精品解析：江苏省南通市如皋市江苏省如皋中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

江苏省如皋中学2025-2026学年度第一学期综合练习（一） 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】，由于为常数，则直线的倾斜角为90°. 故选：C. 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 4. 直线关于直线对称的直线方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：A. 5. 方程的化简结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可. 【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且， 所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ， 根据 ，所以椭圆方程为. 故选：C. 6. 若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的性质可知，圆心为直线与直线垂直平分线的交点，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点，则联立方程组： ，解得，则圆心为，， 所以圆的方程为：. 故选：A 7. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 方程表示点 B. 方程可表示过点的所有直线 C. 过两点的直线都可以用方程表示 D. 已知点，，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将方程进行配方即可判断；对于B，点斜式方程能表示斜率存在且经过某个点的直线；对于C，两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线；对于D，观察可知，所以点P在线段AB上. 【详解】对于A，对方程进行配方可得， 所以，所以方程表示点，故A正确； 对于B，方程表示斜率为且过点的直线，故B错误； 对于C，两点式方程不适用于垂直坐标轴的直线，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以点P在线段上，故动点P的轨迹是线段. 故选：BCD 10. 设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为9 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，的最大值为，B正确； 对于C，设的顶点，则， 可得的面积， 所以的面积的最大值为12，C正确； 对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有4个交点， 当点此交点之一时，， 所以存在点，使得，D正确. 故选：BCD. 11. 已知圆，P为圆O上的动点，则（ ） A. 圆心O关于直线AB的对称点为 B. 动点P到直线AB的距离最大值为 C. 以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D. 分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线的方程，求出对称点坐标判断A；利用圆的性质求出最大距离判断B；确定两圆位置关系判断C；求出切线长判断D. 【详解】直线的斜率，直线的方程为， 对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确； 对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误； 对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为， 而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确； 对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线垂直，则实数______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 故答案为：. 13. 已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断直线过定点，再根据直线与线段相交，求出直线斜率的取值范围，最后根据正切函数的性质，求出倾斜角的取值范围即可. 【详解】直线过定点， 则，， 如图，要使直线与线段相交， 则直线l的斜率应满足， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故答案为:. 14. 已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案；第二空，设，表示出以为直径的圆的方程，和圆的方程相减，可得直线的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标. 【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为， 连接,则, 设，则, 故, 当垂直于直线时，d最小， 所以，所以； 由于点A是直线上的一个动点，设点， 线段的中点设为P，则，且， 所以以线段为直径为圆的方程为 ， 即， 将方程与作差可得， 即直线的方程为，可得， 由于,故， 因此，直线恒过定点， 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【小问1详解】 由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； （2）过三点、、的圆； （3）过两点、的椭圆． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定椭圆的焦点位置，设出其标准方程，列出关于的方程组，求解即得所求； （2）依题意，设所求圆的一般方程，代入三点坐标求解方程组即得所求； （3）依题意，设椭圆的方程为，代入两点坐标求解方程组即得所求. 【小问1详解】 依题意，椭圆的焦点在轴上，且半焦距为， 设椭圆方程为， 由椭圆过点，则，又，建立解得， 故所求椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设所求圆的一般方程为， 将已知三点的坐标代入，即得方程组，解得， 故所求圆的方程为，即. 【小问3详解】 设所求椭圆的方程为， 将两点坐标代入，可得，解得， 故所求椭圆的标准方程为. 17. 已知圆，圆． （1）若圆与圆外切，求实数的值； （2）设时，圆与圆相交于、两点，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【小问1详解】 因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得，解得或. 故实数的值为或. 【小问2详解】 当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线AB的方程为. 所以圆心到直线AB的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 18. 在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求最值； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． 【小问2详解】 由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 19. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】（1） （2）和 （3）定值， 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【小问1详解】 过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. 【小问3详解】 由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，再将其与圆的方程联立得到韦达定理式，最后代入斜率之和的表达式化简即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学2025-2026学年度第一学期综合练习（一） 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 直线关于直线对称的直线方程是（　　） A. B. C. D. 5. 方程的化简结果是（　　） A. B. C. D. 6. 若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 方程表示点 B. 方程可表示过点的所有直线 C. 过两点的直线都可以用方程表示 D. 已知点，，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 10. 设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为9 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 11. 已知圆，P为圆O上的动点，则（ ） A. 圆心O关于直线AB的对称点为 B. 动点P到直线AB的距离最大值为 C. 以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D. 分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线垂直，则实数______. 13. 已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是____________． 14. 已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； （2）过三点、、的圆； （3）过两点、的椭圆． 17. 已知圆，圆． （1）若圆与圆外切，求实数的值； （2）设时，圆与圆相交于、两点，求． 18. 在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； （3）求面积的最小值． 19. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $