专题04 图形的相似（9知识&12题型&6方法清单）（期中知识清单）九年级数学上学期北师大版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04图形的相似(9知识&12题型&6方法清单) 知识图谱 成比例线段 若 名=行，则线段a6,cd是成比例线段 ①基本性质 若号=分则叫=c 比例的性质 ②合比性质 若行行则结： b ©等比性质 n b+d+f+…n 0定义 两个位似多边形任意一组对应点的连线都经过同一点 图形的位似 0画法 找准位似中心，由相似比找对应点 黄金分割 若线段AB上一点C,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC), 且使AC是AB和BC的比例中项，则称线段AB被点C黄金分割 图形的相似 相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 两角分别相等的两个三角形相似 0判定 三边对应成比例的两个三角形相似 两边成比例且夹鱼相等的两个三角形相似 对应角相篷，对应边成比例 相似三角形 ②性质 对应高中线鱼平分线的比都等于相似此 周长的比等于相似比，面积的比等于相比的平立 证明角相等，求线段的长 ©应用 测量物体的高度：同一时刻，物高与影长成正比 知识清单 【清单01】成比例线段的概念 1.比例的项： 在比例式a:b=c:d(即=C)中，a,d称为比例外项，b,c称为比例内项.特别地，在比例式 b d a:b=b:c(即=b)中，b称为a,c的比例中项，满足b=ac. b c 2.成比例线段： 四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，即2=S,那么这四条线段a,b,c,d叫做成 b d 比例线段，简称比例线段. 1/82 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【清单02】比例的性质 比例的性质 示例剖析 (1)基本性质： b=i9ad=bc6,d≠0) a c 2343x=2y x (2)反比性质： a-Ssb-4a,6,6d*0) x=y台2_3 台 (x,y≠0) b d a c 23 x y (3)更比性质： 23y3心 (x,y≠0) (4)合比性质： a=S台a+b-e+d6,d≠0 b-d b d -2+卫-2+3 y≠0) y3 y 3 (5)分比性质： a_c。a-b_c-d(b,d≠0) b-db-d ￥g (x≠0) 2 (6)合分比性质： g-E台a+b-c+d6d≠0，a+h.c≠d0 x-y2-30y≠0，x≠) b d a-b c-d (7)等比性质： …="(b+d++n≠0) a-c- 已知2-3-4 ，则当x+y+z≠0时， x y z b d n 2_3_4_2+3+4 三a+c++m=8(b+d++n≠0) x y z x+y+z b+d+…+nb 【清单03】黄金分割 如图，若线段AB上一点C,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比 例中项（即AC=AB·BC),则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中 AC=5-4B0618AB,BC=35AB0,382HB,AC与AB的比叫做黄金比.（注意：对于线段AB 2 2 而言，黄金分割点有两个，) 【清单04】平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理.如图：如果 =DE,AB_DE BC EF BC EF' ACDFACDF 2/82 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 总结：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB)称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全， 则可以形忽的衣示为幸幸，去交·委委 【清单05】平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如图：如果F/BC ,则E=F,AE-A5,BECF EBFC'AB AC'AB AC 【清单O6】平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若侣惩或指把或能则有c AB AC AB AC 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线 与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行 【清单07】相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 简称为两角对应相等，两个三角形相似 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 如图，如果∠A=∠A',∠B=∠B',则 两个角对应相等，那么这两个三角形相似. △ABC∽△A'B'C'. 简称为三边对应成比例，两个三角形相 判定定理2： 似 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么 如图，如果B BC AC 这两个三角形相似 BBC=AC,则 △ABC∽△A'B'C'. 判定定理3： 简称为两边对应成比例且夹角相等，两 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且 个三角形相似.如图，如果8-4C A'B A'C 对应的夹角相等，那么这两个三角形相似. ∠A=∠A',则△ABC∽△A'B'C'. 3/82 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【清单O8】相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等。 如图，△ABC∽△A'B'C',则有 ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'. ②相似三角形的对应边成比例. 如图，△ABC∽△A'B'C',则有 AB_BC=AC=k(k为相似比)· A'B'B'C A'C ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角 的平分线成比例，都等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C',AM、AH和AD是 △ABC中BC边上的中线、高线和角平分线， A'M'、A'H'和AD'是△A'B'C'中B'C'边上的中 线、高线和角平分线，则有 AB=BC=AC=k=AM=AH A'B'B'C'A'C AM'AH AD' ④相似三角形周长的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C',则有 AB BC AC AB+BC+AC AB B'C A'C AB'+BC+AC =k. ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图，△ABC∽△A'B'C',则有 S△4BC= .BC·AH 2 BC AH S△ABC 1.BC'.AH' B'C=k 【清单09】位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点O,且有 OP'=k·OP(k≠O),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： (1)尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 (2)坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数k(k≠0)， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k 4/82 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期中常考题型清单 【题型一】成比例线段 【例1】(24-25九年级下·四川眉山期中)下列各组线段中，能成比例的是() A.Icm,2cm,3cm,4cm B.1cm,1.5cm,2cm,4cm C.0.1cm,0.2cm,0.3cm,0.4cm D.3cm,4cm,6cm,8cm 【答案】D 【详解】解：A、1×4≠2x3,不能成比例，不符合题意； B、1×4≠2×1.5，不能成比例，不符合题意； C、0.1×0.4≠0.2×0.3，不能成比例，不符合题意； D、3×8=4x6,能成比例，符合题意； 故选D 【变式1-1】(22-23九年级上全国期中)下列各组中的四条线段，不成比例线段的是() A.1,2,2,4B.3,4,9,12 C.7,5,3,2 D.1,√2,3,6 【答案】C 【详解】解：A.1×4=2×2,成比例： B.3x12=4×9,成比例； C.7×2≠5x3,不成比例； D.1xV6=V3×V2,成比例. 故选：C 【变式1-2】(24-25九年级上河北保定·期末)已知a,c,b,d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm, c=6cm,则线段d的长为() A.Icm B.4cm C.9cm D.16cm 【答案】B 【详解】解：已知a,c,b,d是成比例线段， c d' 其中a=3cm,b=2cm,c=6cm, 32 6a1 5/82 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得，d=4cm, 故选：B 【题型二】相似多边形 【例2】(24-25九年级上·福建三明·期中)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作 甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为() 甲 丙 A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 【答案】D 【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同. 故选：D, 【变式2-1】(24-25九年级上·辽宁鞍山期中)如图，矩形ABCD∽矩形EFGH,己知AB=3,BC=5, EF=6,则FG的长为() E F G 100 A. B.10 C.11 D.12 11 【答案】B 【详解】解：：矩形ABCD一矩形EFGH, AB=BC即4B-EE EF FG BC FG 3 6 5FG FG=10, 故选：B. 【变式2-2】(24-25九年级上·河北邯郸·期中)如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',则x的值 为 6/82 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D' 12 8 A 10 【答案】15 【详解】解：~四边形ABCD∽四边形A'B'C'D', &AD、AB AD AB 即2士 810 解得：x=15, 故答案为：15 【变式2-3】（24-25九年级上河北石家庄·期中)阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周 长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形AB,C,D, 是矩形ABCD的“减半”矩形 请你解决下列问题： D 宽：4 C D 长：12 宽：2 宽：3 B A B ()当矩形的长和宽分别为1,7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存 在，请说明理由. (2)边长为的正方形存在减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由. 【详解】(1)解：存在，“减半矩形长和宽分别为2+52与2-2 2 2 x+y=4① 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x,y，则 w=2 由①，得：y=4-x,③ 7 把③代入②，得x2-4x+。=0, 2 解得x=2+2, 2 5=2-2 2 7/82 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 所以减半矩形长和宽分别为2+5与2-互 2 2 (2)解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为}时，面积比必定是}， 所以正方形不存在“减半”正方形 【题型三】黄金分割 【例3-1】(24-25九年级上·安微合肥期中)如图，古筝上的一根弦AB的长度约为162cm,两个端点A,B 固定在乐器板面上，支撑点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，则线段AC的长度约为 cm.(结 果保留根号) 【答案】815-81 【详解】解：：支撑点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，AB=I62cm, :4C=5-lAB=5-lx162-81w5-81cm, 2 故答案为：81√5-81. 【例3-2】(24-25九年级上·湖南湘潭·期中)鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自 然界最美的鬼斧神工，黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与 较长线段长度的比值，其比值为5-」，如图，P是AB的黄金分制点(AP>BP),若线段AB的长为4cm, 2 则AP的长为cm B 【答案】(25-2 【详解】解：：P是AB的黄金分割点(AP>BP),AB=4cm, :4P-5-1,即0=5-1， AB 2 42 8/82 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 解得，AP=(25-2cm, 故答案为：（25-2： 【变式3-1】(24-25九年级上辽宁阜新期中)在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之 比为黄金比，己知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米 【答案】12(5- 【详解】解：“书的宽与长之比为黄金比，长为24厘米， :它的宽=24×5-1=12N5-)厘米。 2 故答案为：12(5-1 【变式3-2】(24-25九年级上·重庆渝北期中)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动 D D MD H FG 图1 图2 图3 (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF,把纸 片展平，连接EF; 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为GH，把纸片展平； 操作三：如图3，连接BG,并把BG折到BC上的BG'处，得到折痕BM,把纸片展平，连接MG', 根据以上操作，直接写出图3中G的值： GB (2)【问题解决】 请判断图3中四边形BG'MG的形状，并说明理由. (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段4B分制成长、短两条线段4P,PB,若4P-5-」，则点P叫做线段B的黄金分 AB 2 割点 在以上探究过程中，已知矩形纸片ABCD的宽AB为Icm,当点M是线段ED的黄金分割点时，直接写出 CG'的长度， 【详解】(I)解：由操作一可知AB=AE,由操作二可知AG=GE, 9/82 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB =2AG, :在矩形ABCD中，∠BAD=90°， GB=AB2+AG2=(2AG)2+AG2=54G. AG AG √5 GB 5AG 5 故答案为： V5 (2)解：四边形BG'MG是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：∠GBM=∠G'BM,BG=BG', 在矩形ABCD中，AD∥BC, .∠GMB=∠G'BM, ∠GBM=GMB, .BG=GM, .BG'=GM :BG∥GM, ∴.四边形BG'MG是平行四边形， .BG=BG', :平行四边形BG'MG是菱形； (3)解：：AB=1cm, :由》可知4=lcm,AG-4Bm,8G=54G=5c -cm, :四边形BG'MG是菱形， BG-GM-BG5 cm, ÷AM=AG+GM=5+lcm, 2 ÷EM=AM-AE=5-Lo -cm, 2 :点M是线段ED的黄金分割点， EM-5-l或MD=5-1, MD 2 EM 2 5-1 MD 5-1 即25-1或5-12， MD 2 2 10/82 专题04 图形的相似（9知识&12题型&6方法清单） 【清单01】成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【清单02】比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 【清单03】黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【清单04】平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 总结：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 【清单05】平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 【清单06】平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【清单07】相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 【清单08】 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【清单09】位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 【题型一】成比例线段 【例1】（24-25九年级下·四川眉山·期中）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23九年级上·全国·期中）下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（    ） A．1，2，2，4 B．3，4，9，12 C．7，5，3，2 D．1，，， 【变式1-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【题型二】相似多边形 【例2】（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【变式2-1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【变式2-2】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形四边形，则的值为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【题型三】 黄金分割 【例3-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为 cm．（结果保留根号） 【例3-2】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆渝北·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【题型四】位似图形 【例4-1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例4-3】（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式4-1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是 ． 【题型五】比例的性质 【例5】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级下·广西北海·期中）若，则的值（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若，且，则 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值为 ． 【题型六】平行线分线段成比例的性质 【例6-1】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，，若，则的长度是（　）    A．3 B．4 C． D． 【例6-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，点，分别在，上，，，、交于点，若，则的长为 ． 【例6-3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【变式6-1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．3 C．5 D．9 【变式6-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，，为中点，点在射线上运动，直线交直线于点，若，则的长为 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． 【题型七】相似三角形的性质 【例7-1】（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图，在四边形中，，与相交于点O，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例7-2】（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    【变式7-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·四川巴中·期中）如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 【变式7-3】（24-25九年级上·吉林·期中）已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为 ． 【题型八】相似三角形的判定 【例8-1】（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 【例8-3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【变式8-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【变式8-2】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【变式8-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【变式8-4】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【题型九】作一个图形的位似图形 【例9-1】（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，的三顶点分别为，，．请画出一个以原点O为位似中心，且与相似比为的位似图形，并写出各顶点的坐标．（只需画出一种情况，） 【例9-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在网格中画出关于轴成轴对称的． (2)若能在网格中画出以为位似中心，位似比为的，请画出来，若不能在网格中画出来，请写出三个点的坐标． 【变式9-1】（24-25九年级上·广西·期中）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； (2)直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 【变式9-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【变式9-3】（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，已知点． (1)将绕点顺时针旋转，画出所得的，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧缩小，使缩小后的三角形与的位似比为，画出缩小后的三角形．并写出点对应点的坐标． 【题型十】相似三角形的应用 【例10-1】（23-24九年级上·北京顺义·期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 【例10-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 【变式10-1】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【变式10-2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 【题型十一】相似三角形与特殊四边形综合 【例11】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在菱形中，M为的中点，连接，交于点E，在上取一点F，连接，交于点G，且，连接． (1)求证：． (2)若，． ①求证：． ②求的长． 【变式11-1】（24-25九年级上·吉林·期中）【发现】如图①，正方形的边长为4，点E为的中点．连接，将绕点A顺时针旋转至，连接交于点G，爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点H……请沿着小明的思路思考下去，则________________； 【应用】如图②，菱形的边长为3，且，连接、交于点O，点E为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，若，求的值． 【变式11-2】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点、在轴上，在轴上，，直线分别与轴、轴、线段、射线交于点、、、． (1)当时，求证： (2)探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)在轴上是否存在点，使得，且以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出此时的值以及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型十二】几何动态与相似三角形的综合 【例12-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【例12-2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【例12-3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知在中，，，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当________时与相似； (2)当的面积等于时，求t的值． 【例12-4】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动时间为，其中．解答下列问题： (1)______，______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (3)点，在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，直接写出此时的值；若不能，请说明理由． 【变式12-1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 【变式12-2】（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【变式12-3】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【变式12-4】（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，已知梯形中，，，，，为一动点从点出发，沿方向，以的速度向由点向点运动；为另一动点，从出发，沿方向，以的速度向由点向点运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为秒． (1)如图1，当运动秒时，恰好有，求的值； (2)如图2，过点作于点． ①在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【题型一】A字模型 A字模型 如图一 如图二 如图三 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）已知如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，则 3．（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，P为中线上的一点，且，求证：． 【题型二】8字模型 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，E为上一点，连接，交于点F，，则为（　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ． 3．（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长． 4．（23-24九年级上·北京房山·期中）如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 5．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，线段，与交于点E． (1)求证：； (2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 【题型三】手拉手模型 模型展示： 将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形，即△ABC∽△ADE. 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在和中，，，为的中点，，将绕点旋转，直线，交于点，连接，则的最小值是 ． 2．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，已知正方形的边长为，对角线，相交于点．将绕点逆时针旋转得到，当，，三点共线时，的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【问题呈现】 （1）如图，和都是等边三角形，连接、．则与之间的数量关系为_______； 【类比探究】 （2）如图，和都是等腰直角三角形，，连接、．则______； 【拓展提升】 （3）如图，和都是直角三角形，，且．连接，延长交于点，交于点． 求的值； 若，请求出的长． 【题型四】一线三等角模型 模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称为“一线三等角”型相似． 1．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，点E 是的中点，连接交于点F，若正方形的边长为4，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，点分别是边上的点，且．求证：． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知，点B在线段上． 【感知】（1）如图①，，求证：； 【拓展】（2）如图②，中，，且，求证：； 【应用】（3）如图③，为等边三角形，且，求与的面积比． 4．（24-25九年级上·全国·期中）（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【题型五】射影定理 基本模型 结论 ________ Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶  △𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝐵𝐴∽△𝐷𝐴𝐶 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图．在中，，于点，，，则 ． 2．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型六】十字模型 模型展示：如图，在矩形中，点,分别在边,上，于 . 结论： . 1．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 2．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为 ． (2)如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $