精品解析：福建省福州第三中学晋安校区2025-2026学年九年级上学期开门考数学试题

2025-2026学年第一学期开学适应性练习 九年级 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做常数项，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴一元二次方程的常数项是， 故选：D． 3. 如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵将绕点A旋转后得， ∴， ∴，， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件无法证明出， 故B选项错误，符合题意． 故选：B． 4. 下列关于平行四边形的说法正确的是（ ） A. 平行四边形对角线相等 B. 平行四边形邻边相等 C. 平行四边形是中心对称图形 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故该选项不符合题意； B、平行四边形邻边不一定相等，故该选项不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，故该选项符合题意； D、平行四边形不一定是轴对称图形，故该选项不符合题意， 故选：C． 5. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（ ） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．根据题意，原来的顶点坐标为，平移后顶点坐标为，且，根据平移规律解答即可． 【详解】解：根据题意，原来的顶点坐标为，平移后顶点坐标为，且， 故向上平移5个单位， 故选：A． 6. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，s有最大值，此时． ∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值， ∴， 故选：A． 7. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，那么二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的图象知：开口向上，，一次函数图象可知，然后根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：由二次函数的图象知：开口向上，，一次函数图象可知， 二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的右侧，交轴的负半轴， ∴B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接CE，则CE等于（　　） A. 5 B. 6 C. 2+2 D. 2+2 【答案】C 【解析】 【分析】首先考虑到CE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求CE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AB=AE，∠BAE=60°，故△ABE是等边三角形，可证明△ACE与△CBE全等，可得到∠ACE=45°，∠AEC=30°，再证△AFC和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解． 【详解】连结BE，设CE与AB相交于点F，如下图所示， ∵Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90° ∴∠CBA=∠BAC=45° ∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合， ∴∠BAC=∠DAE=45°，AB=AE 又∵旋转角为60° ∴∠CAD=∠BAE=60°， ∴△ABE是等边三角形 ∴AB=BE=AE=4 在△ACE与△CBE中， ∴△ACE≌△CBE   （SSS） ∴∠ACE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEC=30° ∴在△ACF中，∠CFA=180°-45°-45°=90° ∴∠AFC=∠AFE=90° ∴CF⊥AB，∵CA=CB，∠ACB=90°， ∴CF=AF=FB=2， 又在Rt△AFE中，∠AEF=30°， ∴FE=AF=2， ∴CE=CF+FE=2+2. 故选C． 【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题． 10. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④； ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据交点及对称轴、根的判别式即可判断③；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出④的正误． 【详解】解：①∵函数图象开口向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧 ∴ab异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴当x=﹣1时，y==0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a， ∵对称轴为直线x=1， ∴=1，即b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a， ∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0， ∵8a＞0， ∴4ac﹣＜8a，故③错误； ④∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c＜-1 ∵-， ∴b=-2a， ∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a， ∴-2＜-3a＜-1， ∴＜a＜；故④正确 ⑤∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴b-c=a， ∵a＞0， ∴b-c＞0，即b＞c； 故⑤正确； 故选C． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握该特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征来求解即可． 【详解】解： 在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数， 点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 故答案为：． 12. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：则视力的众数是__________． 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 2 3 6 9 12 8 5 3 【答案】4.7 【解析】 【分析】本题考查了众数．根据众数的定义即可求解．众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：根据表格可知：4.7出现的次数最多，则视力的众数是4.7， 故答案为：4.7． 13. 如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 连接，根据矩形的性质得，然后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 故答案为：5 14. 已知点和都在抛物线上，那么和的大小关系为____（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据图象上点的坐标适合解析式将点，坐标代入解析式求解． 【详解】解：将，代入得，， ． 故答案为：． 15. 已知、是方程的两个实数根，那么__________． 【答案】14 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系．根据根与系数的关系得出，，根据，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14． 16. 如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF长度的范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，由勾股定理得到AB=，由旋转可知：△DCE≌△ACB，从而∠DCA=∠BCE，∠ADC=∠BEC，由∠DGC=∠EGF，可得∠AFB=90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=AB=，在△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值为，再求出CF的最小值即可． 【详解】解：取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G， 在△ABC中，∠ACB=90º，AC=，BC=2， ∴AB=， 由旋转可知：△DCE≌△ACB， ∴∠DCE=∠ACB，DC=AC，CE=CB， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠ADC=(180º-∠ACD) ，∠BEC= (180º-∠BCE)， ∴∠ADC=∠BEC， ∵∠DGC=∠EGF， ∴∠DCG=∠EFG=90º， ∴∠AFB=90º， ∵H是AB的中点， ∴FH=AB， ∵∠ACB=90º， ∴CH=AB， ∴FH=CH=AB=， 在△FCH中，FH+CH>CF， 当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值， ∴线段CF的最大值为． 如图所示，当△ABC绕点C逆时针旋转180度时，直线AD与直线BE的交点即为点C，则此时C、F重合，即此时CF=0， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）方程移项后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程移项后，利用完全平方公式配方，计算即可求出解． 【小问1详解】 解：方程移项得：， 开方得：或， 解得：，． 【小问2详解】 解：方程移项得：， 配方得：，即： 开方得：或， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法及直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 18. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点分别为．点落在上，连接．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．根据旋转的性质，推出，，是等腰三角形，进而求出的度数． 【详解】解：∵将绕着点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得，计算即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意：，即， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得，即， 解得：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点成中心对称，画出； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中作图，解题关键是明确中心对称的性质． （1）画出，，三点关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）用长方形面积减去三个三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，△即为所求作； ； 【小问2详解】 解：△ABC的面积． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求此抛物线的对称轴； （2）当时，写出的取值范围； 【答案】（1）直线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）把已知点的坐标代入中求出a的值，从而得到抛物线解析式，再利用配方法把一般式配成顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质得到当，y有最小值，然后计算出自变量为1和5所对应的函数值，从而得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为， ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴，y有最小值， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为． 22. 如图，在平行四边形中，连接，点E为上一点． （1）在边的下方求作一点F，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接、、．若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 图形如图所示： ； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）在的下方作，且，连接即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … （1）求关于的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 【答案】（1） （2）当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 （3）每周至少可获得3000元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用： （1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润； （3）由（2）每周出售这种糕点所获利润，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，设y关于x的函数表达式为， ∴． ∴． ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润 ， ∵， ∴当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； 【小问3详解】 解：由（2）每周出售这种糕点所获利润 又∵， ∴当时，所获利润最小为3000元；当时，所获利润最大为5400元． ∴销售单价需满足，则每周至少可获得3000元的利润． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为． （1）当时，求的坐标； （2）当变化时，点始终在抛物线上，的顶点为，点关于点的对称点为，经过点且平行于轴的直线为，于点． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）当时，顶点的坐标为 （2）①证明：抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， 当变化时，点始终在抛物线上， 抛物线的解析式为， ， 点，关于点对称，即为中点， ， 根据勾股定理，， 直线过点且平行于轴， 直线：， 于点， ∴， ， ． ②直线上存在点，使得为定值 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式，配方后即可得到顶点的坐标； （2）①先表示出顶点的坐标，根据题意可得出抛物线的解析式，从而得出点坐标、点坐标，由直线过点且平行于轴得出点坐标，表示出、即可得证； ②先表示出当时抛物线的解析式，根据抛物线与抛物线的平移规律推出点，过作直线的垂线，垂足为，交轴于点，结合①中的结论即可证为定值． 【小问1详解】 解：当时， 抛物线的解析式为， 所以抛物线的顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①略 ②直线上存在点，使得为定值 当时，抛物线的解析式为， 由①知抛物线：，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到抛物线， 对应的，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 将直线：向上平移个单位长度得到直线：， 过作直线的垂线，垂足为，交轴于点， 由①，， 即抛物线上任一点到点的距离等于到直线：的距离， 点在上， ， ， 即直线上存在点， 使得为定值． 【点睛】本题考查的知识点是把化成顶点式、二次函数综合、勾股定理，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识点． 25. 在直角三角形中，，将直角三角形绕点顺时针旋转，点的对应点分别为点，连接，分别为的中点，连接． （1）如图1，当恰好经过点时，求证：． （2）当恰好经过点时，试猜想与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）当恰好经过点时，连接，若，则线段__________． 【答案】（1） 证明：在直角三角形中，，， ∴， ∵将直角三角形绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点， ∴，，，，， ∴，是等边三角形， ∵点，分别为，的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2） 解：与的位置关系是，数量关系是． 理由：在直角三角形中，，， ∴， ∵将直角三角形绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ，， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得到旋转角，再证明四边形是矩形，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得，继而得到旋转角，证明四边形是矩形，得到，，，，根据等腰三角形的性质及角的直角三角形得到，即可得出结论； （3）角的直角三角形得到，，根据勾股定理得，最后在中，根据勾股定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴线段的长为． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期开学适应性练习 九年级 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于平行四边形的说法正确的是（ ） A. 平行四边形对角线相等 B. 平行四边形邻边相等 C. 平行四边形是中心对称图形 D. 平行四边形是轴对称图形 5. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（ ） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 6. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 7. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，那么二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接CE，则CE等于（　　） A. 5 B. 6 C. 2+2 D. 2+2 10. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④； ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 12. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：则视力的众数是__________． 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 2 3 6 9 12 8 5 3 13. 如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则________． 14. 已知点和都在抛物线上，那么和的大小关系为____（填“”或“”或“”）． 15. 已知、是方程的两个实数根，那么__________． 16. 如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF长度的范围为__________． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点分别为．点落在上，连接．若，求的度数． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点成中心对称，画出； （2）求的面积． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求此抛物线的对称轴； （2）当时，写出的取值范围； 22. 如图，在平行四边形中，连接，点E为上一点． （1）在边的下方求作一点F，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接、、．若，求证：四边形是菱形． 23. 某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … （1）求关于的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为． （1）当时，求的坐标； （2）当变化时，点始终在抛物线上，的顶点为，点关于点的对称点为，经过点且平行于轴的直线为，于点． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 25. 在直角三角形中，，将直角三角形绕点顺时针旋转，点的对应点分别为点，连接，分别为的中点，连接． （1）如图1，当恰好经过点时，求证：． （2）当恰好经过点时，试猜想与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）当恰好经过点时，连接，若，则线段__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $