专题10 相似三角形基本模型之母子型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题10 相似三角形基本模型之母子型 【基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例1．（基本模型1）如图，中，，D是上的一点，，E为的中点，连接．若，则的值为 ． 例2．（基本模型2）如图，等边的边长为，为上一点，，是线段上的动点，若点和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为 ． 例3．（基本模型3）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 例4．（培优综合）在中，，为平面内一点． (1)如图1，若在边上，且． 求证：； 若，延长至点，使，求证：； (2)如图2，，，延长至点，使，直接写出的最小值． 例5．（与坐标系综合）已知直线交轴于点，交轴于点． (1)直接写出的值为______； (2)如图①，已知点是轴上的一个动点，过点作轴平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标； (3)如图②，已知点的坐标为，作直线，若点为直线下方一点，且满足，则的值为______． 1．如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 2．如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ． 3．如图，在中，，，，点，分别在，边上，，连接，将沿翻折，得到，连接．若，则 ． 4．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 5．在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 6．如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 7．【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 8．阅读下列材料，完成相应任务： 三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺（没有刻度，只能做直线的尺子）把一个任意角三等分，此问题曾吸引许多人去研究，但无一成功．1837年法国数学家凡齐尔（1814~1848）运用代数方法证明，仅用尺规不可能三等分任意角，但对于一些特殊角可以采用折纸或尺规作图实现三等分． (1)如图1，下面介绍一种折纸三等分直角的方法：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．观察所得的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ (2)如图2，第一学习小组同学受到启发，在直角内部，利用尺规作图，构造等边，得到，实现尺规作图三等分直角，第二小组同学不甘示弱，经过讨论，研究出角的三等分尺规作图方法，并设计题目如下：如图3，已知中，，，以为圆心，长为半径画弧，交于． ①求证：； ②如图4，点，点是线段上的动点，过点作，交于点，交于点．连接，以为旋转中心，将射线顺时针方向旋转，交线段于点，若，求的值． 9．问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明． 【问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系：________； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明：． 【结论运用】 （2）如图3，在中，，，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是、上的点，、的交点为P，若平分，求证：． 10．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 相似三角形基本模型之母子型 【基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例1．（基本模型1）如图，中，，D是上的一点，，E为的中点，连接．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定和性质，等边对等角，是解题的关键．根据中点定义得，由，得，由，，得，得，得，得，即得． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2．（基本模型2）如图，等边的边长为，为上一点，，是线段上的动点，若点和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点D作于点M，利用勾股定理和等边三角形的性质求出；根据题意，分两种情况讨论，即或，进而证明与，利用相似三角形的性质列出比例式即可求出的长． 【详解】解：如下图，过点D作于点M， 等边的边长为，， ，，， ∴， ∴， ， ， ； 分两种情况：①如下图，连接，若， ，， ， ，即，解得， ②如下图，连接，若， ，， ， ，即，解得， 综上所述， 的长为或， 故答案为：或． 例3．（基本模型3）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 例4．（培优综合）在中，，为平面内一点． (1)如图1，若在边上，且． 求证：； 若，延长至点，使，求证：； (2)如图2，，，延长至点，使，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析；见解析 (2) 【分析】（1）①证明，得出，即可得证； ②延长，交于点，证得，设，求得、，证明，求得，得到，从而推出是的中位线，即可求证； （2）延长至点，使，连接，过点作，交的延长线于点，证得和，可得，求得，即可求解的最小值． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ， ， ， ． ②延长，交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ，即点为的中点， 设，则，， 由①得：， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 解得：， ，即点是的中点， 是的中位线， ． （2）解：的最小值为． 如图，延长至点，使，连接，过点作，交的延长线于点， ， ，，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，则， ，， ， ，则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的定理，勾股定理，平行线的判定与性质等，熟练掌握相关知识点是解题关键． 例5．（与坐标系综合）已知直线交轴于点，交轴于点． (1)直接写出的值为______； (2)如图①，已知点是轴上的一个动点，过点作轴平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标； (3)如图②，已知点的坐标为，作直线，若点为直线下方一点，且满足，则的值为______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）已知直线交轴于点，根据函数图象上的点的坐标满足函数方程，代入点求解即可． （2）设，根据轴，从而表示出，由，轴，进一步推导出证的条件，利用相似三角形的性质求出的值，进而求出点的坐标． （3）过点作于点，过点作于点，易证和为等腰直角三角形，设，由勾股定理得，，解得，即，利用两点间的距离关系表示出，根据勾股定理得，再根据以及，构造三角形，由相似三角形的性质得， 即，解关于的方程即可． 【详解】（1）交轴于点， ， 解得， 故的值为． （2）由（1）知，则 设， 轴， 点横坐标为， 把代入， 得， ，， ， 又， ， ， 由，可知，， ， 解得， 当时，，， 当时，，， 综上，点的坐标为或 （3）如图，过点作于点，过点作于点， ，，， ，，， 轴轴， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得，， 即， 解得，即， ，， ， ， 即， ， ， ， 即， 解得， 点位于第四象限， 故的值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及两点间的距离公式，本题的综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是利用数形结合的思想，通过添加辅助线证明三角形相似． 1．如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 【答案】5 【分析】在CD上取点F，使，证明，求解 再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案. 【详解】解：在CD上取点F，使， ，， 由， ， ，， 且， ， ， ∽， ， ， ， 又， ， ∽， ， 又， ， 或舍去， 经检验：符合题意， ． 故答案为：5． 本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键. 2．如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意得，即可证明，得和，即有，进一步得，有，则有，即当最短时，最短、最长，当时，即可求得最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，． ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即当最短时，最短、最长， ∵当时，最短、最长，此时， ∴，则， 故答案为∶． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及线段最短，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．如图，在中，，，，点，分别在，边上，，连接，将沿翻折，得到，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求出，设，求出，，，过E作于H，设与相交于M，证明，得，，，，，，，证明得，在中由勾股定理得，求解方程即可得解． 【详解】解：在中，，，， ∴； 设， ∵， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M，如图， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， ∴，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 4．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 5．在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②． 【分析】（1）根据∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，易得△ABD∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例即可求解. （2）①根据AE⊥AC，AF⊥BD，∠ABF＝∠C，易得△ABF∽△ECA，即可证得；②取CE的中点M，连接AM，在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C，由已知条件易得. 【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC ∴∠ABD＝∠ACB. 又∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴，即 ∴AD＝ （2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠EAC＝90°. 又∵∠ABF＝∠C， ∴△ABF∽△ECA， ∴∠BAF＝∠CEA. ∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE， ∴∠ABC＝∠EAP. ②如图，取CE的中点M，连接AM. 在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C. ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AME， ∴AM＝AB， ∴． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练证明三角形相似及利用相似三角形的性质求对应边、对应角是解题关键. 6．如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2． 【分析】（1）先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质即可得证； （2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得； （3）设，从而可得，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出a的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）， ， 在和中，， ， ， ； （2）， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ， 点E是AC的中点， ， ， 在和中，， ， ， 又， ， ； （3）设， 是等腰直角三角形， ， 点分别是的中点， ， 在中，， ， 由（1）知，， ，即， 解得， 在中，， ， 在和中，， ， ，即， 解得， 又， ， 解得， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 7．【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 8．阅读下列材料，完成相应任务： 三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺（没有刻度，只能做直线的尺子）把一个任意角三等分，此问题曾吸引许多人去研究，但无一成功．1837年法国数学家凡齐尔（1814~1848）运用代数方法证明，仅用尺规不可能三等分任意角，但对于一些特殊角可以采用折纸或尺规作图实现三等分． (1)如图1，下面介绍一种折纸三等分直角的方法：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．观察所得的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ (2)如图2，第一学习小组同学受到启发，在直角内部，利用尺规作图，构造等边，得到，实现尺规作图三等分直角，第二小组同学不甘示弱，经过讨论，研究出角的三等分尺规作图方法，并设计题目如下：如图3，已知中，，，以为圆心，长为半径画弧，交于． ①求证：； ②如图4，点，点是线段上的动点，过点作，交于点，交于点．连接，以为旋转中心，将射线顺时针方向旋转，交线段于点，若，求的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质，证明是等边三角形，进而得出，即可得到结论； （2）①根据等边等角的性质和三角形内角和定理，得到，，再根据三角形外角的性质，得出，即可证明结论； ②连接．先证明是等腰三角形，进而证明，得到，．再依次得出、、是等腰三角形，从而证明，得到，设，．根据相似三角形的性质求出值，即可得到答案． 【详解】（1）解：．证明如下： 如图1，连接， ∵由轴对称的性质可知，是的垂直平分线，，， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：①如图3 ∵， ∴是等腰三角形． ∴． ∵， ∴． 同理：． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． ②如图4，连接． ∵， ∴是等腰三角形． ∴，． ∵，， ∴． 在与中， ， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴是等腰三角形． ∴． ∵是的外角， ∴． 同理． ∴是等腰三角形． ∴． ∴． ∵， ∴是等腰三角形． ∴， ∵在和中，，， ∴．∴． 设，． ∴，解得． ∵，∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据相关知识找出角度之间的数量关系是解题关键． 9．问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明． 【问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系：________； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明：． 【结论运用】 （2）如图3，在中，，，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是、上的点，、的交点为P，若平分，求证：． 【答案】（1）①；②见解析；（2）5；（3）见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，从而； ②可证得，从而，进一步得出结论； （2）作平分，可证得，从而，从而得出的值，的值，由②知，，进而得出结果； （3）延长，交的延长线于点G，根据②得出，可证得，，从而，，进而得出，从而得出． 掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，能添加恰当的辅助线，构建相似三角形是解题的关键． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴； （2）解：如图1， 作平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴； （3）证明：如图2， 延长，交的延长线于点G， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 10．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；② (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点A分别作于E，于F，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， 又， 四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下： 如图，过点A分别作于E，于F， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）解：连接， 在等补四边形中，， 同（2）可知平分， 四边形是等补四边形， ， 又， ， 平分，平分， ， 又， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$