专题02反比例函数综合题（期中专项训练）（4种必考题型）九年级数学上学期人教版五四制

专题02反比例函数综合题（4种必考题型） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：反比例函数K的几何意义（共10题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，反比例函数的图像与矩形的边、分别相交于点D、E，连接、，直线与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（    ） ① ② ③ ④）若，，则． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（） A． B．6 C． D．3 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，点、在轴上，点、在反比例函数的图像上，，过原点，与反比例函数交于点，点在上，，连接交于点，的面积为2，若，则的值为 （   ）    A．6 B．9 C．12 D．18 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B．连接、．若，则k的值为 ． 5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，点在轴的正半轴，点在第一象限，函数（）的图象与边，分别交于点，若，，则的值为 ． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图在平面直角坐标系中，矩形的点在函数()的图象上，点在函数()的图象上，若点的横坐标为，则点的坐标为 ． 7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，反比例函数 经过，两点，过点作 轴于点，过点作 轴于点，过点作轴于点，连接，，已知，，，则点 到的最短距离为 ． 8．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，点在点左侧，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，若，，则的值为 ．    9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A，B分别在反比例函数与的图像上，连接，，，且，，则的值为 ． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B、C在第一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数（）的图象于点D，若，平行四边形的面积为18，则k的值为 ． 题型二：反比例函数与一次函数综合（共7题） 1．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M做轴于N，且． (1)求反比例函数解析式； (2)在第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果） (3)若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积． 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求面积的最大值． 4.（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 5．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，与轴、轴分别交于点，．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标． (2)求过，两点的最小圆的面积． 6．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，交反比例函数（）的图象于． (1)求反比例函数的解析式； (2)抛物线，经过点B． ①求抛物线与x轴的交点个数； ②该抛物线与反比例函数的图象交于点，求代数式的值． 7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 题型三：实际问题与反比例函数（共9题） 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 2.（23-24九年级上·浙江台州·期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求当面条粗时，面条的总长度是多少米？ (2)若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细有什么限制？ 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 4．（23-24九年级上·广西百色·期末）【综合与实践】 如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示： 桌面所受压强 250 400 500 800 受力面积 0.8 0.5 a 0.25 (1)压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，哪一个量不变？ (2)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值； (3)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 5．（23-24九年级上·广西北海·期末）很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生过重的作业负担，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式为． (1)当镜片焦距是时，近视眼镜的度数是多少度？ (2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是多少？ (3)小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数下降了多少度？ 6．（23-24九年级上·山东青岛·期末）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高； (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 7．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）某种原料需要达到60℃及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度y（℃）与时间x（min）之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是反比例函数图象的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题： (1)填空：a的值为 ； (2)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间． 8．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品.如图，这是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里的温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求的值. (2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于的时间有多长. 9．（23-24九年级上·四川达州·期末）通过市场调查发现，一段时间内某地区一种农产品的需求量与市场价格之间存在下列函数关系：，且该地区这种农产品的产量与市场价格成正比例关系：．现不计其他因素影响，若需求量y等于产量z时，则称市场处于平衡状态． (1)当市场处于平衡状态时，求该地区这种农产品的市场价格； (2)受国家政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，大力提高产品质量，此时产量z与市场价格x之间的函数关系不变，但需求量y与市场价格x之间的函数关系发生了变化，满足新的函数关系：．当市场再次处于平衡状态时，市场价格比原平衡状态时上涨了15元，求m的值． 题型四：反比例函数与几何综合（共14题） 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点． （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________． (2)由图像写出满足的自变量x的取值范围； (3)点P是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围． 4.（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，点的坐标为，点在点的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点，交于点． (1)求点的坐标及反比例函数的关系式； (2)连接，若矩形的面积是27，求出的面积． 5.（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 6.（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E． (1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 　 　，点D的横坐标是 　 　，求该反比例函数的表达式； (2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值． 7．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点．    (1)当时，求A、B两点的坐标： (2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，直线分别交反比例函数图象的另一支于点C和点D，连接和交x轴于点Q，交y轴于点G．若． ①求此时反比例函数的表达式． ②求． 8．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，直线（）的图象与双曲线的图象相交于点和点，点是轴上的一个动点． (1)求出点的坐标． (2)连接，若的面积为，求此时点的坐标． (3)点为平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G． (1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）； (2)求点C的坐标； (3)求矩形的面积． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为：与x轴交于点B，且与过原点的直线互相垂直且交于点．正方形的其中一个顶点C与原点重合，另一顶点E在反比例函数上，正方形从现在位置出发，在射线上以每秒1个单位长度的速度向右平移，运动时间为t． (1)当D落在线段上时________，当D落在线段上时________． (2)记与正方形重叠面积为S，当时，请直接写出S与t的函数关系式以及t的取值范围． (3)在正方形从图1位置开始向右移动的同时，另一动点P在线段上以每秒1个单位长度的速度从B点运动到A点，当时，请求出使得是以为腰的等腰三角形的t的值． 11．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)从下面A，B两题中任选一题作答． A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标； B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 12．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数与一次函数交于，B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当面积最小时，在直线上存在两点，且，求四边形周长的最小值？ (3)如图3，在（2）问条件下，连接，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接交x轴于点H，在反比例函数上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1，已知双曲线，直线：，过定点，且与双曲线交于、两点，设，． (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)如图2，若，点在双曲线上，点在直线：上，且轴，求的最小值，并求出此时点的坐标． $专题02反比例函数综合题（4种必考题型） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：反比例函数K的几何意义（共10题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，反比例函数的图像与矩形的边、分别相交于点D、E，连接、，直线与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（    ） ① ② ③ ④）若，，则． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质等知识，运用数形结合思想是解答的关键．根据相关知识逐个分析即可作出判断． 【详解】解：设，则，， ①∵点D、E在反比例函数的图像上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴，故②正确； ③∵，， ∴，， ∴，， ∴，则，故③正确； ④由得 ， 则，又， ∴（负值舍去），故④正确， 综上，正确的结论为①②③④， 故选：D． 2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．连接交于，由菱形的性质可知，根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出的值． 【详解】连接交于如图： 四边形是菱形， ， 菱形的面积， 顶点在反比例函数的图象上， 解得∶． 故选∶D． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，点、在轴上，点、在反比例函数的图像上，，过原点，与反比例函数交于点，点在上，，连接交于点，的面积为2，若，则的值为 （   ）    A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】A 【分析】根据反比例函数的对称性可知四边形是平行四边形，通过相似可求，的面积为8，设点坐标为，表示出坐标，列方程即可求出的值． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上，过原点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设点坐标为，分别作、垂直轴于点， 则， ∵， ∴， ∴点坐标为，点坐标为， ∵，即， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、反比例函数综合应用等知识，熟练掌握反比例函数的性质以及相似三角形的性质是解题关键． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B．连接、．若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可得，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，点在轴的正半轴，点在第一象限，函数（）的图象与边，分别交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握几何面积计算反比例系数的方法是解题的关键． 根据题意，连接，过点作于点，过点作于点，可得，可证，得到，设，则，点，根据，可得，则有，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，且点三点共线， ∴点三点的横坐标都相同， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点在反比函数图象上， ∴，即， ∵点三点的横坐标都相同， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∴ ， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图在平面直角坐标系中，矩形的点在函数()的图象上，点在函数()的图象上，若点的横坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，构造字形相似，由面积比得出相似比为，从而得出点坐标与点坐标关系，而是矩形对角线交点，故是的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， 点在函数的图象上，点在函数的图象上， ，， 轴， ，， 在矩形中，， ， ， 又， ， ， ，， 设点的坐标为，则点的坐标为， 连接，交于点，则点为，的中点， 又∵点的横坐标为， ， 解得（不合题意，舍去）或， 点的坐标为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，反比例函数 经过，两点，过点作 轴于点，过点作 轴于点，过点作轴于点，连接，，已知，，，则点 到的最短距离为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据反比例函数的比例系数的几何意义得的值，求得、两点的坐标，进而根据三角形的面积公式求得到的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵，，轴，轴，轴， ∴，， ∴，， ∴，， 过点作于点，过点作于点，则点 到的最短距离为的长， ∴，，， ∵， ∴， ∴点 到的最短距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象与性质，坐标与图形，两点间的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，解题的关键是确定、点的坐标． 8．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，点在点左侧，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，若，，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数值的几何意义，待定系数法求解析式，相似三角形的判定的性质，掌握反比例函数图象的性质，比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，过点作于点，作轴于点，可得，，设，用含的式子表示点的坐标，由此可得直线，的解析式， 从而求出的坐标，分别求出的长，再根据可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作轴于点，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，且在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令，则    ， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∵，，，， ∴，，， ∴， ，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A，B分别在反比例函数与的图像上，连接，，，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，以及相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，根据，求出，从而得到相似比，进而求出两个三角形面积比，得到的值，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ，， ， ， ， ， ， ，即, 设，，则， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B、C在第一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数（）的图象于点D，若，平行四边形的面积为18，则k的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义． 过点D作轴于N，过点B作轴于M，可得，设，，则，根据的面积为18表示出的长度，从而表示出点C的坐标，由得到，根据求出的长，从而表示出点D的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出． 【详解】过点D作轴于N，过点B作轴于M， ∴， ∴， ∵， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴点C的坐标为 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D点坐标分别为， ∵点，都在反例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：40 题型二：反比例函数与一次函数综合（共7题） 1．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M做轴于N，且． (1)求反比例函数解析式； (2)在第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果） (3)若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，梯形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据即可得到M的横坐标为1，然后代入一次函数求出M的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）利用图像法求解即可得到答案； （3）过B作轴于E，先求出A，B的坐标，即可得到的长，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， 把代入中，得， ∴， 把，代入中，得， ∴反比例函数解析式为； （2）∵， ∴一次函数的图像要在反比例函数图像的下方， ∴结合函数图像可知时，满足题意， ∴当时，； （3）过B作轴于E， 把代入中，得， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∵A是直线与y轴的交点， ∴， ∴， ∴ ． 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点，，图形结合可直接写出时自变量的取值范围． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵点在反比例函数的图象上，即， ∴， ∴点， 把点，代入中， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图像及交点的坐标，当时，自变量x的取值范围为：或． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)4 【分析】本题考查了求一次函数和反比例函数的解析式、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）将点、代入即可得一次函数的解析式；从而可得点的坐标，再代入可得反比例函数的解析式； （2）先分别求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式和二次函数的性质求最值即可得． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得， 则一次函数的表达式为， 将点代入得：， 则点的坐标为， 将点代入得：， 则反比例函数的表达式为． （2）解：∵点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点， ∴，，的边上的高为， ∴， ∴面积为， 由二次函数的性质可知，在内，当时，面积取得最大值，最大值为4， 所以面积的最大值为4． 4.（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）∵点在上， ∴， ∵，都在一次函数的图象上，代入得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为； ∵直线与x轴交于点C，如图1， ∴， ∴， ∵A的坐标为，B的坐标为， ∴ ； （3）①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， 作轴于点E，则． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可求； ③当时 设， 则， 解得， ∴． 同理可求． 综上可知，点P的坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 5．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，与轴、轴分别交于点，．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标． (2)求过，两点的最小圆的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点代入解方程得到，把代入解方程求得反比例函数表达式，再解方程组即可得到结论． （2）根据题意得过，两点的最小圆是以线段为直径的圆，根据勾股定理得到，根据圆的面积公式即可得到结论． 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解方程组，勾股定理，圆的面积，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得，， ， 把代入得， 反比例函数的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标； （2）解：过，两点的最小圆是以线段为直径的圆， 由（1）知，，， ， 过，两点的最小圆的面积为． 6．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，交反比例函数（）的图象于． (1)求反比例函数的解析式； (2)抛物线，经过点B． ①求抛物线与x轴的交点个数； ②该抛物线与反比例函数的图象交于点，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①两个；② 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）①先求出抛物线的解析式，利用二次函数与一元二次方程的关系和根的判别式解题即可； ②由题意可得，然后代入计算即可． 【详解】（1）∵在直线上， ∴，解得， ∴． 又∵在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线的解析式为． （2）①直线交y轴于点B， ∴点B的坐标为， 将代入中，解得， ∴二次函数的解析式为． ∵， ∴该抛物线与x轴有两个交点． ②依题意，n是方程的解， ∴，去分母得， 整理得，等号两边分别平方，得， 简化，得， ∴ ． 7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 题型三：实际问题与反比例函数（共9题） 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要，故A选项错误； ∴设反比例函数的解析式为，将点代入，可=得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项错误； 将代入得， 解得 ∴ ∴水温从降至，所需时间为，故C选项错误； ∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要， 将代入得， 解得 ∴水温不低于的时间为，故D选项正确． 故选：D． 2.（23-24九年级上·浙江台州·期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求当面条粗时，面条的总长度是多少米？ (2)若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细有什么限制？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）利用待定系数法求出它们的关系式，代入求解即可． （2）根据求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的关系式为， 把点代入可得， ∴ 当时，． 答：面条的总长度是80米． （2）解：根据题意得： ， 解得： 答：面条的粗细不小于 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 【答案】(1)； (2)“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用 （1）设该二次函数的解析式为，把点代入，即可求得二次函数的解析式；把点代入，即可求得k的值； （2）由可得，再由，得，进而即可求解． 【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为， 把点代入，得，解得： ∴所求二次函数的解析式为 把点代入得：； （2）解：没有超过15分钟， 理由如下： 由解得：，（舍去）， 由，解得：， ， 所以“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟． 4．（23-24九年级上·广西百色·期末）【综合与实践】 如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示： 桌面所受压强 250 400 500 800 受力面积 0.8 0.5 a 0.25 (1)压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，哪一个量不变？ (2)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值； (3)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 【答案】(1)压力F不变 (2)， (3)这种摆放方式不安全，理由见解析 【分析】（1）根据表格当中所给数据分别计算出F的值，可知压强P与受力面积S的乘积不变，即压力F不变； （2）用待定系数法可得函数关系式，把代入关系式中，可得a的值； （3）先求出S，再代入函数关系式中求出P，然后与4000比较大小即可得到答案． 本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数关系式． 【详解】（1）由表中数据可知 当时，， 此时； 当时，， 此时； 当时，， 此时； 由此可知在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，压力F不变． （2）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得； （3）这种摆放方式不安全． 理由：由已知， 此时， ∴这种摆放方式不安全． 5．（23-24九年级上·广西北海·期末）很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生过重的作业负担，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式为． (1)当镜片焦距是时，近视眼镜的度数是多少度？ (2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是多少？ (3)小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】(1)当镜片焦距是0.1m时，近视眼镜的度数是1000度 (2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是 (3)小明的眼镜度数下降了100度 【分析】本题考查了反比例函数的应用: （1）把，代入即可得到结论； （2）把代入即可得到结论； （3）当时，求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式为y， 当时，，     答：当镜片焦距是时，近视眼镜的度数是1000度； （2）解：当时，，     答：当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是； （3）解：当时，，     ∴（度），   答：小明的眼镜度数下降了100度． 6．（23-24九年级上·山东青岛·期末）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高； (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2)火焰的像高为 (3)小孔到蜡烛的距离至少是 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入，再计算可得答案； （3）由再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）把代入，得， ∴火焰的像高为． （3）时， ， ， ， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 7．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）某种原料需要达到60℃及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度y（℃）与时间x（min）之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是反比例函数图象的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题： (1)填空：a的值为 ； (2)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间． 【答案】(1)21； (2)30分钟． 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）把代入，可得； （2）用待定系数法可得线段对应的函数解析式为， 由得，由得， 即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得：， ∴， 故答案为：21； （2）解：设线段对应的函数解析式为，把代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数解析式为； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴可进行零件加工的时间长度为30分钟． 8．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品.如图，这是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里的温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求的值. (2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于的时间有多长. 【答案】(1) (2)恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于的时间有13.8小时． 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）直接将点的坐标代入即可； （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的值，相减就是结论． 【详解】（1）把代入中得： ； （2）如图， 设的解析式为：． 把、代入中得： ， 解得：， 的解析式为：， 当时，，． ， 解得：， ． 答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于的时间有13.8小时． 9．（23-24九年级上·四川达州·期末）通过市场调查发现，一段时间内某地区一种农产品的需求量与市场价格之间存在下列函数关系：，且该地区这种农产品的产量与市场价格成正比例关系：．现不计其他因素影响，若需求量y等于产量z时，则称市场处于平衡状态． (1)当市场处于平衡状态时，求该地区这种农产品的市场价格； (2)受国家政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，大力提高产品质量，此时产量z与市场价格x之间的函数关系不变，但需求量y与市场价格x之间的函数关系发生了变化，满足新的函数关系：．当市场再次处于平衡状态时，市场价格比原平衡状态时上涨了15元，求m的值． 【答案】(1) (2)320000 【分析】本题主要考查了函数与方程的应用．熟练掌握函数与方程的关系，根据“需求量=生产数量”列出方程，是解题的关键． （1）平衡状态时，让得到x的方程，求出相应的x； （2）处于平衡状态时，市场价格为40元，代入“需求量=生产数量”，求出m值，即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得 ， 经检验，，都是方程的解，不合题意，舍去， 答：当市场处于平衡状态时，该地区这种农产品的市场价格为； （2）由题意得方程的解为， ∴， 解得． 故m的值为320000． 题型四：反比例函数与几何综合（共14题） 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值． 【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点． （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解； （2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点． ∴； 故答案为：； （2）设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 将点代入中，解得， ∴直线的解析式为， 由（1）得反比例数解析式为， 联立， 解得：或， 当时， ， 当时， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，勾股定理，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________． (2)由图像写出满足的自变量x的取值范围； (3)点P是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数图象的性质，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象求最值的计算方法是解题的关键． （1）把点代入一次函数，把点代入反比例函数，即可求解； （2）把点代入一次函数解析式可得，结合图形即可求解； （3）根据题意，设，得到，则有，当，的面积最大，最大值为，当时，，当时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， ∴把点代入一次函数得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， 把点代入反比例函数得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：把点代入一次函数得，， 解得，， ∴， ∴由图形可得，当或时，， ∴满足的自变量x的取值范围为：或； （3）解：∵点P是线段上一点， ∴设， ∴， ∴， ∴当，的面积最大，最大值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的取值范围为． 4.（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，点的坐标为，点在点的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点，交于点． (1)求点的坐标及反比例函数的关系式； (2)连接，若矩形的面积是27，求出的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质： （1）根据矩形的性质，得到点D的横坐标为4，代入，可求得点D的坐标，再代入，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式； （2）设线段，线段的长度为，根据“矩形的面积是24”，可求出m的值，从而得到点E的坐标为，进而得到线段的长度，再根据三角形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴可设D坐标为， 把代入直线得：， ∴点D的坐标为， ∵经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的关系式为：； （2）解：设线段，线段的长度为， ∵， ∴， ∵矩形的面积是27， ∴，解得：， 即点B，点C的横坐标为：， 把代入得：， 即点E的坐标为：， ∴线段的长度为， ∴ 5.（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键； （1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论； （2）由正方形的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比例函数即可． 【详解】（1）点A的横坐标为，在正比例函数图象上， 当时，， A的坐标为：， 点A作轴于点B，四边形是正方形， ， ， D的坐标为：， 点D是反比例函数图象上 ， （2）正方形的面积为m， ， 点D和A得纵坐标为， A的坐标为：， ， D的坐标为：， 代入得： 6.（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E． (1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 　 　，点D的横坐标是 　 　，求该反比例函数的表达式； (2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值． 【答案】(1)3，8：y= (2) 【分析】 （1）过点C作于点T，利用菱形面积求出，再利用勾股定理求出，从而可设出点C的坐标为，则点A的坐标为，得到，求出m的值即可得到答案； （2）设点，过点C作轴于点N，交于点M，利用菱形面积得到，即可得到点C的纵坐标为，则，进一步推出，点D的坐标为，点E的坐标为，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1） 解：过点C作于点T， ∴菱形面积， ∴， 在中，， ∴， ∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为， 设点C的坐标为，则点A的坐标为， ∴， 解得：， ∴，， ∴反比例函数的表达式为：，， 故答案为：3，8； （2） 解：设点，过点C作轴于点N，交于点M， ∵菱形面积是48， ∴， ∴， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，正确利用菱形的面积求出对应线段的长度是解题的关键 7．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点．    (1)当时，求A、B两点的坐标： (2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，直线分别交反比例函数图象的另一支于点C和点D，连接和交x轴于点Q，交y轴于点G．若． ①求此时反比例函数的表达式． ②求． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】（1）解方程组即可得到结论； （2）分情况讨论，过点作于点，设与轴的交点为，根据相似的性质得到，设直线的解析式为，解方程组即可得到答案； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，根据相似三角形的性质得到． ①设，解出，即可求出函数解析式； ②设直线的解析式为，得到的解析式为，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数的解析式为， 联立， 解得或， ； （2）解：若 过点作于点，设与轴的交点为， 令，解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 即， ， ， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ，    ②若， 过点作于点，设与轴的交点为， 令，解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 即， ， ， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， 点的坐标为，    综上所述，符合条件的点的坐标为或； （3）解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则有， ， ， ①设， ， ， 即， 都在反比例函数上， ， ， ， 解得， ， ， ， 故反比例函数为；    ②设直线的解析式为， 则有， 解得， 故直线的解析式为， 令，解得， ， ， ， 根据轴对称的性质得到四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，待定系数求函数解析式，正确做出辅助线是解题的关键． 8．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，直线（）的图象与双曲线的图象相交于点和点，点是轴上的一个动点． (1)求出点的坐标． (2)连接，若的面积为，求此时点的坐标． (3)点为平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，或或． 【分析】（）利用代数系数法求出一次函数和反比例函数解析式，联立函数式，解方程组即可求解； （）分在下方和在上方两种情况解答即可求解； （）设，以四点为顶点的四边形是菱形时，分为边和对角线三种情况讨论，根据勾股定理和菱形的性质可计算点的坐标． 【详解】（1）解：∵点， ∴，， ∴，， ∴直线的关系式为：，反比例函数的关系式为：， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为； （2）解：在下方时，过作轴于，过作于， 设， ∵点的坐标为，， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 在上方时， 设，直线交轴于， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：设， ∵点的坐标为，， ∴， ， ， 以为边，时， ，解得或， ∴点的坐标为或， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为或； 以为边，时， ，无解， ∴此种情况不存在； 以为对角线时，，如图， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 9．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G． (1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）； (2)求点C的坐标； (3)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，根据矩形的性质可得，进而得到、即可解答； （2）由题意可得解得，作轴于H，即；再证明，利用相似三角形的性质列比例式可得，进而得到即可解答； （3）由勾股定理可得、，然后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵曲线经过点C、G， ∴， 解得：， 如图：作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴矩形的面积． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形、勾股定理、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为：与x轴交于点B，且与过原点的直线互相垂直且交于点．正方形的其中一个顶点C与原点重合，另一顶点E在反比例函数上，正方形从现在位置出发，在射线上以每秒1个单位长度的速度向右平移，运动时间为t． (1)当D落在线段上时________，当D落在线段上时________． (2)记与正方形重叠面积为S，当时，请直接写出S与t的函数关系式以及t的取值范围． (3)在正方形从图1位置开始向右移动的同时，另一动点P在线段上以每秒1个单位长度的速度从B点运动到A点，当时，请求出使得是以为腰的等腰三角形的t的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【分析】（1）运用待定系数法求出点的坐标，由此可求出正方形的边长，设，当点上时，根据纵坐标的值即可求解； （2）根据图形的移动，点的移动规律，分类讨论：①；②；③；④；图形结合分析，再根据三角形面积的计算方法即可求解； （3）先求出点的坐标，分类讨论，当；当；根据等腰三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，时，， ∴， 设所在直线的解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵正方形中点在反比例函数的图象上， ∴正方形的边长为，即， ∴， 当正方形以每秒个单位长度向右平移时， 设， ∴当点在上时，， 解得，， 当点在上时，， 解得，， 故答案为：． （2）解：①当时，如图所示， ∵，则， ∴； ②当时，如图所示， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ； ④当时，如图所示，过点作轴于点，则，， 当时，，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ； 综上所示，与的函数关系式为； （3）解：如图所示，过点作轴于点， 由（2）可知，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，当时，过点作轴于点，过点作于点，作轴于点， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， 在中，当时， ， 解得，； 如图所示，当时，同理构成，得， ， 解得，（舍），； 综上所述，使得以为腰的等腰三角形的的值为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数的综合，待定系数法求解析式，几何图形面积与函数的关系，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，图形运动规律等知识的综合，掌握图形结合，分类讨论，方程思想，构造图形辅助计算等方法是解题的关键． 11．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)从下面A，B两题中任选一题作答． A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标； B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)8 (3)A．，， B．,,, 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出，利用反比例函数求点B的坐标为，将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可； （2）过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，先求出点C的坐标，再利用即可求出的面积； （3）A：先确定点A、B、P的坐标，设点D的坐标为，当是边时，利用平移可得，或，，求出s、t，当是对角线时，由中点公式得：，求即可； B：由直线求点，由点A、C的坐标求，设点Q的坐标为，点M的坐标为，当为边时，则或，即或，求出s、m，当是对角线时，则且的中点即为的中点，则，解方程组即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 得， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点B的坐标为， 将点和的坐标分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为． （2）解：在中，当时， 点C的坐标为， 过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，如图所示： 的面积为8． （3）解：能，理由： A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、， 设点D的坐标为, 当是边时， 则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P）， 则，或，， 解得或； 当是对角线时， 由中点公式得：，, 解得； 故点D的坐标为或或． B：由直线的表达式知，点，由点A、C的坐标知， 设点Q的坐标为，点M的坐标为， 当为边时， 则或， 即或， 解得或8（舍去）或4， 即或4； 当是对角线时， 则且的中点即为的中点， 则， 解得， 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，平行四边形性质，菱形性质，本题综合性强，难度较大，灵活掌握知识是解题关键． 12．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数与一次函数交于，B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当面积最小时，在直线上存在两点，且，求四边形周长的最小值？ (3)如图3，在（2）问条件下，连接，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接交x轴于点H，在反比例函数上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）当面积最小时，经过点平行于直线的直线与 有且只有一个公共点，利用一元二次方程根与系数关系可得直线的解析式为，进而可得，作点关于直线的对称点， 过点作轴交直线于，连接 ，将点沿直线向左上平移个单位得到点，连接交直线于点, 将点沿直线向右下平移个单位得到点，则此时四边形的周长最小，利用两点间距离公式即可求得答案； （3）当点P在第四象限时，如图，过点作于点，延长至, 使，过点作轴于，可得 ，从而求得点，得出直线的解析式为，联立方程求得点L的横坐标，可得；当点在第二象限时，如图，过点作于，延长至，使，过点作轴于，同理可得 【详解】（1）把代入 得， ， 把 代入 得 ， 解得： ， ； （2）由 ，得 ， ∴， 当面积最小时，经过点平行于直线的直线与有且只有一个公共点， 设过点平行于直线的直线解析式为， 则 ，即 ， ， ∴或(舍去)， ∵直线的解析式为， 由 ， 解得:， ∴， 作点关于直线的对称点，过点作轴交直线于, 连接， 则 ，由对称性可得，将点沿直线向左上平移个单位得到点，连接交直线于点，将点沿直线向右下平移个单位得到点，则此时四边形的周长最小，如图， ，则为平行四边形，则，四边形的周长为最小， ∵将点E沿直线向左上平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位, 即， ， ， ∴四边形的周长最小值； （3）在反比例函数上是否存在一点，使，且或 理由如下： ， ∴直线的解析式为 直线的解析式为， ， ， 当点P在第四象限时，当时，始终有； 当点在第二象限时，如图，过点作于，延长至，使 , 过点作轴于， 则 ， ， ，即 ， ， 同理可得： ， ， ， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：或(舍去)， 或； 综上所述，在反比例函数上存在一点，使 则或或 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，轴对称一最小值问题，相似三角形的判定和性质等，正确添加辅助线是解题关键． 13．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法即可解答； （2）设，则，根据四边形的面积构建方程求解即可； （3）分两种情况：当点M位于内部时，延长交反比例函数于M；当点M位于外部时，分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和中可得： ，，解得： ∴，． （2）解：设，则， ∴， ∵四边形的面积等于24， ∴,即， 整理得：，解得： 检验：是原方程的解， ∵， ∴，则． ∴． （3）解：由平移可得：, ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：或（不合题意，舍去） 经检验是方程组的解， ∴点 ∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到， 由 (2)可得：， ∴， ∵ ， ∴， 如图1，当点M位于内部时，作于N，延长交反比例函数于M， ∵， ∴, ∴ N为的中点， ∴，即， 设直线的解析式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴； 如图，当点M位于外部时，作于，连接， ∵， ∴, ∵， ∴关于对称，， 设直线的解析式为:, 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则的中点在直线上， ∴在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴，整理得：，解得:， ∴或， 经检验，当)时，直线不垂直，故不符合题意， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴． 综上所述，M的坐标为或 ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、一次函数的应用、求函数解析式、点的平移、函数图像交点与方程组等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题是解题的关键． 14．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1，已知双曲线，直线：，过定点，且与双曲线交于、两点，设，． (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)如图2，若，点在双曲线上，点在直线：上，且轴，求的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)时，最小值是 【分析】（1）根据题意求出直线的解析式，联立方程组，求出双曲线与直线的交点横坐标，再求出直线与轴的交点的坐标，结合三角形的面积公式即可求解； （2）先联系方程组，结合双曲线与直线有两个交点，以及一元二次方程根与系数的关系可得，，根据两点间的距离公式可求出，结合题意列出方程，解方程即可求出的值； （3）先结合题意求出点的坐标，连接，结合题意设设，则，分别求出和的值，得出，即可得出点在上时，最小值是，待定系数法求出所在直线的解析式，联立方程求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为：， 联立得，， 化简得：， 解得：，， 设直线与轴交于点， 令，则， 即， 故． （2）解：根据题意得：， 整理得：， ∵， 根据题意可得、是方程的两个根， ∴，， ∴， 结合，可得：， 将，代入得出， 化简可得， 即， 整理得，， 即， 解得：或． （3）解：∵直线：，过定点， ∴， 连接，如图： ∵点在双曲线上，点在直线：上，且轴， 故设，则， 故， ， 即， ∴， 当点在上时，等号成立， 设所在直线的解析式为， 将，代入得出， 解得：， 故所在直线的解析式为， 联立联立得，， 化简得：， 解得：，（舍去）， 当时，， 即点的坐标为， 当时，最小值是． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两点间的距离公式，三角形的面积、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数的解析式等．解题的关键是学会联立方程组求两个函数的交点坐标，根据两点之间线段最短解决最短线段和最小的问题． $