精品解析：福建省福州第三中学晋安校区2025-2026学年九年级上学期开门考数学试题

6学科网 命组卷网 2025-2026学年第一学期开学适应性练习 九年级 数学试卷 (满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的， 1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（) 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对 各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形就叫做中心对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形叫做轴对称图形. 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意： B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意： C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意： D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A. 2一元二次方程t+x-3=0。 的常数项是() A.1 B~1 C.3 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为+x+C=0(a≠0），其中C叫做常数项，解答即可。 第1页/共31页 学科网 命组卷网 本思考查了一元二次方程的一般形式r+bx+c=0(α≠0)及其相关概念，熟练掌程定义是解题的关键 【详解】解：由x+x-3=0 ∴.一元二次方程的常数项是-3， 故选：D 3.如图，将△ABC绕点A旋转后得△AEF,则下列结论中，不正确的是() A.AC=AF B.∠FAB=∠EAB C.EF=BC D.∠EAB=∠FAC 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的 性质.全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等. 根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可. 【详解】解：，将△ABC绕点A旋转后得△AEF, .:△ABC≌AAEF AC=AF EF=BC 故A选项正确，不符合题意； ,△ABC≌△AEF, EF=BC 故C选项正确，不符合题意； ,△ABC≌AAEF, 第2页/共31页 命学科网命组卷网 ∠EAF=∠CAB :∠BAF-∠FAB=∠CAB-∠FAB ∠EAB=∠CAF ,即 故D选项正确，不符合题意： 由己知条件无法证明出∠FAB=∠EAB, 故B选项错误，符合题意， 故选：B 4.下列关于平行四边形的说法正确的是() A.平行四边形对角线相等 B.平行四边形邻边相等 C.平行四边形是中心对称图形 D.平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质.根据平行四边形的性质即可求解. 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故该选项不符合题意； B、平行四边形邻边不一定相等，故该选项不符合题意： C、平行四边形是中心对称图形，故该选项符合题意： D、平行四边形不一定是轴对称图形，故该选项不符合题意， 故选：C 5.将抛物线y=(x-2-1平移，使它平移后图象的顶点为(2,4)，则需将该抛物线《) A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位 C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键.根据题意，原来的项点坐标为 (2,),平移后顶点坐标为(2,4)，且2-2=0,4-（1)=5 根据平移规律解答即可。 【详解】解：根据慰意，原来的顶点坐标为2，-)，平移后顶点坐标为(2,4)，且2-2=0,4-()=5， 故向上平移5个单位， 第3页/共31页 6学科网6组卷网 故选：A 6.如果某型号飞机降落后滑行的距离$（单位：米）关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是 s=54t 32 2,则该飞机着陆后滑行最长时间为()秒. A.18 B.9 C.6 D3.6 【答案】A 【解析】 3 【分析】本避考查了二次函数在实际问题中的应用。将-54 化为顶点式，根据二次函数的性质可 得答案. =54-32=-30 (t-18)2+486 【详解】解： 2 2 <0,抛物线开口向下， “当1=18时，5有最大值，此时大=486 ,飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值， .t=18. 故选：A. 7.如图，在一块长30m,宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的 蔬菜，使种植蔬菜的面积为 468m2 设道路的宽为m,可列方程是() 第4页/共31页 学科网命组卷网 A.(30-x)(20-2x)=468 B.20×30-30x-2×20x+2x2=468 c(30-2x)(20-x)=468 D.20×30-30x-20x=468 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程.设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为 (30-2x)m 宽为(20-)m的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为468m',即可得出关 于x的一元二次方程，此题得解。 【详解】解：设道路的宽度为m,则六块菜地可合成长为(30-2)m,宽为(20-x)m的矩形， 根据题意得： (30-2x)(20-x)=468 故选：C 8一次函数y=+k与二次函数y=心的图象如图所示，那么二次函数V=a-- 的图象可能为( 第5页/共31页 6学科网 命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数y=心的图象知：开口向上，a>0,一次函数y=c+大图象可知k>0,然后根 据二次函数的性质即可得到结论. 【详解】解：由=次商数'=四的图象知：开口向上，Q>0,一次爵数y=+k图象可知太>0。 -k :二次函数y=2-:-k的图象开口向上，对称轴x=2a在y轴的右侧，交y轴的负半轴， B选项正确， 故选：B, 【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的 关键. 9.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AB=4,将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE,连 接CE,则CE等于() A.5 B.6 C2+2V3 D.2+2V2 【答案】C 【解析】 【分析】首先考虑到CE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求CE,可能需要构造直角三角形. 由旋转的性质可知，AB=AE,∠BAE-60°，故△ABE是等边三角形，可证明△ACE与△CBE全等，可得 到∠ACE-45°，∠AEC-30°，再证△AFC和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解. 【详解】连结BE,设CE与AB相交于点F,如下图所示， 第6页/共31页 6学科网组卷网 C B .Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90° .∠CBA=∠BAC-45° ,Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合， ∴.∠BAC-∠DAE-45°，AB=AE 又，旋转角为60 .∠CAD=∠BAE=60°， ∴.△ABE是等边三角形 ..AB=BE=AE-4 在△ACE与△CBE中， CA-BC AE=BE CE=CE ∴.△ACE≌△CBE(SSS) ∴.∠ACE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEC-30° .在△ACF中，∠CFA=180°.45°-45=90° .∠AFC=∠AFE=90° ∴.CF⊥AB,,CA=CB,∠ACB=90, ∴.CF=AF=FB=2, 又在Rt△AFE中，∠AEF=30°， FE3AR-23 CE-CP+FE-2+2V3 故选C. 【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题. 第7页/共31页 命学科网命组卷网 10.如图，已知二次函数y=x+bx+c(0)的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在 (0,-2)和(0，-1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1.下列结论：①bc>0;②4a+2b 1 2 +c>0,③4c.F>8a,④3<a<3,⑥b>c. 其中含所有正确结论的选项是() A.①②③ B.②③④ C.①④⑤ D.①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到 函数图象经过(3，O),则得②的判断；根据交点及对称轴、根的判别式即可判断③；根据图象经过 (-1,0)可得到a、b、c之间的关系，从而对⑤作判断；从图象与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-1) 之间可以判断c的大小得出④的正误. 【详解】解：①函数图象开口向上， ∴.a>0: ,对称轴在y轴右侧 ∴.ab异号， ,抛物线与y轴交点在y轴负半轴， .c<0, ∴.abc>0, 故①正确： ②，图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线=1， ,图象与x轴的另一个交点为(3,0)， 第8页/共31页 6学科网可组卷网 .当x=2时，y<0 ∴.4at2b+c<0, 故②错误； ③，图象与x轴交于点A（-1,0), 当=-1时，y=（-旷a+b×(-)+co, ..a-b+c=0,ab-c,c-b-a, ,对称轴为直线x=1, b .2a=1,即b-2a, ∴.c=b-F（-2a)-F-3a, :4mr-b2=4ar（-3m.（-2a°-16a2<0. .∵8a>0, ..4ac )<8a,故③错误： ④，图象与y轴的交点B在(0，-2)和(0,1)之间， ∴.-2<c<-1 b-1 .-2a .b=-2a, 函数图象经过(-1,0)， ∴.a-btc=0, ∴.c=3a, .-2<-3a<-1, 12 ∴.3<a<3;故④正确 ⑤函数图象经过(-1,0)， ∴.4-btc=0, 第9页/共31页 6学科网6组卷网 ∴.b-c=a, .a>0, .b-c>0,即b>C: 故⑤正确： 故选C 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系.解题关键是注意掌握数形结合思想的应用. 二、填空题 A5,1) 11.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是 【答案】 (-5,-1) 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握该特征是解题的关键.根据关于原点对 称的点的坐标特征来求解即可. 【详解】解：·在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数， :点A(5,1关于原点对称的点的横坐标为5，纵坐标为-1， 故答案为： (-5,-1) 12.“科学用眼， 保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：则视力 的众数是 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 3 6 9 12 8 5 【答案】4.7 【解析】 【分析】本题考查了众数.根据众数的定义即可求解.众数：在一组数据中出现次数最多的数 【详解】解：根据表格可知：4.7出现的次数最多，则视力的众数是4.7， 故答案为：4.7. 13.如图，在矩形ABCD中，AC=10,E,F分别是BC,CD的中点，则EF= 第10页/共31页 6学科网命组卷网 D 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质 连接BD,根据矩形的性质得AC=BD=10,然后利用三角形中位线定理即可解决问题. 【详解】解：如图，连接BD ,四边形ABCD是矩形， .AC=BD=10」 :E,F分别是BC,CD的中点， EF=1BD-5 2 故答案为：5 14.已知点4(-3，)和B(1,)都在抛物线y=2(x--2上，那么片和2的大小关系为片2 (填“>”或“<”或“=”)， 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据图象上点的坐标适合解析式将点A,B坐标代入解 析式求解， 【详解1解：将4-3，)，B)代入y=2x--2得=30，=-2， 第11页/共31页 6学科网命组卷网 .>y2 故答案为：>. 15.已知m、”是方程-2x-1=0的两个实数根，那么m+- 【答案】14 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系.根据根与系数的关系得出m+n=2,mn=-1,根据 (m+n°=m+3mn+3mm2+n,整体代入计算即可求解. 【详解】解：：m、”是方程-2x-1=0 的两个实数根， ∴.m+n=2,mn=-1, :(m+n)=23=8 :.m'+3mn+3mm2+2=8 :m+m=8-3mn(m+m）=8-3×(-1)x2=8+6=14 故答案为：14. 16如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=V2,BC=2V5,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到 △DEC ,连接AD,BE,直线AD,BE相交于点F,连接CF,在旋转过程中，线段CF长度的范围为 第12页/供31页 6学科网组卷网 B 【答案】0≤CF≤V10 【解析】 【分析】取4B的中点H,连接CH、阻，设BC,DP交于点G,在△MBC中，由勾股定理得到AB=V0 ,由旋转可知：△DCE≌△ACB,从而∠DCA=LBCE,∠ADC-LBEC,由∠DGC-LEGF,可得 V10 ∠AFB=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=C:)AB2，在△FCH中，当 RCH在一条直线上时，CF有最大值为V 0,再求出CP的最小值即可. 【详解】解：取AB的中点H,连接CH、FH,设EC,DF交于点G, 在△ABC中，∠4CB=90,ACV2,BC=2V2 ..AB=AC2+BC2=10 由旋转可知：△DCE2△ACB, ∴.∠DCE=∠ACB,DC=AC,CE=CB ∴.∠DCA=LBCE, ∠ADC-2(180°-∠ACD),∠BEC2(180°∠BCE), .∠ADC=∠BEC, ,∠DGC=LEGF, 第13页/供31页 6学科网 命组卷网 ∴.∠DCG=∠EFG-90°， ∴.∠AFB=90°， H是AB的中点， ∴.F=2AB, ,∠ACB=90°， ∴.CH=2AB, 10 :.FH-CH-74B-2 在△FCH中，FH+CHCF, 0,0-o 当FC、H在一条直线上时，CF有最大值22 六线段CP的最大值为V0 如图所示，当△ABC绕点C逆时针旋转180度时，直线AD与直线BE的交点即为点C,则此时C、F重合， 即此时CF=O, :0≤CFsI0 0≤CF≤V10 故答案为： E G H B D' 第14页/共31页 命学科网命组卷网 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解决本题的 关键是掌握旋转的性质. 三、解答题 17.解方程： (1)(2x+3)2-25=0 (2)x2-2x-7=0 【答案】(1)=1为2=-4 (2)=22+1.为2=-22+1 【解析】 【分析】(1)方程移项后，利用平方根定义开方即可求出解： (2)方程移项后，利用完全平方公式配方，计算即可求出解. 【小问1详解】 解：方程移项得： (2x+3)2=25 开方得：2x+3=5或2x+3=-5, 解得：=152=-4 【小问2详解】 x2-2x=7 解：方程移项得： 配方得：x2-2x+1=7+1,即：(x-1=8 开方得：x-1=2W2或x-1=-2V2 解得：￥=22+1.x=-22+1 【点睛】此题考查了解一元二次方程一一配方法及直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键. 18如图，在Rt△MBC中，∠C=90°，将△4BC绕若点B道时针旅转得到△FBE,点C,A, 的对应点 第15页/供31页 6学科网组卷网 E,F 分别为 点E落在BA上，连接MF.若∠B1C=36°，求∠B1F的度数 B A 【答案】∠BAF=63° 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理.根据旋转的性质，推出 ∠BFE=36°∠EBF=54°△BAF ∠BAF 是等腰三角形，进而求出 的度数 【详解】解：：将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE, ∴.∠C=∠BEF∠CAB=∠EFB∠CBA=∠EBF AB=BF .∠C=90° ∴.∠BAC+∠CBA=90° .∠BAC=36° .∠CBA=54°， .∠BFE=36°∠EBF=54° AB=BF, ∴.∠BAF=∠BFA, .∠ABF=54° :∠BAF=∠BFA=180°-54)=630 第16页供31页 6学科网命组卷网 19已知关于x的一元二次方程-3x+m-1=0 (1)如果方程的根的判别式的值为1，求的值. (2)如果方程有实数根，求的取值范围. 【答案】(1)m=3 13 (2) m≤ 4 【解析】 【分折】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程+r+C=0(a≠0)的根与 △=2-4c有如下关系：①△>0，方程有两个不相等的实数根， △=0 ,方程有两个相等的实数根， ③△<0，方程没有实数根. (1)根据一元二次方程根的判别式结合题意可得△=1，求解即可： (2)由题意可得△≥0，计算即可得解. 【小问1详解】 解：根据题意： 4=1,即(-32-4×1×(m-1）=1, 解得：m=3; 【小问2详解】 解：由题意可得△≥0，即(-3-4×1×(m-)≥0 13 m≤ 解得： 4. 20.如图，在平面直角坐标系中，已知△4BC的三个顶点的坐标分别为1(4,1)），B(,-),C(-3,2) 第17页/供31页 6学科网组卷网 5-4-32 1234.5x B -1------- △ABG与△ABC 关于原点成中心对称，画出 △4BC (1) (2)求△ABC的面积. 【答案】(1) 解：如图所示， AB,C即为所求作： 3 (2) 2.5 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中作图，解题关键是明确中心对称的性质， (4画出4(-4，)，B(-,一)，C-3,2)=点关于原点0的对称点，顺次连接即可： (2)用长方形面积减去三个三角形面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△1Bc的面积=3x32×3×1x1-方×3x2=25】 第18页/共31页 学科网命组卷网 21.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=m-(a+4)x+3经过点2，-3)， (1)求此抛物线的对称轴： (2)当1<x<5时，写出y的取值范围； 5 x= 【答案】(1)直线2： 13 (2) 4y<3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征. 熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键. (1)把己知点的坐标代入y=-(a+4)x+3中求出a的值，从而得到抛物线解折式，再利用配方法 5)2 13 把一般式配成顶点式y= x-2) 4,即可求解； 13 (2)根据二次函数的性质得到当2，y有最小值4，然后计算出自变量为1和5所对应的函数值， 从而得到y的取值范围. 【小问1详解】 解：把(2，-3)代入y=x-(a+4)x+3得4a-2(a+4)+3=-3. 解得a=1, 所以抛物线解析式为y=r-5x+3 :此抛物线的对称轴为直线”一2 第19页/供31页 学科网命组卷网 【小问2详解】 解：y=2-5x+3= 52 13 2-4,且a=1>0 13 .2,y有最小值4， 当七s1 y=1-5+3=-1 时， ； 当=5时，=25-25+3=3 13 ≤y<3 ∴.当1<x<5时，y的取值范围为4 22.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,点E为BD上一点. (I)在边BC的下方求作一点F,使得EF∥CD且EF=CD;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹) (2)在(1)的条件下，连接AE、BF、CF.若∠ABE+∠BFC=180°，求证：四边形ABFE是菱 形. 【答案】(1) 图形如图所示： D (2) 证明：，四边形ABCD是平行四边形， 第20页/供31页 6学科网命组卷网 AB=CD ABIICD ADIIBC .∠ADE=∠DBC, ,EF=CD.EF∥CD. .AB=EF,AB∥EF, 四边形ABFE是平行四边形， .AE=BF,AE∥BF, .∠AEB=∠EBF, .·∠AEB=∠EAD+∠ADE,∠EBF=∠FBC+∠DBC, .∠EAD=∠FBC. :△EAD≌aFBC(SAS) .∠AED=∠BFC, .∠ABE+∠BFC=180°， .∠ABE+∠AED=180°， .∠AEB+∠AED=180°，∠AEB+∠AED=180°， .∠ABE=∠AEB, .AB=AE, ∴.四边形ABFE是菱形 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关 键是掌握相关知识解决问题 (I)在DB的下方作∠BEF=∠BDC,，且EF=CD,连接CF即可： (2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可. 【小问1详解】 略 第21页/供31页 6学科网 命组卷网 【小问2详解】 略 23.某商家销售一种糕点，每盒进价为40元.在销售过程中发现，周销量y（盒)与销售单价x（元)之 间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x 60 65 70 (元) 周销量y(盒) 240 210 180 (1)求y关于x的函数表达式. (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得多少利润. 【答案】(1)y=-6x+600 (2)当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 (3)每周至少可获得3000元的利润. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用： (1)用待定系数法求解即可； (2)设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润； (3)由(2)每周出售这种糕点所获利润P=-6(x-70+5400,利用二次函数的性质结合自变量的取 值范围即可解答 【小问1详解】 y=kx+b 解：由题意，设y关于x的函数表达式为 60k+b=240 .65k+b=210. [k=-6 .b=600. 第22页/供31页 学科网命组卷网 y关于x的函数表达式为y=-6x+600 【小问2详解】 解：设销售利润为W元， W=(x-40)(-6x+600) 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润 W=-6x2+840x-24000=-6(x-70)+5400 .-6<0. 当x=70时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元： 【小问3详解】 解：由(2)每周出售这种糕点所获利润W=-6(x-70)'+5400 又.50≤x≤70」 ∴当x=50时，所获利润最小为3000元；当x=70时，所获利润最大为5400元. ∴销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得3000元的利润. 24在平面直角坐标系x0y中，抛物线G：=r2r+2m2-/ 4的顶点为A. (1)当m=-1时，求A的坐标： (2②)当”变化时，点小始装在抛物线C上，C的顶点为B,点°关于点P的对称点为￡，经过点E且 C2 平行于x轴的直线为I,AM⊥l于点M. ①求证：AO=AM: ②当m=l时，若P(,%)是抛物线G上的动点，在直线x=1上是否存在定点F,使得%-PF为定值？ 第23页/共31页 命学科网命组卷网 若存在，求出点F的坐标及该定值；若不存在，说明理由， 答案】①当m=一时，顶点4的坐标为 g0黄：范线G的深布式为=-2mx+2m-子(x-m+m2-. “当”变化时，点1始终在抛物线C上， 抛物线C2的解析式为y=x2-号 a-4. “点0.E关于点对称，即P为0 B中点， a 表括为段定理，40=m+m--m+=m+} ·直线过点且平行于轴， 1 直线：少 2, AM⊥1M 于点 m 第24页/供31页 6学科网 组卷网 ∴.AO=AM C, B ②直线x=1上存在点F(,,使得。-PF为定值2 【解析】 【分析】(1)将m=-1代入抛物线解析式，配方后即可得到顶点A的坐标； (2)①先表示出顶点A的坐标，根据题意可得出抛物线C?的解析式，从而得出B点坐标 E点坐标，由 直线I过点E且平行于x轴得出M点坐标，表示出AO、AM即可得证； ②先表示出当m=l时抛物线S的解析式，根据抛物线C与抛物线S的平移规律推出点F,过P作直线 1 I的垂线，垂足为N,交x轴于点H,结合①中的结论A0=AM即可证-PF为定值2. 【小问1详解】 解：当m=-1时， 抛物线C的解析式为 =2+2x+++星 4 所以抛物线C的顶点A的坐标为 【小问2详解】 第25页/供31页 6学科网列组卷网 解：①略 ②直线x=1上存在点F(,)）,使得人-PF为定值2 当m=1,超商线G的群折式为=(-广+经. 0如抛物线G。y=2 4,将抛物线C2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度即可得到抛 物线S, 对应的，将点0向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点下(1，)， 1 1 将直线1：少= 2向上平移1个单位长度得到直线：y=2 2, 过P作直线'的垂线，垂足为N,交x轴于点H, 由①，AO=AM, 即抛物线C,上任一点到点0的距离等于到直线1：y=一2的距离， :点P(%)在G上， .PF=PN 。-PF=o-PW=NH=) 即直线x=1上存在点F() 使得%-PF为定值2 第26页/供31页 6学科网6组卷网 【点睛】本题考查的知识点是把y=x+bx+ 化成顶点式、二次函数综合、勾股定理，解题关键是熟练 掌握二次函数的相关知识点， 25.在直角三角形4BC中， ∠BAC=90°，∠ABC=30 ,将直角三角形ABC终点4顺时针旋转 a(0°<a<180）) 点B,C的对应点分别为点B,C,连接BB,CC,M,N分别为BB,CC的中点， AM,AN 连接 B M B B 图1 图2 (）如图1，当BC恰好经过点C时，求证： B'M IAN (2)当BB'恰好经过点C时，试猜想BM与AW的位置关系和数量关系，并说明理由. (3)当BB恰好经过点C时，连接BC',若AC=1,则线段BC'= 【答案】(1) 证明：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°， .∠ACB=90°-∠ABC=90°-30°=60° 第27页/供31页 6学科网命组卷网 :将直角三角形ABC绕点A顺时针旋转a(0°<a<180),点B,C的对应点分别为点B,C,BC 恰好经过点C, .∠BAB'=∠CAC',∠AB'C=∠ABC=30°，∠C'=∠ACB=60°，AC'=AC,AB=AB, :△1CC,△1B'B是等边三角形， :点M,N分别为BB,CC的中点， ∠BAM=∠BAB=x60°=30 AM⊥BB, 2 ,AN⊥B'C', ∴.∠AMB'=∠ANB'=90°， .∠NAB'=90°-∠AB'N=90°-30°=60°， ∴.∠MAN=∠MAB'+∠NAB'=30°+60°=90°， .四边形MANB'是矩形， B'MI‖AN (2) 解：BM与AN。 B'MAN 的位置关系是 ，数量关系是BM=3AW 理由：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°， .∠ACB=90°-∠ABC=90°-30°=60° :将直角三角形ABC绕点A顺时针旋转a(0°<a<180),点B,C的对应点分别为点B,C,BB 恰好经过点C, 第28页/供31页 6学科网列组卷网 .∠BAB'=∠CAC',AC'=AC,AB'=AB, .∠AB'B=∠ABB'=30°. .∠BAB'=180°-∠AB'B-∠ABB=180°-30°-30°=120°， .∠CAC=∠BAB'=120°. :点M,N分别为BB,CC的中点， MBAM-BA120=60 N1cC,∠CMW=)∠CMC=x 2 ×120°=60° Γ2 CC=2CN .∠AMC=∠ANC=90°. 在△ACB中，∠CAB'=∠ACB-∠AB'C=60°-30°=30°. .∠NAB'=∠CAN-∠CAB'=60°-30°=30°， .∠MAN=∠MAB'+∠NAB'=60°+30°=90°， ∴.四边形MANC是矩形， .B'MI‖ANMC=ANCN=AM∠MCN=90° .∠CAB'=∠CBA=30°， ..CA=CB', .∠CAM=∠B'AM-∠CAB'=60°-30°=30°，∠AMC=90°， 第29页/供31页 命学科网命组卷网 MC=1CA=1CB .B'M=MC+B'C=MC+AC=MC+2MC=3MC=3AN. 即B'M=3AN: 3)V 【解析】 △AC"C ∠BAB'=∠CAC=60° 再证明四边形 MANB' 【分析】(1)证明 是等边三角形，得到旋转角 是矩形，即可得出结论： (2)根据等腰三角形的性质得∠ABB=∠ABB'=30°，继而得到旋转角∠CAC'=∠BAB'=120°，证 MANC B'MI‖ANMC=ANCN=AM∠MCN=90° 明四边形 是矩形，得到 根据等腰三角形 MC-1C4-10 CB 的性质及30°角的直角三角形得到2 2 ,即可得出结论： 3)30°角的直角三角形得到BC=21C=2,MC=4C 1 2,根据勾股定理得 CN=AM-VAC2-CM-3 2,最后在Rt△BCC'中，根据勾股定理BC'=VBC2+C'C2可得结论」 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： Rt△ABC中，∠ABC=30.AC=l 第30页/供31页 6学科网6组卷网 .BC=2AC=2. 在RtAACM中，∠CAM=30°， :c=-f 2, .cN---F- ..CC-2CN-2x 2 在R△BCC'中，BC=VBC2+CC=V2+V3=V万 线段BC的长为V7 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，30°直角三角形的性质，等腰三角形 的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识.熟练掌握旋转的性质，矩形的判定和性质，直角三 角形的性质是解题的关键. 第31页/供31页 2025-2026学年第一学期开学适应性练习 九年级 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于平行四边形的说法正确的是（ ） A. 平行四边形对角线相等 B. 平行四边形邻边相等 C. 平行四边形是中心对称图形 D. 平行四边形是轴对称图形 5. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（ ） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 6. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 7. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，那么二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接CE，则CE等于（　　） A. 5 B. 6 C. 2+2 D. 2+2 10. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④； ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 12. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：则视力的众数是__________． 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 2 3 6 9 12 8 5 3 13. 如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则________． 14. 已知点和都在抛物线上，那么和的大小关系为____（填“”或“”或“”）． 15. 已知、是方程的两个实数根，那么__________． 16. 如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF长度的范围为__________． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点分别为．点落在上，连接．若，求的度数． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点成中心对称，画出； （2）求的面积． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求此抛物线的对称轴； （2）当时，写出的取值范围； 22. 如图，在平行四边形中，连接，点E为上一点． （1）在边的下方求作一点F，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接、、．若，求证：四边形是菱形． 23. 某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … （1）求关于的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为． （1）当时，求的坐标； （2）当变化时，点始终在抛物线上，的顶点为，点关于点的对称点为，经过点且平行于轴的直线为，于点． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 25. 在直角三角形中，，将直角三角形绕点顺时针旋转，点的对应点分别为点，连接，分别为的中点，连接． （1）如图1，当恰好经过点时，求证：． （2）当恰好经过点时，试猜想与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）当恰好经过点时，连接，若，则线段__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $