专题02 巧用旋转进行计算（专项训练）数学人教版五四制九年级上册

专题02 巧用旋转进行计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度 1 题型二、利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度 3 题型三、利用旋转的性质求几何图形的面积 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度 1.如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，则的度数是 ． 【答案】/50度 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2.如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，根据图形旋转的性质可得，，结合，即可求得答案． 【详解】由图形旋转的性质可得，． ∵ ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 3.如图，将△绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则的度数为 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】此题考查的是旋转的性质、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，由旋转的性质可得：，，，根据等边对等角可得：，根据三角形外角的性质可得：，从而求出和，即可求出． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4.如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则 °． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再根据旋转的性质得到，则，由此根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二、利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度 5.如图，将绕点按顺时针方向旋转得到（即），连接．若，则 ． 【答案】3 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等及等边三角形的性质和判定． 根据旋转的性质得，然后证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到， 即，， 是等边三角形， ， ． 故答案为：3． 6.如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长度是为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】在的上方作，且使，连接，，根据证明得出，，得出，进而勾股定理，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点作于点 ，， ， ∴， ， ∴， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 又， ， ， ，． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，含度角的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7.如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、坐标与图形 【分析】过点作轴的垂线，根据旋转性质以及角等量代换，证明，再结合点，点，求出点的坐标即可解决问题．本题考查坐标与图形变化旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， ， ， 又， ， ． 在和中， ， ， ，． 又∵，， ，， 所以点坐标为， 则，． 在中， ． 故答案为：． 8.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接．则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，先根据勾股定理求出，根据旋转得出，，求出，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， 故， 由旋转的性质可知：，， ∴， 在中，，， 故． 故答案为：． 题型三、利用旋转的性质求几何图形的面积 9.如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，设分别交于点，交于点，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理分别求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图，设分别交于点，交于点， 绕点顺时针旋转得到，， ， ∴， ， ，，， ． 故选A． 10.如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点O按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积（    ） A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出，即得面积等于的面积． 根据正方形性质得出，求出，根据证，推出两个正方形的重叠部分四边形的面积等于，即可得出选项． 【详解】解：∵四边形、四边形是两个边长相等正方形， ∴， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴两个正方形的重叠部分四边形的面积是， 即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于， 故选：A． 11.将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    【答案】9 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了中心对称和正方形的性质，熟记中心对称性的性质、判断出每一个阴影部分的面积等于正方形的面积的是解题的关键．证明，得到一个阴影部分的面积等于正方形面积的，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，然后列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，   ， ， ，， ， ， 一个阴影部分的面积等于正方形的面积的， 四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积， 五个正方形的边长都为， 四块阴影面积的总和为， 故答案为：9． 12.如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质是解题的关键． 连接，先求出的面积，根据平行四边形的性质求出的面积，根据求出的面积，同理得到的面积，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∵点O是的中点， ∴点O在上，且点O是的中点， ∴的面积＝的面积， ∵， ∴的面积＝的面积， 再由旋转性质同理可得，的面积， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：． 一、单选题 1．如图，绕点旋转到，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质的应用，根据旋转的性质得，继而得到，根据三角形内角和定理求出，即可求出答案．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点旋转到，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数是． 故选：A． 2．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到． ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故选：B 3．如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】过点作于点D，根据旋转的性质可得到是等边三角形，，进而得到阴影部分的面积等于，再由勾股定理求出，继而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵将绕点A逆时针方向旋转到的位置， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，阴影部分的面积等于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 4．如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，再根据图形旋转的性质，求出的长，及证明，，最后根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：，， ， 绕点C逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 在中，， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形旋转问题的常用解法是解题的关键． 二、填空题 6．如图，中，，将绕点O顺时针旋转得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质．根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，根据旋转角求出，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可得解． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到，， ，， 在中，． 故答案为：． 7．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则 ． 【答案】/77度 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得，然后利用三角形外角性质得，从而得到的度数． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转后得到的， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质推出，由旋转的性质得到，再结合等腰三角形的判定和性质得到，最后利用三角形的内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：在中，， ， 由旋转的性质可知，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 9．如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第 秒时， 边 恰好与边 平行 ． 【答案】5.5 或 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的角度关系及直角三角形的角度计算，解题的关键是确定和的初始倾斜角，分析旋转过程中倾斜角的变化规律，再根据平行线倾斜角相等或相差的条件列方程求解旋转时间． 以为x轴建立坐标系，确定与x轴的夹角（倾斜角）为；根据初始位置得出的初始倾斜角为；分析顺时针旋转度后倾斜角为；分别按同向平行（倾斜角相等）和反向平行（倾斜角相差列方程求，结合旋转速度计算时间，筛选旋转一周内的有效解． 【详解】解：设为x轴（点O为原点）， ∵，点D在上， ∴为x轴，即与垂直． 在中，，故与轴）的夹角为，即的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为． 在中，，，点D在上，初始时的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为（由题意可知）． 设旋转时间为t秒，三角形顺时针旋转的角度为度，旋转后的倾斜角为． 当与平行时，分两种情况： 同向平行（倾斜角相等）：，解得，则秒； 反向平行（倾斜角相差：，解得（等效于顺时针旋转，因旋转一周为，则秒． 两种情况均在旋转一周秒）内，均为有效解． 故答案为：或． 10．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转度（），得到，，的对应点分别为，．边，分别交直线于，，当是直角三角形时，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了旋转的性质，解含有的直角三角形，勾股定理解三角形．由图形旋转可以得到旋转前后边长和角度不变，结合勾股定理求解边长是解决本题的关键． 分类讨论这个直角三角形的直角为是直角和是直角这两种情况，由含有的直角三角形求解边长，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵是由绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴当时，如图， ， 即， 解得， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 当时，连接，如图， ∵， 在，， 综上，的值为4或． 故答案为：4或． 三、解答题 11．如图，在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理．先根据三角形的内角和定理求得，再根据旋转性质得到，然后根据等边对等角求得，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到． (1)求点P与点D之间的距离； (2)求线段的长． 【答案】(1)12 (2)13 【分析】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． （1）连接．根据等边三角形的判定和性质，旋转的性质得出是等边三角形，即可求解； （2）利用等边三角形的性质确定是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接． 是等边三角形， ． 是绕点B逆时针旋转得到的， ， ． ， 是等边三角形． ，即点P与点D之间的距离是12． （2），是等边三角形． ， 是直角三角形， ， ， ． 由（1）知． ． 13．如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转度后，得到，点D刚好落在边上． (1)求n的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转的性质，证明是等边三角形，即可求得旋转角n的度数； （2）易得是含角的直角三角形，则可求得． 【详解】（1）解：∵将绕点C按逆时针方向旋转n度后得到， ∴， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形性质，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可得，，则，则有，从而得证； （）由旋转性质可得，，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵是由旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：，理由： 由旋转的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． (1)如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)；见解析 (2)或 【分析】（1）①如图所示，延长到点G使，连接，证明，得到是等边三角形，得，，，，故和都是等腰三角形，得，故； ②延长至H，使，连接、．由，得，，，设，得，，故，由，得，，故； （2）根据题意分两种情况讨论，当旋转角为时，过A作由，，得，故，，故为等腰直角三角形，得到，由旋转得，故为等腰直角三角形，得，，勾股定理得，故，当旋转角为时，同理求解即可． 【详解】（1）①解：如图所示，延长到点G使，连接 ，， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ 由旋转的性质得 ，， 和都是等腰三角形， ， ； ②证明：延长至H，使，连接、 ， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识， 16．在等腰中，，且． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点在的斜边上，连． ①线段与的关系为________，并证明你的结论． ②求证：； （2）如图2，为上一点，，则的长为________． 【答案】（1）①，，证明见解析；②证明见解析：（2） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述知识、证明三角形全等是解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形性质和证明得到，再导角可证明，据此可得结论；②利用①的结论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可证得结论； （2）如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求出，进而可得，即可求解． 【详解】解：（1）①，，证明如下： ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在和， ， ， ∵在中，， ． ， ∴， ∴，； ②由（1）①可知，， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴在中，由勾股定理得，即， ； （2）如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 巧用旋转进行计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度 1 题型二、利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度 3 题型三、利用旋转的性质求几何图形的面积 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度 1.如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，则的度数是 ． 2.如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为 ． 3.如图，将△绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则的度数为 4.如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则 °． 题型二、利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度 5.如图，将绕点按顺时针方向旋转得到（即），连接．若，则 ． 6.如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长度是为 ． 7.如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 8.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接．则的长为 ． 题型三、利用旋转的性质求几何图形的面积 9.如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 10.如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点O按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积（    ） A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 11.将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    12.如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ． 一、单选题 1．如图，绕点旋转到，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．3 D．2 4．如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 5．如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（   ） A． B． C． D．4 二、填空题 6．如图，中，，将绕点O顺时针旋转得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为 ． 7．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则 ． 8．如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 ． 9．如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第 秒时， 边 恰好与边 平行 ． 10．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转度（），得到，，的对应点分别为，．边，分别交直线于，，当是直角三角形时，则 ． 三、解答题 11．如图，在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，求的度数． 12．如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到． (1)求点P与点D之间的距离； (2)求线段的长． 13．如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转度后，得到，点D刚好落在边上． (1)求n的值； (2)若，求的长． 14．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 15．如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． (1)如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； (2)当时，求的长． 16．在等腰中，，且． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点在的斜边上，连． ①线段与的关系为________，并证明你的结论． ②求证：； （2）如图2，为上一点，，则的长为________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$