 当时，，故错误； 对称轴为，与轴交于点， 与轴的另一个交点，故正确； 由图像得时，随着的增大而增大，故正确； 故答案为：． 16.【答案】或  【解析】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作轴于点，由旋转得，，进而可证明，得到，，又由二次函数可得，，即可得，把代入二次函数的解析式解答即可求解，证明得到点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，    则， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ，， 把代入得，， ， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 是二次函数的对称轴与轴的交点， ， ， ，， ， 点恰好落在二次函数的图像上， ， 整理得，， 解得，， 的值为或， 故答案为：或． 17.【答案】；   ；   ．  【解析】解：， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 将点、代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 当时，函数图象在轴的上方， 此时， 故答案为：； ， 抛物线的顶点为， 当时，有最大值为， 当时，， 当时，； 故答案为：． 分别求出、两点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； 当时，函数图象在轴的上方，此时； 当时，有最大值为，当时，，则当时，． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． 18.【答案】解：根据题意，设抛物线解析式为：， 将点、点代入，得： ， 解得：． 故抛物线解析式为：； ， 当时，取得最大值，最大值为， 故在正常水位时桥面距离水面的高度为米．  【解析】设抛物线解析式为：，将点、点代入求得、的值即可得抛物线解析式； 将抛物线解析式配方可得其最大值，即最大高度． 本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键，结合题意理解不同水位对应的函数关系是解题的关键． 19.【答案】作图见解析，抛物线与轴交点坐标为和；   ；   ．  【解析】解：根据表格中所给的数据在坐标系中描点，连线即可： 二次函数经过， ， 把，分别代入函数解析式得： ， 解得 ， 二次函数的解析式为：， 令，则， 解得，， 抛物线与轴交点坐标为和； 当时，随的增大而减小， 故答案为：； 当时，由图象可知：的取值范围为． 故答案为：． 根据已知点依次描点，再连线即可，令，则，据此求解即可； 根据图象即可求解； 根据图象即可求解． 本题考查的是二次函数的图象与性质，解题的关键是要能采用数形结合的思想． 20.【答案】  【解析】解：名， 等级的人数为：名， 补全条形统计图如下： 人， 答：估计竞赛成绩为等级的学生人数为人； 画树状图如下： ， 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有人被选中的结果有种， 甲、乙两人中恰好有人被选中的概率为． 由等级的人数除以所占百分比得出本次共抽取的人数，即可解决问题； 由该校共有人数乘以竞赛成绩为等级的学生人数所占的比例即可； 画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有人被选中的结果有种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】【小题】 解：二次函数图像的顶点为原点， 抛物线的对称轴为直线轴，即直线， 设二次函数解析式为 ，直线与抛物线分别交于两点 点坐标为 将代入 把代入，得， 解得：， 则二次函数的解析式． 【小题】 解：当时，，则， 点与点关于轴对称，则点坐标为 ， ．   【解析】  根据二次函数图像的顶点为原点，确定出对称轴为直线轴，设二次函数解析式为，解析式由关于直线对称且，求得坐标，代入即可求解．   根据点点的横坐标算出的值，以及的长度，根据三角形面积算得的面积． 22.【答案】【小题】 解：设八、九这两个月的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：八、九这两个月的月平均增长率为． 【小题】 解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利元， 根据题意可得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利元．   【解析】  设三、四这两个月的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量进而求出答案；   首先设当农产品每袋降价元时，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，求解即可． 23.【答案】【小题】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小题】 解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， 解得， 经检验，是方程的解，且   【解析】  本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系： 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，据此求解即可．   一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，，据此求解即可． 24.【答案】【小题】 解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数为； 【小题】 解：， 抛物线的对称轴为直线：； 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 二次函数在时有最大值，， 当时，函数值最大，即：， 解得：； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， 二次函数在时有最大值，对称轴为， 当时，函数值最大，即：； 解得：； 综上：或．   【解析】  本题考查二次函数的图象和性质．求解二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 把代入二次函数即可得到答案．   先求解抛物线的对称轴，再分，两种情况讨论，根据二次函数的性质，进行求解即可． 25.【答案】【小题】 将代入可得， 对称轴是直线， ，即，解得， 二次函数解析式为； 【小题】 二次函数解析式为； ， 直线的解析式为， 的横坐标为，，轴， 点坐标为，点坐标为 平行于轴 、关于对称轴对称，且 点坐标为 ，解得 当是与重合 ； 【小题】 过点作轴的垂线交于点， 直线的解析式为：，， ， ， ，， ， ∽， ， 当时，有最大值，最大值是； 【小题】 当时，， 设直线的解析式为：， 把，，代入可得：，解得 直线的解析式为：， 如图，设点关于的对称点为，连接，交于点，交轴于点，则是的中点，且， ， ， ， ， ∽， ， 设点， ，解得， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：，解得 直线的解析式为：，令，解得， ， ， ，且是的中点， ， 点在抛物线上， ， 解得舍，   【解析】  将代入求出，再由求出，即可求解析式；   分别求出和的长，根据列方程计算即可；   根据计算即可；   根据翻折后是对称轴，作关于的对称点，先求出点坐标即可． 26.【答案】【小题】 解：依题意得：， ， ， ， 两点的距离为， ， 解得：或； 【小题】 解：设的面积为，根据题意得： ， 当时，取得最大值，最大值为， 即当为时，的面积最大，最大面积为．   【解析】  本题主要考查了勾股定理，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用： 分别用的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解；   设的面积为，利用中的方法，利用三角形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 27.【答案】【小题】 【小题】 解：是定值， 把代入，得， 点的坐标为， 设直线的解析式为，代入， 解得 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点， ， ， ， 点的坐标为，  ， 顶点为， ， ，  是定值，这个定值为； 【小题】 解：过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点， ， 设则，  ， 轴，轴， ， ， 当时，的最大值为，此时点的横坐标为．   【解析】  令，解方程可得两点坐标； 解：令得， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；   令可得点的坐标，求出顶点的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为，则，过点作轴交直线于点，则，证明，即可得，即可求解；   过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，则，设，则，证明，即可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $