精品解析：四川省广安加德学校2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

广安加德学校2024-2025学年度下期高2022级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，求值域，得到，得到，从而得到子集个数. 【详解】，解得， 又，所以， ，故， 故子集个数为. 故选：D 2. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列基本量的计算依次求得，，进一步即可得解. 【详解】由题得，，故， ，故，即，， 所以. 故选：D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先出求，再根据即可得出的值，最后求的模. 【详解】由题意可知，因为，， 所以， 又因为，所以， 即，解得. 所以. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得，进而得，从而结合二倍角正弦公式即可计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以 ，即， 所以由得， 所以. 故选：A. 5. 已知，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，不等式两边同时乘以，则，故B正确； 对于C，， 因为，所以， 所以，即，故C错误； 对于D，因为， 因为，所以，，，故D正确. 故选：C. 6. 已知函数为偶函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合偶函数的定义利用对数的运算性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， ，即， 即，即， 化简得，解得. 故选：C. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断函数奇偶性排除A,B两项，再通过特殊值代入得到点的位置排除D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，B. 因为，排除D. 故选：C. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由时及余弦的二倍角公式、不等式的性质求解. 【详解】根据 时，则，所以， ， 即. 故选：D 二、多选题（每小题5分共40分） 9. 下列函数中，是增函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数函数性质可得A正确，由反比例函数性质可得B错误，根据幂函数性质可得C正确，求导得出恒成立，可得D正确. 【详解】对于A，易知的定义域为，是由函数和组成， 易知为单调递增函数，为单调递增函数，因此A正确； 对于B，函数定义域为， 根据反比例函数性质可得在和上分别单调递增，但不是增函数，即B错误； 对于C，易知的定义域为，由幂函数性质可得其在定义域内单调递增，即C正确； 对于D，函数的定义域为，则恒成立， 所以函数在定义域内单调递增，即D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的图象与函数的图象重合，则（    ） A. B. 的单调区间为 C. 直线是的图象的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，进而可得，根据正弦函数的图象性质，结合整体法，即可求解ABC，求导，利用点斜式即可求解切线方程，判断D. 【详解】，函数图象与的图象重合， 则，即，， 又，则， 对于A，，故A正确； 对于B，，若，则，进而， 则为的一个单调递增区间，还有其他单调递增和单调递减区间，故B错误； 对于C，当，则， 根据对称轴经过图象最高点或者最低点，则直线不是的图象的对称轴，故C错误； 对于D，，则为上的点.且， 故，故在点的切线方程为， 即直线是曲线的切线，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数（）是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（    ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，以及复合函数求导即可判断. 【详解】由，则， 又函数（）是奇函数，则，， 因此可得，，即函数的周期为4， 由，则， ，因此A正确； 由函数（）是奇函数，则， 故， 又是的导函数，则，故函数为偶函数，因此B正确； 由，则为的对称轴， 因此在左右附近的单调性发生改变，即为的极值点， 故，因此C不正确； 由，则，即， 因此函数的周期为4，因此D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题： (1)定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件； (2)或是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 三、填空题 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两两角和差的正切公式，化简求值，即可得答案. 【详解】， 又， 所以， 所以 ， 故答案为： 13. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的__________条件 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】分别根据二次函数，对数函数以及反比例函数的单调性化简命题和命题满足的的取值，即可根据集合间的关系求解. 【详解】解：若 要在上单调递减， 则，解得， 在上为增函数， 则，解得， 因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 14. 已知不等式对任意恒成立，则当取最大值时，_______. 【答案】 【解析】 【分析】分离变量可得，令，分类讨论可得，可得，结合基本不等式可求结论. 【详解】已知不等式对任意恒成立，根据目标式，知， 由，得， 令，则， 当时，，函数单调递增且值域为R，此时不恒成立， 当时，令，则， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，所以， 所以时，方程有解，设解为，则，所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以，所以， 又，当且仅当，即时取等号， 当，取最大值，此时. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义得到数列为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1），可得， 所以数列的前项和为：. 16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）请利用散点图说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （参考数据：，的方差为200） （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），140.5 （2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法可求回归直线方程，进而可得的预测值； （2）计算卡方值可得结论. 【小问1详解】 画出散点图(如图所示)可以得到这些样本点在某一条直线附近波动，说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合. ，，又的方差为， ， ，故， 当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分. 【小问2详解】 零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： 因为，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关，此推断犯错误的概率不大于. 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； （3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可. 【小问1详解】 由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； 【小问3详解】 因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得，即， 又因为，且， 即，解得. 18. 已知二次函数，关于实数的不等式的解集为． （1）当时，解关于的不等式：； （2）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）不等式的解集为. （2）存在； 【解析】 【分析】（1）首先由韦达定理确定的值，再通过讨论的范围确定对应方程两根大小，最终确定解集（2）由的解析式，可令，并进而确定与有关的二次函数的最值，最终确定 【小问1详解】 由不等式的解集为知 关于的方程的两根为和，且 由根与系数关系，得，∴， 所以原不等式化为， 当时，原不等式化为，且， 解得或； ∴当时，原不等式的解集为； 【小问2详解】 假设存在满足条件的实数， 由（1）得：， ∴， ∴， 令，， 则 ∴对称轴为：， 又， ∴，， ∴函数在递减， ∴时，最小为：， 解得： 19. 已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）设，其中为的导函数.证明：对任意，. 【答案】（1） （2）的递增区间为，递减区间为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义分析运算； （2）求导，利用导数求原函数的单调区间； （3）根据题意分析可得对，，构建新函数、，分别利用导数求最值，即可证明. 【小问1详解】 由题意可得：，， ∵在,处的切线与轴平行，即， . 【小问2详解】 由（1）得：，， 令，， 当时，则，故； 当时，则，； ∵， 则时，；时，； 故的单调递增为，单调递减为. 【小问3详解】 由，即，， 对，，等价于对，， 由（2）对于，，则，， 当时，；当时，； 可得在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 设，则对恒成立， 故在上单调递增，则，即； 综上：，故，，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2024-2025学年度下期高2022级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 14 C. 15 D. 16 2. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知函数为偶函数，则（    ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分共40分） 9. 下列函数中，是增函数的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象与函数的图象重合，则（    ） A. B. 的单调区间为 C. 直线是的图象的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数（）是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（    ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 三、填空题 12. __________． 13. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的__________条件 14. 已知不等式对任意恒成立，则当取最大值时，_______. 四、解答题 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）请利用散点图说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （参考数据：，的方差为200） （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 18. 已知二次函数，关于实数的不等式的解集为． （1）当时，解关于的不等式：； （2）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由． 19. 已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）设，其中为的导函数.证明：对任意，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $