专题03 几何图形中的旋转综合问题（专项训练）数学人教版五四制九年级上册

专题03 几何图形中的旋转综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、线段的旋转 1 题型二、直角三角形的旋转 4 题型三、等腰三角形的旋转 9 题型四、菱形的旋转 13 题型五、矩形的旋转 20 题型六、正方形的旋转 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段的旋转 1．如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)______°； (2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2．已知，点B，C分别在射线上，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作的垂线交射线于点 (1)如图1，当点D在射线上时，求证：C是的中点； (2)如图2，当点D在内部时，作，交射线于点F，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 题型二、直角三角形的旋转 3．综合与探究 【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究． 【探索发现】 （1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明． 【猜想证明】 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度． 4．综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 题型三、等腰三角形的旋转 5．【问题背景】如图①，在和中，，，，连接，． 【特例研究】 （1）当点D在上，时，与的数量关系为______； 【拓展探究】 （2）将绕点A旋转至图②位置，（1）中结论是否成立？说明理由； 【迁移应用】 （3）将绕点A旋转，当时，若，，______． 6．综合与实践 已知等边三角形中，点，分别在，边上，且，将绕点旋转，连接，． 【问题背景】 （1）如图①，当点，分别在，边上时，线段和的数量关系为________； 【问题迁移】 （2）当旋转到如图②的位置时，线段和的数量关系为________；和的数量关系为________，并说明理由； 【问题拓展】 （3）当点旋转到线段上时，如图③所示，若，，则的长为________； （4）若，，则在旋转的过程中，当时，的长为________． 题型四、菱形的旋转 7．如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 8.在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图2，当点P、E都在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若四边形为正方形，点P在对角线上，，交边于点E，连接交于点F．请求出的度数并直接写出线段之间的数量关系． 题型五、矩形的旋转 9．如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．    (1)证明：； (2)证明：的延长线经过点B． 10．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方法，体验数学的无穷魅力． 已知矩形，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． (1)操作发现： 如图1，当时，______，如图2，当时，______； (2)初步探究： 如图3，当边经过点时，求的长； (3)拓展延伸： 如图4，若，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积和的长．（结果用含的式子表示） 题型六、正方形的旋转 11．如图1，在正方形 和正方形 中，点 C在边 上，连接，． (1) 与 的位置关系是 ； (2)将正方形 绕点 D按顺时针方向旋转，使点 E 落在 边上，如图 2，连接 ，，与 有怎样的位置关系？并证明你的结论． 12．如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 一、单选题 1．如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将绕点A逆时旋转α（）得到（点B与点D对应），线段交线段于点O，当时，旋转角α为（   ） A． B． C． D． 3．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，点，将菱形绕点逆时针旋转得到四边形，使得点的对应点落在的延长线上，交于点，则点的横坐标为（    ） A．2 B． C． D． 5．如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形按顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点．当点落在矩形对角线的延长线上时，的面积为（    ） A． B． C． D．8 二、填空题 6．如图，在中，，，将此三角形绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别是，，若恰好经过点B，与相交于点P，则的度数是 ． 7．如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是 ． 8．如图，中，，于点E，将线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上，若，则___________． 9．如图，在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时， ；当是线段的三等分点时， ． 10．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①；②正方形绕点O旋转时，四边形面积随的长度变化而变化；③周长的最小值为；④其中所有正确结论的代号是 ． 三、解答题 11．如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般 (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明； (4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时的长度． 13．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，在纸片绕点A旋转过程中，当恰好平分时，与相交于点M，则______． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的角平分线的延长线上时，延长交于点F，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出所有满足条件的的面积；若不能，请说明理由． 14．【特例感知】 (1)如图①，为等腰直角三角形，将绕点A逆时针旋转得到，过点C作交直线于点F，直线与直线交于点G，则的形状为______三角形（不用证明）． 【类比探究】 (2)如图②，将背景图形“等腰直角三角形”换成“矩形”，其余条件均不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由． 【拓展应用】 (3)在（2）的条件下，将“旋转”换成“旋转（）”．请直接写出当是等腰三角形时的值．    15．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动． (1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请写出图中一个度数为的角：______； (2)【解决问题】如图2，小明将长方形绕点A顺时针旋转后，边与边交于点M，连接，若，，求矩形的面积； (3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点O时，连接，，若，，请求出的面积． 16．（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为：（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为． （2）【类比探究】 ①如图，矩形中，，，点是边的中点，，点在上，点在上，则四边形的面积为，； ②如图，若将（）中的“正方形”改为“，边长为的菱形”，其他条件不变，当时，四边形的面积是． ③如图，在②的条件下，当点在对角线上运动到且旋转至时，的长度为______． （3）【拓展延伸】 如图5，（为钝角），，是钝角，平分，，，，，点是上一点，那么的长为______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 几何图形中的旋转综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、线段的旋转 1 题型二、直角三角形的旋转 4 题型三、等腰三角形的旋转 9 题型四、菱形的旋转 13 题型五、矩形的旋转 20 题型六、正方形的旋转 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段的旋转 1．如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)______°； (2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，即可得到答案； （2）延长至点，使，连接，根据是的中位线得到，通过证明得到，从而得到． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴， 故答案为：； （2）解：如下图所示，延长至点，使，连接， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转和全等三角形的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，构造全等三角形． 2．已知，点B，C分别在射线上，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作的垂线交射线于点 (1)如图1，当点D在射线上时，求证：C是的中点； (2)如图2，当点D在内部时，作，交射线于点F，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）证明即可证明点C是的中点； （2）先证明≌，得到，再根据角度计算得到，从而得出和的数量关系． 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点C是的中点； （2）解：，理由如下： 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 题型二、直角三角形的旋转 3．综合与探究 【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究． 【探索发现】 （1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明． 【猜想证明】 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）或 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到； （2）根据全等三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图3，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴，C，B三点共线， 过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴C，B，三点共线， ∴过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】本题考查含锐角直角三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定，中位线，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）根据锐角直角三角形的性质可得，，即可解答； （2） ①先证明，继而证明，即可解答； ②根据题意可得和是的中位线，则， 即可解答； （3）分类讨论：①当顺时针旋转时位于；②当△DEF顺时针旋转时位于，逐一分析，即可解答． 【详解】解：(1)根据题意，由锐角直角三角形的性质可得： ， ． ∴四边形的周长为： ． (2)①证明：∵平移前，，A、F两点重合，C、D两点重合， ∴， ∴， ∵， ∴根据平移的性质，， ∴四边形为平行四边形． ②根据题意可得和是的中位线，则， 由平行线四边形的性质，四边形的周长为： ． 故答案为：9． (3)如图， 当顺时针旋转时位于；当△DEF顺时针旋转时位于． ①当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ． ， 为等边三角形，符合题意． ②当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ∴为等腰三角形，符合题意． 故旋转角为或． 题型三、等腰三角形的旋转 5．【问题背景】如图①，在和中，，，，连接，． 【特例研究】 （1）当点D在上，时，与的数量关系为______； 【拓展探究】 （2）将绕点A旋转至图②位置，（1）中结论是否成立？说明理由； 【迁移应用】 （3）将绕点A旋转，当时，若，，______． 【答案】（1）；（2）成立；理由见解析；（3） 【分析】（1）根据，，得出，即可得出答案； （2）证明，得出即可； （3）过点A作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，点D在上， ∴点E在上， ∵，， ∴， 即； （2）（1）中的结论成立；理由如下： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴； （3）过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 6．综合与实践 已知等边三角形中，点，分别在，边上，且，将绕点旋转，连接，． 【问题背景】 （1）如图①，当点，分别在，边上时，线段和的数量关系为________； 【问题迁移】 （2）当旋转到如图②的位置时，线段和的数量关系为________；和的数量关系为________，并说明理由； 【问题拓展】 （3）当点旋转到线段上时，如图③所示，若，，则的长为________； （4）若，，则在旋转的过程中，当时，的长为________． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）． 【分析】（1）直接根据等边三角形的定义及线段和差求解即可； （2）证明（）即可得解； （3）过点作于，由（）得，从而证明是等边三角形，，由勾股定理得，，从而即可得解； （4）过点作于，求出，，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴即， 故答案为：； （2），，理由如下： ∵是等边三角形，将绕点旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴（） ∴，； （3）过点作于， 由（2）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）如图，过点作于， 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 题型四、菱形的旋转 7．如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①垂直，见解析；②或 (3)或 【分析】（1）由菱形的性质可得：，，，，，进而得到：，推出，，即可求解； （2）①可得出，从而得出，从而，进一步得出结论； ②当时，可得出，从而得出，，当时，，从而； （3）当时，点在的上方时，设延长线交于，则，可得出，，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，当点在下方时，同样得出结果；当时，根据勾股定理得出结果． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，，，， ， ，， ， ； （2）①，理由如下： 如图1，由（1）知，， 菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形， ， ， ， 四边形和四边形是菱形， ，， ； ②如图2， 当时， ， 由旋转性质得，， ， ，， 当时图中)， 同理可得，， ， 综上所述：或； （3）如图2， 当时，设延长线交于， 则， ，， ， ， ， 当时， 则， 当时， ， 综上所述：的长为或． 8.在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图2，当点P、E都在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若四边形为正方形，点P在对角线上，，交边于点E，连接交于点F．请求出的度数并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)（1）的结论仍然成立，理由见解析 (3)， 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）先根据菱形和等边三角形的性质得出，结合，证明则，因为以及，所以，即可作答． （2）先根据菱形的性质，得出和都是等边三角形，运用角的运算，得证明则，即则即； （3）因为正方形，所以平分，证明即为等腰直角三角形，然后运用旋转性质得出故，，通过角的换算，即，证明，所以，最后在中，，即可作答． 【详解】（1）解：如图：连接，延长交于点F， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴， ∵， ∴， 则， 即； 故答案为：， （2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图：连接，设与相交于点H ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴和都是等边三角形， ∴， 则 ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 则 即； （3）解：如图所示：过点P分别作，垂足分别是， ∵四边形为正方形， ∴平分 ∴，且 又∵， ∴ ∴ ∴，即为等腰直角三角形， ∴ 把绕点A逆时针转，与重合，点P的对应点是 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在中， ∴ 题型五、矩形的旋转 9．如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．    (1)证明：； (2)证明：的延长线经过点B． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图：连接，由旋转的性质可得，然后根据矩形的性质和等腰三角形即可证明结论； （2）如图：延长交于点，由旋转的性质可得、，矩形的性质可得、．再证可得，最后根据三角形的内角和定理和等量代换即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， 由旋转性质得， 又∵在矩形中，， ∴； （2）解：延长交于点，    由旋转性质得，，， 在矩形中，，， 由（1）得， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴点与B重合． ∴的延长线经过点B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方法，体验数学的无穷魅力． 已知矩形，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． (1)操作发现： 如图1，当时，______，如图2，当时，______； (2)初步探究： 如图3，当边经过点时，求的长； (3)拓展延伸： 如图4，若，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积和的长．（结果用含的式子表示） 【答案】(1)， (2) (3)四边形的面积为；的长为 【分析】（1）根据矩形，旋转的性质，当时，是等边三角形，当时，点共线，运用勾股定理即可求解； （2）根据旋转得到，，由勾股定理得到，则，在中由勾股定理即可求解； （3）根据题意可证，，结合面积的计算得到四边形的面积为；由勾股定理得到，由等面积法得到，根据，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 将矩形绕点按逆时针方向旋转， ∴， ∵， ∴点共线， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵旋转， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，； （3）解：如图所示，连接， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形， ∴， ∵点落在的延长线上， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 如图所示，连接交于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，四边形的面积为；的长为． 题型六、正方形的旋转 11．如图1，在正方形 和正方形 中，点 C在边 上，连接，． (1) 与 的位置关系是 ； (2)将正方形 绕点 D按顺时针方向旋转，使点 E 落在 边上，如图 2，连接 ，，与 有怎样的位置关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定和性质．需要注意的是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． （1）观察图形，、的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形、都是正方形，证明，则，由于、互余，所以、互余，由此可得． （2）参照（1）题的解题方法，可证，得，由于、互余，而5、互余，那么；由图知，即，由此得证． 【详解】（1）解：； 证明：延长交于点， 在正方形与正方形中，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：； 证明：延长和相交于点， 在正方形和正方形中，， ∴； ∴， ∴； 又 ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 【答案】（1）（2）成立，见解析（3）或 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得； （3）分点落在上，点落在延长线上，两种情况讨论． 【详解】解：（1）∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立， 理由如下：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点落在上时，过点G作于H， ∵F落在边上， ∴， ∵，， 在中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点落在延长线上时，过点G作交延长线与于H， 同理得：， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 一、单选题 1．如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作辅助线，利用旋转的性质，找到对应线段的关系，从而确定点 的坐标．本题主要考查了坐标与图形变化 - 旋转，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ． 线段 绕点 逆时针旋转 ， ，， ，，， ， ， ，， ，， ，， ， ． 故选：D． 2．如图，在中，，将绕点A逆时旋转α（）得到（点B与点D对应），线段交线段于点O，当时，旋转角α为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质即可求解． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∵， ∴， 故， 故选：C． 3．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长是， 故选：D． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，点，将菱形绕点逆时针旋转得到四边形，使得点的对应点落在的延长线上，交于点，则点的横坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质、菱形的性质是解题的关键．求出．设与轴交于点，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵点， ∴． 由旋转的性质，得， ． ， ， ． 设与轴交于点， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴点的横坐标为， 故选 D． 5．如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形按顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点．当点落在矩形对角线的延长线上时，的面积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，由矩形的性质得，则，由，求得，则，由旋转得，则，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 将矩形旋转得到矩形，点在的延长线上， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 6．如图，在中，，，将此三角形绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别是，，若恰好经过点B，与相交于点P，则的度数是 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得： ，从而有 ，，然后由三角形的内角和可求出，进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴，， 在 中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 7．如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，利用菱形的性质和旋转的性质求出，，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合 进行求解即可． 【详解】解：连接，作于点，则， ∴，，， ∴， 将菱形绕点顺时针旋转得到菱形， ∴，，， ，，， ， ∴，， 点在上，， ∴，， ， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是， 故答案为：． 8．如图，中，，于点E，将线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上，若，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适当的辅助线是解题的关键． 根据题意求出长，由旋转得长，过F点作，勾股定理得长，即可求得长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 由旋转得， ， 过F点作交于H，如图： ， ， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 9．如图，在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时， ；当是线段的三等分点时， ． 【答案】 或 【分析】当落在线段上时，，在中利用勾股定理进行求解即可，当是线段的三等分点时，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵旋转， ∴， 当落在线段上时，如图，则， 在中，， 即：； 当是线段的三等分点时，分两种情况： ①当时，设，则：，， 连接，过点作，则：（平行线间的距离处处相等）， ∴，即：， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ②当时，设，则：， 同法可得：， 在中，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 综上：或； 故答案为：；或． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的运算，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 10．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①；②正方形绕点O旋转时，四边形面积随的长度变化而变化；③周长的最小值为；④其中所有正确结论的代号是 ． 【答案】①③ 【分析】①由四边形和是正方形可知，易证得≌，则可得为等腰直角三角形；②由①易证得，则可得出结论；③，而的最小值为，故可得结论③正确；④由和，即可得结论． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故①正确； ②由①得≌ ， 故②错误； ③由①可知， 周长， 为定值，则最小时的周长最小， 当时最小，的周长最小， 此时， 的周长最小值= 故③正确， ④在中，，，， ， 又 ，故④错误． 故答案为①③． 【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键． 三、解答题 11．如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键； （1）由旋转的性质得到，，由正方形的性质，，，进而得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，推出，继而根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 12．【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般 (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明； (4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时的长度． 【答案】(1)正方形 (2) (3)，证明见解析 (4)或8 【分析】（1）可推出，，从而得四边形是正方形； （2）作于，可推出，从而，根据勾股定理得出，求得，进一步得出结果； （3）利用证明即可； （4）设，则，根据旋转的性质得：，分为：当点E在上时，根据勾股定理可得：，当点在的延长线上时，设，则，可得：，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图①， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将边绕点A逆时针旋转 得到线段，过点E作， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， 故答案为：正方形； （2）解：如答题图①，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明如下： 由已知可得， 在和中， ， ； （4）解：， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， ， 当点在线段上时，如答题图② 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当点在的延长线上时，如答题图③， 同理， 设，则， ， 解得：， 综上所述，或8． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 13．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，在纸片绕点A旋转过程中，当恰好平分时，与相交于点M，则______． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的角平分线的延长线上时，延长交于点F，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出所有满足条件的的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）1；（2）；（3）或或 【分析】（1）根据题意得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． （2）过点M作于点N，根据题意证明是等腰直角三角形，设，则，勾股定理求得，得出，即可求解； （3）证明，分两种情况讨论，①当，②，分别画出图形，根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1）∵，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：1． （2）解：如图所示，过点M作于点N， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵，，， ∴， ∴，， ①当时， ∵， ∴A、D、C共线， 当D在上时，，如图， ∴的面积为； 如图所示，当D在的延长线上，， ∴的面积为； ②如图所示，当， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为． 综上所述，所有满足条件的的面积为或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．【特例感知】 (1)如图①，为等腰直角三角形，将绕点A逆时针旋转得到，过点C作交直线于点F，直线与直线交于点G，则的形状为______三角形（不用证明）． 【类比探究】 (2)如图②，将背景图形“等腰直角三角形”换成“矩形”，其余条件均不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由． 【拓展应用】 (3)在（2）的条件下，将“旋转”换成“旋转（）”．请直接写出当是等腰三角形时的值．    【答案】(1)等腰三角形 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用旋转变换的性质可得，，，，进而求证是等边三角形，推出，即可证明； （2）同理证得是等边三角形，推出，即可证明； （3）分两种情况，即当时和当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形， ∴，， 由旋转可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 由旋转可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）当时，如图，    由旋转可得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴， 即， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，如图，    同理可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴， 即， 解得； 综上所述，当时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查几何变换，涉及等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，矩形的性质，旋转变换的性质，三角形的外角性质，关键是根据旋转变换的性质解答． 15．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动． (1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请写出图中一个度数为的角：______； (2)【解决问题】如图2，小明将长方形绕点A顺时针旋转后，边与边交于点M，连接，若，，求矩形的面积； (3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点O时，连接，，若，，请求出的面积． 【答案】(1)或 (2) (3)的面积是或 【分析】（1）可推出，从而得出结果； （2）根据旋转可得，即可得到，进而得出，然后利用矩形的面积解答即可； （3）当线段与交于点时，作于，可证得从而，，进而得出，从而得出，进而得出，求出三角形的面积；当的延长线交于点时，同样得方法得出结果． 【详解】（1）解：∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：或； （2）解：∵长方形绕点A顺时针旋转， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图， 当线段与交于点时，作于， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ， ∴， ， ， ， ； 如图， 当的延长线交于点时， 由上知：， ， ， 综上所述：的面积是或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 16．（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为：（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为． （2）【类比探究】 ①如图，矩形中，，，点是边的中点，，点在上，点在上，则四边形的面积为，； ②如图，若将（）中的“正方形”改为“，边长为的菱形”，其他条件不变，当时，四边形的面积是． ③如图，在②的条件下，当点在对角线上运动到且旋转至时，的长度为______． （3）【拓展延伸】 如图5，（为钝角），，是钝角，平分，，，，，点是上一点，那么的长为______． 【答案】（1）1，2；（2）①4，4；②；③4或2；（3） 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题； ②过作交于点，证是等边三角形和是等边三角形，得，，再证，得，则，然后证，即可解决问题； ③连接交于点，分两种情况，、点在上时，、点在上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可； （3）过作于点，于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，求出，然后证，得，同理，得，即可解决问题． 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为2， ，，，，，， ， ， ， ， ，， ，； 小航：，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形，边长为2， ，， ， ， 是的中位线， ， 同理：， ， ，四边形是正方形， ，， ， ； 故答案为：1，2； （2）①如图2，过点作于点， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，，， ，点是边的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ，， ，， 故答案为：4，4； ②当时，四边形的面积还是一个定值，理由如下： 如图3，过点作交于点， 四边形是菱形，边长为8，， ，，，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即当时，四边形的面积为； ③连接交于点，分两种情况 、点在上时，如图4， 四边形是菱形， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 过点作交于点， 同②得：都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； 、点在上时，如图，过点作交于点， 同理得：，都是等边三角形，， ，； 综上所述，的长为4或2， 故答案为：4或2； （3）如图5，过点作于点，于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 为钝角），， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$