专题01一元一次方程的应用（期中专项训练）（10种热考题型）七年级数学上学期新教材人教版五四制

专题01一元一次方程的应用（10种热考题型） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：和、差、倍、分型应用题 角度1：一般问题（共4题） 1．（2023秋•防城港期末）列方程解决实际问题：有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住5只鸽子，则剩余2只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来3只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住6只鸽子． （1）求总共有多少个鸽笼？ （2）在（1）的条件下，计算出原有鸽子的数量． 2．（2023秋•巴中期末）秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好的接触自然、增强身体素质，某校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车．小明发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位．求此次秋游的人数． 3．（2023秋•防城港期末）【综合与实践】 注意观察生活中的一些数字规律，我们会发现原来数学有很多奥秘值得我们去研究． 【知识背景】日历表中的日期数字都是按星期日，星期一，星期二，，星期六的顺序来排列的，如图为2024年1月的日历表，在表中用一个小方框任意圈出4个阿拉伯数字（如图所示），设这4个数从小到大依次为，，，．请完成： 【观察发现】小方框中的四个数，，，总存在着某种数量关系． （1）若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：　　，　　，　　； （2）请用含有的式子表示，，； 【解决问题】利用发现的规律解决问题： （3）按照这种方法所圈出的四个数的和能否等于100？请列出一元一次方程并解答． 4．（2023秋•长安区期末）嘉嘉和琪琪在一起玩飞镖游戏，每人玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界不计入次数，需重新投．积分规则如下： 投中位置 区 区 脱靶 一次计分（分 3 1 （1）嘉嘉投中区5次，区2次，其余脱靶，求嘉嘉的得分； （2）琪琪投中区次，区3次，其余脱靶，琪琪得分能否正好超嘉嘉10分，如果能请求出，如果不能请说明理由． 角度2：与线段、数轴有关问题（共11题） 1．（2023秋•夏邑县期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点在线段上，且，则点是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，，点是的三等分点，求的长． （2）已知，线段，如图3，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点方向运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点方向运动，设运动时间为秒． ①若点点同时出发，且当点与点重合时，求的值． ②若点点同时出发，且当点是线段的三等分点时，求的值． 2．（2023秋•伊犁州期末）如图，为数轴的原点，，为数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为100． （1）、两点间的距离是 　　． （2）若电子蚂蚁从点出发，以6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位长度的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点，那么点表示的数是多少？ （3）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点的距离的3倍．求点表示的数． 3．（2023秋•通山县期末）定义：如果数轴上点，，所表示的数分别为，，，点是线段的中点，那么数是数与数的“中间数”．例如：图中点，表示的数分别是，3，线段的中点所表示的数是1，则1是有理数与3的“中间数”． （1）概念理解：有理数3与7的“中间数”是 　　，与的“中间数”是 　　； （2）性质探索：点，，所表示的数分别是，，，若数是数与数的“中间数”，根据定义可知，因为，　　，所以数，，之间的数量关系是 　　； （3）性质运用：已知第一组数与的“中间数”是，第二组数与的“中间数”也是，求的值，并求出此时第一组数是多少． 4．（2023秋•金平区期末）如图，数轴上的三点、、，点对应的数为，点对应的数为．点对应的数为8，点为数轴原点． （1）填空：　　，　　； （2）若点是数轴上点、点之间一点，且，求线段的长及点对应的数； （3）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达点后，立即以同样速度返回，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设它们运动的时间为秒，当、两点间的距离为2个单位长度时，求的值． 5．（2023秋•自贡期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 　 　，点表示的数 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 6．（2023秋•龙湖区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．例如点、表示的数分别为、3，则、两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空：①、两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　． ②秒后，用含的代数式表示：点表示的数为 　　；点表示的数为 　　． （2）求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． （3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻，使得、、三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•孟村县期末）数轴上点表示，点表示6，点表示12．点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度，动点从点出发，以4个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以3个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． （1）当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 　　； （2）当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）　　时，、两点相遇； （3）求当为多少秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度． 8．（2023秋•巴中期末）如图，在以点为原点的数轴上，点表示的数是6，点在原点的左侧，且（点与点之间的距离记作． （1）点表示的数为 　　； （2）若点在原点的左侧，且点到点、点的距离满足，求点在数轴上表示的数； （3）若动点从出发，以2个单位长度秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动；当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点后立即以原速返回，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，求为多少时，点和点之间的距离是16个长度单位． 9．（2023秋•洪山区期末）（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有 　　条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为 　　； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． 10．（2023秋•北仑区期末）定义：在同一直线上有，，三点，若点到，两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． （1）线段的中点 　　该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是” （2）已知，点是线段的“倍距点”，直接写出　　． （3）如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 11．（2023秋•罗定市期末）已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且满足，动点、都从点出发，且点以每秒1个单位长度的速度向右移动． （1）直接写出　　，　　，　　． （2）设点向右运动时，在数轴上对应的数为，则代数式的最大值为 　　． （3）当点运动到点时，点再从点出发，以每秒3个单位长度的速度在，之间往返运动，直至点到达点时停止运动，点也停止运动．求：当点开始运动后多少秒，、两点之间的距离为2？ 角度3：与角有关问题（共7题） 1．（2023秋•江岸区期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． （1）如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时　　．（直接填写答案） （2）如图2，已知，若平面内存在射线、在直线的上方），使得是的“绝配角”， 与互补，求大小． （3）如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒． ①当时，是的“绝配角”，求出此时的值． ②当时，　　时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 2．（2023秋•获嘉县期末）如图，点为直线上一点，将一直角三角板的锐角顶点放在点处，． （1）若，则　　； （2）若将直角三角板绕点顺时针旋转一周，旋转速度是每秒． ①在直角三角板旋转过程中，当时，求的大小（用含的式子表示）； ②在直角三角板旋转一周过程中，当时开始计时，试求直角三角板旋转到几秒时，直线恰好是的平分线． 3．（2023秋•抚州期末）如图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为秒． （1）当时，求的度数； （2）在运动过程中，当第二次达到时，求的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线所组成的角的角平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 4．（2023秋•武汉期末）如图，已知，射线平分，平分． （1）如图1，若与重合，，请补全图形并直接写出的度数为 　　； （2）如图2，若，求的度数； （3）若，将从图1的位置以每秒的速度绕点逆时针方向旋转一周，经过 　　秒能使（直接写出结果）． 5．（2023秋•金平区期末）如图，，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． （1）当射线，重合时，　　； （2）在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为 　　； （3）在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①善于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 6．（2023秋•鼓楼区期末）如图，射线上有一点，，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． （1）当第一次转至与垂直时，　 　；（用含的代数式表示） （2）当、、三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求的值； （3）如图2，当射线绕点旋转到时，点到达射线上的点处．此时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，旋转一周停止运动．再经过 　　秒，与所在直线垂直． 7．（2023秋•金水区校级期末）将一副直角三角板（分别含，，和，，的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 特例感知： （1）如图1，若点、、在同一直线上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，则　　． 规律探究： （2）如图2，若两直角三角板有重叠时， ①当时，求的度数； ②当，则　　（含的式子表示）． 解决问题： （3）图1的条件下，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转，两三角板同时旋转，当第一次与重合，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻与两角平分线的夹角为，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 角度4：与图形有关问题（共3题） 1．（2023秋•原阳县期末）如图，一块正方形的纸片，边长为，裁一块长，宽 的长方形，余下的部分用阴影表示． （1）当阴影部分面积为时，的值为 　　； （2）若裁下的长方形纸片的周长为，在裁下的纸片上画圆，则所能画最大圆的面积是多少？ 2．（2023秋•东湖区校级期末）如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高 ．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低 ．（圆周率用表示） （1）乙的水位增加 　 　（用含的代数式表示）； （2）若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ （3）如图2，倒水后将乙放入甲的底部．当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后；两量筒内的水位高度恰好相等，求的值． 3．（2023秋•东莞市期末）如图，在直角三角形中，，若 厘米， 厘米，厘米．点从点开始，以2厘米秒的速度沿的方向移动，终点为；点从点开始，以1厘米秒的速度沿的方向移动，终点为．如果，同时出发，用秒表示移动时间． （1）分别求出，到达终点时所需时间； （2）若点在线段上运动，点在线段上运动，试求出当为何值时，？ （3）当为何值时，？ 角度5：与探究规律有关应用题（共2题） 1．（2023秋•长治期末）将正整数1至2023按照从左到右的顺序赋入如图表格中： 规定：表示第行第个数，如表示第3行第2个数是20．记作． （1）　　； （2）若．则　　，　　； （3）将表格中的“ “型格子看成一个整体并可以平移，所覆盖的4个数之和能否等于113？如果能．求出4个数中的最小数：如果不能，诸说明理由； （4）用含、的代数式表示　　． 2．（2023秋•市北区期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 定义：在数轴上，如果线段间从左往右的点，，，，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，，是靠近的第2个等分点，则记为，，是靠近的第个等分点，则记为，． 探究一： 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段的二等分点，表示的数为． 探究二： 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段上靠近点的第2个五等分点，表示的数为 　 　． 应用一： 如图3，在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 　　； 数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 　　； 若线段上靠近的四等分点，与线段上靠近的十等分点，重合，请求出的值． 应用二： 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点，与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 　　． 题型二：工程类应用题（共6题） 1．（2023秋•长清区期末）列方程解应用题： 某县在创建省级卫生文明城市中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为260米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时25天． （1）求甲、乙两工程队分别整治河道多少天？ （2）雇佣甲工程队需要800元天，雇佣乙工程队需要1000元天，则共需支付两个工程队多少钱？ 2．（2023秋•铁东区期末）某学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作完成这块广告牌的制作． （1）为完成这块广告牌的制作，师徒二人共合作了多少天？ （2）若完成后共得到报酬900元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配这900元的报酬？ 3．（2023秋•广州期末）整理一批图书，由一个人做要48小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加3人和他们一起做6小时完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． （1）具体应先安排多少人工作？ （2）若一开始就以增加后的人数工作，则需要多少小时完成？ 4．（2023秋•乌兰察布期末）一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要40天，现甲队单独做5天后 两队合作． （1）求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程； （2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费为2000元，乙队每天的施工费为3000元，求完成此项工程需付甲、乙两队共多少元？ 5．（2023秋•老河口市期末）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要15天；如果由乙队单独完成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 6．（2023秋•定州市期末）某项工程，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ 题型三：销售类应用题（共6题） 1．（2023秋•锡山区期末）某零售店用3800元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件．已知甲商品进价为25元件，标价为50元件；乙商品进价为60元件，标价为100元件． （1）求甲乙两种商品各购进多少件？ （2）若甲种商品按标价的9折出售，乙种商品按标价的8.5折出售，且在运输过程中甲商品有不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该零售店共获利多少元？ 2．（2023秋•抚州期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某玩具店第一次购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如下表： 琮琮 莲莲 进价（元个） 60 70 售价（元个） 80 100 （1）该玩具店购进的“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）“琮琮”和“莲莲”全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该玩具店第二次以第一次的进价又购进“琮琮”和“莲莲”，其中购进“莲莲”的件数不变，购进“琮琮”的件数是第一次购进“琮琮”件数的3倍，“莲莲”售价不变，“琮琮”打折销售，第二次“琮琮”和“莲莲”都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多640元，“琮琮”应打几折？ 3．（2023秋•蓬江区期末）某校冬季校运会前，为了让学生有饱满的精神状态，王级长决定给七年级的每位学生送一支棒棒糖，寓意“棒棒的”，他在网上看中了某品牌两种规格的棒棒糖： 规格（支桶） 价格（元桶） 大桶装 108 45 小桶装 30 15 根据七年级总人数来估算，若买“大桶装”，则需若干桶还差62支；若买“小桶装”则需比“大桶装”多买18桶但会多出10支． （1）求七年级总共有多少名学生？ （2）商家进行“年终大促”促销活动：满200元减6元现金，并且该品牌商家对“小桶装”棒棒糖有“买5桶送1桶”的优惠活动，王级长打算购买“小桶装”，比促销前节省多少钱？ （3）在（2）的条件下，商家在这次“小桶装”棒棒糖的销售买卖中，仍可获利 “小桶装”每桶的成本是多少？ 4．（2023秋•黄石港区期末）泰州凤城河风景区是国家景区，景区以望海楼为中心，与桃园、老街交相呼应，吸引各地游客前来旅游观光．其中望海楼和桃园门票零售单价都为40元人，但团体票单价计算方式不同． 望海楼团体票单价计算方式：当旅游团人数不超过25人时，团体票单价为零售单价的；当旅游团人数超过25人但不超过50人时，团体票单价为零售单价的；当旅游团人数超过50人时，团体票单价为零售单价的． 桃园的团体票单价计算方式如表： 人数范围（人 60以上 团体票单价（元人） 零售单价的 零售单价的 零售单价的 零售单价的 说明：①是指人数大于0人且小于或等于20人，其他类同； ②桃园团体票单价分段计算，与望海楼不同，例如，旅游团人数35人，团体票总票价费用为（元． （1）若旅游团人数为30人，先后游玩了望海楼和桃园，都购买了团体票，则在望海楼购买门票总费用为 　　元，在桃园购买门票总费用为 　　元； （2）若旅游团人数为人，即大于50且小于或等于，先后游玩了望海楼和桃园，也都购买了团体票，则在望海楼购买门票总费用为 　　元，在桃园购买门票总费用为 　　元（用含的代数式表示，结果需化简）； （3）若旅游团人数为人，先后游玩了望海楼和桃园，都购买团体票，所付门票总费用是否可能一样？如果可能，求出的值，如果不可能，请说明理由． 5．（2023秋•旺苍县期末）为了保障广大师生的身体健康，某校秋季开学后，采购了甲种免洗消毒液20瓶，乙种免洗消毒液30瓶，已知甲消毒液的单价比乙贵10元，两种消毒液的采购费用相等． （1）甲种消毒液和乙种消毒液的单价分别是多少元？ （2）甲流发生后，学校再次采购甲、乙两种消毒液，甲消毒液的采购数量是第一次采购数量的2倍，采购单价比第一次提高了，乙消毒液比第一次多采购了瓶，单价与第一次采购单价相同，结果第二次采购的总费用是第一次总费用的2倍，求的值． 6．（2023秋•和平区校级期末）某直播间购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如表； 甲 乙 进价（元件） 20 30 售价（元件） 25 40 （1）该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注：每件商品获利售价进价）．若要解决上述问题，我们可以设甲商品的进货量为件，请完成下面的表格并作答： 单件售价（元 进货量（件 交易额 甲 ①　　 ②　　 乙 40 ③　　 ④　　 （2）经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？ 题型四：比赛类应用题（共4题） 1．（2023秋•云梦县期末）12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，崇德中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 （1）这次竞赛中答对一题得 　　分，答错一题得 　　分； （2）参赛学生得分为70分，求他答错了几道题？ （3）参赛学生说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由． 2．（2023秋•东西湖区期末）用一元一次方程解决实际问题，第2小问和第3小问用算式解决不得分．习近平总书记说“绿水青山就是金山银山”，为了增强中学生环保意识，某学校组织全体中学生进行环保知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 （1）填空：每答对一道题得 　　分，每答错一道题扣 　　分． （2）参赛者得76分，他答对了几道题？ （3）参赛者说他得83分，你认为可能吗？请通过计算说明． 3．（2023秋•沙市区期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．” （1）【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，问共有多少种不同的票价．聪明的小慧是这样思考这个问题的，她用，，，，4个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．由此可以得到有 　　种不同的票价． （2）【迁移应用】，，，，，六支足球队进行单循环比赛（任意两支球队只进行1场比赛），当比赛到某一天时，统计出，，，，五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则队比赛了 　　场． （3）【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划路程的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求，两市相距多少千米？ 4．（2023秋•闽侯县期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 根据以上信息，请你算出： （1）填空：答对一题得 　　分，答错一题扣 　　分； （2）参赛者得76分，他答对了几题？ （3）参赛者说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由． 题型五：行程类应用题（共7题） 1．（2023秋•平泉市期末）甲乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度时，后两船同时到达、两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往港口，乙船驶往港口．（提示：顺水速度船速水速；逆水速度船速水速） （1）、两港口相距多远？ （2）港口间比港口间多多少千米？（用含的代数式表示） （3）卸装货物后同时出发，两船又经过 　　相遇，若相遇处距港口50千米，求甲船还需几到达港口？ 2．（2023秋•广陵区期末）甲乙两地相距480公里，一列慢车从甲地开出，每小时行60公里，一列快车从乙地开出，每小时行140公里，慢车先开1小时，快车再开．两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？ 3．（2023秋•成武县期末）甲乙两人约定步行从学校出发，沿同一路线到距离学校1200米的图书馆看书．甲先出发，步行的速度是40米分钟．乙比甲晚出发4分钟，比甲早2分钟到达图书馆． （1）求乙步行从学校到图书馆的时间和速度； （2）求甲出发多长时间乙追上甲（要求列方程解答）． 4．（2023秋•光山县校级期末）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米，702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）． （1）后队出发后多长时间可以追上前队？ （2）后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？ （3）联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？ 5．（2023秋•苏州期末）如图（1）已知数轴上点表示原点，点表示的数为12．动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． （1）点在数轴上表示的数为 　　，点在数轴上表示的数为 　　（用含的代数式表示）； （2）如图（2）数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为2？ 6．（2023秋•威宁县期末）近年来，贵阳往返昭通间开行的一对“站站停”的绿皮慢车逐渐成为沿线百姓出行的重要交通工具，被沿线村民亲切地称为“苹果号列车”“致富快车”“振兴车”和“幸福车”．如图，点为数轴的原点，向右为正方向．一列长为200米的客车向右行驶，途经李子沟大桥，列车行驶速度为20米秒．某一时刻，这列客车位于处，李子沟大桥主桥为．点，，表示的数分别是，，，且，满足． （1）　　；主桥间的距离是 　　米． （2）该列客车从车头上李子沟大桥主桥开始到整列客车完全通过主桥需要多少时间？ （3）从题中时刻开始算起，在客车尾部处有个乘客记为点，正向车头方向行走，速度为1米秒，是否存在某一时刻，使点到点与点到点的距离之和等于1300米？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•盂县期末）综合与实践 问题情境： 太原滨河自行车专用道位于汾河两侧，不仅能满足太原市民通勤、运动与休闲的需求，还能缓解滨河东、西路的交通压力．周末，甲、乙两人相约去滨河自行车道骑车，甲从通达桥入口（记为地）进入自行车道，向胜利桥方向骑行，甲出发后乙从胜利桥入口（记为地）进入自行车道，向通达桥方向骑行．已知，两地相距大约，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为 ． 数学思考： （1）在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为 　 　，乙骑行的路程为 　　．（用含的代数式表示） 问题解决： （2）当甲、乙两人相遇时，求的值． （3）两人相遇后，甲继续以原速度向地骑行，乙休息后掉头按原速度返回地．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求的值． 题型六：环形跑道与时钟问题（共5题） 1．（2023秋•婺城区期末）根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中均匀分布，分针60分钟转动一周是时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度． 素材2 当时钟显示时（如图，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从到，分针转动的角度为时针转动的角度为，因此10点10分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”．如图3，当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示时，时针与分针所成角度为在到的30分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 之后的下一个美妙时刻是 　 　．一天24个小时内，共有 　　个美妙时刻． 2．（2023秋•孟村县期末）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针和时针均绕中心匀速转动．（本题中的角均指小于的角）， （1）分针每分钟转 　　度，时针每分钟转 　　度，当时间为时，分针和时针的夹角为 　　度； （2）求开始后几分钟分针第一次追上时针； （3）点为4点钟的位置，平分，平分，从开始计时，分钟后，，求的值． 3．（2023秋•萧县期末）周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： 请根据他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度． 4．（2021秋•渠县期末）正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒． 已知正方形轨道的边长为，求乙在第5次追上甲时在哪条线段上？ 5．（2020秋•兴平市期末）一天早晨，小华和爸爸在1000米的环形跑道上跑步，他们8点整时在同一地点沿着同一方向同时出发，小华跑了半圈时，看到爸爸刚好跑完一圈，8点零8分时爸爸第一次追上小华． （1）求小华和爸爸的跑步速度； （2）爸爸第一次追上小华后，在第二次相遇前，再经过多少分，小华和爸爸相距150米？ 题型七：分段计费应用题（共5题） 1．（2023秋•炎陵县期末）株洲市为了鼓励市民节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨的部分，按2元吨收费；超过10吨的部分按3元吨收费． 注：水费按月结算，若某居民1月份用水17吨，则应收水费元． （1）若小明家3月份交水费35元，则小明家3月份用水多少吨． （2）若小明家4月份和5月份共用水25吨月份用水量不超过10吨，5月份用水量超过10吨），两个月共交水费56元，求4月份与5月份分别用水多少吨． 2．（2023秋•淮安期末）某市为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，是高峰时间，次日为低谷时间，按分时电价收费．如表是某区一户人家2023年8月份缴纳家庭电费的回执中的部分内容，根据表中提供的信息解答下列问题： 示数类型 上次示数（度 本次示数（度 用电量（度 电价（元度） 电费（元 峰 10279 10409 130 0.56 谷 7434 190 68.4 合计金额 141.2元 （1）表中　　，　　，　　； （2）若该用户某个月的谷时用电量比峰时多30度，电费共194.8元，则该用户这个月的用电量是多少度？ 3．（2023秋•慈溪市期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴专车两种网约车，收费标准见表： 出租车 滴滴专车 起步价：14元公里以内包括3公里） 超公里部分：超过3公里：2.4元公里 起步价：17元公里以内包括5公里） 超公里部分：里程费：3.5元公里；时长费：0.5元分钟 （注：车费起步价超公里部分费用；滴滴专车超公里部分费用超公里里程费超公里时长费；滴滴专车平均时速为60公里小时） （1）如果乘车里程为8公里，请分别算出乘坐出租车和滴滴专车的费用； （2）若从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴专车省14.2元，求甲、乙两地间的里程数； （3）若滴滴专车下单有优惠活动：超过5公里，超公里部分的费用打八折．某人发现，从甲地到乙地（超过5公里）乘坐两种车的费用相同，求甲、乙两地间的里程数． 4．（2023秋•宁乡市期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的．如表是该市自来水收费价格的价目表（水费按月缴纳） 居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 2.8元 3.5元 4.3元 （1）某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； （2）已知12月份某用户应缴纳的水费为88元，求该用户12月份的用水量． 5．（2023秋•高新区期末）根据最新版苏州市市民价格手册，苏州市对居民生活用电实行阶梯电价，居民阶梯电价按“年”为周期执行，即每年1月1日至12月31日为一周期，视为一年，执行标准如下： 档次 阶梯分档电量 电价（元千瓦时） 第1档 不超过2760千瓦时的部分 第2档 超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时的部分 0.6 第3档 超过4800千瓦时的部分 已知2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元；老王家交电费1524元． （1）表中的值为 　　； （2）求老王家2023年用电量； （3）若2023年老张家用电的平均电价为0.6元千瓦时，求老张家2023年的用电量． 题型八：方案选择应用题（共9题） 1．（2023秋•成都期末）元旦期间，两超市分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过300元，按九折优惠，超过300元的部分按八五折优惠；假设两家超市相同商品的标价都一样． （1）当一次性购物总额为400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同． 2．（2023秋•于都县期末）数学老师为了表扬计算擂台赛满分的同学，决定从网店给同学们买一些练习本作为奖品，该网店按表中所示的方式卖本： 20本及以下 20本以上 单价 4元本 超过20本的部分打8折 邮费 一次5元 一次14元 （1）当老师买多少本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同？ （2）临近双十一，对于购买20本以上的顾客，商家给出了更大优惠：所有练习本都按照8折出售．当老师想买20个本时，怎么购买更合理？ 3．（2023秋•南平期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． （1）列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ （2）假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 4．（2023秋•邹城市期末）为迎接即将到来的春节，某商场制定了如下的优惠方案： 一次性购物 优惠办法 不超过200元的部分 按原价 超过200元但不超过400元的部分 打八折 超过400元的部分 打七折 （1）如果一次性购买原价为400元的商品，那么优惠后应付款 　　元； （2）如果优惠后实际付款367元，那么所购买商品的原价是多少钱？ （3）某消费者在该商场两次购物的原价合计400元，且第一次购物的原价高于第二次购物的原价，如果这两次购物分两次支付，那么优惠后合计支付384元，求两次购买商品的原价分别是多少？你认为该消费者如何支付更优惠？ 5．（2023秋•怀集县期末）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： （1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）3班的学生人数为，如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由． 6．（2023秋•曲阳县期末）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为千米小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米小时，设客车行驶时间为（小时） （1）当时，客车与乙城的距离为 　 　千米（用含的代数式表示） （2）已知，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米 ①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答） ②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案： 方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计； 方案二：在处换乘客车返回乙城． 试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？ 7．（2023秋•长垣市期末）【综合与实践】 【问题情景】“双11”已经发展成了所有电商平台的节日，也是全民购物的节日．在“双11”期间，各大电商平台刮起购物狂潮． 【实践探究】某平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如表： 直播间 活动方案 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“满100元送100元购物券”（如：购买衣服220元，赠200元购物券，购物券可直接用于下次购物） 丙 实行“满100元减50元”（如：购买220元的商品，只需付款120元） 【问题解决】根据以上活动信息，解决以下问题： （1）甲、乙、丙直播间同时出售一种标价为380元的电饭煲和一种标价为300多元的电磁炉，若小鹿想买这两样厨房用具，通过计算发现在甲直播间同时购买电饭锅和电磁炉与在乙直播间先买电饭锅再买电磁炉所花费的钱数是相同的，则这种电磁炉标价是多少元？ （2）在（1）的条件下，小鹿选择甲、乙、丙哪个直播间购买更合算？ 8．（2023秋•鼓楼区校级期末）有一中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服15件，乙工厂每天能加工这种校服20件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用15天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用100元、付乙厂每天费用120元． （1）求这批校服共有多少件？ （2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍，求乙工厂共加工多少天？ （3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案． 9．（2023秋•陕州区期末）某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案： 方案一：全部进行粗加工； 方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售； 方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？ 题型九：方案设计应用题（共5题） 1．（2023秋•重庆期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．温水和开水公用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． （1）用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水 　　，水温为 　　； （2）某学生先接了一会温水，又接了一会开水，得到一杯温度为的水．设该学生接温水的时间为，请求出的值； （3）研究表明，蜂蜜的最佳冲泡温度是，某教师携带一个容量为的水杯接水，用来泡蜂蜜，要使接满水时杯中水温在最佳冲泡温度范围内，请直接写出该教师分配接水时间的方案（接水时间按整秒计算）． 2．（2023秋•庐江县期末）姥山岛地处巢湖市中庙镇西南方向，全国五大淡水湖之一的巢湖之中，是巢湖中最大岛屿．姥山岛四面皆水，如同一叶飘于水中，为八百里巢湖唯一“湖上绿洲”，是湖天第一胜境．某校七年级2班学生计划周末去巢湖姥山游玩，游船价格如下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元小时 120元小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩1小时，请解决下面问题： （1）若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？ （2）若每只船均坐满，直接列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 3．（2023秋•荔湾区期末）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下： 购票张数 1至40 41至80 80以上 每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元 该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40． （1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数； （2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案． 4．（2023秋•临江市期末）甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动．已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表： 购买服装的套数 48套以下 48套至90套 91套及以上 每套服装的价格 65元 55元 45元 如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元． （1）如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？ （3）如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 5．（2023秋•惠城区期末）2023年12月28日晚，惠州一中南湖校区“悠悠南湖情，拳拳家国心”元旦文艺晚会在南湖畔上演．一中师生用歌声舞姿表达热爱寄托情怀，回首2023，逐梦2024．若1班和2班共有94名学生（其中1班人数多于2班人数，且1班人数不够90名），统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的服装价格表： 购买服装的套数 1套—46套 47套—90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两个班分别单独购买服装，一共应付5120元． （1）若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？ （2）两个班各有多少名学生准备参加元旦演出？ （3）如果1班有10名学生被调去参加合唱团的节目，不能参加班级演出，请你为这两个班设计一种最省钱的购买服装的方案． 题型十：产品配套问题（共7题） 1．（2023秋•同安区期末）第19届亚洲运动会在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琼琼”“莲莲”向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产，两种包装的吉祥物盲盒，该工厂负责生产盲盒的有100名工人．为了促销，工厂按照商家要求生产盲盒大礼包，盲盒大礼包由2个盲盒和3个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒或10个盲盒．为使每天生产的盲盒正好配套，应安排生产盲盒和盲盒的工人各多少名？ 2．（2023秋•定西期末）美术老师组织初一（5）班的学生用硬纸板制作如图所示的正三棱柱盒子．初一（5）班共有学生45人，每名学生每小时可以裁剪侧面60个或底面50个．已知一个三棱柱盒子由3个侧面和2个底面组成，为了使每小时裁剪出的侧面与底面刚好配套，应如何分配全班学生？ 3．（2023秋•岚山区期末）某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． （1）工厂每天应分别安排多少名工人生产，两种零件？ （2）因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 4．（2023秋•合阳县期末）在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（图．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪20个圆柱侧面（图或剪10个圆柱底面（图． （1）七（1）班有男生、女生各多少人？ （2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时内剪出的侧面与底面配套． 5．（2023秋•茌平区期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． ①应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ ②若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 6．（2023秋•长沙期末）某家具厂现有10立方米木材，准备用来制作方桌，其中用部分木材制作桌面，其余木材制作桌腿．已知制作一张方桌需要1张桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作50张桌面或300条桌腿，要使制作出的桌面、桌腿恰好配套． （1）求制作桌面的木材和制作桌腿的木材分别为多少立方米？ （2）若该家具厂的木材进货价为每立方米1500元，制成方桌后（边角废料忽略不计），每张方桌的售价为150元，则该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利多少元？ 7．（2023秋•信州区期末）某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． （1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少． （2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题： ①如果木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？ ②如果木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ $专题01一元一次方程的应用（10种热考题型） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：和、差、倍、分型应用题 角度1：一般问题（共4题） 1．（2023秋•防城港期末）列方程解决实际问题：有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住5只鸽子，则剩余2只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来3只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住6只鸽子． （1）求总共有多少个鸽笼？ （2）在（1）的条件下，计算出原有鸽子的数量． 【分析】（1）设原有个鸽笼，则鸽子有个，根据如果再飞来3只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住6只鸽子列出方程，求出方程的解即可得到结果． （2）根据（1）中的解，利用如果每个鸽笼住5只鸽子，则剩余2只鸽子无鸽笼可住的关系即可求数量． 【解答】解：（1）设原来有个鸽笼，依题意得 ， 解得， 答：原来有5个鸽笼； （2）由（1）知原有鸽子得数量为：（只， 答：原有鸽子得数量为27只． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 2．（2023秋•巴中期末）秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好的接触自然、增强身体素质，某校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车．小明发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位．求此次秋游的人数． 【分析】先设租45座的客车辆，再根据“若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位．”这个等量关系列方程即可． 【解答】解：设租45座的客车辆，则60座的客车为辆， ， 解得， ， 答：共有700人秋游． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． 3．（2023秋•防城港期末）【综合与实践】 注意观察生活中的一些数字规律，我们会发现原来数学有很多奥秘值得我们去研究． 【知识背景】日历表中的日期数字都是按星期日，星期一，星期二，，星期六的顺序来排列的，如图为2024年1月的日历表，在表中用一个小方框任意圈出4个阿拉伯数字（如图所示），设这4个数从小到大依次为，，，．请完成： 【观察发现】小方框中的四个数，，，总存在着某种数量关系． （1）若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：　　，　　，　　； （2）请用含有的式子表示，，； 【解决问题】利用发现的规律解决问题： （3）按照这种方法所圈出的四个数的和能否等于100？请列出一元一次方程并解答． 【分析】（1）直接计算即可； （2）观察图象即可推出； （3）四个数的和等于100，根据等量关系列出方程即可推理． 【解答】解（1），，， 故答案为：1，7，8； （2），，； （3）， 解得， ，，， 由图可知可以圈出四个数得和等于100． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． 4．（2023秋•长安区期末）嘉嘉和琪琪在一起玩飞镖游戏，每人玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界不计入次数，需重新投．积分规则如下： 投中位置 区 区 脱靶 一次计分（分 3 1 （1）嘉嘉投中区5次，区2次，其余脱靶，求嘉嘉的得分； （2）琪琪投中区次，区3次，其余脱靶，琪琪得分能否正好超嘉嘉10分，如果能请求出，如果不能请说明理由． 【分析】（1）根据题意列出算式可求解； （2）由题意列出方程可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：（分， 答：嘉嘉的得分为11分； （2）由题意可得：， 解得：． 为正整数， 不符合题意． 答：珍珍的得分不能正好超嘉嘉10分． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 角度2：与线段、数轴有关问题（共11题） 1．（2023秋•夏邑县期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点在线段上，且，则点是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，，点是的三等分点，求的长． （2）已知，线段，如图3，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点方向运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点方向运动，设运动时间为秒． ①若点点同时出发，且当点与点重合时，求的值． ②若点点同时出发，且当点是线段的三等分点时，求的值． 【分析】（1）根据三等分点的定义可得或，进而根据即可求得的长； （2）①点与点重合，则点运动的路程点运动的路程的长，列出方程，求解即可； ②分类探讨点是线段的三等分点，根据长列方程求解即可． 【解答】解：（1）①如图，． ， ； ②如图，． ． 答：长或； （2）①点与点重合， 点运动的路程点运动的路程的长． ． 解得：． 答：当点与点重合时，的值为7； ②Ⅰ、如图：． ， ． 解得：． Ⅱ、如图：． ， ． 解得：． 答：当点是线段的三等分点时，的值为4.2或6． 【点评】本题考查一元一次方程的应用．找到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．注意一条线段的三等分点有两个． 2．（2023秋•伊犁州期末）如图，为数轴的原点，，为数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为100． （1）、两点间的距离是 　　． （2）若电子蚂蚁从点出发，以6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位长度的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点，那么点表示的数是多少？ （3）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点的距离的3倍．求点表示的数． 【分析】（1）用点表示的数减去点表示的数即可； （2）设未知数时间，利用的路程的路程的距离这个等量关系列方程，再用所表示的数减去走的路程即可得出表示的数； （3）分成在原点左侧和在之间两种情况，根据点到点的距离是点到原点的距离的3倍的等量关系列方程求解，最后根据的长度推出表示的数． 【解答】解：（1）， 故答案为：130； （2）设运动时间为秒， 由题意得，， 解得， 此时表示的数为； （3）设相距个单位， ①在原点左侧， ， 解得， 此时为， ②在之间， ， 解得， 此时为25， 所表示的数为或25． 【点评】本题主要考查了数轴和方程的结合，根据题意列出等量关系是解题的关键． 3．（2023秋•通山县期末）定义：如果数轴上点，，所表示的数分别为，，，点是线段的中点，那么数是数与数的“中间数”．例如：图中点，表示的数分别是，3，线段的中点所表示的数是1，则1是有理数与3的“中间数”． （1）概念理解：有理数3与7的“中间数”是 　　，与的“中间数”是 　　； （2）性质探索：点，，所表示的数分别是，，，若数是数与数的“中间数”，根据定义可知，因为，　　，所以数，，之间的数量关系是 　　； （3）性质运用：已知第一组数与的“中间数”是，第二组数与的“中间数”也是，求的值，并求出此时第一组数是多少． 【分析】（1）设中间数为未知数，根据到3和7的距离相等可得有理数3与7的“中间数”，到和的距离相等，可得与的“中间数”； （2）的长应该等于表示点的数减去表示点的数，根据，可得，，之间的数量关系； （3）根据（2）得到的结论可知两组数的和都等于，那么让这两组数的和相等，列式求值即可． 【解答】解：（1）设3与7的“中间数”为，由题意得： ． 解得：； 设与的“中间数”为，由题意得： ． 解得：． 故答案为：5，． （2）， 点在点的右边． ． ， ． ． （3）与的“中间数”是，第二组数与的“中间数”也是， ，． ． 解得：． ，． 答：，此时第一组数是和4． 【点评】本题考查一元一次方程的应用．理解中点到两个端点的距离相等是解决本题的关键．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴上右边的数减去左边的数． 4．（2023秋•金平区期末）如图，数轴上的三点、、，点对应的数为，点对应的数为．点对应的数为8，点为数轴原点． （1）填空：　　，　　； （2）若点是数轴上点、点之间一点，且，求线段的长及点对应的数； （3）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达点后，立即以同样速度返回，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设它们运动的时间为秒，当、两点间的距离为2个单位长度时，求的值． 【分析】（1）让点表示的数减去点表示的数即为的长；让点的表示的数减去点表示的数即为的长； （2）设点表示的数为，根据点的位置可得及的长，根据列出方程求解即可； （3）根据、两点间的距离为2个单位长度，可分动点从点出发未到达点时两个动点相距两个单位长度；动点从点返回时两个动点相距两个单位长度解答． 【解答】解：（1）点对应的数为，点对应的数为．点对应的数为8， ，． 故答案为：18，12； （2）设点表示的数为，则，． ， ． 解得：． ． 答：线段的长3，点对应的数为； （3）①当时，点从向运动，表示的数为：，点表示的数为：． ， ． ． 或． 解得：或； ②当时，点从返回，表示的数为：，点表示的数为：． ， ． ． 或． 解得：或． 综上：或4或7或8． 【点评】本题考查一元一次方程的应用．易错点是得到动点运动后表示的数．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值或者数轴上右边的数减左边的数． 5．（2023秋•自贡期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 　 　，点表示的数 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【分析】（1）根据，点表示的数为8，即可得出表示的数；再根据动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点表示的数； （2）点运动秒时，在点处追上点，则，，根据，列出方程求解即可； （3）分①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【解答】解：（1）点表示的数为8，在点左边，， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 点表示的数是． 故答案为：，； （2）设点运动秒时，在点处追上点， 则，， ， ， 解得：， 点运动6秒时追上点； （3）线段的长度不发生变化，都等于6；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ； ②当点运动到点的左侧时： ， 线段的长度不发生变化，其值为6． 【点评】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，解答本题的关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 6．（2023秋•龙湖区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．例如点、表示的数分别为、3，则、两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空：①、两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　． ②秒后，用含的代数式表示：点表示的数为 　　；点表示的数为 　　． （2）求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． （3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻，使得、、三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①根据两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答； ②根据路程时间速度和两点间的距离公式解答； （2）根据两点相遇得到，结合已知条件列出方程并解答即可； （3）分类讨论：①当点是线段的中点时，②当点是线段的中点时，③当点是线段的中点时，分别列方程解决． 【解答】解：（1）①由题意得：，线段的中点为， 故答案为：10，3； ②点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， 秒后，点表示的数为；点表示的数为； 故答案为：，； （2）秒后，点表示的数是，点表示的数是，、两点相遇， ， 解得：，即相遇点所表示的数； （3）秒后，点表示的数为，点 表示的数为，点表示的数为8， ①当点是线段的中点时，， 解得：； ②当点是线段的中点时，， 解得：； ③当点是线段的中点时，， 解得：； 综上所述，满足条件的值为或或10． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 7．（2023秋•孟村县期末）数轴上点表示，点表示6，点表示12．点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度，动点从点出发，以4个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以3个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． （1）当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 　　； （2）当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）　　时，、两点相遇； （3）求当为多少秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度． 【分析】（1）当秒时，表示的数是，表示的数是，即的、两点在折线数轴上的和谐距离为； （2）当点、都运动到折线段上，即时，表示的数是，表示的数是，而、两点相遇时，、表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据、两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，进一步计算，即可得答案． 【解答】解：（1）当秒时，表示的数是，表示的数是， 、两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时运动到，运动到， 当点、都运动到折线段上，即时，表示的数是，表示的数是， 、两点间的和谐距离， 、两点间的和谐距离， 、两点相遇时，、表示的数相同， ， 解得， 故答案为：，，； （3）、两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ，即， 或， 解得或． 【点评】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． 8．（2023秋•巴中期末）如图，在以点为原点的数轴上，点表示的数是6，点在原点的左侧，且（点与点之间的距离记作． （1）点表示的数为 　　； （2）若点在原点的左侧，且点到点、点的距离满足，求点在数轴上表示的数； （3）若动点从出发，以2个单位长度秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动；当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点后立即以原速返回，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，求为多少时，点和点之间的距离是16个长度单位． 【分析】（1），，得出点表示的数； （2）有两种可能，点在点左边或右边，对应的数有两个； （3）有四种可能：第一次相遇前，第一次相遇后，第二次相遇前，第二次相遇后，列方程解题． 【解答】解：（1）， ， ， 点表示的数是． 故答案为：． （2）有两种可能： 点在点左边，， ， ， 点在数轴上对应的数． 点在点右边，， ， ． ， 点在数轴上对应的数． 点在数轴上对应的数是或． （3）①第一次相遇前， ． ． ②第一次相遇后， ． ． ③第二次相遇前，点还没有到达，点返回后，、就相距16个单位． ． ④， ， 是第二次相遇， 后，不动，动． ， ． 为2.8或9.2或14或23秒时，点和点之间的距离是16个长度单位． 【点评】本题考查了数轴上数的表示，线段的和差，列一元一次方程方程解决问题，熟练应用一元一次方程，结合数轴，进行分类讨论解决数轴问题是解题的关键． 9．（2023秋•洪山区期末）（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有 　　条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为 　　； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． 【分析】（1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点在点左侧，点在、之间，点在点右侧三种情况讨论求解即可； （2）如图所示，当点在点左边时，由线段中点的定义得到，，根据，推出，则；如图所示，当点在点右侧时，由线段中点的定义得到，，根据，推出则； （3）由已知、根据线段中点的定义并结合图形用、的代数式分别表示：点表示的数，、、的长，再根据已知关系式“”得到关于、的等式，化简即可得出线段的长． 【解答】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线，，，，，，，，共8条射线， 故答案为：8； ②，，， ， 如图所示，当点在点左侧时（包括， ， 如图所示，当点在、之间时， ， 如图所示，当点在点右侧时（包括， ， 综上所述，的最大值为9， 故答案为：9； （2），理由如下： 如图所示，当点在点左边时， ，分别为，的中点， ，， ， ； 如图所示，当点在点右侧时， ，分别为，的中点， ，， ， ， 综上所述，； （3），，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为、， ， ，且， 点表示的数为，，点在线段上， 为中点， ， ， ， ， 化简得：， ， ， 【点评】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 10．（2023秋•北仑区期末）定义：在同一直线上有，，三点，若点到，两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． （1）线段的中点 　　该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是” （2）已知，点是线段的“倍距点”，直接写出　　． （3）如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【分析】（1）设线段的中点为，看和是否呈2倍关系即可判断线段的中点是不是该线段的“倍距点”； （2）根据点是线段的“倍距点”，可得或，根据点在线段上和直线上即可求得的值； （3）①算出点表示的数，用表示出点，进而表示出和的长，根据或列式即可求得的值；②用分别表示出点和点，进而表示出和的长，根据或列式求值即可求得的值． 【解答】解：（1）设线段的中点为， ． 点到，两点的距离不呈2倍关系． 线段的中点不是线段的“倍距点”． 故答案为：不是． （2）点是线段的“倍距点”， 或． ①点在线段上，． ， ； ②点在线段上，． ． ③点在点的左边，． ； ④点在点的右边，． ． 故答案为：3或6或9或18． （3）点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， 点表示的数为：． 由题意得：点表示的数为． ，． 点为的“倍距点”， 或． ①． ， 或． 解得：或． ②． ， 或． 解得：（不合题意，舍去）或． 综上：为4或10或2.5． 答：当为4或10或2.5时，点为的“倍距点”； （3）由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：． ，． 点为的“倍距点”， ，． ①． ． 或， 解得：或； ②． ． 或． 解得：或． 综上：的值为5或8或10或13． 【点评】本题综合考查动点问题的一元一次方程的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．分类探讨本题是解决本题的易错点．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值． 11．（2023秋•罗定市期末）已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且满足，动点、都从点出发，且点以每秒1个单位长度的速度向右移动． （1）直接写出　　，　　，　　． （2）设点向右运动时，在数轴上对应的数为，则代数式的最大值为 　　． （3）当点运动到点时，点再从点出发，以每秒3个单位长度的速度在，之间往返运动，直至点到达点时停止运动，点也停止运动．求：当点开始运动后多少秒，、两点之间的距离为2？ 【分析】（1）根据非负数和为0即可求解； （2）设点表示的数为，分为当时，当时，当时，分别化简即可判断； （3）根据点的运动速度可知点从运动至的时间为，点从点运动至点所需时间为，即可将，两点距离为2的情况分为4种，利用线段之间的等量关系分别求解即可． 【解答】解：（1）非负数的和为0，这几个非负数都对应0得： ，，， ，，， 故答案为：，，9； （2）设点向右运动时，在数轴上对应的数为，则代数式， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的最大值为21， 故答案为：21； （3）点运动到点时，点再从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动， 当点运动2秒时，； 点再从点出发，以每秒3个单位长度的速度在，之间往返运动， ，，， 点从点运动至点的时间为：，点从点运动至点的时间为：， 可将，两点距离为2的情况分为以下4种， 设点从点运动 后，，两点距离为2， ，，， ①如图1，当点，点向右运动，且点在点右侧时， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第8秒，，两点之间的距离为2； ②如图2，当点，点向右运动，且点在点左侧时， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第10秒，，两点之间的距离为2； ③如图3，当点向右运动，点向左运动，且点在点左侧时， ， ， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第14.5秒，，两点之间的距离为2； ④如图，当点向右运动，点向左运动，且点在点右侧时， ， ， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第15.5秒，，两点之间的距离为2； 综上，当点运动的第8，10，14.5，15.5秒，，两点之间的距离为2． 【点评】本题考查数轴的应用，非负实数的性质，一元一次方程的应用等知识点，解题的关键是利用分类讨论逐一讨论． 角度3：与角有关问题（共7题） 1．（2023秋•江岸区期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． （1）如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时　　．（直接填写答案） （2）如图2，已知，若平面内存在射线、在直线的上方），使得是的“绝配角”， 与互补，求大小． （3）如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒． ①当时，是的“绝配角”，求出此时的值． ②当时，　　时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【分析】（1）根据“绝配角”的定义，是的“绝配角”，那么，把相关数值代入计算即可； （2）根据射线可能在内部，射线上方，射线下方，分三种情况得到的度数，然后根据与互补，得到的度数，进而求得大小； （3）是的“绝配角”，那么，已知的度数，即可求得的度数； ①当时，可分当未转够以及超过，而未到两种情况，根据的度数求解即可； ②当时，若，，射线旋转超过，，旋转超过，根据的度数求解即可． 【解答】解：（1），是的“绝配角”， ． ， ． （2）①射线在内部． 由（1）得， ， ． 与互补， ， ． ②射线在射线上方． ，是的“绝配角”， ． ， ． ， ． 与互补， ， ． ③射线在射线下方． ，是的“绝配角”， ． ， ． ， 在的内部，不符合题意，舍去． 答：大小是或． （3），是的“绝配角”， ， ， ． ①Ⅰ、由题意得：，． 平分，平分， ，． 当未转够，即时， 如图：． ， ， ． Ⅱ、当旋转超过，即时． 由题意得：转了，． 平分，平分， ，． 如图：． ． ， ， ， ． 答：的值为4或16． ②当时，若，，射线旋转超过，，旋转超过． 转了，转了 ，． 平分，平分， ，． ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了角的新定义问题及一元一次方程的应用，理解“绝配角”的定义是解决本题的关键．动直线问题，是有可能需要分类探讨的题型，注意类比思想的应用． 2．（2023秋•获嘉县期末）如图，点为直线上一点，将一直角三角板的锐角顶点放在点处，． （1）若，则　　； （2）若将直角三角板绕点顺时针旋转一周，旋转速度是每秒． ①在直角三角板旋转过程中，当时，求的大小（用含的式子表示）； ②在直角三角板旋转一周过程中，当时开始计时，试求直角三角板旋转到几秒时，直线恰好是的平分线． 【分析】（1），把相关数值代入计算即可； （2）当时，在直线的上方，根据，把相关数值代入计算即可； （3）分两种情况探讨和平分，看射线旋转了多少度即为直角三角板旋转的度数，除以旋转的速度即为旋转需要的时间． 【解答】解：（1），，，， ． 故答案为：80； （2）①当时， ， 射线在直线的上方． ，，，， ． ②Ⅰ、平分，如图： ，平分， ． ， ． 旋转速度是每秒， 所用时间为：（秒； Ⅱ、平分，如图： ，平分， ． ， 射线与射线重合． 直角三角板旋转的角度为． 旋转速度是每秒， 所用时间为：（秒． 答：直角三角板旋转到240秒或600秒时，直线恰好是的平分线． 【点评】本题考查角的运算问题．解决本题第（2）问的关键是得到当直线恰好是的平分线．直角三角板旋转的度数． 3．（2023秋•抚州期末）如图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为秒． （1）当时，求的度数； （2）在运动过程中，当第二次达到时，求的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线所组成的角的角平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别求出和的度数，即可得出答案； （2）根据第二次达到时，得出方程，求出方程的解即可； （3）与重合时，；分为三种情况：①当时；②当时；③当时；列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）当时，； （2）根据题意知：，， 当第二次达到时，， 即， 解得：， 当第二次达到时，的值为24； （3）在旋转过程中存在这样的，使得射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线所组成的角的角平分线，理由如下： 与重合时，， 解得：； 与重合时，（秒； ①当时，如图3.1，是的平分线， ， ，， ， ， 解得：； ②当时，如图3.2，是的平分线， ， ，， ， ， ， 解得：； ③当时，如图，是的平分线， 由图可知，此种情况不存在； 综上所述：或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023秋•武汉期末）如图，已知，射线平分，平分． （1）如图1，若与重合，，请补全图形并直接写出的度数为 　　； （2）如图2，若，求的度数； （3）若，将从图1的位置以每秒的速度绕点逆时针方向旋转一周，经过 　　秒能使（直接写出结果）． 【分析】（1）根据题意，可以直接画出、，结合角平分线的定义计算的度数， （2）由射线平分，平分，构建等量关系式：，然后计算的度数， （3）利用角平分线的定义，列一元一次方程，计算出时间． 【解答】解：（1）根据题意，画出的角平分线，的角平分线，如图， ， 又， ， ， 平分，平分， ， 故答案为：； （2）平分，平分， ，， ， ， ， 答：的度数为； （3）设经过秒，能使， ， ①当 ， 又， ， 根据第二问可知，， ， ， ②当时 故答案为：8或44． 【点评】本题考查角的平分线的定义，要特别注意计算过程，同时要了一元一次方程的应用找到相等关系是解题的关键． 5．（2023秋•金平区期末）如图，，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． （1）当射线，重合时，　　； （2）在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为 　　； （3）在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①善于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 【分析】（1）画出相关图形，可得，把相关数值代入计算即可； （2）分三种情况探讨射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，根据角的平分线的定义可得所求角的度数； （3）①用已知角表示出和，相减后即可得到所求的定值； ②根据角的组成表示出，进而整理为和已知角相关的形式，求解即可． 【解答】解：（1）如图 ，， ． 故答案为：50； （2）①如图2：射线是的平分线 ，射线是的平分线， ． ②如图3：射线是的平分线． ，射线是的平分线， ． ③如图4：射线是的平分线． ，射线是的平分线， ． 故答案为：或或； （3）①如图 ，， ． ，， ； ②如图 平分，平分， ，． ， ． 在旋转过程中的值不变化，． 【点评】本题考查有关角的运算．画出相关图形，把所求角转换为和已知角相关的形式是解决本题的关键． 6．（2023秋•鼓楼区期末）如图，射线上有一点，，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． （1）当第一次转至与垂直时，　 　；（用含的代数式表示） （2）当、、三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求的值； （3）如图2，当射线绕点旋转到时，点到达射线上的点处．此时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，旋转一周停止运动．再经过 　　秒，与所在直线垂直． 【分析】（1）当射线第一次转至与垂直时，所用时间为：．那么长速度时间； （2）有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，点、、在同一条直线上，那么射线开始绕点按顺时针方向旋转或，分别求得射线旋转的时间，判断出哪个点是中点，点运动的路程，求得相应的速度即可； （3）射线的速度是每秒，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，那么射线的旋转速度为每秒．根据与所在直线此时垂直，射线绕点旋转一周才停止，可得相对于与所在直线第一次垂直时的位置还需要旋转，，，与所在直线会再次垂直，所以除以速度即可得到相应时间． 【解答】解：（1）当射线第一次转至与垂直时，所用时间为：． 点的速度是每秒个单位， ． 故答案为：． （2）当、、三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，点、、在同一条直线． ①射线开始绕点按顺时针方向旋转，所用时间为：． 点的速度是每秒个单位， ． Ⅰ、点为的中点． ． ． 解得：． Ⅱ、点为的中点． ． ． 解得：． ②射线开始绕点按顺时针方向旋转，所用时间为：． 点的速度是每秒个单位， ． 如图： 点为的中点， ． 解得：． 综上：或4． （3）射线绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转， 射线的旋转速度为每秒． 与所在直线此时垂直， ①相对于与所在直线第一次垂直时的位置旋转，与所在直线会再次垂直． 所用时间为：； ②相对于与所在直线第一次垂直时的位置旋转，与所在直线再次垂直． 所用时间为：； ③射线还未绕点旋转够一周，所以相对于与所在直线第一次垂直时的位置旋转，与所在直线再次垂直． 所用时间为：； 故答案为：2.4或4.8或7.2． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用．找到能解决问题的相等关系是解决本题的关键． 7．（2023秋•金水区校级期末）将一副直角三角板（分别含，，和，，的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 特例感知： （1）如图1，若点、、在同一直线上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，则　　． 规律探究： （2）如图2，若两直角三角板有重叠时， ①当时，求的度数； ②当，则　　（含的式子表示）． 解决问题： （3）图1的条件下，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转，两三角板同时旋转，当第一次与重合，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻与两角平分线的夹角为，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）找到和所对的最外圈的刻度，相减即可； （2）①由，可得．由平分可得，的度数减去的度数即为的度数，同理可得的度数，让的度数减去和的度数即为的度数； ②把的度数换成，按照①的方法求解即可； （3），第一种情况是由（2）中的①可得，的度数由和旋转得到，除以它们的速度和即为所求的时间；第二种情况是两三角板继续旋转，旋转成射线在射线的左边，，算出的大小，除以它们的速度和即可求得的值． 【解答】解：（1）所对是最外圈的刻度是，所对的最外圈的刻度是． ． 故答案为：； （2）①，， ． 平分， ． ． 同理可得：． ； ②，， ． 平分， ． ． 同理可得：． ． 故答案为：． （3）①，由（2）中的①可得． 三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转，旋转时间为秒． ． 解得：； ②如图：平分，平分，，． ，． ， ． ． 解得：． 答：的值为7.5或15． 【点评】本题综合考查一元一次方程的应用．充分利用角的平分线的性质得到相应的度数及数量关系是解决本题关键． 角度4：与图形有关问题（共3题） 1．（2023秋•原阳县期末）如图，一块正方形的纸片，边长为，裁一块长，宽 的长方形，余下的部分用阴影表示． （1）当阴影部分面积为时，的值为 　　； （2）若裁下的长方形纸片的周长为，在裁下的纸片上画圆，则所能画最大圆的面积是多少？ 【分析】（1）根据正方形的面积长方形的面积阴影部分的面积，代入计算即可； （2）根据（长宽）长方形周长，求出，最大的圆的半径是长方形的宽的一半，再根据圆的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）根据题意，得， 解得， 故答案为：4； （2）由题意，得， 解得， 当时，所能画圆的半径最大为， ， 所能画最大圆的面积是． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合思想的应用． 2．（2023秋•东湖区校级期末）如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高 ．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低 ．（圆周率用表示） （1）乙的水位增加 　 　（用含的代数式表示）； （2）若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ （3）如图2，倒水后将乙放入甲的底部．当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后；两量筒内的水位高度恰好相等，求的值． 【分析】（1）根据倒出的水的体积不变，进行求解即可； （2）根据倒水后甲、乙的水位高度相等，列方程求解即可； （3）由题意，倒水后乙的水位高度为，将乙放入甲后，甲量筒的水位高为，根据两量筒内的水位高度恰好相等，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，乙的水位增加； 故答案为：； （2）当时，此时乙的水位高度为， 由题意得：， 解得：， 倒水后，甲的水位高度为； （3）倒入乙的水使乙的水位增加一倍， ， 倒水后乙的水位高度为 ， 由题意得：， 解得：． 【点评】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 3．（2023秋•东莞市期末）如图，在直角三角形中，，若 厘米， 厘米，厘米．点从点开始，以2厘米秒的速度沿的方向移动，终点为；点从点开始，以1厘米秒的速度沿的方向移动，终点为．如果，同时出发，用秒表示移动时间． （1）分别求出，到达终点时所需时间； （2）若点在线段上运动，点在线段上运动，试求出当为何值时，？ （3）当为何值时，？ 【分析】（1）构建路程、速度、时间之间的关系即可解决问题； （2）当在线段上运动，在线段上运动时，设，，则，由，可得方程，解方程即可． （3）分两种情况：当在线段上时，当在上时，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）点到达终点时所需时间为：． 点到达终点时所需时间为：． （2）当在线段上运动，在线段上运动时， ，，则， ， ， ． 时，； （3）当在上时，， 三角形的面积等于三角形面积的， ，即， 解得：； 当在上时，， ，即， 解得：． 或20时，三角形的面积等于三角形面积的． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会于分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 角度5：与探究规律有关应用题（共2题） 1．（2023秋•长治期末）将正整数1至2023按照从左到右的顺序赋入如图表格中： 规定：表示第行第个数，如表示第3行第2个数是20．记作． （1）　　； （2）若．则　　，　　； （3）将表格中的“ “型格子看成一个整体并可以平移，所覆盖的4个数之和能否等于113？如果能．求出4个数中的最小数：如果不能，诸说明理由； （4）用含、的代数式表示　　． 【分析】（1）观察表格中的数据，根据数据的变化可求出的值； （2）根据数据的变化，找出2023所在的位置；由数的变化，找出，的值； （3）设这4个数中的最小数为，其余3个数可表示为，，，列方程解题即可． （4）由数的变化，写出的值． 【解答】解：（1）前面3行一共有个数， 第4行的第1个数为28，则第4行的第6个数为33，即， 故答案为：33； （2）， 是第225行的第7个数， ，． 故答案为：225；7． （3）设这4个数中的最小数为，则其余3个数可表示为，，依题意，得： ， 解得：， 答：所覆盖的4个数之和能等于113，最小数为25； （4）根据题意，可得， 故答案为：． 【点评】本题考查的是数字的规律探究，一元一次方程的应用，掌握“从具体到一般的探究方法，再利用探究的规律解决问题”是解题的关键． 2．（2023秋•市北区期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 定义：在数轴上，如果线段间从左往右的点，，，，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，，是靠近的第2个等分点，则记为，，是靠近的第个等分点，则记为，． 探究一： 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段的二等分点，表示的数为． 探究二： 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段上靠近点的第2个五等分点，表示的数为 　 　． 应用一： 如图3，在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 　　； 数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 　　； 若线段上靠近的四等分点，与线段上靠近的十等分点，重合，请求出的值． 应用二： 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点，与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 　　． 【分析】探究二：根据两点间的距离公式，结合五等分点的定义求解即可； 应用一：直接利用两点间的距离公式即可得出线段的距离和线段的距离，再根据等分点的定义，列方程求解即可； 应用二：分点在点左侧以及点在点右侧两种情况，再分，和，重合、，和，重合两种情况，分别列方程求解即可． 【解答】解：探究二：由题意，得，表示的数为． 故答案为：． 应用一：在数轴上两点、表示的数分别为、， 则线段的距离为； 数轴上两点、表示的数分别为、4， 则线段的距离为； 线段上靠近的四等分点，表示的数为， 段上靠近的十等分点，表示的数为， 线段上靠近的四等分点，与线段上靠近的十等分点，重合， ， 解得：． 故答案为：8；10． 应用二：在数轴上两点、表示的数分别为和， 则线段的距离为， ，表示的数为， 由题意得，点表示的为，点表示的数为． 若点在点左侧，则， ，表示的数为，，表示的数为， 当，和，重合时， 所以， 解得：； 当，和，重合时， ， 解得：（不合题意，舍去）． 若点在点右侧，则， ，表示的数为，，表示的数为， 当，和，重合时， 所以， 解得：（不合题意，舍去）； 当，和，重合时， ， 解得：． 综上，或7． 故答案为：或7． 【点评】本题主要考查数轴上两点间的距离公式、列代数式、一元一次方程的应用，仔细阅读题干，理解等分点的定义，根据题意正确列出方程是解题关键． 题型二：工程类应用题（共6题） 1．（2023秋•长清区期末）列方程解应用题： 某县在创建省级卫生文明城市中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为260米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时25天． （1）求甲、乙两工程队分别整治河道多少天？ （2）雇佣甲工程队需要800元天，雇佣乙工程队需要1000元天，则共需支付两个工程队多少钱？ 【分析】（1）设甲工程队整治河道天，则乙工程队整治河道天，利用工作总量工作效率工作时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出甲工程队整治河道的时间，再将其代入中，即可求出乙工程队整治河道的时间； （2）利用所需总费用雇佣甲工程队每天的费用甲工程队整治河道的时间雇佣乙工程队每天的费用乙工程队整治河道的时间，即可求出结论． 【解答】解：（1）设甲工程队整治河道天，则乙工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：， （天． 答：甲工程队整治河道10天，乙工程队整治河道15天； （2）根据题意得： （元． 答：共需支付两个工程队23000元钱． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 2．（2023秋•铁东区期末）某学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作完成这块广告牌的制作． （1）为完成这块广告牌的制作，师徒二人共合作了多少天？ （2）若完成后共得到报酬900元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配这900元的报酬？ 【分析】（1）设两人合作需要天，根据总工作量徒弟完成部分师傅完成部分即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用获得的报酬完成的工作量总报酬，即可分别求出师徒获得的报酬． 【解答】解：（1）设两人合作需要天， 根据题意得：， 解得：， 答：师徒二人共合作了2天； （2）师傅共做了2天，徒弟做了3天， （元； （元， 答：师傅得到报酬450元，徒弟得到报酬450元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2023秋•广州期末）整理一批图书，由一个人做要48小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加3人和他们一起做6小时完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． （1）具体应先安排多少人工作？ （2）若一开始就以增加后的人数工作，则需要多少小时完成？ 【分析】（1）根据题意可得，每个人每小时完成，设具体先安排人工作，根据题意的工作方式可得出方程，解出即可； （2）设需要小时完成，根据工作总量一定列出方程即可求出答案． 【解答】解：由题意可得，每个人每小时完成， 设具体先安排人工作，则， 解得：． 答：具体应先安排3人工作； （2）依题意得：， 解得：， 答：需要8小时完成． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，然后运用方程求解． 4．（2023秋•乌兰察布期末）一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要40天，现甲队单独做5天后 两队合作． （1）求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程； （2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费为2000元，乙队每天的施工费为3000元，求完成此项工程需付甲、乙两队共多少元？ 【分析】（1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，根据总工程量甲单独做4天完成的部分甲、乙合作完成的部分即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总费用单天费用工作时间即可算出甲、乙两队的费用，将其相加即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作10天才能完成该工程， （2）由（1）知甲队一共做了15天，乙队一共做了10天， 所以， 即需付甲、乙两队共60000元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据总工程量甲单独做4天完成的部分甲、乙合作完成的部分列出关于的一元一次方程；（2）根据数量关系列式计算． 5．（2023秋•老河口市期末）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要15天；如果由乙队单独完成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 【分析】利用甲队单独完成需要15天，乙队单独完成需要30天，可得出每天完成的工作量份数，进而利用总工作量为1得出等式求出答案． 【解答】解：设甲、乙两队合作完成还需要的天数是，根据题意可得： ． 解得：． 答：甲、乙两队后续需要合作8天才能修完这座桥． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用总共量为“1”得出方程是解题关键． 6．（2023秋•定州市期末）某项工程，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ 【分析】根据题意可得甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据甲、乙合作的工作效率工作时间列出方程求解后即可得到甲、乙合作的工作时间；甲、乙每天耗资之和乘以天数即为所求的费用． 【解答】解：设甲、乙两工程队合作施工，需要周完成． 根据题意，得：． 解这个方程得：． （万元）． 答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元． 【点评】本题考查一元一次方程的应用．关键是得到符合题意的相等关系．用到的知识点为：工作效率工作时间工作总量． 题型三：销售类应用题（共6题） 1．（2023秋•锡山区期末）某零售店用3800元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件．已知甲商品进价为25元件，标价为50元件；乙商品进价为60元件，标价为100元件． （1）求甲乙两种商品各购进多少件？ （2）若甲种商品按标价的9折出售，乙种商品按标价的8.5折出售，且在运输过程中甲商品有不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该零售店共获利多少元？ 【分析】（1）设甲商品件数为件，根据甲商品进价乙商品进价总进价，列方程解答即可； （2）根据（1）中求出的甲、乙两种商品的件数，利用总利润甲商品的利润乙商品的利润，进而作答． 【解答】解：（1）设甲商品件数为件， 根据题意得：， 解得：， （件， 答：甲商品购进20件，乙商品购进55件； （2）根据题意，该零售店共获利：（元， 答：这批商品全部售出后，该零售店共获利1685元． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 2．（2023秋•抚州期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某玩具店第一次购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如下表： 琮琮 莲莲 进价（元个） 60 70 售价（元个） 80 100 （1）该玩具店购进的“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）“琮琮”和“莲莲”全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该玩具店第二次以第一次的进价又购进“琮琮”和“莲莲”，其中购进“莲莲”的件数不变，购进“琮琮”的件数是第一次购进“琮琮”件数的3倍，“莲莲”售价不变，“琮琮”打折销售，第二次“琮琮”和“莲莲”都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多640元，“琮琮”应打几折？ 【分析】（1）设购进“琮琮“个，再根据总进价琮琮进价莲莲进价，列方程求解即可； （2）根据总利润琮琮利润莲莲利润，利润（售价进价）数量，进行计算即可； （3）设“琮琮“应打折，根据第二次总利润第一次总利润元，列方程求解即可． 【解答】解：（1）设购进“琮琮“个， 根据题意，得， 解得， （个， 该玩具店购进的“琮琮”40个，“莲莲”60个； （2）（元， 一共可获得2600元利润； （3）设“琮琮”应打折， 根据题意，得， 解得， “琮琮”应打9折． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列方程． 3．（2023秋•蓬江区期末）某校冬季校运会前，为了让学生有饱满的精神状态，王级长决定给七年级的每位学生送一支棒棒糖，寓意“棒棒的”，他在网上看中了某品牌两种规格的棒棒糖： 规格（支桶） 价格（元桶） 大桶装 108 45 小桶装 30 15 根据七年级总人数来估算，若买“大桶装”，则需若干桶还差62支；若买“小桶装”则需比“大桶装”多买18桶但会多出10支． （1）求七年级总共有多少名学生？ （2）商家进行“年终大促”促销活动：满200元减6元现金，并且该品牌商家对“小桶装”棒棒糖有“买5桶送1桶”的优惠活动，王级长打算购买“小桶装”，比促销前节省多少钱？ （3）在（2）的条件下，商家在这次“小桶装”棒棒糖的销售买卖中，仍可获利 “小桶装”每桶的成本是多少？ 【分析】（1）设需购买“大桶装”棒棒糖桶，则需购买“小桶装”棒棒糖桶，根据七年级总的学生数不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出结论； （2）由（1）知：需购买“小桶装”棒棒糖24桶，结合商家对“小桶装”棒棒糖有“买5桶送1桶”的优惠活动，再利用节省钱数促销前所需费用促销后所需费用，即可求出结论； （3）设“小桶装”棒棒糖每桶的成本是元，根据利润销售收入成本，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设需购买“大桶装”棒棒糖桶，则需购买“小桶装”棒棒糖桶， 依题意，得：， 解得：， （名， 答：七年级总共有710名学生； （2）由（1）可知，需购买“小桶装”棒棒糖（桶， 商家对“小桶装”棒棒糖有“买5桶送1桶”的优惠活动， 只需购买（桶， 比促销前可节省（元， 答：比促销前节省66元； （3）设“小桶装”棒棒糖每桶的成本是元， 依题意，得：， 解得：， 答：“小桶装”棒棒糖每桶的成本是9.8元． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意，找准等量关系并列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023秋•黄石港区期末）泰州凤城河风景区是国家景区，景区以望海楼为中心，与桃园、老街交相呼应，吸引各地游客前来旅游观光．其中望海楼和桃园门票零售单价都为40元人，但团体票单价计算方式不同． 望海楼团体票单价计算方式：当旅游团人数不超过25人时，团体票单价为零售单价的；当旅游团人数超过25人但不超过50人时，团体票单价为零售单价的；当旅游团人数超过50人时，团体票单价为零售单价的． 桃园的团体票单价计算方式如表： 人数范围（人 60以上 团体票单价（元人） 零售单价的 零售单价的 零售单价的 零售单价的 说明：①是指人数大于0人且小于或等于20人，其他类同； ②桃园团体票单价分段计算，与望海楼不同，例如，旅游团人数35人，团体票总票价费用为（元． （1）若旅游团人数为30人，先后游玩了望海楼和桃园，都购买了团体票，则在望海楼购买门票总费用为 　　元，在桃园购买门票总费用为 　　元； （2）若旅游团人数为人，即大于50且小于或等于，先后游玩了望海楼和桃园，也都购买了团体票，则在望海楼购买门票总费用为 　　元，在桃园购买门票总费用为 　　元（用含的代数式表示，结果需化简）； （3）若旅游团人数为人，先后游玩了望海楼和桃园，都购买团体票，所付门票总费用是否可能一样？如果可能，求出的值，如果不可能，请说明理由． 【分析】（1）根据望海楼、桃园的团体票单价计算方式分别计算即可求解； （2）根据望海楼、桃园的团体票单价计算方式分别计算即可求解； （3）分和两种情况讨论，再分别列式计算即可求解． 【解答】解：（1）在望海楼购买门票总费用为：元， 在桃园购买门票总费用为：元； 故答案为：1020；1100； （2）若旅游团人数为人，在望海楼购买门票总费用为元， 在桃园购买门票总费用为 ， 故答案为：；； （3）可能一样， 当时，在望海楼购买门票总费用为， 在桃园购买门票总费用为， 由题意得， 解得，不合题意； 当时，在望海楼购买门票总费用为，在桃园购买门票总费用为： ， 由题意得， 解得， 答：当时，在望海楼和桃园购买门票总费用一样． 【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 5．（2023秋•旺苍县期末）为了保障广大师生的身体健康，某校秋季开学后，采购了甲种免洗消毒液20瓶，乙种免洗消毒液30瓶，已知甲消毒液的单价比乙贵10元，两种消毒液的采购费用相等． （1）甲种消毒液和乙种消毒液的单价分别是多少元？ （2）甲流发生后，学校再次采购甲、乙两种消毒液，甲消毒液的采购数量是第一次采购数量的2倍，采购单价比第一次提高了，乙消毒液比第一次多采购了瓶，单价与第一次采购单价相同，结果第二次采购的总费用是第一次总费用的2倍，求的值． 【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，根据题中等量关系列出一元一次方程，求解即可； （2）根据题意列出关于的一元一次方程，求解即可． 【解答】解：（1）设甲种消毒液的单价为元，则乙种消毒液的单价为元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲种消毒液的单价为30元，则乙种消毒液的单价为20元． （2）由题意得：， 解得：， 答：的值为18． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语，列出等量关系，正确列出一元一次方程． 6．（2023秋•和平区校级期末）某直播间购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如表； 甲 乙 进价（元件） 20 30 售价（元件） 25 40 （1）该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注：每件商品获利售价进价）．若要解决上述问题，我们可以设甲商品的进货量为件，请完成下面的表格并作答： 单件售价（元 进货量（件 交易额 甲 ①　　 ②　　 乙 40 ③　　 ④　　 （2）经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？ 【分析】（1）表格根据已知条件填写即可；根据甲的进货量为件，乙的进货量为件，再根据交易额等于单件售价进货量，列出方程求解即可； （2）先算出乙商品的新售价和每件新获利，再求出购进乙商品数量即可． 【解答】解：（1）由题可知，表格中①甲的单件售价为25元，乙的单件售价为40元； ②甲的交易额为元； ③乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲的进货量为件，乙的进货量为件； ④乙的交易额为元； 故答案为：25；；；； 该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元， ， 解得：， 乙的进货量为件件， （元， 答：该直播间本次获利4000元． （2）乙商品的新售价为（元， 乙商品每件新获利为（元， 需购进乙商品为（元， 答：若要获得9000元的利润，需购进乙商品600件． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并找出等量关系，列出方程并正确求解． 题型四：比赛类应用题（共4题） 1．（2023秋•云梦县期末）12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，崇德中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 （1）这次竞赛中答对一题得 　　分，答错一题得 　　分； （2）参赛学生得分为70分，求他答错了几道题？ （3）参赛学生说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由． 【分析】（1）设答对一题得分，答错一题得分，根据题意，得，，解答即可； （2）设答错了道题，则答对道，根据题意，得解答即可； （3）设答错了道题，则答对道，根据题意，得解答即可． 【解答】解：（1）设答对一题得分，根据题意，得， 解得； 设答错一题得分， ， 解得． 故答案为：5，； （2）设参赛学生答错了道题，依题可得： ， 解得． 答：参赛学生答错了5道题． （3）不可能，理由如下： 设参赛学生答对了道题，依题可得： ， 解得，而是整数， 方程无符合要求的解． 参赛学生的得分为6（0分）是不可能的． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2023秋•东西湖区期末）用一元一次方程解决实际问题，第2小问和第3小问用算式解决不得分．习近平总书记说“绿水青山就是金山银山”，为了增强中学生环保意识，某学校组织全体中学生进行环保知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 （1）填空：每答对一道题得 　　分，每答错一道题扣 　　分． （2）参赛者得76分，他答对了几道题？ （3）参赛者说他得83分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【分析】（1）根据参赛者可以求出每答对一道题得分，根据参赛者和可以求出每答错一道题得分； （2）设答对了道题，根据答对得分答错得分总得分，进而作答即可； （3）假设可能，设答对道题，根据答对得分答错得分总得分，求出，根据为正整数，进而判断作答即可． 【解答】解：（1）由参赛者得：（分， 由参赛者得：（分， 每答对一道题得5分，每答错一道题扣1分， 故答案为：5，1； （2）解设他答对了道题， 由题意得： ， 解得：， 答：他答对了16道题； （3）参赛者不可能得83分， 理由：假设他可能得83分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得， 不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得83分． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键找准等量关系． 3．（2023秋•沙市区期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．” （1）【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，问共有多少种不同的票价．聪明的小慧是这样思考这个问题的，她用，，，，4个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．由此可以得到有 　　种不同的票价． （2）【迁移应用】，，，，，六支足球队进行单循环比赛（任意两支球队只进行1场比赛），当比赛到某一天时，统计出，，，，五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则队比赛了 　　场． （3）【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划路程的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求，两市相距多少千米？ 【分析】（1）先求出线段的条数，再计算票价； （2），，，，五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，进行推理即可得出答案； （3）可以设，两市相距千米，根据题目的叙述用表示出的长，即可求得． 【解答】解：（1）如图 从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，共有种不同的票价， 故答案为：6； （2）比了5场， 与，，，，比过； 比了4场， 与，，，比过； 比了3场， 与，，比过； 比了3场， 与，比过； 只比了1场， 与比过； 与，，比过， 队比赛了3场， 故答案为：3； （3）如图 设，两市相距千米， ，， ，， 列以下方程：， 解得． 答：，两市相距600千米． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用以及直线、射线、线段，解答（1）题的关键是需要掌握正确数线段的方法；能够正确利用表示出的长度是解答（3）题的关键． 4．（2023秋•闽侯县期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 根据以上信息，请你算出： （1）填空：答对一题得 　　分，答错一题扣 　　分； （2）参赛者得76分，他答对了几题？ （3）参赛者说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由． 【分析】（1）利用答对一题得分参赛者的得分答对题目数，可求出答对一题得分，利用答错一题扣的分值答对一题得分参赛者答对的题目数参赛者的地方，即可求出答错一题扣的分值； （2）设参赛者答对了道题，则答错了道题，利用参赛者的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）假设参赛者得了36分，设他答对了道题，则答错了道题，利用参赛者的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之可得出值，结合为自然数，可得出该值不符合题意，进而可得出假设不成立，即参赛者不可能得36分． 【解答】解：（1）（分， 答对一题得5分； （分， 答错一题扣1分． 故答案为：5，1； （2）设参赛者答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：． 答：参赛者答对了16道题； （3）参赛者不可能得36分，理由如下： 假设参赛者得了36分，设他答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：， 又为自然数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即参赛者不可能得36分． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型五：行程类应用题（共7题） 1．（2023秋•平泉市期末）甲乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度时，后两船同时到达、两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往港口，乙船驶往港口．（提示：顺水速度船速水速；逆水速度船速水速） （1）、两港口相距多远？ （2）港口间比港口间多多少千米？（用含的代数式表示） （3）卸装货物后同时出发，两船又经过 　　相遇，若相遇处距港口50千米，求甲船还需几到达港口？ 【分析】（1）由题可知，在航行过程中顺水速度为，逆水速度为，根据路程时间速度即可列出式子； （2）根据，，相减即可得到结果； （3）设卸装货物后同时出发，经过 相遇，列方程求出的值，从而得到甲船相遇时走了，还没到达点，根据“相遇处距港口50千米”列方程求出的值，从而求出甲船剩余的路程，列式即可求出时间． 【解答】解：（1）由题可知，在航行过程中顺水速度为，逆水速度为， 从题目的条件可知甲船顺水航行从港口到达港口， 得港口到港口的距离， 乙船逆水航行从港口到港口， 得港口到港口的距离， 则、两港口相距； （2）由（1）得，， ， 得港口比港口多 ； （3）设卸装货物后同时出发，经过 相遇， 依题意得，， 解得， 甲船从港口到港口是逆水行驶，乙船从港口到港口是顺水形式， 甲船相遇时走了，还没到达点， 相遇处距港口50千米， ， 解得， 则甲船形式的距离为， 甲船还有到达港口， 则甲船到达港口还需要的时间为， 故答案为：5， 答：甲船还需到达港口． 【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，航行问题，本题的关键是分析两船在行驶过程中顺水和逆水航行的情况，求出相应的路程从而解决问题． 2．（2023秋•广陵区期末）甲乙两地相距480公里，一列慢车从甲地开出，每小时行60公里，一列快车从乙地开出，每小时行140公里，慢车先开1小时，快车再开．两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？ 【分析】设快车开出小时后两车相遇，则慢车行驶了小时，依据题意列出方程，再求解即可． 【解答】解：设快车开出小时后两车相遇，则慢车行驶了小时， 可列方程：， 解得：， 答：当快车开出2.1小时后两车相遇． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是依据题意正确列出方程并求解． 3．（2023秋•成武县期末）甲乙两人约定步行从学校出发，沿同一路线到距离学校1200米的图书馆看书．甲先出发，步行的速度是40米分钟．乙比甲晚出发4分钟，比甲早2分钟到达图书馆． （1）求乙步行从学校到图书馆的时间和速度； （2）求甲出发多长时间乙追上甲（要求列方程解答）． 【分析】（1）由“时间”求得甲所用的时间，然后由“乙所用的时间甲所用的时间”求得乙所用的时间；根据“速度路程时间”即可求出乙的速度； （2）设甲出发分钟后乙追上甲，则此时乙出发分钟，根据路程速度时间结合两人路程相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）甲步行从学校到图书馆所用的时间为：（分钟）． 乙所用的时间（分钟）． 乙的速度为：（米分钟） 答：乙步行从学校到图书馆的时间为24分钟，乙的速度为50米分钟． （2）设甲出发分钟后乙追上甲，则此时乙出发分钟， 根据题意得：， 解得：． 答：甲出发20分钟后乙追上甲． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 4．（2023秋•光山县校级期末）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米，702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）． （1）后队出发后多长时间可以追上前队？ （2）后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？ （3）联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？ 【分析】（1）根据后队追上前队所走路程一样可列方程； （2）当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间为后队刚好追上前队的时间，根据（1）追及时间可知，联络员共骑行的距离也即可求出； （3）用前面队伍所走的路程减去联络员所骑行的距离等于联络员骑行的距离减去后面队伍所走的路程，列式求解即可． 【解答】解：（1）设后队追上前队所用时间为小时，则前队被追上时所走时间为小时， 根据“路程时间速度”，两队伍追上时路程一样，可列方程为： 解得，． 后队出发后两小时可以追上前队． （2）当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间等于后队刚好追上前队的时间， ， 联络员骑行距离为： ． 联络员共骑行了． （3）设联络员出发后小时与前队和后队的距离相等为， 联络员出发后小时，前队所走的路程为：； 后队所走的路程为：； 联络员所走的路程为：， 联络员与前队距离为：； 联络员与后队距离为：， 根据联络员与前后队距离相等得到， ， 解得：， 联络员骑行小时后离前队的距离与他离后队的距离相等． 【点评】本题主要考查一元一次方程的实际应用，解答本题的关键在于找到题目中的等量关系列式求解． 5．（2023秋•苏州期末）如图（1）已知数轴上点表示原点，点表示的数为12．动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． （1）点在数轴上表示的数为 　　，点在数轴上表示的数为 　　（用含的代数式表示）； （2）如图（2）数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为2？ 【分析】（1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即可作答． 【解答】解：（1）由题意知点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点表示的数为， 故答案为：，； （2）分情况讨论： 当时，有两种情况， 正方形边长为2， 若重叠部合面积为2，则正方形有一半在重叠部分， 当时有两种情况， ①在左侧，此时， 表示的数为，表示的数为， ， 解得， ②在右侧，此时， ， 解得； 当时，分两种情况， ①点在右侧，此时， ， 解得， ②点在左侧，此时， ， 解得（舍去）， 综上，当为9秒，秒或5秒时重叠部分面积为2． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论． 6．（2023秋•威宁县期末）近年来，贵阳往返昭通间开行的一对“站站停”的绿皮慢车逐渐成为沿线百姓出行的重要交通工具，被沿线村民亲切地称为“苹果号列车”“致富快车”“振兴车”和“幸福车”．如图，点为数轴的原点，向右为正方向．一列长为200米的客车向右行驶，途经李子沟大桥，列车行驶速度为20米秒．某一时刻，这列客车位于处，李子沟大桥主桥为．点，，表示的数分别是，，，且，满足． （1）　　；主桥间的距离是 　　米． （2）该列客车从车头上李子沟大桥主桥开始到整列客车完全通过主桥需要多少时间？ （3）从题中时刻开始算起，在客车尾部处有个乘客记为点，正向车头方向行走，速度为1米秒，是否存在某一时刻，使点到点与点到点的距离之和等于1300米？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据非负性即可求得和，根据位置即可作答； （2）根据路程时间速度即可求解； （3）依题念可知乘客的违度为（米秒），分三种情况分析即可． 【解答】解：（1）， ，， ，， 客车位于处，客车长200米， ， ， 故答案为：100，1000； （2）（秒， 该列客车从车头上李子沟大桥主桥开始到整列客车完全通过主桥需要60秒； （3）在客车尾部处有个乘客记为点，正向车头方向行走，速度为1米秒， 的实际速度为：（米秒）， 当运动在之间时．， 解得， 当从之间运动时，， 此时不存在， 当运动到点右侧时，， 解得， 的值为秒或秒． 【点评】本题主要考查数轴上点的移动规律和一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合的应用． 7．（2023秋•盂县期末）综合与实践 问题情境： 太原滨河自行车专用道位于汾河两侧，不仅能满足太原市民通勤、运动与休闲的需求，还能缓解滨河东、西路的交通压力．周末，甲、乙两人相约去滨河自行车道骑车，甲从通达桥入口（记为地）进入自行车道，向胜利桥方向骑行，甲出发后乙从胜利桥入口（记为地）进入自行车道，向通达桥方向骑行．已知，两地相距大约，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为 ． 数学思考： （1）在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为 　 　，乙骑行的路程为 　　．（用含的代数式表示） 问题解决： （2）当甲、乙两人相遇时，求的值． （3）两人相遇后，甲继续以原速度向地骑行，乙休息后掉头按原速度返回地．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求的值． 【分析】（1）由题意可知，甲的平均速度是，甲骑行的时间为小时，乙的平均速度为，甲出发后乙才出发，根据关系式：路程速度时间，即可求出甲、乙的骑行路程； （2），两地相距大约，当甲、乙两人相遇时，可列方程：，再求解即可； （3）先得到甲、乙从相遇点出发骑行的路程，然后分成两种情况：当乙追上甲前和当乙追上甲后，列方程求出即可． 【解答】解：（1）由题意可知，甲的平均速度是，甲骑行的时间为小时， 甲骑行的路程为千米， 乙的平均速度为，甲出发后乙才出发， 乙骑行的路程为千米，即千米， 故答案为：；． （2）由题意可知，，两地相距大约， 当甲、乙两人相遇时，可列方程：， 解得：， 答：当甲、乙两人相遇时，的值为1． （3）根据题意，设两人的相遇点为， 则千米，（千米）， 从相遇点开始，甲的骑行路程为：千米， 乙休息，即小时，从相遇点开始，乙的骑行路程为：千米，即千米， ①当乙追上甲前，且甲、乙两人相距千米时，可得， 解得：； ②当乙追上甲后，且甲、乙两人相距千米时，可得， 解得；； 答：当甲、乙两人相距千米时，的值为或． 【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是掌握速度、时间、距离三者的关系和依据题意正确列出方程． 题型六：环形跑道与时钟问题（共5题） 1．（2023秋•婺城区期末）根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中均匀分布，分针60分钟转动一周是时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度． 素材2 当时钟显示时（如图，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从到，分针转动的角度为时针转动的角度为，因此10点10分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”．如图3，当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示时，时针与分针所成角度为在到的30分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 之后的下一个美妙时刻是 　 　．一天24个小时内，共有 　　个美妙时刻． 【分析】任务一：利用时针与分针所成角度分针转过的度数时针转过的度数，即可求出结论； 任务二：设1点分时，时针与分针垂直，利用分针转过的度数（时针转过的度数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务三：设再经过分钟，时针和分针所成角度第一次为，利用分针转过的度数时针转过的度数，可列出关于的一元一次方程，解之可得出之后的下一个美妙时刻是；设从开始经过分钟，时针和分针所成角度为，利用分针转过的度数时针转过的度数的奇数倍，可列出关于的一元一次方程，解之可得出，结合，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论． 【解答】解：任务一：． 答：当时钟显示时，时针与分针所成角度为； 任务二：设1点分时，时针与分针垂直， 根据题意得：， 解得：． 答：此时的时刻为； 任务三：设再经过分钟，时针和分针所成角度第一次为， 根据题意得：， 解得：， 之后的下一个美妙时刻是； 从开始经过分钟，时针和分针所成角度为， 根据题意得：为正整数）， 解得：， ， ， 解得：， 又为正整数， 的最大值为22， 一天24个小时内，共有22个美妙时刻． 故答案为：，22． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、钟面角、分数的除法以及解一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2023秋•孟村县期末）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针和时针均绕中心匀速转动．（本题中的角均指小于的角）， （1）分针每分钟转 　　度，时针每分钟转 　　度，当时间为时，分针和时针的夹角为 　　度； （2）求开始后几分钟分针第一次追上时针； （3）点为4点钟的位置，平分，平分，从开始计时，分钟后，，求的值． 【分析】（1）根据圆周是，分别计算时针和分针的转速即可，再根据时时针和分针夹角是2.5个大格计算夹角度数即可； （2）设分钟后分针第一次追上时针，根据题意列方程求解即可； （3）根据题意分情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）分针每分钟转，时针每分钟转， 时时针和分针夹角是2.5个大格， 时，分针和时针的夹角为， 故答案为：6，0.5，75； （2）设分钟后分针第一次追上时针， 由题意得，， 解得， 分钟后分针第一次追上时针； （3）①没追上之前，由题意知，， 解得， ②超过之后，由题意知，， 解得， 分钟或分钟后，． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 3．（2023秋•萧县期末）周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： 请根据他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度． 【分析】设小明的骑行速度为米分，则爸爸的骑行速度为米分，根据距离速度差时间即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设小明的骑行速度为米分，则爸爸的骑行速度为米分， 根据题意得：， 解得：， ． 答：小明的骑行速度为200米分，爸爸的骑行速度为400米分． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由路程差找出合适的等量关系列出方程，再求解． 4．（2021秋•渠县期末）正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒． 已知正方形轨道的边长为，求乙在第5次追上甲时在哪条线段上？ 【分析】设乙走秒第一次追上甲，设乙再走秒第二次追上甲．根据题意分别列一元一次方程，然后寻找规律解题． 【解答】解：设乙走秒第一次追上甲． 根据题意，得． 解得． 乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是上； 设乙再走秒第二次追上甲． 根据题意，得， 解得． 乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是上； 同理：乙再走2秒第三次次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是上； 乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是上； 乙在第5次追上甲时的位置又回到线段上． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是寻找规律确定位置． 5．（2020秋•兴平市期末）一天早晨，小华和爸爸在1000米的环形跑道上跑步，他们8点整时在同一地点沿着同一方向同时出发，小华跑了半圈时，看到爸爸刚好跑完一圈，8点零8分时爸爸第一次追上小华． （1）求小华和爸爸的跑步速度； （2）爸爸第一次追上小华后，在第二次相遇前，再经过多少分，小华和爸爸相距150米？ 【分析】（1）设小华的跑步速度为米分，则爸爸的跑步速度为米分，根据8点零8分时爸爸第一次追上小华列方程，解方程结可求解； （2）设再经过分，小华和爸爸相距150米，根据小华和爸爸相距150米分两种情况列方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设小华的跑步速度为米分，则爸爸的跑步速度为米分， 由题意得， 解得， （米分）， 答：小华的跑步速度为125米分，爸爸的跑步速度为250米分； （2）设再经过分，小华和爸爸相距150米， 由题意得，或， 解得或， 答：再经过或分，小华和爸爸相距150米． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握路程速度时间是解题的关键． 题型七：分段计费应用题（共5题） 1．（2023秋•炎陵县期末）株洲市为了鼓励市民节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨的部分，按2元吨收费；超过10吨的部分按3元吨收费． 注：水费按月结算，若某居民1月份用水17吨，则应收水费元． （1）若小明家3月份交水费35元，则小明家3月份用水多少吨． （2）若小明家4月份和5月份共用水25吨月份用水量不超过10吨，5月份用水量超过10吨），两个月共交水费56元，求4月份与5月份分别用水多少吨． 【分析】（1）设小明家3月份用水吨，即可列出方程，求解即可； （2）设4月份用水吨，5月份用水吨，即可列出方程，再求解即可． 【解答】解：（1）（吨，， 设小明家3月份用水吨， 可列方程：， 解得：， 答：小明家3月份用水15吨． （2）设4月份用水吨，5月份用水吨， 可列方程：， 解得：， （吨， 答：4月份用水9吨，5月份用水16吨． 【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意正确列方程并求解． 2．（2023秋•淮安期末）某市为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，是高峰时间，次日为低谷时间，按分时电价收费．如表是某区一户人家2023年8月份缴纳家庭电费的回执中的部分内容，根据表中提供的信息解答下列问题： 示数类型 上次示数（度 本次示数（度 用电量（度 电价（元度） 电费（元 峰 10279 10409 130 0.56 谷 7434 190 68.4 合计金额 141.2元 （1）表中　　，　　，　　； （2）若该用户某个月的谷时用电量比峰时多30度，电费共194.8元，则该用户这个月的用电量是多少度？ 【分析】（1）第一步，峰时的用电量为130度，电价0.56元度，可计算峰时的电费，即可求出；第二步，谷时的用电量为190度，电价元度，可计算谷时的电费，即可求出；第三步，谷时用电量为190度，上次示数为7434，则本次示数，即可求出； （2）设该用户峰时的用电量为度，则谷时用电量为度，依据题意可列方程，再解方程即可． 【解答】解：（1）由题意可知，峰时的用电量为130度，电价0.56元度， 峰时的电费（元， 谷时的用电量为190度，电价元度，则谷时的电费， 元度， 谷时用电量为190度，上次示数为7434， 本次示数（度， 故答案为：72.8；7624；0.36． （2）设该用户峰时的用电量为度，则谷时用电量为度， 依据题意可列方程， 解得：， （度， 答：该用户这个月的用电量是430度． 【点评】本题考查的一元一次方程的应用，解题的关键是依据题意正确列方程并求解． 3．（2023秋•慈溪市期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴专车两种网约车，收费标准见表： 出租车 滴滴专车 起步价：14元公里以内包括3公里） 超公里部分：超过3公里：2.4元公里 起步价：17元公里以内包括5公里） 超公里部分：里程费：3.5元公里；时长费：0.5元分钟 （注：车费起步价超公里部分费用；滴滴专车超公里部分费用超公里里程费超公里时长费；滴滴专车平均时速为60公里小时） （1）如果乘车里程为8公里，请分别算出乘坐出租车和滴滴专车的费用； （2）若从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴专车省14.2元，求甲、乙两地间的里程数； （3）若滴滴专车下单有优惠活动：超过5公里，超公里部分的费用打八折．某人发现，从甲地到乙地（超过5公里）乘坐两种车的费用相同，求甲、乙两地间的里程数． 【分析】（1）根据题目所给的收费标准计算即可； （2）设甲乙两地的里程数为，出租车的费用滴滴专车的费用，根据等量关系列出方程求解即可； （3）设甲乙两地的里程数为，出租车费用滴滴专车费用，根据等量关系列出方程求解即可． 【解答】解：（1）出租车费用：（元， 滴滴专车平均时速为60公里小时，即1公里分钟， 滴滴专车费用：（元， 答：出租车费用为26元，滴滴专车费用29元； （2）里程数为5公里时，出租车费用（元， （元， 里程数超过5公里， 设甲，乙两地问的里程数为公里， 由题意得，， 解得，， 答：甲，乙两地问的里程数为15公里； （3）设甲，乙两地问得里程数为公里， 由题意得，， 解得，， 答：甲，乙两地问的里程数为7.25公里． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题目所给的收费标准以及题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 4．（2023秋•宁乡市期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的．如表是该市自来水收费价格的价目表（水费按月缴纳） 居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 2.8元 3.5元 4.3元 （1）某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； （2）已知12月份某用户应缴纳的水费为88元，求该用户12月份的用水量． 【分析】（1）根据该市自来水收费价格的价目表，分析用户一个月用了水，在那个价格阶梯，然后计算用户这个月应缴纳的水费； （2）分情况讨论每个阶梯水费的金额，综合起来看用户应缴纳的水费88元在那个阶梯，计算12月份居民的用水量． 【解答】（1）解：假设用户这个月份应缴纳的水费的水费为元， 用户一个月用了水，超过的部分为， （元， 答：用户这个月应缴纳的水费为59.5元； （2）解：假设用户12月份的用水量为， ①当时，用户应缴纳的水费不会超过：（元， ②当时，用户应缴纳的水费不会超过：（元， 又， 用户12月份应缴纳的水费为88元，在第三阶梯居民月用水量部分，即：， ， ， 答：用户12月份的用水量为． 【点评】此题考查重点是阶梯用水，阶梯水价问题，只要熟练运用一元一次方程就可以计算． 5．（2023秋•高新区期末）根据最新版苏州市市民价格手册，苏州市对居民生活用电实行阶梯电价，居民阶梯电价按“年”为周期执行，即每年1月1日至12月31日为一周期，视为一年，执行标准如下： 档次 阶梯分档电量 电价（元千瓦时） 第1档 不超过2760千瓦时的部分 第2档 超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时的部分 0.6 第3档 超过4800千瓦时的部分 已知2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元；老王家交电费1524元． （1）表中的值为 　　； （2）求老王家2023年用电量； （3）若2023年老张家用电的平均电价为0.6元千瓦时，求老张家2023年的用电量． 【分析】（1）由题可知，2023年老李家用电2400千瓦时，，则为第一档，即可列出方程，再求解即可； （2）设老王家2023年用电量为千瓦时，先判断出，再根据老王家交电费1524元列出方程，再求解即可； （3）当用电量为4800千瓦时，电费为2604元，则，可判断出2023年老张家用电量超过了4800千瓦时，设老张家2023年用电量为千瓦时，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）2023年老李家用电2400千瓦时，，则为第一档， 可得方程：， 解得：， 故答案为：0.5． （2）解：设老王家2023年用电量为千瓦时， （元，（元，， ， 根据题意，得：， 解得：， 答：老王家2023年用电量为3000千瓦时． （3）解：若用电量为4800千瓦时，电费为2604元，则， 年老张家用电量超过了4800千瓦时， 设老张家2023年用电量为千瓦时， 根据题意，得：， 解得：， 答：老张家2023年用电量为6180千瓦时． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出合适的等量关系并列出方程，再求解即可． 题型八：方案选择应用题（共9题） 1．（2023秋•成都期末）元旦期间，两超市分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过300元，按九折优惠，超过300元的部分按八五折优惠；假设两家超市相同商品的标价都一样． （1）当一次性购物总额为400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同． 【分析】（1）根据两家超市的优惠方案进行计算求解； （2）根据“甲、乙两家超市实付款相同”列方程求解． 【解答】解：（1）当购物400元时，在甲超市需要付款：（元， 在乙超市需要付款：（元， 答：甲超市需要付款352元、在乙超市实付款355元； （2）设购物总额是时，甲、乙两家超市实付款相同， 则， 解得：， 答：购物总额是500元时，甲、乙两家超市实付款相同． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 2．（2023秋•于都县期末）数学老师为了表扬计算擂台赛满分的同学，决定从网店给同学们买一些练习本作为奖品，该网店按表中所示的方式卖本： 20本及以下 20本以上 单价 4元本 超过20本的部分打8折 邮费 一次5元 一次14元 （1）当老师买多少本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同？ （2）临近双十一，对于购买20本以上的顾客，商家给出了更大优惠：所有练习本都按照8折出售．当老师想买20个本时，怎么购买更合理？ 【分析】（1）设当老师买本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同，利用总价单价数量邮费，结合分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）分别求出购买20本及21本时所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设当老师买本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同， 根据题意得：， 解得， 答：当老师买25本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同； （2）当购买20本时，所需费用为（元， 当购买21本时，所需费用为（元， ， 当老师想买20个本时，购买21个本更合理． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2023秋•南平期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． （1）列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ （2）假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【分析】（1）设该店有客房间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房”，列方程求解即可； （2）根据题意得至少需要16间客房，按照优惠方式分别计算订16间房和20间房，即可得到结果． 【解答】解：（1）设该店有客房间， 由题意得，， 解得， 得（人， 答：该店有客房8间，到了63名房客； （2）若每间房最多入住4人，得， 则至少需要16间客房， 由不低于10间但低于20间，给予九折优惠， 得订16间房需要付（元， 由等于20间或是超过20间的，给予七折优惠， 得订20间房需要付（元， ， 诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，盈不足问题，方案选择问题，本题的关键是理解两种收费方式，根据优惠选择合适的订房方案． 4．（2023秋•邹城市期末）为迎接即将到来的春节，某商场制定了如下的优惠方案： 一次性购物 优惠办法 不超过200元的部分 按原价 超过200元但不超过400元的部分 打八折 超过400元的部分 打七折 （1）如果一次性购买原价为400元的商品，那么优惠后应付款 　　元； （2）如果优惠后实际付款367元，那么所购买商品的原价是多少钱？ （3）某消费者在该商场两次购物的原价合计400元，且第一次购物的原价高于第二次购物的原价，如果这两次购物分两次支付，那么优惠后合计支付384元，求两次购买商品的原价分别是多少？你认为该消费者如何支付更优惠？ 【分析】（1）依据表格，即可求得； （2）先判断物品原价的范围，再依据表格数据计算可得； （3）设某消费者第一次购物的原价为元，第二次就为元，根据表格分别计算合计为384元，进而列方程求解即可，根据，即可作答． 【解答】（1）一次性购买物品的原价为400元，则实际付款为（元， 故答案为：360； （2）若购物的原价为400元，实际付款为360元， ， 小王所购物品原价超过400元， 设所购买商的品原价为元， 根据题意，得：， 解得， 答：所购买商品的原价为410元； （3）设第一次购物的原价为元，则第二次购物的原价为元， 根据题意得，， 解得， （元， 两次购买商品的原价分别是280元、120元； ， 消费者一次性购买原价400元的商品更优惠． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据数量关系列方程． 5．（2023秋•怀集县期末）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： （1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）3班的学生人数为，如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由． 【分析】（1）用人数44乘以票价20再乘以0.8即可； （2）设2班有人，列方程，求解即可得到答案； （3）设3班有人，由题意得，得，当班级人数为63人时，两种方案费用相等，分和再讨论即可． 【解答】解：（1）（元， 答：1班购票需要704元； （2）设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有46人； （3）选择方案二购票更省钱，理由如下： 设3班有人，由题意得， 解得， 当班级人数为63人时，两种方案费用相等， 当时，按方案一需要花费：（元， 按方案二需要花费：（元， 方案一省钱； 当时，方案二省钱． 【点评】此题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找准题目间等量关系是解题的关键． 6．（2023秋•曲阳县期末）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为千米小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米小时，设客车行驶时间为（小时） （1）当时，客车与乙城的距离为 　 　千米（用含的代数式表示） （2）已知，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米 ①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答） ②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案： 方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计； 方案二：在处换乘客车返回乙城． 试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？ 【分析】第一问用代数式表示，第二问中用到了一元一次方程的知识，也用到了相遇的知识，要求会画图形，数形结合更好的解决相遇问题． 【解答】解：（1）当时，客车与乙城的距离为千米 故答案为：； （2）①解：设当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是小时 ：当客车和出租车没有相遇时 解得： ：当客车和出租车相遇后 解得： 当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是4.375小时或5.625小时 ②小王选择方案二能更快到达乙城．【精思博考：选择方案一时，小王需要7小时到达乙城；选择方案二时，小王需要小时到达乙城】 解：设客车和出租车小时相遇 此时客车走的路程为，出租车的路程为 丙城与城之间的距离为 方案一：小王需要的时间是 方案二：小王需要的时间是 小王选择方案二能更快到达乙城． 【点评】本题的关键是列方程和画相遇图，并且会分类讨论的思想． 7．（2023秋•长垣市期末）【综合与实践】 【问题情景】“双11”已经发展成了所有电商平台的节日，也是全民购物的节日．在“双11”期间，各大电商平台刮起购物狂潮． 【实践探究】某平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如表： 直播间 活动方案 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“满100元送100元购物券”（如：购买衣服220元，赠200元购物券，购物券可直接用于下次购物） 丙 实行“满100元减50元”（如：购买220元的商品，只需付款120元） 【问题解决】根据以上活动信息，解决以下问题： （1）甲、乙、丙直播间同时出售一种标价为380元的电饭煲和一种标价为300多元的电磁炉，若小鹿想买这两样厨房用具，通过计算发现在甲直播间同时购买电饭锅和电磁炉与在乙直播间先买电饭锅再买电磁炉所花费的钱数是相同的，则这种电磁炉标价是多少元？ （2）在（1）的条件下，小鹿选择甲、乙、丙哪个直播间购买更合算？ 【分析】（1）设这种电磁炉标价是元，根据甲直播间同时购买电饭锅和电磁炉与在乙直播间先买电饭锅再买电磁炉所花费的钱数是相同的，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）分别求出选择各直播间购买所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设这种电磁炉标价是元，依题意得： ， 解得：， 答：这种电磁炉标价是370 元； （2）依题意得：选择甲直播间购买所需费用（元； 选择乙直播间购买所需费用为（元； 选择丙直播间购买所需费用为（元； ， 答：小鹿应该选择丙直播间购买更合算． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．（2023秋•鼓楼区校级期末）有一中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服15件，乙工厂每天能加工这种校服20件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用15天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用100元、付乙厂每天费用120元． （1）求这批校服共有多少件？ （2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍，求乙工厂共加工多少天？ （3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案． 【分析】（1）设这批校服共有件，由单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用15天得：，即可解得答案； （2）设甲工厂加工天，根据题意可得：，即可解得答案； （3）分别计算三种方案的耗时及费用，比较即可得到答案． 【解答】解：（1）设这批校服共有件， 由题意得：， 解得：， 答：这批校服共有900件； （2）设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意得： ， 解得， （天， 答：乙工厂共加工30天； （3）①方案一：由甲厂单独加工时，耗时为（天，需要费用为：（元； ②方案二：由乙厂单独加工时，耗时为（天，需要费用为：（元； ③方案三：由两家工厂共同加工时，耗时为30天，需要费用为：（元． 按方案三方式完成既省钱又省时间． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 9．（2023秋•陕州区期末）某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案： 方案一：全部进行粗加工； 方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售； 方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？ 【分析】方案一由于全部进行粗加工，而，所以粗加工可以全部加工完，然后每吨可获利润5000元即可求出利润； 方案二由于尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售，那么15天可精加工吨，剩下的直接销售，再根据已知条件也可求出利润； 方案三由于将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成，那么设将吨海产品进行精加工，则将吨进行粗加工，根据恰好15天完成可以列出方程求出精加工和粗加工各自的吨数，然后利用已知条件求出利润． 【解答】解：方案一：可获利润为：（元； 方案二：15天可精加工（吨， 说明还有50吨需要直接销售， 故可获利润：（元； 方案三：设将吨海产品进行精加工，则将吨进行粗加工， 由题意得：， 解得：， 故可获利润（元， ， 所以选择方案三可获利润最多，最多可获利润850000元． 【点评】此题和实际生活结合比较紧密，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 题型九：方案设计应用题（共5题） 1．（2023秋•重庆期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．温水和开水公用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． （1）用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水 　　，水温为 　　； （2）某学生先接了一会温水，又接了一会开水，得到一杯温度为的水．设该学生接温水的时间为，请求出的值； （3）研究表明，蜂蜜的最佳冲泡温度是，某教师携带一个容量为的水杯接水，用来泡蜂蜜，要使接满水时杯中水温在最佳冲泡温度范围内，请直接写出该教师分配接水时间的方案（接水时间按整秒计算）． 【分析】（1）根据已知条件列式计算即可； （2）设该学生接温水的时间为 ，则开水，由小贴士中的公式可得方程； （3）分别设接泡蜂蜜的温水时间是 ，根据公式列式计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可得， 根据题意可得， 故答案为：200；51； （2）设该学生接温水的时间为 ， 根据题意可得：， 解得：， 故的值为10； （3）泡蜂蜜时：接温水时间是 ， 则混合后温度为：， 列方程：，， 解得：，， ， 为整数， ， 接开水时间：； 答：泡蜂蜜时，接温水，接开水． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键． 2．（2023秋•庐江县期末）姥山岛地处巢湖市中庙镇西南方向，全国五大淡水湖之一的巢湖之中，是巢湖中最大岛屿．姥山岛四面皆水，如同一叶飘于水中，为八百里巢湖唯一“湖上绿洲”，是湖天第一胜境．某校七年级2班学生计划周末去巢湖姥山游玩，游船价格如下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元小时 120元小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩1小时，请解决下面问题： （1）若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？ （2）若每只船均坐满，直接列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【分析】（1）根据题意，设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，列出方程求解即可； （2）先计算出共有学生数量，再分别计算出方案一到方案四所花费用，进行比较即可得到答案． 【解答】解：（1）设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船， 根据题意，得， 解得， 答：租用了7条四座电瓶船； （2）由（1）可知，共有学生（名， 方案一：租用7条四座电瓶船，3条六座电瓶船，总费用为1060（元， 方案二：租用10条四座电瓶船，1条六座电瓶船，总费用为（元， 方案三：租用4条四座电瓶船，5条六座电瓶船，总费用为（元， 方案四：租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船，总费用为（元， ， 最省钱的方案是租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知条件找出等量关系并列出方程是解题的关键． 3．（2023秋•荔湾区期末）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下： 购票张数 1至40 41至80 80以上 每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元 该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40． （1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数； （2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案． 【分析】（1）设七（1）班有名学生，则七（2）班有名学生，由“七（1）班的学生人数超过30，但不足40”，可得出七（2）班超过43且不足53，结合“两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元”，可列出关于的一元一次方程，解之可求出七（1）班学生的人数，再将其代入中，即可求出七（2）班学生的人数； （2）分别求出以班为单位单独购票、两班联合购买张票及两个班联合购买81张票所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设七（1）班有名学生，则七（2）班有名学生， 根据题意得：， 解得：， （人． 答：七（2）班有44名学生； （2）方案1：以班为单位单独购票，所需费用为（元； 方案2：两个班联合购买正好张数的票，所需费用为（元； 方案3：两个班联合购买81张票，所需费用为（元． ， 最省钱的方案为两个班联合购买81张票． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，求出各方案所需购票费用． 4．（2023秋•临江市期末）甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动．已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表： 购买服装的套数 48套以下 48套至90套 91套及以上 每套服装的价格 65元 55元 45元 如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元． （1）如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？ （3）如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 【分析】（1）利用节省的钱数甲、乙两所幼儿园分别单独购买服装所需费用甲、乙两所幼儿园的人数之和，即可求出结论； （2）设甲幼儿园有名小朋友准备参加演出，则乙幼儿园有 名小朋友准备参加演出，利用总价单价数量，结合“两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分别求出甲、乙两所幼儿园各自购买服装、甲、乙两所幼儿园联合购买86套服装及甲、乙两所幼儿园联合购买91套服装所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得： （元． 答：如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省1360元； （2）设甲幼儿园有名小朋友准备参加演出，则乙幼儿园有 名小朋友准备参加演出， 根据题意得：， 解得：， （名． 答：甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出； （3）方案1：甲、乙两所幼儿园各自购买服装，所需费用为（元； 方案2：甲、乙两所幼儿园联合购买（套服装，所需费用为（元； 方案3：甲、乙两所幼儿园联合购买91套服装，所需费用为（元． 元元元， 甲、乙两所幼儿园联合起来购买91套服装最省钱． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•惠城区期末）2023年12月28日晚，惠州一中南湖校区“悠悠南湖情，拳拳家国心”元旦文艺晚会在南湖畔上演．一中师生用歌声舞姿表达热爱寄托情怀，回首2023，逐梦2024．若1班和2班共有94名学生（其中1班人数多于2班人数，且1班人数不够90名），统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的服装价格表： 购买服装的套数 1套—46套 47套—90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两个班分别单独购买服装，一共应付5120元． （1）若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？ （2）两个班各有多少名学生准备参加元旦演出？ （3）如果1班有10名学生被调去参加合唱团的节目，不能参加班级演出，请你为这两个班设计一种最省钱的购买服装的方案． 【分析】（1）用两个班分别单独购买服装的费用两班联合起来购买服装的费用，即可得到答案； （2）设1班有名学生准备参加元旦演出，则2班有名学生准备参加元旦演出，由题意得出，，据此列一元一次方程求解，即可得到答案； （3）由题意可知，此时两班共有84名学生参加班级演出，分别求出联合买84套和买91套的费用，即可得到答案． 【解答】解：（1）（元， 答：若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省1360元； （2）设1班有名学生准备参加元旦演出，则2班有名学生准备参加元旦演出， 班人数多于2班人数， ， 解得：， 班人数不够90名， ， ， 由题意得：， 解得：， （名， 答：1班有52名学生准备参加元旦演出，2班有42名学生准备参加元旦演出； （3）由题意可知，1班有42名学生准备参加元旦演出，2班有42名学生准备参加元旦演出，共84人， 联合一起买最省钱，若买84套，则需花费（元， 若买91套，则需花费（元， ， 联合一起买91套最省钱． 【点评】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程是解题关键． 题型十：产品配套问题（共7题） 1．（2023秋•同安区期末）第19届亚洲运动会在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琼琼”“莲莲”向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产，两种包装的吉祥物盲盒，该工厂负责生产盲盒的有100名工人．为了促销，工厂按照商家要求生产盲盒大礼包，盲盒大礼包由2个盲盒和3个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒或10个盲盒．为使每天生产的盲盒正好配套，应安排生产盲盒和盲盒的工人各多少名？ 【分析】设应安排名工人生产盲盒，则安排名工人生产盲盒，根据每天生产的盲盒正好配套（盲盒大礼包由2个盲盒和3个盲盒组成），可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设应安排名工人生产盲盒，则安排名工人生产盲盒， 根据题意得：， 解得：， （名． 答：应安排25名工人生产盲盒，75名工人生产盲盒． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2023秋•定西期末）美术老师组织初一（5）班的学生用硬纸板制作如图所示的正三棱柱盒子．初一（5）班共有学生45人，每名学生每小时可以裁剪侧面60个或底面50个．已知一个三棱柱盒子由3个侧面和2个底面组成，为了使每小时裁剪出的侧面与底面刚好配套，应如何分配全班学生？ 【分析】设裁剪侧面的学生有人，则裁剪底面的学生有人，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设裁剪侧面的学生有人，则裁剪底面的学生有人， 根据题意列方程得，， 解得， ， 答：裁剪侧面的学生有25人，裁剪底面的学生有20人． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 3．（2023秋•岚山区期末）某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． （1）工厂每天应分别安排多少名工人生产，两种零件？ （2）因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 【分析】（1）设工厂分别安排名工人生产零件，名工人生产零件，根据“1个零件和2个零件配成一套”，列方程求解即可得到结果； （2）先求出调动前每天总获利，设工厂从每天生产零件的工人中调出名工人生产零件，可得调动后安排名工人生产零件，名工人生产零件，根据“工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元”，列方程求解即可得到结果． 【解答】解：（1）设工厂分别安排名工人生产零件，名工人生产零件， 依题意得，， 解得， 得（名， 答：工厂每天应分别安排14人生产零件，24人生产零件； （2）调动前每天总获利为：（元， 设工厂从每天生产零件的工人中调出名工人生产零件， 则调动后安排名工人生产零件，名工人生产零件， 依题意得，， 解得， 答：工厂从每天生产零件的工人中调出5名工人生产零件． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，调配问题，本题的关键是理清配套问题的数量关系列方程，此外挖掘题目条件，分清调动后生产两种零件的工人的数量，从而列方程解决问题． 4．（2023秋•合阳县期末）在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（图．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪20个圆柱侧面（图或剪10个圆柱底面（图． （1）七（1）班有男生、女生各多少人？ （2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时内剪出的侧面与底面配套． 【分析】（1）设该班有男生人，则女生有人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）先判断每小时剪出的筒身与桶底不配套，然后设男生向女生支援人，剪出的筒身与桶底正好配套，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：（1）设该班有男生人，则女生有人， 由题意，得， 解得， 答：该班有男生24人，女生26人； （2）因为男生一小时剪筒身， 需要960个筒底，而， 所以每小时剪出的筒身与筒底不配套， 设男生向女生支援人，剪出的筒身与筒底正好配套， 由题意，得， 即， 解得：， 则男生向女生支援14人，剪出的筒身与筒底正好配套． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 5．（2023秋•茌平区期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． ①应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ ②若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 【分析】①设人生产支架，则人生产脚踏板，根据题意列出一元一次方程求解即可； ②设每套太空慢步器是按原售价的折销售，根据打折后的售价原价利润率）列出方程，求解即可． 【解答】解：①设人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得，， ， 经检验符合题意， 则， 人生产支架，25人生产脚踏板配套，此时每天生产（套太空漫步器． ②设每套太空慢步器是按原售价的折销售， 根据题意得，， 解得：， 所以每套太空慢步器是按原售价的8折销售的． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答． 6．（2023秋•长沙期末）某家具厂现有10立方米木材，准备用来制作方桌，其中用部分木材制作桌面，其余木材制作桌腿．已知制作一张方桌需要1张桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作50张桌面或300条桌腿，要使制作出的桌面、桌腿恰好配套． （1）求制作桌面的木材和制作桌腿的木材分别为多少立方米？ （2）若该家具厂的木材进货价为每立方米1500元，制成方桌后（边角废料忽略不计），每张方桌的售价为150元，则该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利多少元？ 【分析】（1）设分配立方米木材制作桌面，则分配立方米木材制作桌腿，根据制作桌腿的总数量是制作桌面总数量的4倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用该家具厂制作的这批方桌全部售出后获得的总利润每张方桌的售价制作数量每立方米木材的进货价，即可求出结论． 【解答】解：（1）设分配立方米木材制作桌面，则分配立方米木材制作桌腿， 根据题意得：， 解得：， （立方米）． 答：应分配6立方米木材制作桌面，4立方米木材制作桌腿； （2）根据题意得： （元． 答：该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利30000元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 7．（2023秋•信州区期末）某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． （1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少． （2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题： ①如果木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？ ②如果木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 【分析】（1）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数量关系建立方程求出其解即可． （2）①设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可．②设用木料制作桌面，则用木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得 ， 解得：， 答：制作桌面的木料为． （2）①设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得 ， 解得：， 制作桌腿的木料为：． 答：用木料制作桌面，用木料制作桌腿恰好配套． ②设用木料制作桌面，则用木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子，由题意得 ， 解得， ， 答：用木料制作桌面，用木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子． 【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，寻找配套问题的等量关系建立方程是解决问题的关键． $