1.1 空间向量及其运算的坐标表示教案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该教案聚焦空间向量的坐标表示及运算，通过联系平面向量知识搭建二维到三维的过渡支架，梳理坐标表示、运算规律、平行垂直条件及几何计算的知识脉络。 资料以正方体、四棱锥等几何模型为例题载体，通过选择、解答等多样题型培养空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维），表格化总结和平行垂直证明题助力学生用数学语言表达空间关系，提升应用意识，帮助学生巩固知识，方便教师高效教学。

空间向量及其运算的坐标表示 一、教学目标 ①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义 ②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算 ③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明 2、 教学重难点 理解空间向量的坐标表示及相关概念进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 三、知识精讲 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 2、空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 知识点04：平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 四、例题精析 题型01空间向量的坐标表示 【例1】（24高二上··期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 . 【变式1】（多选）（24高二上··期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 题型02空间向量的坐标运算 --------加减，数乘，数量积运算 例1．（2024秋•成都校级月考）已知向量，，，则（　　） A．12 B．﹣12 C．9 D．﹣9 例2．（2024秋•蒲江县校级月考）已知向量，，且与是共线向量，则实数x的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．﹣6 例3．（2024秋•成都期中）设x，y∈R，向量（x，1，﹣2），（3，﹣2，2），且⊥，则||等于（　　） A．2 B．4 C． D．26 例5．（2022春•郫都区校级月考）已知，，且，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【变式练习】 1、（2024春•金牛区校级月考）已知，若，则实数λ等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024秋•简阳市校级期末）若，则（　　） A．4 B．5 C．21 D．26 3、（2024秋•青羊区校级期中）若（﹣1，2，1），（1，3，2），则（）•（2）＝（　　） A．2 B．5 C．21 D．26 4．（2024秋•武侯区校级月考）已知向量． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 题型03投影向量 例1． （2024秋•成都校级月考）已知，则在方向上的投影向量的坐标为　 　 ． 例2．（2024秋•静安区校级期末）给定点A（1，0，0）、B（3，1，1）、C（2，0，1）、D（5，﹣4，3），则在方向上的投影向量的坐标为 　 　 ． 【变式练习】 1． （2025春•平和县校级期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是　 　 ． 2． （2024秋•浏阳市期末）已知向量，，则在上的投影向量为 　 　 ． 3．（2025春•泗阳县期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是 　 　 ． 题型04空间向量的垂直关系（坐标形式） 【例1】（24高二上·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【例2】．（2024秋•成都校级期中）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠BCD＝90°，DE∥BC，且DE＝CD＝CA＝2，BC＝4，M是AD的中点，N是AB的中点．求证：CM⊥平面ADE； 【例3】．（2025•锦江区校级模拟）如图，四边形ABCD为矩形，△ACD≌△ACE，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．求证：平面ACE⊥平面BCE； 【变式练习】 1、（2024秋•蒲江县校级月考）如图，S是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆心，AB，CD是底面圆O的两条直径，点E在SB上，．求证：AB⊥CD； 2．（2024•武侯区校级开学）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，CD，PA⊥AD，点E在棱PC上，设CE＝λCP．证明：CD⊥AE； 3．（2025•青羊区校级模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝AA1＝4，BC＝2，∠ACB＝90°，A1B⊥AC1． 求证：平面A1ACC1⊥平面ABC． 题型05空间向量的平行关系（坐标形式） 【例1】．（2024高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 【例2】．（2025春•成华区校级期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD，，且E，F分别为PC，CD的中点．证明：DE∥平面PAB； 【变式练习】 1．（2024秋•青羊区校级月考）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，且AA1＝AB＝2AD，E，F分别为C1D1，DD1的中点．证明：AF∥平面A1EB． 2．（2025春•成都期末）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底面是边长为2的正方形，侧棱D1D与底面垂直，且D1D＝D1C1＝1．证明：BB1∥平面ACD1； 课堂总结： 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 家庭作业 1、（多选）（2024秋•成都期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列结论正确的有（　　） A． B． C．若，且，则t＝3 D．若且，则k＝2 2．（2024秋•双流区校级月考）设空间向量，，若，则　 　 ． 3．（2024秋•双流区校级期中）已知向量，．若，则实数m＝ 　 　 ． 4、若向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 5、（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知向量，，且，则实数m＝ ． 6．（2025春•青羊区校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是棱A1B1，AC的中点． 证明：MN∥平面BCC1B1； 教学反思 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $